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Teorema de Thales con Geogebra
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Vamos a construir con GeoGebra nuestro propio teorema de Tales, para ver si conseguimos entender un poco mejor este teorema que a veces nos cuesta visualizar.
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Para ello nos vamos a GeoGebra, geogebra.org, y vamos a hacer el GeoGebra clásico, vamos a utilizar esta aplicación web.
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Bueno, lo primero que hacemos, no necesitamos ver los ejes, no necesitamos ver la cuadrícula y vamos a establecer un punto inicial, dos puntos iniciales.
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Uno que será el origen de la semirrecta. Vemos que nos ha puesto nombre, entonces vamos a, en las opciones, en la configuración, vamos a decir que no nos ponga etiqueta a ningún objeto nuevo.
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Guardamos esta configuración y así la tenemos ya para otras veces
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Vamos aquí a guardar y ya estaría
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Vale, le quitamos la etiqueta para no ir viendo etiquetas de objetos
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Ponemos aquí otro punto nuevo
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Y ahora lo que queremos hacer es poner un ángulo
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Un ángulo para que se abran y se cierren las dos semirrectas
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Para ello vamos a poner un deslizador
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Lo ponemos por ejemplo aquí
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Que sea de tipo ángulo
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y que vaya no hasta 360, que sería mucho, sino solo hasta 180.
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Aquí tendríamos ya el ángulo y ahora lo que queremos hacer es construir este ángulo
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que tenga vértice en este primer punto que pusimos aquí.
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Para ello ponemos ángulo dada su amplitud.
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Y como dice la ayuda, dice selecciona punto lateral, vértice y luego amplitud.
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Pues el punto lateral es este, el vértice es este y la amplitud queremos que sea la amplitud alfa.
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Nos vamos aquí y seleccionamos alfa.
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Le damos a ok para que sea sentido antihorario y ya tenemos que se nos ha definido un ángulo que corresponde con el delizador que hemos puesto nosotros.
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No queremos en principio que se vea, así que lo quitamos y lo que vamos a definir ahora son las semirrectas sobre las que vamos a construir nuestro teorema de Tales.
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Hacemos semirrecta con origen en el vértice y que pase por aquí, con origen en el vértice y que pase por aquí.
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Ahora estos dos puntos que nos han definido las dos semirrectas pues casi que no nos interesa que se vean.
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Y entonces lo que vamos a hacer es ocultarlos
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Este y este fuera
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Bueno, ¿veis? Ya tenemos unas dos semirrectas que convergen en un punto
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Y aquí es donde vamos a construir el teorema de Tales
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Vamos a cerrar un poquito para que se vea mejor
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Vamos a coger y vamos a poner un punto aquí
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Otro punto aquí y otro punto aquí
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Y lo que vamos a hacer ahora es poner otro punto en objeto aquí
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Con estos puntos ya vamos a tener definida toda la estructura.
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Vamos a establecer primero una recta, la primera de las rectas que va a pasar por este punto y por este.
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Y ahora las otras dos rectas van a ser paralelas a esta que acabamos de construir.
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Para ello nos vamos aquí a recta paralela, decimos que sea paralela a esta y que pase por aquí, que sea paralela a esta y que pase por aquí.
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Vale, vemos que la construcción ahora se mueve bastante bien
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Podemos abrir y cerrar, podemos desplazar este punto, podemos desplazar este punto y podemos desplazar este punto
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El teorema de Tales ya lo tenemos
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Lo que dice el teorema de Tales es que los segmentos que determinan rectas paralelas sobre dos rectas que son convergentes van a ser proporcionales
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Vamos a ver qué segmentos se nos han determinado
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Pues se nos han determinado, por ejemplo, de aquí a aquí y este segmento que vemos aquí lo vamos a cambiar de nombre y lo vamos a llamar, dejamos abierta esta ventana para poder trabajar mejor y lo vamos a llamar A.
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El segmento correspondiente en el otro lado, bueno lo que queremos que se vea de este segmento A
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Pues no solo el nombre sino incluso el nombre y el valor para tener ahí su longitud
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Bueno vemos que solo está tomando GeoGebra una cifra decimal, esto lo podemos cambiar
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Vamos aquí en las opciones, en configuración, el redondeo está a 2 pero vamos a ponerle por ejemplo a 4
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Y veis, ya aparece que el número A tiene cuatro cifras decimales
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Bueno, vamos a definir ahora el segmento correspondiente en la otra recta, que sería el A'
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Utilizamos la herramienta segmento, aquí y aquí
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Y ahora veis este, que se llama K, pues vamos a ponerle como nombre A' para que se corresponda con el anterior
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A y la prima que se pone debajo de la interrogación
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como etiqueta queremos que se vea no solo el nombre
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sino el nombre y el valor, y el nombre no me lo ha cogido
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vamos a llamarlo A' y le doy a intro para que se le traiga
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vale, pues ya tenemos entonces el A y el A'
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podemos incluso cambiar los colores a eso
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pero bueno, luego lo hacemos ya todo seguido, vamos a definir ahora el otro
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segmento que se ve, por ejemplo que es este
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el que vamos a llamar nosotros ahora
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segmento B, le ponemos nombre B
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le damos a intro para que coja el valor y ponemos
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nombre y valor, aquí tenemos al segmento B
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vamos a definir ahora el segmento B'
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pero no puedo definir el segmento porque no tengo el punto de intersección
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pues vamos a ello, ponemos la intersección entre
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esta recta y esta, y ya que estamos, hacemos entre esta y esta. Ahora sí, podemos definir
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este segmento B' que va desde aquí hasta aquí. ¿Veis? Aquí se llama K, pues en las
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propiedades lo vamos a llamar B' y vamos a hacer que sea visible su etiqueta, pero
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con nombre y valor. Vamos con el segmento C, que va de aquí a aquí. Otra vez le pone
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como nombre K, pues nosotros lo vamos a llamar C y vamos a hacer que sea visible su nombre
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y su valor. Ahí tenemos entonces que mide 2,63. Otra vez hacemos el segmento C' que
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va de aquí a aquí. Le cambiamos las propiedades y hacemos que se llame C' y como etiqueta
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vamos a hacer que coja nombre y valor. Vale, ya tenemos definidos los segmentos que serían
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los que van a definir la proporcionalidad. La idea es que si dividimos el A entre el
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A', el B y entre el B' y C entre C', lo que nos va a salir es lo mismo, va a salir
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una constante. Vamos a comprobarlo escribiendo los textos adecuados para que se vea lo que
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estamos diciendo. Escribimos aquí. A ver, vamos a necesitar las fórmulas látex, que
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es la manera de escribir que tenemos en matemáticas. Vamos a decir una fracción, es aquí a, y
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nosotros queremos a entre a'. Eso va a ser, veis, y aquí se está viendo que hemos puesto
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A partido por A'. Vamos ahora a hacer los cálculos de verdad con los objetos de GeoGebra.
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Otra vez la fracción, pero ahora en vez de A vamos a poner el objeto A, que tenemos que buscarlo aquí y está ahí.
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A y vamos a hacer que sea partido por el objeto A'. Vemos en la vista previa que vamos bien, estamos dividiendo las dos longitudes.
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y ahora vamos a hacer que efectúe la cuenta
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para ello vamos a poner un objeto vacío, una casilla vacía
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y dentro vamos a escribir A partido por A'
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y ahora vemos en la vista previa que efectivamente está realizando la cuenta
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le damos a ok y aquí tenemos el texto que nos dice que A partido por A' sale 1,1108
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Pues veis que podemos mover los puntos
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Si nos deja, no nos deja
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A ver, elijo aquí, elige y mueve
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Y ahora sí, vemos cómo van cambiando los valores
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Vale, vamos a hacer lo mismo
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Pero con el B'
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A ver si nos dejara duplicar
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Podríamos hacerlo
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A ver, podemos cambiar aquí directamente
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A ver si nos deja
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Ponemos aquí una B, aquí una B' y seguimos rellenando aquí
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Pues no, no se ve claro
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Vamos a hacerlo entonces a la manera
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Esto lo eliminamos porque no se ve nada
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Borramos, vamos a hacerlo igual que hemos hecho antes
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Texto y escribimos, a ver, avanzado, fórmula látex, fórmula látex, fracción
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Y aquí en vez de A sería una B, en vez de B sería B'.
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Ahora, igual, ponemos la fracción y ahora es cuando ponemos los objetos de GeoGebra.
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Vamos a poner aquí el objeto B, lo buscamos, B, aquí ponemos el objeto B', le damos a igual, ponemos la casilla vacía y ponemos ahora B partido por B'.
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Vamos a OK y vemos que efectivamente funciona
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El teorema de Thales es cierto
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Al dividir B entre B' obtenemos el mismo valor que obtuvimos al dividir A entre A'
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Vamos a hacer lo mismo con el C y C'
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Pues otra vez, fórmula látex, avanzado
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Fórmula látex, la fracción
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Ponemos aquí la C
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Aquí ponemos la C'
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prima, le damos a igual, otra defracción y ahora escribimos los objetos de GeoGebra
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c y c prima, tocamos aquí, cogemos el objeto c, uy este no es, lo podemos arreglar poniendo
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aquí la prima y aquí es donde vamos a poner entonces el c, veis tenemos c partido por
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c' y ahora hacemos las cuentas, hacemos c dividido por c' le damos a ok y lo tenemos
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c partido por c' efectivamente también es lo mismo, es 1,1431, a ver si esto se mantiene
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vamos a mover, movemos el ángulo y vemos que se mantiene, movemos este punto y vemos
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que el cociente también se mantiene, movemos este, movemos este, todo parece que funciona
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bien, lo ponemos así más bonito y ahora lo que nos gustaría quizás es ponerle los
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mismos colores a los segmentos que se corresponden, pues para ello vamos a abrir la ventana de
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configuración y en el A, pues vamos a coger el color, por ejemplo, rojo. Y ahora lo mismo
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para el A', también vamos a poner el color rojo. Y para este texto, pues también vamos
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a poner el color rojo. Con el B, podemos utilizar la selección múltiple, B, B', no, no me
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deja. Entonces, cogemos, por ejemplo, el color verde. Para el B', pues también el color
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verde y para el texto de B partido por B', color verde. De igual manera, para el C, escogemos
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color azul. Para el C', el mismo color azul y para este texto, el mismo color azul. Las
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rectas también podemos ponerlas de otros colores. Por ejemplo, esta la podemos poner
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en color morado, esta que sería parecida la ponemos en color morado y esta debería
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ser roja porque es la que determina el segmento A, esta debería ser verde porque es la que
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determina el segmento B y B' y esta debería ser azul. Y ya solo nos queda cambiar en este
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objeto pues vamos a poner básico vamos a poner un roto y lo vamos a poner por ejemplo desliza
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me mueve para que se vea que se abre y le vamos a cambiar el color para que sea más bonito le
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ponemos este rosa así incluso lo ponemos pues más grande aquí lo dejamos estar vale pues esta sería
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entonces la construcción que nosotros hemos hecho del teorema de Tales
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y que efectivamente comprobamos que este teorema es cierto
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bueno, ahora os tocaría construirlo vosotros
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a ver si os sale bien y podéis visualizar vosotros mismos este teorema de Tales
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que a veces nos cuesta tanto entender en la teoría
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- 22 de noviembre de 2018 - 20:14
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