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T5 - ej 188 al 202 - Contenido educativo

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Subido el 13 de diciembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Hola, en este vídeo vamos a ver más ejercicios de integrales, ¿vale? 00:00:00
De la 188 al 202 del libro. 00:00:04
Venga, empezamos con la 188. 00:00:07
A primera vista nos puede parecer una integral muy complicada, 00:00:10
pero sin embargo es una integral inmediata, 00:00:13
ya que lo que tenemos justamente es la raíz de una función 00:00:15
y arriba en el numerador, o sea, en el denominador, 00:00:19
tenemos la raíz cuadrada de una función. 00:00:21
Y en el numerador lo que tenemos es justamente la derivada, 00:00:24
salvo un signo, del radicando. 00:00:27
Es decir, que esto justamente es la función de la que viene, la primitiva, es la raíz de 1 menos elevado a x, 00:00:29
que es lo único que me falta arriba para tener la derivada del radicando, el menos. 00:00:38
Por lo tanto, lo único que tengo que poner es un menos delante y ya tendríamos el más k. 00:00:42
Es así de inmediata. 00:00:47
La 189, sin embargo, no es inmediata y la vamos a hacer utilizando un cambio de variable. 00:00:49
Vamos a llamar t ae elevado a x, por lo tanto x es el logaritmo neperiano de t y diferencial de x será 1 partido por t diferencial de t. 00:00:56
¿Vale? Sustituimos en la integral estos cambios y me queda 1 partido de 1 menos t, el diferencial de x, esta tengo la sensación de que esta la hemos hecho un montón de veces, 1 partido por t, diferencial de t, ¿verdad? 00:01:12
Esta la he hecho en un vídeo anterior. Bueno, da igual, la volvemos a hacer. Es un producto, o sea, es una función racional, ¿vale? Porque esto lo podríamos poner como 1 partido de 1 menos t por t, diferencial de t. 00:01:36
Las raíces del denominador son 1 y 0, por lo tanto van a ser fracciones simples, así que lo que hacemos es dividir el 1 partido por 1 menos t, t, lo vamos a poner como una suma de dos fracciones, a partido por 1 menos t más b partido de t. 00:01:55
Y esto es a por t más b por 1 menos t, todo dividido por 1 menos t por t. 00:02:16
Y de aquí lo que sacamos es, sacamos que 1 es lo mismo que a por t más b por 1 menos t por lo de siempre, 00:02:29
para que dos fracciones sean iguales, tienen que tener el mismo, en este caso como tienen el mismo denominador, 00:02:41
tienen que tener el mismo numerador. 00:02:46
Ahora sustituimos las raíces, que hemos dicho que eran 1 y 0, si t es 0, lo que obtenemos es 1 igual a b, 00:02:48
y si t es 1, lo que obtenemos es que 1 es igual a a, ¿vale? 00:02:59
Por lo tanto, esta integral será integral de, a ver, a partido, a es 1, partido de 1 menos t, más b, que es 1, partido de t, diferencial de t. 00:03:05
Y esta, sustituyo, sigo aquí abajo, es igual a logaritmo neperiano de 1 menos t, más logaritmo neperiano de t, ¿vale? Más k. 00:03:24
Vale, creo que en el otro caso no salía, digamos, la misma integral, pero sin hacer un cambio de variable. 00:03:43
Es un cambio de variable, tenemos que volver a poner, o sea, tenemos que quitar, deshacer el cambio, ¿no? 00:03:49
Lo que se llama, en lugar de t necesitamos x, luego esto se me va a quedar como logaritmo neperiano de 1 menos e elevado a x, 00:03:55
más el logaritmo neperiano de e elevado a x más k. 00:04:04
Y bueno, ¿quién es el logaritmo neperiano de elevado a x? 00:04:11
pues eso es justamente x, ¿vale? Luego esto me queda logaritmo neperiano de 1 menos elevado a x más x más k, ¿vale? 00:04:15
Venga, seguimos con el 190. Es un cociente, o sea, una función racional, un cociente de polinomios. 00:04:27
Tienen el mismo grado, así que hacemos la división. 2x lo divido entre x menos 1. 00:04:33
2x entre x es 2, 2 por menos 1 es menos 2, por lo tanto aquí quedaría el 2, 00:04:40
el más 2 y sería 2 por x, 2x, luego el menos. 00:04:46
Se me va y me queda directamente un 2, ¿vale? 00:04:51
Os recuerdo la fórmula, que el dividendo partido por divisor es lo mismo que cociente más el resto partido de divisor. 00:04:53
Por lo tanto esto me queda la integral del cociente que es 2 más el resto que es 2 partido del divisor que es x menos 1 00:05:03
Diferencial de x y ahora ya todo esto es inmediato 00:05:12
Esto es la integral de 2 es 2x más la siguiente integral, siguiente sumando es un logaritmo neperiano 00:05:15
Luego es 2 por el logaritmo neperiano de valor absoluto x menos 1 más k 00:05:22
vale, ya he escrito el 191 00:05:29
el 191 pues también es inmediata, ¿verdad? 00:05:33
porque ¿qué tenemos? 00:05:37
es una función racional 00:05:38
pero resulta que en el numerador 00:05:40
tenemos la derivada del denominador 00:05:41
que siempre lo tenemos que mirar 00:05:43
es la derivada salvo un 2 00:05:45
por lo tanto esto es una integral inmediata 00:05:47
no es otra cosa que un logaritmo neperiano 00:05:49
del x cuadrado más 1 00:05:51
¿qué es lo que me falta para tener 00:05:53
exactamente toda la derivada? 00:05:55
el 2, pues lo divido entre 2 00:05:57
más k 00:05:59
venga, vamos a seguir con la 192 00:06:00
que es también inmediata 00:06:06
porque es lo que tengo, una fracción 00:06:08
pero en el numerador tengo la derivada del denominador 00:06:10
luego esto no es otra cosa que 00:06:12
un logaritmo en el periano 00:06:14
de x más 1 00:06:15
más k, vale 00:06:17
la 193 es también 00:06:20
muy sencillita, es la integral 00:06:22
de un polinomio, por lo tanto son funciones potenciales 00:06:24
luego esta es x quinta 00:06:26
partido de 5, menos aquí directamente x cuarta, ya tenemos el 4 delante, 00:06:28
más x3 partido de 3, más, y aquí lo mismo, el 6 es 3 por 2, ¿vale? 00:06:35
Pues ya directamente quito el 2 y esto me queda simplemente el 3x cuadrado, ¿de acuerdo? 00:06:42
Y me falta la K de siempre. 00:06:48
La 194 es una función racional, pero el denominador es más pequeño, 00:06:51
El grado del denominador es más pequeño que el del numerador, se puede dividir y como además es simplemente x, divido cada uno de los sumandos por x y me quedaría x menos 3 más 2 partido por x, diferencial de x. 00:06:56
Uy, me he comido aquí el de x, ¿vale? No me he dado cuenta, me he comido aquí como siempre un de x, en la siguiente también me he comido aquí el de x, ¿vale? 00:07:11
¿Vale? Venga, pues esta integral es inmediata también como la anterior, esta es x cuadrado partido por 2 menos 3x más 2 y lo que tengo que es 1 partido por x es el logaritmo neperiano de x más k, ¿vale? Esas tres serán inmediatas. 00:07:21
Venga, vamos con la 195. La 195 es un cociente de fracciones, ¿vale? El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, por lo tanto podemos dividir. 00:07:40
4x cuadrado más 3x menos 9, lo divido entre x más 2. 00:07:54
Me queda primero 4x, 4 por 2 son 8x, menos 8x, 4x por x, 4x cuadrado, 00:08:04
así que ponemos el opuesto, menos 4x cuadrado. 00:08:13
Se me va, aquí me queda menos 5x, menos 9. 00:08:16
Menos 5x entre x, esto es un menos 5 00:08:20
Menos 5 por 2 es menos 10 00:08:23
Opuesto más 10 00:08:26
Menos 5 por x, menos 5x 00:08:27
Opuesto 5x 00:08:30
Se me va y me queda de resto 1 00:08:31
¿Vale? 00:08:34
Os recuerdo otra vez la fórmula 00:08:35
Dividendo partido por divisor 00:08:37
Es cociente más el resto partido del divisor 00:08:40
Y entonces esta integral me queda cociente 00:08:44
4x menos 5 00:08:47
más el resto que es 1 partido del divisor que es x más 2, ¿vale? 00:08:49
Diferencial de x. 00:08:57
En este caso la última fracción que me queda es también un logaritmo 00:08:58
ya que la derivada de x más 2 es directamente 1. 00:09:01
Luego me queda todo inmediato, la integral de 4x es 2x cuadrado 00:09:05
de menos 5 es menos 5x 00:09:09
y como he dicho la última fracción es el logaritmo neperiano de x más 2. 00:09:12
Todo esto, como siempre, más k 00:09:18
Vamos con el 196 00:09:21
Es un cociente, una función racional, un cociente de polinomios 00:09:24
Mismo grado, por lo tanto podemos dividir 00:09:27
Pues dividimos x cuadrado más x más 2 00:09:30
Entre el x cuadrado menos 1 00:09:34
Me queda 1 y que me quedaría 1 por menos 1 es menos 1 00:09:38
Por lo tanto, más 1, 1 por x cuadrado, x cuadrado opuesto, menos x cuadrado. 00:09:43
Sumando me queda x más 3, ¿vale? 00:09:49
Y aplicamos la fórmula, esto será igual, no la escribo, la acabo de escribir antes, 00:09:53
cociente que es 1 más el resto que es x más 3, 00:09:59
dividido entre el divisor que es x cuadrado menos 1, diferencial de x. 00:10:04
¿Qué ocurre? Que la fracción que tengo ahora no es inmediata, o sea, no tenemos arriba la derivada del denominador. 00:10:13
Por lo tanto, tenemos que aplicar el método de fracciones simples. 00:10:22
x cuadrado menos 1 se ve a ojo, ¿verdad? Sabemos que x cuadrado menos 1, lo voy a quitar de aquí para que se vea un poco. 00:10:27
esta es la primera parte, ahora lo que hacemos es que el x cuadrado menos 1 00:10:37
es la suma por diferencia, ¿verdad? es x más 1 por x menos 1 00:10:42
fijaos lo que os he dicho antes también, el coeficiente del x es 1, ¿vale? 00:10:47
si hubiéramos calculado las raíces, como el coeficiente es 1, se nos hubiera quedado de esta manera 00:10:51
y de aquí lo que nosotros sabemos es que las raíces son x igual 1 y x igual a menos 1 00:10:56
Por lo tanto, x más 3, la fracción que tenemos entre x cuadrado menos 1, lo vamos a escribir como a partido por x más 1 más b partido por x menos 1. 00:11:02
Operamos y esto me queda a por x menos 1 más b por x más 1, fijaos que siempre hacemos lo mismo, ¿vale? 00:11:20
entre x más 1, más 1, por x menos 1. 00:11:27
Igualamos las fracciones y entonces lo que me queda es x más 3, es lo mismo que a, 00:11:36
no es que igualemos las fracciones, es lo que siempre digo, ¿vale? 00:11:42
Para que dos fracciones sean iguales, como tienen el mismo denominador, 00:11:45
tienen que tener el mismo numerador, entonces igualamos los numeradores, más b por x más 1. 00:11:49
Para calcular el a y el b sustituimos en las raíces cuando x es 1, lo que me queda es 1 más 3 es 4, el a se me va porque es 0 y me queda 2b, por lo tanto b es 4 entre 2, 2. 00:11:56
y si la x vale menos 1, aquí me queda 1, menos 1 más 3 es 2 00:12:12
y aquí me quedaría menos 2a y la b se me iría 00:12:19
y me queda que la a es 2 entre menos 2, es decir, menos 1. 00:12:23
Por lo tanto vuelvo a mi integral inicial y aquí me queda que esto es la integral de 1 00:12:29
también la podríamos haber hecho, pero bueno, más a que es menos 1 00:12:35
partido por x más 1 más b que es 2 partido por x menos 1 diferencial de x y ya hemos dicho que 00:12:40
estas dos integrales son inmediatas vale y aquí que es lo que me quedaría bueno las dos integrales 00:12:51
quiere decir la integral son una suma de tres que son todas inmediatas x menos logaritmo neperiano 00:12:57
de x más 1, observar que su derivada es justamente 1, más 2 logaritmo neperiano de x menos 1 más k. 00:13:03
Venga, pues ahora vamos con el 197, tenemos un producto de una función potencial por una exponencial, 00:13:17
obviamente lo que tenemos no es la derivada del exponente, así que lo que parece bastante claro 00:13:24
es que lo que tenemos que hacer es aplicar el método de integración por partes, 00:13:29
ya que lo que tenemos también es un producto, llamamos u al x cuadrado más 5 y entonces el diferencial de u será 2x diferencial de x 00:13:32
y vamos a llamar diferencial de v a elevado a menos x diferencial de x y entonces la v va a ser ella misma con el menos de la derivada del exponente 00:13:45
elevado a menos x 00:13:59
¿vale? 00:14:01
bien, pues aplicamos la integración por partes 00:14:03
escribo la fórmula aquí para recordarosla 00:14:05
si tenemos la integral de u diferencial de v 00:14:10
esto es u por v 00:14:13
menos la integral de v diferencial de u 00:14:16
¿vale? 00:14:21
bien 00:14:23
pues aquí me queda ahora u por v menos 00:14:24
voy a poner delante el menos 00:14:27
menos x cuadrado más 5 por elevado a menos x, ¿vale? 00:14:28
Menos la integral de v diferencial de v, es decir, el menos que tenemos de la v, 00:14:35
este de aquí, lo voy a transformar aquí en más, y me quedaría 2x por elevado a menos x diferencial de x, ¿vale? 00:14:42
Todavía no nos queda una integral inmediata, tenemos que volver a aplicar la integración por partes, ¿vale? 00:14:52
Bueno, pues hacemos lo mismo, u lo voy a llamar, voy a llamarle 2x y entonces diferencial de u es 2 diferencial de x y mi diferencial de v va a ser la misma de antes, la e elevado a menos x, diferencial de x y entonces la v va a ser menos e elevado a menos x. 00:14:58
Y aquí sustituimos, aplicamos otra vez la fórmula y me queda menos lo que teníamos, el x cuadrado más 5 por e elevado a menos 5. 00:15:23
Y había cambiado el signo porque ahora para poder directamente poner la fórmula con el más sin poner paréntesis sería u por v, 00:15:35
que sería 2x por menos e elevado a menos x menos la integral de v diferencial de u. 00:15:42
Como tengo otra vez el menos de la v, lo voy a poner aquí más y me queda 2e elevado a menos x diferencial de x. 00:15:54
¿Vale? Y esto vamos a bajarlo aquí abajo, a ver si me quiere seguir escribiendo, esto sería menos x cuadrado más 5 por elevado a menos 5, ahora pongo aquí el menos 2x por elevado a menos x, ¿vale? 00:16:05
He cogido este menos de aquí, es lo que he cogido, y ahora ¿qué tengo? 00:16:27
Ahora ya sí que tengo una integral inmediata, ¿y esto qué sería? 00:16:31
Sería un menos, porque me falta de antes, ¿vale? 00:16:36
Menos 2 por elevado a menos x, es la integral que he estado haciendo todo el tiempo, más k. 00:16:38
Y podemos sacar, uy, aquí he puesto elevado a menos 5, ¿y por qué he puesto elevado a menos 5? 00:16:46
Esto se me fue la pinza antes. 00:16:52
Supongo que cuando lo puse en el vídeo vosotros os daríais cuenta de que no sé por qué estaríais diciendo 00:16:55
¿y por qué pones elevado a menos 5? Pues eso, porque se me fue la pinza. 00:17:02
Es elevado a menos x todo el tiempo, ¿vale? 00:17:07
Elevado a menos x, porque ahora lo que voy a hacer es sacar factor común al elevado a menos x 00:17:10
Y me queda que multiplica a menos x cuadrado menos 5 menos 2x menos 2, ¿vale? 00:17:16
Estoy cogiendo todos los coeficientes más k. 00:17:29
Y operamos un poquito el paréntesis y me queda que esto es elevado a menos x por menos x cuadrado menos 2x menos 7 más k. 00:17:33
Venga, seguimos con el 198 que es una integral inmediata porque lo que tenemos es una función potencial, ¿verdad? 00:17:48
Esto lo puedo poner como si fuera la integral de 16 por x más 1 elevado a menos 2 diferencial de x y la derivada del x más 1 es directamente 1. 00:17:59
Luego esto es 16, la constante, y el x más 1 elevado a menos 2 más 1, y en el denominador, menos 2 más 1 más k. 00:18:10
Luego esto va a ser igual, el denominador es menos 1, así que me queda un menos 16, y ya lo voy a bajar directamente porque me quedaría elevado a menos 1, que es lo mismo que partido de x más 1, más k. 00:18:24
¿Vale? 00:18:38
Bien, el 199, pues es otra integral inmediata. 00:18:40
¿Quién es? La hemos hecho antes. 00:18:44
Esta es menos elevado a menos x, más k. 00:18:46
Se repiten mucho las del libro. 00:18:50
Y venga, vamos con la 200. 00:18:53
El ejercicio 200, pues ¿qué vamos a tener que hacer? 00:18:56
Pues en el 200 es una integración por partes. 00:18:59
Tenemos un no es inmediata, porque la derivada de 2x no es x, es 2. 00:19:01
Por lo tanto, hacemos una integración por partes. 00:19:06
Entonces vamos a llamar u a x, diferencial de u va a ser diferencial de x y diferencial de v va a ser elevado a 2x, diferencial de x, por lo tanto v va a ser elevado a 2x ella misma pero me falta la derivada del exponente que es 2 así que lo dividimos entre ella. 00:19:08
Y ahora aplicamos la fórmula u por v, es decir, x por e elevado a 2x partido por 2 menos la integral de v diferencial de u, es decir, de e elevado a 2x partido por 2 diferencial de x. 00:19:31
que ahora esta sí que es otra vez una integral inmediata, y entonces aquí ¿qué es lo que me queda? 00:19:57
x por e elevado a 2x, todo partido por 2, menos e elevado a 2x, ella misma, tendríamos que dividirla por el 2 que tengo, 00:20:01
y este otro 2 del exponente, luego me queda dividido entre 4, más k. 00:20:13
Y si queremos, sacamos un factor común al e elevado a 2x, de hecho podríamos sacarlo también partido de 2, 00:20:19
pero bueno, elevado a 2x y me quedaría que multiplica a x medios menos un cuarto más k, ¿vale? 00:20:27
Este sería el 200. 00:20:37
Venga, el 201 me pide en la integral, ya que tenemos una trigonométrica, x por coseno de x cuadrado, 00:20:39
pero nos tenemos que dar cuenta que es inmediata, porque ¿quién es la derivada de x cuadrado? 00:20:45
La derivada de x al cuadrado es 2x y aquí tengo una x, ¿vale? 00:20:51
Por lo tanto, tengo la integral del coseno de una función y tengo la derivada de esa función. 00:20:55
Luego esto va a ser directamente el seno de x al cuadrado, 00:21:01
en la que la única que me falta es el 2 para que fuera directamente su integral, ¿vale? 00:21:06
Más k, perdón, su derivada. 00:21:11
Venga, en el ejercicio 202 lo que me piden es calcular esa integral 00:21:15
y me están dando además el cambio que tengo que hacer. 00:21:18
¿Vale? Hay veces que en los enunciados directamente me dicen el cambio y lo que me están diciendo es que resuelva esa integral haciendo el cambio t igual a elevado a x, ¿vale? 00:21:21
Y que luego de entre todas las primitivas calcule el valor de la constante, de la constante k, para que pase por el origen de coordenadas. 00:21:32
Venga, vamos a ir primero, vamos a hacer primero el cambio de variable. 00:21:40
Si t es igual a elevado a x, sabemos que entonces x es el logaritmo neperiano de t 00:21:43
y que por lo tanto diferencial de x será 1 partido por t diferencial de t. 00:21:49
Venga, pues ahora vamos simplemente a sustituir. 00:21:56
Esto va a ser igual. 00:21:59
La integral es 2x y me han dicho que haga el cambio elevado a x. 00:22:01
Bueno, pues esto es lo que significa. 00:22:07
O sea, si t es igual a elevado a x, sabemos que elevado a 2x es lo mismo que elevado a x al cuadrado, ¿verdad? 00:22:08
Por lo tanto, esto es lo mismo que si fuera t cuadrado. 00:22:18
Por lo tanto, aquí me queda t cuadrado por el seno de t. 00:22:21
Y ahora tengo que multiplicar por derivada diferencial de x, de x, que es 1 partido de t, diferencial de t. 00:22:28
¿Vale? 00:22:36
¿Y esto cuánto va a ser? 00:22:37
Pues esto va a ser la integral de t por el seno de t diferencial de t. 00:22:38
Vale, ¿y esta cómo lo vamos a hacer? 00:22:48
Pues a ver, es un producto, tengo una t que sé que su derivada es 1 00:22:50
y tengo un seno que sé integrar y derivar fácilmente. 00:22:55
Bueno, pues ahora vamos a hacer un cambio de variable. 00:22:59
¿Vale? 00:23:02
Vamos a llamarle u a t. 00:23:03
cuando lo quiera escribir y por lo tanto diferencial de u será diferencial de t 00:23:05
y vamos a llamar diferencial de v al seno de t, diferencial de t 00:23:12
y por lo tanto mi v va a ser el menos coseno de t, ¿vale? 00:23:20
Venga, pues aplicamos la integración por partes, u por v, es decir, menos t coseno de t 00:23:28
menos la integral de v diferencial de u. 00:23:37
Como tengo un menos, voy a quitarlo, o sea, tengo este menos del menos coseno de t, 00:23:44
lo voy a sumar aquí y me queda coseno de t diferencial de t. 00:23:50
¿Vale? Y veis que ahora ya es todo inmediato. 00:23:56
Me queda el menos t coseno de t más, ¿quién es la integral del coseno de t? 00:23:58
¿Qué función tiene por derivada el coseno de t? Pues el seno de t. 00:24:05
diferencial, ui, no, diferencial de t, no, seno de t más k, ¿vale? 00:24:08
Y ahora, ¿qué tenemos que hacer? Deshacer el cambio, porque hemos empezado con un cambio de variable, ¿vale? 00:24:19
Pues esto, ¿quién va a ser? Hemos dicho que la t era e elevado a x, pues esto me queda menos e elevado a x, 00:24:25
coseno de elevado a x más el seno de elevado a x más k. 00:24:31
¿Qué me estaban pidiendo en el segundo apartado? 00:24:44
Os he dicho que lo que me estaban pidiendo es calcular el valor de k, ¿vale? 00:24:46
De alguna manera lo que me están pidiendo, calcular el valor de k para que pase, ¿vale? 00:24:50
Para que pase por el origen de coordenadas. 00:24:58
¿Quién es el origen de coordenadas? El punto 0, 0. 00:25:00
Venga, pues entonces, si a esta función, que es lo que yo acabo de calcular, esta integral, le llamo f de x, 00:25:05
lo que nosotros queremos de aquí es que f de 0 sea 0. 00:25:14
Bueno, pues vamos a imponerlo. 00:25:23
¿Quién es f de 0? 00:25:26
Bueno, pues a ver, sustituimos menos e elevado a 0, que es 1, por el coseno elevado a 0, sigue siendo 1, por tanto sería por el coseno de 1, más el seno de 1 más k. 00:25:27
Y queremos que esto sea 0 00:25:46
Bueno, pues de aquí sacamos 00:25:50
Que cuánto tiene que valer k 00:25:52
Pues k tiene que ser igual 00:25:54
Al coseno de 1 00:25:57
Menos 00:25:59
El seno de 1 00:26:01
¿Vale? 00:26:03
Y lo dejaríamos así 00:26:05
No hace falta 00:26:07
A ver si queréis tirar de calculadora 00:26:08
Pero lo podemos dejar así tranquilamente 00:26:10
¿Vale? 00:26:13
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
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    • Segundo Curso
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Fecha:
13 de diciembre de 2025 - 23:22
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
26′ 14″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
61.53 MBytes

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