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4.- Ejemplo de ejercicios con Logaritmos (ii) - Contenido educativo

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Subido el 6 de octubre de 2023 por Marta P.

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Vamos a ver ahora unos ejemplos en los que ya no aplicamos tanto la definición de logaritmo 00:00:00
como, aunque sí que puede aparecer también, pero aplicamos más las propiedades de los logaritmos. 00:00:05
Ya hemos visto las propiedades antes, nos las vamos a poner aquí un poco de chuleta. 00:00:11
Sabemos que el logaritmo en base a de a es 1, que el logaritmo en base a de 1 es 0, 00:00:15
que el logaritmo en cualquier base de un producto es el logaritmo de x más el logaritmo de y, 00:00:23
que el logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos y también que el logaritmo de 00:00:29
una potencia es el exponente, el exponente por el logaritmo de la base y luego también conocemos 00:00:40
el cambio de base. Si yo tengo un logaritmo en base a de x y quiero pasarlo a base b, 00:00:49
pues el logaritmo en base b de x dividido entre el logaritmo en base b de a. 00:00:55
Entonces teniendo todo esto en cuenta, lo que vamos a hacer ahora es unos ejemplos para que 00:01:06
veáis. Imaginaos que nos piden que calculemos el valor de x en estos casos. Me dicen que calcule 00:01:12
x en esta expresión. 2 logaritmo de x menos logaritmo de 4 igual a 2 logaritmo de 3. Bueno, 00:01:19
aquí tengo todas las propiedades, las voy llamando 1, 2, 3, 4, 5 y 6 para hacer referencia a ellas. 00:01:30
Entonces se trata de ir dejando un único logaritmo. ¿En el primer paso? Pues en el 00:01:38
primer paso puedo utilizar la propiedad, estoy viendo aquí números multiplicando logaritmos, 00:01:43
números multiplicando logaritmos, pues puedo utilizar esta propiedad. Ahora lo que ocurre es 00:01:48
que esta propiedad la voy a observar de derecha a izquierda. Tengo esto y voy a llegar a esto, 00:01:54
¿vale? Entonces aquí 2 logaritmo de x es lo mismo que logaritmo de x al cuadrado, 00:02:01
aplicando esta propiedad y mirándola, ya digo, de derecha a izquierda. Menos logaritmo de 4, 00:02:10
esto lo dejo como estaba, vamos a ponerlo bien, logaritmo de 4 y aquí de nuevo vuelvo a aplicar 00:02:15
la propiedad 5, ¿vale? Vuelvo a aplicar aquí la propiedad 5 y esto es el logaritmo de 3 al 00:02:22
cuadrado. Ahora veo que aquí tengo una resta, bueno, pues si tengo una resta y estoy mirando, 00:02:32
como digo, de derecha a izquierda, pues sería la propiedad 4. La propiedad 4 lo que me dice es que 00:02:38
la resta del logaritmo es el logaritmo del cociente. 00:02:44
Una vez que me encuentro en este punto, ya puedo asegurar que si el logaritmo de una expresión es 00:02:50
igual al logaritmo de otra expresión, necesariamente es que esas dos expresiones son la misma, ¿vale? 00:02:59
Es decir, x al cuadrado más 4 es igual a 3 al cuadrado. Si el exponente, ¿vale? Si el exponente 00:03:06
de esta expresión es igual al exponente de esta expresión, para una misma base es que dichas 00:03:15
expresiones son la misma, ¿vale? Así que las puedo igualar, con lo cual x al cuadrado sería 4 por 9, 00:03:22
x al cuadrado sería 36, y luego x es 6, ¿vale? La raíz de 36 es 6. 00:03:33
No cojo el valor negativo. Ya sabéis, x al cuadrado igual a 36 daría los resultados más 6 y menos 6, 00:03:43
pero los valores que toma un resultado de una potencia de base positiva no pueden ser negativos, 00:03:48
así que sólo considero el valor positivo. A ver, vamos a ver un ejemplo más. 00:03:55
Si ahora me piden desarrollar expresiones de este tipo, por ejemplo, me dicen, 00:04:05
dada la expresión raíz de x por y partido de 5, calcula, sabiendo que el logaritmo en base 10 de x 00:04:15
es 2 con 3 y el logaritmo en base 10 de y es 1 con 2, ¿vale? Pues calcula el logaritmo de esta expresión. 00:04:28
Pues de nuevo vamos a aplicar las propiedades. Vamos a ir desde la operación más externa a la más interna. 00:04:44
Aquí en esta expresión la operación más externa es la raíz, es lo último que haría, ¿no? Yo primero haría 00:04:49
el producto de estos dos valores, lo dividiría entre 5 y luego haría la raíz. Luego la última operación que haría, 00:04:56
la operación más externa es la raíz. Así que teniendo eso en cuenta voy a recordar aquí de nuevo 00:05:02
las propiedades y voy a aplicar la propiedad de la potencia, porque la raíz es lo mismo que la potencia. 00:05:10
Entonces si aplico aquí la propiedad esta que decía que el logaritmo de x elevado a y es igual a y, 00:05:16
logaritmo de x, pues teniendo en cuenta que esto se puede escribir como el logaritmo de x y partido de 5 00:05:29
a su vez elevado a un medio, pues aplicando esta propiedad yo puedo escribirlo como un medio 00:05:36
del logaritmo de x y partido de 5. Ahora que tengo aquí, ¿cuál es la operación más externa? 00:05:45
Pues la operación más externa de esta expresión es el cociente. Si me acuerdo de cuál era la propiedad 00:05:54
del cociente de los logaritmos, yo decía x partido de y es el logaritmo de x menos el logaritmo de y. 00:05:59
Pues lo aplico un medio por logaritmo de x y menos el logaritmo de 5. 00:06:06
Ahora ya tengo aquí un logaritmo, tengo aquí un medio, pero tengo que extender esta expresión. 00:06:15
Luego voy a aplicar la propiedad aquella que me decía que el logaritmo de x por y es el logaritmo de x 00:06:22
más el logaritmo de y, luego tengo un medio, logaritmo de x más logaritmo de y menos logaritmo de 5. 00:06:28
Todo en base 10. Cuando es en base 10, pues normalmente no se pone el numerito aquí, si no lo sabéis de años anteriores. 00:06:36
Entonces ahora para calcularlo, pues bastaría coger la calculadora, ver cuánto da el logaritmo de 5 00:06:45
y luego sustituir aquí por 2 con 3, sustituir aquí con 1 con 2 y hacer las cuentas. 00:06:51
Autor/es:
Marta Pastor Pastor
Subido por:
Marta P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
46
Fecha:
6 de octubre de 2023 - 13:19
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LUIS DE GONGORA
Duración:
07′ 01″
Relación de aspecto:
0.75:1
Resolución:
1440x1920 píxeles
Tamaño:
28.48 MBytes

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