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Problema1 Gravitación - Contenido educativo

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Subido el 4 de abril de 2026 por Mario T.

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Como os he comentado, os voy a dejar esta serie de vídeos resolviendo los problemas del primer tema. 00:00:01
Vamos con el primero. 00:00:05
Nos dice que un planeta describe una órbita elíptica alrededor de una estrella de masa 2,34 por 10 a la 30 kilogramos. 00:00:07
La distancia mínima, o sea, la distancia del periastro entre el planeta y la estrella es 2,67 por 10 a la 12 metros 00:00:14
y el periodo de revolución de la estrella 7,43 años. 00:00:21
Si la velocidad mínima del planeta en la órbita es 8,61 por 10 elevado a 3 y ya nos preguntan cosas. Bueno, pues aquí tenemos información orbitalíptica, la masa de la estrella, la distancia del periastro y la velocidad en el apoastro. 00:00:25
Vamos a tener que utilizar la relación RA por VA igual a RP por VP. 00:00:43
Ya veremos cómo y en qué momento. 00:00:47
Y nos da el periodo 7,43 años. 00:00:49
Vamos a tener que utilizar la tercera ley de Kepler. 00:00:52
Y ahora también veremos cómo. 00:00:55
En el apartado A nos dice calcular la distancia máxima, o sea, la distancia al apoastro entre el planeta y la estrella. 00:00:57
Y la velocidad máxima, o sea, la velocidad en el periastro. 00:01:05
Bueno, pues vamos a ir poniéndonos con ello. 00:01:10
Aquí tenemos los datos del problema, la masa de la estrella, la distancia del periastro, el periodo pasado de años a segundos multiplicando por 365, por 24 y por 3600 y la velocidad en el apoastro, que es la que nos dan. 00:01:13
Entonces, en el apartado A nos piden RA y VP, ¿vale? 00:01:31
Nosotros sabemos que RA por VA es igual a RP por VP, ¿vale? 00:01:41
Entonces, conocemos que RA por VA es igual a RP por VP. 00:01:48
Pero aquí nos falta información, porque solamente conocemos VA y RP. 00:02:04
Entonces hay dos incógnitas, que es RA y es VP, así que de momento no lo podemos usar. 00:02:08
Pero también sabemos que, por ser elipse, el semieje mayor A será RA más RP partido de 2. 00:02:14
Pero estamos en las mismas, no tenemos A ni tenemos RA. 00:02:31
Pero la A, el semieje mayor, lo podemos obtener con la tercera ley de Kepler. 00:02:35
porque la tercera ley de Kepler nos relaciona el periodo al cuadrado 00:02:39
con el semieje mayor al cubo, así que vamos a empezar 00:02:43
a utilizar la tercera ley de Kepler para obtener A 00:02:47
obtenemos A con 00:02:50
la tercera ley de Kepler y nos ponemos a ello, entonces ahora lo que vamos a hacer 00:02:58
es escribir la ley de realidad universal y la segunda ley de Newton 00:03:09
en su formato vectorial 00:03:13
Que ahora enseguida lo vamos a quitar, pero debemos empezar siempre con vectores. 00:03:16
Luego ya, pues bueno, desaparecen. 00:03:26
Vale, escribimos ley de gravitación universal y segunda ley de Newton, usamos módulos e igualamos. 00:03:31
Y entonces nos queda GMM partido de R al cuadrado igual a M por aceleración centrípeta. 00:03:39
Las m se nos van porque sería la masa del planeta y ahora sabemos que la aceleración centrípeta es igual a v al cuadrado partido de r y v es igual a 2 pi r partido del periodo. 00:04:03
Entonces, sustituyendo, esto nos va a quedar así. 00:04:22
Ponemos aquí un punto y coma, gm partido de r al cuadrado va a tener que ser igual a 4pi al cuadrado r al cuadrado partido de t al cuadrado y por la r que ya tiene la aceleración centípeta. 00:04:27
Esta r con este cuadrado se nos va y ahora vamos a despejar la r. 00:04:45
Vale, la voy a dejar en primer lugar a la derecha, voy a pasar este r al cuadrado a este lado y luego ya la despejamos dejándola a la izquierda. 00:04:49
Entonces nos queda gm partido de 4pi al cuadrado y por t al cuadrado igual a r al cubo, porque este r al cuadrado pasa para acá y queda r al cubo. 00:05:01
Pues lo reordenamos, simplemente dejamos r³ igual a gm partido de 4pi al cuadrado, t al cuadrado que simplemente es reordenar por ser elipse. 00:05:17
Usamos a y tenemos que a³ es igual a gm partido de 4pi cuadrado, t cuadrado, o sea, a será igual a la raíz cúbica de gm partido de 4pi cuadrado y partido al cuadrado. 00:05:35
La g es un dato que nos dan aquí en el enunciado, ¿vale? 00:06:09
No lo he apuntado en los datos al inicio, pero es un dato que se nos va dando. 00:06:12
Entonces, ahora ya sustituimos todos los datos para obtener el semieje mayor. 00:06:18
Vamos a escribir aquí la raíz bien grande. 00:06:25
6,67 por 10 elevado a la menos 11 que es la g 00:06:28
por 2,34 por 10 00:06:33
elevado a 30 por el tiempo que son 00:06:36
2,34 por 10 elevado a 8 segundos 00:06:41
2,34 por 10 elevado a 8 segundos 00:06:45
y al cuadrado 00:06:52
y 4pi al cuadrado 00:06:54
Pues hacemos esto, vamos a meterlo en la calculadora, perdón, aquí me he comido el cubo. 00:06:59
Pues tenemos raíz cúbica y vamos poniendo los datos. 00:07:06
Estoy aquí 2,34 por 10 elevado a 8 al cuadrado, 4 por pi elevado al cuadrado. 00:07:15
Y esto nos sale un semieje mayor de 6, 6,00, así que pues dejamos 6 por 10 elevado a 11 metros. 00:07:21
Vale, pues ya tenemos el semieje mayor. Como nos piden el RA, pues de aquí despejamos RA para obtener el rey del apoastro. 00:07:31
Pues ahora el apoastro estará, o mejor, está en RA igual 2A menos RP, que ya lo despejamos directamente. 00:07:40
RA, 2 por 6 por 10 elevado a 11 menos el RP, que es 2,67 por 10 elevado a 11. 00:08:00
Pues 2,67 por 10 elevado a 11. 00:08:14
Y esto nos sale 9,33 por 10 elevado a 11 metros. 00:08:19
Pues con esto ya tenemos el rayo en el apoastro y ahora obtenemos la velocidad en el periastro. 00:08:33
Entonces la velocidad en rp será... 00:08:44
Y ya la escribimos directamente despejada de aquí. 00:08:52
Pasamos el rp dividiendo y sustituimos todo. 00:08:55
vp es ra por va partido de rp. 00:09:01
Entonces RA lo tenemos aquí calculado, el RP lo tenemos aquí, 2,67 por 10 elevado a 11, y el VA lo tenemos también. 00:09:08
Vamos a ir poniendo todos los datos. 9,33 por 10 elevado a 11 por 8,61 por 10 elevado a 3 metros por segundo y partido de RP que es 2,67 por 10 elevado a 11 metros. 00:09:20
Bueno, aquí no hace falta poner las unidades, lo he puesto por queda de carrera y lo he puesto, pero no es necesario. 00:09:49
Estoy haciendo la operación, 8,61 por 10 elevado a 3, partida de 2,67 por 10 elevado a 11. 00:09:59
Y esto nos sale que tiene una velocidad de 3,00, o sea, podemos 3 por 10, bueno, podría ser 3,0, pero 3,01. 00:10:06
Voy a ponerlo bien, porque en realidad los decimales... 00:10:17
Pues bueno, por poner 3,01 por 10 elevado a 4 metros partido por segundo. 00:10:21
Esta sería la velocidad que lleva el planeta en el periastro. 00:10:31
Y ya tenemos las dos cosas que nos pedían en el apartado A. 00:10:37
La velocidad en el apóstolo, perdón, la distancia en el apóstolo y la velocidad en el periastro. 00:10:41
Y ahora vamos a ver lo que nos piden en el apartado B. 00:10:45
Dicen que determinemos la velocidad del planeta cuando se encuentra a esta distancia de aquí, ¿vale? 00:10:50
A 5 por 10 a la 11 metros de la estrella. 00:10:57
Entonces, vamos a ver cómo lo hacemos. 00:11:03
La velocidad del planeta a una distancia que no es ni el periestro ni el apoastro. 00:11:09
nos dicen que el planeta está a 5 por 10 elevado a 11 metros. 00:11:13
Si pensáis en hacer algo similar a esto, 00:11:24
RA por VA igual a R por V, 00:11:30
es decir, en el periastro y en el apoastro estamos usando que 00:11:34
una posición, es decir, que la distancia del apoastro por la velocidad del apoastro 00:11:39
es igual a la distancia del periastro y la velocidad en el 00:11:44
periastro, pues lo hacemos lo mismo, solo que con otra distancia. Bueno, pues esto 00:11:47
no se puede hacer. ¿Por qué? Porque cuando tenemos periastro 00:11:51
o apoastro, ¿vale? Recordad que todo esto viene del momento angular, 00:11:56
que el momento angular es m, r, v 00:12:00
y realmente tiene aquí el seno de alfa, ¿vale? 00:12:04
Y en el apoastro y en el periastro el ángulo es 90 grados y el seno vale 1, por eso no está, no aparece por aquí. 00:12:08
Pero en otra posición que no sea ninguna de esas, ese ángulo ya no es 90 grados y el seno ya no sería 1, ¿vale? 00:12:16
Entonces no lo podemos utilizar, tenemos que ir por otro lado. 00:12:22
Y ese lado va a ser la energía mecánica, porque la energía mecánica es siempre igual en cualquier punto de la órbita, ¿vale? 00:12:27
Entonces, vamos a ver cómo utilizamos, cómo hacemos esto, ¿vale? 00:12:37
Entonces, usamos la energía mecánica porque es constante, ¿vale? 00:12:43
Entonces, por ejemplo, sabemos que la energía mecánica en el apoastro tendrá que ser igual a la energía mecánica en esta distancia r, 00:13:03
a la energía mecánica en la posición r, ¿vale? 00:13:12
Entonces, ¿cuál es la energía mecánica en el apoastro? Pues será la energía cinética en el apoastro más la energía potencial en el apoastro. 00:13:16
Y tendrá que ser igual a la energía mecánica en ese punto, que será la energía cinética en ese punto más la energía potencial en ese punto de R. 00:13:26
Vale, pues vamos a escribir la energía cinética y la potencial en cada caso. 00:13:38
En el apóstol la energía cinética va a ser un medio de m por la velocidad del apóstol al cuadrado menos gm, la masa del planeta, que es la m pequeña, partido de la distancia del apóstol. 00:13:44
Y esto tendrá que ser igual a un medio de la masa del planeta en la distancia r, esta al cuadrado, menos g por m, la masa de la estrella, la masa del planeta, y partido por la distancia r que nos están dando. 00:14:00
Lo primero que vemos es que esta m minúscula está en todos los términos, así que la m minúscula se nos va a anular en todos. 00:14:20
Es como sacar factor común en los dos lados y pasar la m dividiendo a uno de los dos lados y se va a anular. 00:14:29
Entonces, si nos fijamos, ya lo conocemos todo menos esta velocidad de aquí, que es la que nos piden. 00:14:36
Esta es la velocidad que queremos averiguar. 00:14:42
Va al cuadrado, la hemos obtenido, bueno, perdón, nos la dan en el enunciado directamente. 00:14:46
Ra lo hemos obtenido en el apartado anterior. 00:14:52
La g y la masa de la estrella, pues eso, dato conocido. 00:14:55
La r es la que nos están dando y solamente nos queda pues la v al cuadrado. 00:14:59
Entonces vamos a ir despejando esto de aquí poco a poco. 00:15:03
Lo primero que voy a hacer es pasar esto de aquí, de la energía potencial, al otro lado 00:15:07
para sacar los factores comunes que podamos. 00:15:14
Entonces tenemos 1 medio VA al cuadrado menos GM partido de RA. 00:15:17
Esto pasa sumando más GM partido de R igual 1 medio VR al cuadrado. 00:15:26
sacamos aquí este factor común gm 00:15:37
para dejarlo un poquitín más sencillo 00:15:41
y este 2 lo voy a pasar también multiplicando 00:15:44
pero eso lo voy a hacer en otro paso 00:15:47
va al cuadrado más 00:15:48
los voy a cambiar de orden 00:15:53
voy a poner primero el positivo y luego el negativo 00:15:55
entonces queda gm 00:15:57
1 partido por r menos 00:15:59
1 partido de ra 00:16:03
igual a un medio por 00:16:06
vr al cuadrado. Bueno, voy a reescribir esto 00:16:10
que quedó un poquitín mal. Así mejor. 00:16:15
vr al cuadrado. Vale. Y ahora, este 00:16:22
2 que está aquí dividiendo, lo podemos pasar multiplicando 00:16:25
al otro lado y se nos va a ir este medio y aquí nos va a quedar multiplicado por 2. 00:16:29
Vale. Si ponemos el 2, sería escribirlo 00:16:34
así y esto 00:16:37
con estos corchetes y desaparecería 00:16:39
de aquí, ¿vale? Entonces al meterlo 00:16:42
dentro del paréntesis 00:16:44
se nos iría el 2 de aquí abajo y aquí 00:16:45
nos queda un 2, es decir 00:16:47
llegaría a un saque VA 00:16:49
al cuadrado más 00:16:51
2GM 00:16:53
1 partido 00:16:56
de R menos 1 00:16:58
partido de RA 00:17:00
es igual a 00:17:01
VR al cuadrado 00:17:03
Y ahora ya hacemos la raíz cuadrada, ¿vale? Voy a reescribirlo todo, pero poniendo el vr a la izquierda. 00:17:05
Entonces vr va a ser igual a la raíz cuadrada de va al cuadrado más 2gm, 1 partido de r menos 1 partido de ra, ¿vale? 00:17:14
Y ya con esto podemos obtener la velocidad que nos piden. 00:17:33
Entonces vamos a escribir ahora ya todos los números. 00:17:38
Esto lo hacemos bien grande. 00:17:45
La VA era 8,61, creo recordar, vamos a ver los datos que nos dan. 00:17:47
Sí, 8,61 por 10 elevado a 3 al cuadrado más 2 por 6,67 por 10 elevado a menos 11. 00:17:52
la masa de la estrella 2,34 por 10 elevado a 30, la raíz se nos queda pequeña, 00:18:05
y nos queda 1 partido de r, que es el 5 por 10 a la 11, que nos han dado antes, 00:18:16
y menos 1 partido de RA, y el RA lo tenemos aquí, que lo hemos calculado, 9,33 por 10 elevado a 11. 00:18:24
9,33 por 10 elevado a 11. Cerramos paréntesis. 00:18:35
Y esta VR, esta VR tiene que ser más pequeña que la velocidad en el perihelio, 00:18:45
Bueno, pero en el periastro, pero debe ser más grande que la velocidad en el apuastro, ¿vale? 00:18:53
Porque estamos en un punto intermedio. 00:18:59
Entonces voy a ir metiendo los datos en la calculadora. 00:19:01
8,61, que aquí he puesto mal el dato. 00:19:06
Aquí he puesto mal el dato. 00:19:11
Esto es 8,61 por 10 elevado a 3. 00:19:14
Lo he dicho, creo que lo he dicho bien, pero lo he puesto mal. 00:19:19
Vale, pues vamos a ello. 00:19:22
8,61 por 10 elevado a 3 elevado al cuadrado más 2 por 6,67 por 10 elevado a menos 11 por 2,34 por 10 elevado a 30 por, 00:19:25
y ahora abro paréntesis, 1 partido de 5 por 10 elevado a 11 menos 1 partido de 9,33 por 10 elevado a 11. 00:19:39
Y cerramos paréntesis. 00:19:50
Y esto nos sale 1,91 por 10 elevado a 4 metros partido por segundo, que como hemos dicho estaba entre las dos velocidades máxima y mínima de la órbita. 00:19:51
Bueno, pues este es el primer problema, es como lo resolvemos. 00:20:10
Esto de tercera ley de Kepler siempre se va a hacer igual haciendo estos pasos y siempre vamos a tener que caer en ello cada vez que veamos un periodo. 00:20:13
Cada vez que en el enunciado nos hablen de periodo, es que el único sitio en el que aparece es en la tercera ley de Kepler, así que vamos a tener que ir por ahí. 00:20:23
Y luego, cuando nos hablen de distintas distancias en una órbita, si son el perihelio y el afelio, o el periestro y el apuestro, 00:20:32
pues sabemos que vamos a poder utilizar esta ecuación de aquí que nos relaciona con el semieje mayor, 00:20:42
y esta de aquí que nos relaciona las velocidades, 00:20:47
pero si no es el perihelio y el apohastro y el periestro, 00:20:53
si no es justo esos dos puntos, vamos a tener que utilizar energías. 00:20:57
Siempre que nos den dos distancias, 00:21:01
lo más probable es que tengamos que ir por energía, 00:21:04
excepto que sea el caso de periestro y apohastro, 00:21:06
que ahí tenemos las relaciones que sabemos que existen 00:21:09
gracias a la segunda ley de Kepler y el momento angular. 00:21:12
Pues ese es el problema y vamos a por el segundo. 00:21:15
Materias:
Física
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Mario Torralba
Subido por:
Mario T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
24
Fecha:
4 de abril de 2026 - 11:33
Visibilidad:
Público
Centro:
IES HUMANES
Duración:
21′ 23″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
36.33 MBytes

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