Ejercicios 1 y 2 de estructuras - Contenido educativo
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Bueno, vamos a hacer este ejercicio que hemos visto en clase. Vamos a hacerlo de nuevo.
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Lo primero, vamos a ver qué reacciones tengo en los apoyos. Tengo dos apoyos, A y B, y luego tengo un punto intermedio C, que es donde está aplicada la carga.
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Pues en el apoyo A, que es un apoyo fijo, tengo una fuerza vertical en A y una fuerza horizontal en A.
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En el apoyo B, que es un apoyo móvil, lo único que tengo es un esfuerzo en vertical en B. Primero me calculo el equilibrio. Vamos a ver. Lo primero, las fuerzas horizontales, su sumatorio tiene que ser cero.
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¿De aquí qué saco? Pues que la fuerza X en A vale 0 porque no hay otra
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También tienen que estar en equilibrio las fuerzas verticales para que mi estructura sea estable
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Luego F sumatorio de fuerzas en Y, 0
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¿Cuáles tengo? Tengo F fuerzas verticales en A y en B que van hacia arriba
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Pues las considero positivas por ejemplo
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F I A más F I B
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Y luego tengo la fuerza de 40 kN esta de aquí que va hacia abajo
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pues la considero negativa porque va en sentido contrario igual a cero y luego tercera condición
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de equilibrio de mi estructura pues que la sumatoria de momentos en un punto cualquiera
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voy a coger a sea cero qué momentos tengo tengo el momento que genera esta fuerza hemos dicho que
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es cero, me olvido de ella. La fuerza vertical en A no genera ningún momento, porque momento,
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si os acordáis, es una fuerza por una distancia y la distancia que hay desde la fuerza vertical
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en A al punto A, que es donde estoy colocando los momentos, es cero, luego no genera momento.
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Tengo dos momentos, el que genera la fuerza P, que va a girar sentido horario, pues por
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ejemplo digo que este es positivo y luego tengo el momento que va a generar la fuerza vertical en b
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que va a girar en sentido antihorario pues será negativo no porque va en sentido contrario bueno
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pues fuerza por distancia momento de la fuerza p van a ser 40 por la distancia que hay desde p
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al punto donde estoy calculando el momento que es un metro menos porque hemos dicho que el otro
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momento es negativo fuerza vertical en b por distancia al punto donde estoy calculando el
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momento que son cuatro metros esto es cero cuánto vale de aquí puedo sacar lo que vale la fuerza en
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b si despejo tengo que la fuerza en b son 10 kilonewtons y ahora me queda por calcular la
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fuerza a de dónde lo sacó pues de esta ecuación de aquí porque yo sé que la
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fuerza vertical en a va a ser los 40 me lo paso al otro lado 40 menos la fuerza
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y que vale 10 luego son 30 kilonewtons ya tengo lo que
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valen esto es lo que vale mi fuerza ya tengo todo la fuerza y son 10 kilo newtons y la fuerza son 30
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kilo newtons ya no tengo ninguna incógnita ahora vamos a calcular los diagramas de esfuerzos
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cortantes y momentos factores para ello tengo que dividir mi estructura en tantos tramos como cargas
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yo me vaya encontrando. Tengo un primer tramo, este de aquí, ¿vale? ¿Qué será? Pues voy a coger una distancia x, esta, entre el 0 y el 1, ¿no?
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Aquí estoy entre 0 y 1, está mi x, son los valores de mi x. Siguiente tramo va a ser este de aquí, este va a ser el tramo 2. Mi x ahora va a ser esta
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Y no voy a ir desde el principio, ¿vale? Voy a cogerlo desde este punto de aquí, voy a ir desde 1 hasta el punto máximo que puedo llegar es aquí, luego será 3, estos son metros y estos son metros, ¿vale?
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Tengo dos tramos que estudiar para ver cómo actúa el cortante y cómo actúa el flector en esos tramos.
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Bien, vamos a dibujarnos dónde van a ir mis diagramas porque los voy a ir dibujando a la que lo voy calculando.
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Voy bajando todos los puntos en los que hay fuerzas y ahora me dibujo este eje para el cortante y este eje para el flector.
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A ver, que no me deja. Vale, perfecto. Este va a ser el diagrama de cortantes y este va a ser el diagrama de momentos flectores.
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Importante, criterio de signos. Vamos a establecerlo desde el principio para no hacernos líos.
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Estamos en el paso 2, que es hacer el cálculo de esfuerzos internos.
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Bien, hemos visto antes en el repaso de la teoría que el diagrama de cortantes, este es el positivo, el sentido positivo, y este es el negativo.
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Y en el de momentos flectores, este es el negativo y este lo voy a dibujar fuera que no me cabe, es el sentido positivo, ¿vale?
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Pues vamos a ir por tramos. Fijaros, tramo 1. Hemos dicho que estamos entre 0 y 1.
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Me dibujo mi viga. Tengo esta fuerza que hemos dicho que son 30 kN. Esta distancia es X y me voy a dibujar aquí lo que sería el borde de mi sección para ver cómo se producen tanto el cortante como el flector.
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Si yo miro, yo miro hacia allá, la fuerza de 30 kN va hacia arriba en este punto, en este punto, en este punto, en este punto, es todo el rato la misma, luego hay una fuerza vertical hacia arriba, el cortante en función de X vale siempre 30 kN
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luego voy a tener aquí, veis que lo dibujo por arriba porque la flecha va hacia arriba como veo si miro desde este lado de aquí de la izquierda
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este será el positivo y ahora marco así unas rayitas
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¿qué pasa con el momento en este tramo? momento en X
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pues el momento, voy a cogerme otro color, lo va a generar la fuerza al girar alrededor de la sección roja que yo he dibujado
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no va a ser así luego el giro va a ser este de aquí porque esta sección roja que yo tengo aquí
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es esta de aquí bien luego el momento va a ser negativo y van a ser los 30 kilonewtons por la
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distancia que es x fuerza por fuerza por distancia vale pues este es el momento ahora tengo que ver
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Para poderlo dibujar tengo que darle dos valores. ¿Qué estábamos haciendo en clase? Que dábamos valores intermedios entre 0 y 1 y no cogíamos nunca los extremos. Realmente los puedo coger y vais a verlo. Fijaros, voy a coger x igual a 0 y x igual a 1 y los voy a coger porque es que si no, lo que me estabais enseñando que estabais haciendo en vuestras casas, os quedaban unos diagramas muy raros.
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Fijaros, si en el cortante tengo una línea recta de pendiente 0, que es lo que yo he dibujado en rosa, en el momento voy a subir un grado, es decir, voy a tener una pendiente que va a depender de X
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Fijaros, para X0, el momento fácil, 0. Para X1, el momento que vale, menos 30 kilonewtons por metro. Y pongo las unidades, ¿vale?
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menos 30 kilonewtons por metro, estoy en negativo, estoy en la parte de arriba, pues este va a ser el 30 kilonewtons por metro y el 0 va a ser aquí,
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luego tengo una línea así y estoy negativo, ahora me voy al tramo 2, tramo 2 hemos dicho que estábamos entre 1 menor que x menor que 3,
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Lo que había puesto aquí arriba. Me dibujo mi viga. Las fuerzas que hay, tengo la de 30, que es la de antes, y tengo también la de 40, que está a un metro.
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Y todo el largo de mi viga es X. Bien, me voy a dibujar el borde para ver cómo, en vez de coger y sustituir y poner unas fuerzas que lo equilibren, vamos a hacerlo de esta forma, a ver si así lo comprendéis mejor.
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Primero el cortante, Vdx, ¿qué valor tiene? Pues los 30 van hacia arriba, luego positivos, y los 40 van hacia abajo, negativos
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Esto que me da, menos 10 kN, luego me está diciendo que la resultante es así, ¿vale? Miro desde este lado de aquí
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Luego estoy en el lado de abajo, estos menos 10, pues si esto que no lo había puesto antes son 30 kN, el 10 lo voy a hacer recto, ¿vale?
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Que mi pulso no es muy bueno, aquí iba a ser negativo y pongo unas rayitas, ¿vale? Y esto es 10 kN
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ahora me voy a cortante en función de x vamos a ver como qué momento produce cada una de las
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fuerzas la de 30 la de 30 gira en este sentido y este sentido es negativo fijaros aquí la de 40
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gira en sentido contrario, sería este, este sería el positivo, venga vamos a ver cómo es esto entonces, tengo la de 30 que es negativa
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y es 30 por la distancia hasta el punto donde estoy calculando los momentos que es x, la de 40 es positiva más 40 por la distancia que hay
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desde esta fuerza de 40 a donde estoy calculando el momento, que es x menos 1. ¿Esto cuánto es? Pues menos 30x más 40 menos 40, o sea, más 40x menos 40,
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O lo que es lo mismo, 10X menos 40. Ahora voy a coger, voy a darle dos valores. ¿Cuáles? Voy a volver a coger los extremos. X igual a 1 y X igual a 3, para que no salga nada raro.
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el momento para x igual a 1 van a ser 10 menos 40, es decir, menos 30 kilonewtons por metro
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y este valor tiene que ser el mismo que este de aquí, porque la línea es continua, ¿vale?
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Ya tengo el primer punto de la recta, solo necesito dos porque una recta está definida por dos puntos
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Pues el segundo en 3, ¿cuánto va a valer? Perdón, estos no son 3, estos son 4. El largo máximo, estos son 4. Van a ser, esto es un 4 y esto es un 4, que había mirado yo mal.
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Pues tengo 10 por 4 menos 40 y estos son 0
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Luego en el final de la viga el momento vale 0
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¿Cómo no voy a ser capaz de hacerla?
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Vamos a hacerla
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Bien, pues aquí tenemos el diagrama de momentos
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Y seguimos en el lado de arriba
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Bueno, pues ya lo tenéis
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Una curiosidad
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En los momentos flectores, fijaros, voy a dibujar los exagerados aquí abajo. Tengo un momento flector, el positivo. Esta sería mi sección que yo he dibujado recta pero realmente es así. Este sería el positivo. Este es el borde de mi sección.
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¿Qué le pasa a las fibras de arriba y a las fibras de abajo? Pues que están recibiendo diferente esfuerzo
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Las de arriba se están comprimiendo, están trabajando a compresión porque el momento las está comprimiendo
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Sin embargo abajo las está estirando, están trabajando a tracción
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¿El momento negativo? Pues al contrario
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Aquí tendremos la compresión
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Y este lado estarán las fibras traccionadas
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¿Vale? El momento es este
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Vamos a hacer otro de los ejercicios que hemos visto en clase
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Venga, ahora tenemos la viga vía apoyada
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Con dos cargas puntuales
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Lo primero, ¿qué reacciones tengo en los extremos?
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Pues tengo en el apoyo A, que es un apoyo fijo
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A ver que no estoy pintando. Tengo una fuerza vertical y una fuerza horizontal. Y en el apoyo B, que es móvil, lo único que me impide este apoyo es que se desplace hacia arriba. Luego tengo una fuerza vertical.
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Primero, planteo el balance estático, el equilibrio estático de mi estructura
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Sumatorio de fuerzas horizontales tiene que ser cero
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Luego mi fuerza en A horizontal, o sea en X, va a ser cero porque no hay otra
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Sumatorio de fuerzas verticales tiene que ser cero
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Luego tengo hacia arriba las que desconozco, f de i a más f de i en b, la sumo o la resto, lo que queráis, si las que están hacia arriba las sumáis y las que están hacia abajo las restáis.
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Luego tengo 7.000 menos 6.000 y esto es igual a 0
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Tengo que la fuerza de A más la fuerza de B son menos 13.000 igual a 0
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Bien, ahora tengo que plantear el sumatorio de momentos
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¿En qué punto? Pues voy a coger A, me da igual, coja A o B
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Va a ser 0
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Pues que tengo
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¿Cómo pongo los signos?
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Pues si los que giran
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En sentido horario los pongo positivos
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Este que gira en sentido antihorario
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Lo pongo negativo
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Luego tengo
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7000
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Por 1
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¿Por qué?
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Porque está a un metro
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Y un momento
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Es fuerza por distancia
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No os olvidéis, ¿vale? Más la siguiente fuerza que me encuentro, la de 6.000. ¿Qué distancia hay desde 6.000, desde esta fuerza, al punto donde estoy calculando los momentos, que es este de aquí? Pues 2.5.
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Y luego la última fuerza que tengo es la F y B, que hemos dicho que gira negativo, por la distancia total, que son 4. Y esto son, todo esto, igual a 0.
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Bueno pues opero, tengo 7000 más 6000 por 2,5 que son 15000 menos 4 por FDI B y esto es igual a 0
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¿Cuánto vale FDI en el punto B, la fuerza vertical en el punto B? Pues serán los 15000 más los 7000 y dividido entre 4
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Es decir, esto me da 5.500 newtons. Esto son 5.500 newtons. Esto hemos dicho que vale 0. Ahora me queda calcular cuánto vale F de I en el punto A, la fuerza vertical en el punto A.
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¿De dónde lo voy a sacar? Pues de la ecuación esta de aquí, esta que tengo aquí, ¿vale? F y en el punto A van a ser, despejo ya directamente, ¿vale? Paso el 13.000 al otro lado, 13.000 menos los 5.500 que vale F de IA.
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Y esto, ¿cuánto son? Pues 7.500. Estos son 7.500 newtons. Esto es lo que vale F de I en el punto A. Estos son 7.500 newtons.
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Bien, seguimos, ahora lo segundo que tengo que hacer es calcularme los esfuerzos internos de mi estructura para poder dibujarme mis diagramas
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Así que me voy a dibujar los ejes, esto baja por aquí, esto baja por aquí, aquí, ahí me voy a dibujar el de cortantes
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y aquí me voy a dibujar el flector. Bien, este va a ser para el cortante y este va a ser para el
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flector. ¿Cuántos tramos voy a tener en mi estructura? Bueno, pues voy a tener tantos tramos
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como cargas vaya teniendo. Voy a tener aquí el tramo 1, aquí el tramo 2 y aquí el tramo 3. De
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De tal forma que yo voy a cortar en el primer tramo mi estructura por aquí, esta va a ser X, en el segundo tramo voy a cortar por aquí mi estructura, esta va a ser la nueva X y en el tercer tramo voy a cortar por aquí, por un punto intermedio y esta será mi X, ¿vale?
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Vamos a irlo poniendo
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Bueno, antes voy a poner el criterio de signos en rojo, que se vea bien
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Para el cortante, el positivo va a ser, como hemos visto en el ejercicio anterior, así
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Y el negativo va a ser, pues, las flechas en el sentido contrario
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Y en el flector, arriba pongo el negativo, que van a ser los giros, así
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Y así va a ser el positivo. Vamos a ver, voy a borrarme lo de arriba para no tener que desplazarme y perder de vista. Vamos a borrar todo esto. Estamos en el punto 2, ¿vale? Cálculo de los esfuerzos internos.
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¿Qué tramos voy a tener? Pues primero voy a tener el primero que yo me he puesto, el tramo 1
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La X de dónde a dónde va a ir, desde 0, este es el 0, hasta este punto de aquí que es el 1
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Marco el tramo 1, va a ser para 0 menor que X menor que 1
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Y me dibujo mi viga. Esta es mi viga que mide x de largo y tiene una fuerza de 7500 newtons. Bien. Y solo tengo eso, ¿vale?
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pues cuánto vale el cortante vdx si yo aquí me dibujo el borde de la sección
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vale para ver en qué parte estoy si en esta o en esta vengo por este lado
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vengo por el lado izquierdo estos 7500 hacia dónde van hacia arriba
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luego estoy en este de aquí en el positivo pues serán 7500 newtons
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me ponga donde me ponga, siempre va a ser constante, ¿vale? ¿Qué pasa con el momento? Pues que depende de la distancia, no es lo mismo calcular el momento
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a esta distancia que a esta que a esta. Fijaros, en el punto X, a la distancia X, estos 7500 giran así. Estoy en este lado de aquí, en el negativo,
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Es decir, esto va a ser menos 7500 por X.
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Tengo que coger dos valores porque son rectas lo que yo voy a dibujar.
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El 7500 lo voy a ir dibujando ya en el diagrama.
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El 7500 del cortante, voy a dibujar el cortante, va a estar aquí arriba.
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Esto positivo, 7500 newtons.
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Pues si aquí tengo una recta de pendiente 0, aquí voy a tener una recta con una pendiente, va a ser inclinada
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Fijaros, ¿cuánto va a valer? Pues voy a coger dos valores, voy a coger para x igual a 0, el momento va a ser 0
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Y para x igual, yo aquí no he puesto, no cojo los extremos, pero los puedo coger a la hora de calcular, ¿vale?
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Si yo cojo el valor de 1, el momento máximo que voy a tener van a ser 7500 negativo newtons por metro.
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Luego voy a ir desde el 0 hasta el 7500 newtons por metro.
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Estoy en negativo, lo dibujo por arriba.
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Ahora, me voy al tramo 2.
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Sé que en clase no hemos cogido los extremos, pero es que como estáis teniendo tanto problema a la hora de dibujar
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Que os quedan unas rectas muy extrañas, vamos a coger inicio y fin, ¿vale?
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O sea, es como si aquí pusiese menor o igual
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Vale, siguiente tramo de estructura, tengo mi estructura ahora un poquito más larga
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Estoy aquí ahora, ¿vale?
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Tengo los 7500 y tengo a un metro 7000 newton
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Y el borde de mi estructura, me dibujo la sección para ver qué criterio de signos voy poniendo.
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A ver, que no he puesto entre qué y qué voy. Voy ahora desde el 1, X, menor, estoy en este tramo de aquí.
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Luego el valor máximo que voy a tener van a ser 2,5.
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Bien, ¿cuánto vale el cortante? Pues tengo hacia arriba los 7500 que son positivos, hacia abajo los 7000 que son negativos, luego tengo 500 newtons positivos, si me lo llevo al diagrama estoy aquí, sigo en el lado positivo y estos son 500 newtons.
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newtons. Vemos ahora qué pasa con el momento en este tramo. Momento. Lo voy a poner aquí
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abajo porque va a ocupar más. En función de x. Voy a tener el 7500 va a girar sentido
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horario. Y este sentido hemos dicho que es el negativo antes, ¿no? Estoy aquí otra
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vez. Luego van a ser los 7.500 por X, porque todo esto es X y esto de aquí es 1. Bien,
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ahora tengo la siguiente fuerza. ¿Qué momento genera? Pues los 7.000 van a girar en el sentido
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contrario, ¿vale? Perdón que me he comido aquí al menos. Va a ser giro positivo, van a ser más los 7000 por la distancia que es x menos 1.
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Estoy, esta distancia de aquí, ¿vale? Es x menos 1. Opero todo esto. Tengo menos 7500x más 7000x menos 7000.
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O lo que es lo mismo, tengo menos 500x menos 7000. Ahora tengo que coger dos valores. ¿Cuáles? Pues voy a hacer lo de antes.
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Entonces, fijaros, si yo cojo el 1, voy a volver a poner, voy a cerrar aquí los intervalos. Si yo cojo x igual a 1, tengo que el momento en 1 son menos 5000 menos 7000, es decir, menos 7500 newtons por metro, que es lo mismo que me había dado antes.
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¿Vale? Luego este punto, si no es que lo esté haciendo mal
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Ahora, voy a cogerme el otro extremo, el 2,5
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x igual a 2,5
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¿Cuánto vale ese momento?
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Pues van a ser menos 500 por 2,5 menos 7000
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1250 menos 7000
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estos son menos 8.250 newtons por metro, ¿vale? Esto es lo que vale aquí, es un valor más alto, ¿lo veis? Luego con otra pendiente diferente, este punto son 8.250 newtons por metro.
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Estoy en el negativo
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En el lado negativo
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Y esto se expresa poniendo así rayitas alrededor
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Ahora
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Me queda el tercer tramo
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Tramo 3
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¿De dónde a dónde voy?
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Pues ahora voy desde el 2,5
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Menor que X
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Menor que la longitud máxima de la viga
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Porque estoy aquí ahora
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Estoy en el tramo 3
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Pues van a ser 4
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El valor máximo que puede tomar mi X
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¿Qué pasa con el cortante? Vale, mi viga tiene los 7500 que tenía al principio, a un metro tengo 7000, 7000 newtons y a metro y medio tengo 6000 newtons.
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Esto es x, esto es 1 y esto de aquí es 1,5
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Venga, ¿cuánto vale el cortante?
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Pues el cortante en función de la distancia
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Me voy al extremo
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Voy a coger el rojo, que ahora al hacer el azul si no, no se ve
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¿Vale? Veo que pasa aquí
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Pues tengo 7.500 que van hacia arriba, son positivos
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Menos 7.000 menos 6.000 que son menos 13.000
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Y esto me da menos 5.500 newtons
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He cambiado, ahora estoy en el lado negativo
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Estoy aquí abajo
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Luego mi diagrama va a pasar aquí abajo
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Bueno, no lo dibujo más abajo porque no tengo hueco
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Estoy en el lado negativo
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marco rayitas y estos son 5.500 newtons vale ahora para un pelín y vamos a ver qué pasa con
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el momento flector el momento flector me vengo aquí en función de x fijaros tengo los 7.500
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que giran sentido horario y hemos dicho que el giro sentido horario es negativo luego tengo menos
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7.500 por X. Ahora tengo la de 7.000 que gira en sentido contrario, este es positivo, más 7.000. ¿Por qué distancia hay desde los 7.000 hasta el borde? Pues X menos 1.
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Ahora, la última, la de 6.000, la de 6.000 gira también en sentido antihorario, luego también es un giro positivo
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Luego tengo más 6.000, ¿qué distancia? x menos 2,5
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Bueno, pues opero todo esto
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Tengo, me vengo aquí abajo, menos 7.500X más 7.000X menos 7.000 más 6.000X menos 6.000 por 2.5 son 15.000, 15.000, ¿vale?
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A grupo, tengo menos 7.500 más 7.000, tengo menos 500X, más 6.000, tengo 5.500X. Y ahora aquí tengo menos 7.000 menos 15.000, pues estos son 22.000, negativo, menos 22.000, ¿vale?
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Bueno, pues doy valores, vamos a bajar un poquito, ¿qué valores doy? Pues los extremos, lo que hemos dicho antes para que sea más fácil, ¿vale? Para que no os liéis y os queden gráficas con unas formas extrañas que os quedaban.
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primer valor x dos y medio para x igual a 2.5 si yo pero los 5.500 por 2.5 menos 22.000 cuánto me
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tendrá que dar pues me tendrá que dar esto de aquí si no es que lo esté haciendo mal lo operáis y
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veis que os da momento de 2,5, efectivamente dan los menos 8.250 newtons por metro, ¿por qué?
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Porque parto de este punto de aquí, necesito otro punto, pues voy a ver qué pasa aquí para dibujar
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mi recta, x igual a 4, ¿cuánto vale momento en 4? Pues serán los 5.500 por 4 menos los 22.000 que
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tengo sin x y estos son 0 newtons por metro, es decir, así. Bueno, pues aquí está el problema resuelto.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Tecnología Industrial
- Etiquetas:
- Tecnología
- Niveles educativos:
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- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Eva Mª Amador Figueroa
- Subido por:
- Eva Maria A.
- Licencia:
- Todos los derechos reservados
- Visualizaciones:
- 21
- Fecha:
- 7 de enero de 2026 - 15:36
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- IES ANA MARÍA MATUTE
- Duración:
- 37′ 17″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1024x576 píxeles
- Tamaño:
- 757.05 MBytes
