Ejercicio 1. Vectores - Contenido educativo
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Vamos a ver el siguiente ejercicio. Me dan tres vectores, el vector u de coordenadas 4 menos 3, el vector v de coordenadas 1 menos 2 y el vector w de coordenadas 5, 0.
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El apartado A me dice, razonas si los vectores u y v forman una base ortonormal.
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Para que sean base, lo primero que tienen que ser los vectores son linealmente independientes.
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Y esto lo cumplen, puesto que si formamos la proporción entre las componentes, 4 es a 1 como menos 3 es a menos 2.
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Pues vemos que no, con lo cual los vectores son Li, linealmente independientes, y sabemos que forman una base.
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Forman base de V2.
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Por otro lado, para que sea una base ortonormal, primero tiene que ser ortogonal.
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¿Es ortogonal? Si yo multiplico escalarmente u por v, suponiendo siempre que no se diga lo contrario las componentes, las coordenadas de los vectores están expresados en una base ortonormal
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Entonces puedo calcular el producto escalar como u1 por v1 más u2 por v2, es decir, 4 por 1 más menos 3 por menos 2
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Pues en este caso vemos que esto es distinto de 0
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Por lo tanto, no forman una base ortogonal
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U y V no son perpendiculares, son ortogonales
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Entonces no forman una base ortogonal
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Ya pues solamente este hecho ya no sería ortonormal
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Pero es que además, si calculamos los módulos de estos vectores
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Pues vemos que no son unitarios
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O sea, esto es distinto de 1
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Y el módulo de V también
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Así que no formarían tampoco
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Ya por esto no sería ortonormal
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Pero además U y V no son unitarios
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Que sería la otra condición para que formaran base ortonormal
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Por dos motivos, por este que hemos dicho y por este
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Bien, apartado B
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Me dicen que calcule las coordenadas del vector w en la base formada por u y por v
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Hemos dicho que eran linealmente independientes, con lo cual sí forman base
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Cualquier otro vector del espacio, v2, se puede expresar como alfa veces u más beta veces v
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Es decir, multiplicar estos vectores por sendos escalares
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y siempre hay una combinación lineal que me da w.
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Para calcular alfa y beta, pues simplemente sustituimos aquí las coordenadas y resolvemos el sistema.
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La primera ecuación nos quedaría 5 igual a 4 alfa más beta.
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Y la segunda ecuación sería menos 3 alfa menos 2 beta.
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Podemos multiplicar por ejemplo esta por 2 y sumando con la segunda nos quedaría que alfa vale
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Y sustituyendo por ejemplo aquí tendríamos que beta vale menos 3
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Entonces w como combinación lineal de u y de v sería 2 por u menos 3 por u
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Tercer apartado. Me piden del vector u un vector unitario perpendicular a u.
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El vector u era el que tenía componentes 4 menos 3.
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Un vector unitario perpendicular a u.
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Un vector perpendicular, vamos a llamarle u'.
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Uno que fuera perpendicular a u, por ejemplo, podría ser el 3, 4
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Si yo multiplico escalarmente estos dos vectores, el resultado es 0
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Sería 12 menos 12, 0
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Ahora, si yo calculo el módulo de este u'
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Y divido sus componentes por su módulo
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con lo cual tendríamos 3 quintos, 4 quintos
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Puedo asegurar que este vector, vamos a llamarle t
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es un vector que es perpendicular a u
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y además es unitario
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que era lo que me pedían
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Calcula un vector unitario
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O sea, un vector unitario que sea perpendicular a O
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Bien, apartado D
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Me piden que calcule el ángulo que forma U y V
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U es este vector
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V es este vector
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Si calculamos el producto escalar de U por V
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Por un lado tendríamos módulo de U por el módulo de V
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por el coseno del ángulo que forman, que es el que me piden.
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Y por otro lado, como u y v están expresados en una base ortonormal,
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siempre que no se diga lo contrario,
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podemos calcular el producto escalar también de esta otra forma.
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Igualando estas dos expresiones y despejando coseno de alfa,
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tendremos uso1 por v1 más uso2 por v2
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dividido por el módulo de u y por el módulo de u.
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Sustituyendo las coordenadas, esto sería 4 por 1 más menos 3 por menos 2.
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Y aquí abajo tendremos que poner el módulo de u, que el módulo de u es 5,
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Vamos a calcularle aquí, módulo de u, 16 más 9 es 25, la raíz de 25 es 5.
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Y por otro lado, el módulo de v es raíz de 5, 1 al cuadrado más 2 al cuadrado, o sea, raíz de 5.
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Entonces aquí me quedaría 5 raíz de 5, y aquí esto me daba 10.
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Vamos a simplificar el resultado
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Esto sería 2 partido de la raíz de 5
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O si queréis racionalizar sería esto
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De tal manera que entonces alfa es arco coseno de este valor
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Bueno, podemos escribirlo también así
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Para introducirlo en la calculadora y calcular cuánto vale ese ángulo
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Pues expresándolo en grados, minutos y segundos sería 26 grados, 33 minutos, 54, bueno un poco más, vamos a poner 54 segundos.
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Ese sería el ángulo formado por esos dos vectores.
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- 29 de julio de 2024 - 16:10
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