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Método de Gauss - Contenido educativo

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Subido el 8 de octubre de 2023 por Patricia R.

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Explicación del método de Gauss para resolver sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

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Bueno, vamos a aprender a resolver sistemas de ecuaciones con tres incógnitas y entre otros métodos tenemos el método de Gauss. 00:00:01
Gauss, alemán del siglo XIX y la verdad es que bastante importante en todo lo que estudiamos nosotros en el colegio ya que aparece varias veces en matemáticas y en física. 00:00:10
Bueno, lo que es un sistema de ecuaciones, creo que está claro, dos ecuaciones, dos incógnitas y tenemos que encontrar los valores que nos valgan para la X y la Y en los dos a la vez. 00:00:21
¿Vale? Por igualación, sustitución, reducción o de forma gráfica y ahí os dejo unos enlaces a unos vídeos míos donde explico cómo son, pero entiendo que ya a estas alturas no los necesitamos. 00:00:31
Eso sí, recuerdo que dependiendo del número de soluciones que tenga nuestro sistema 00:00:42
Será compatible determinado si tiene una única solución 00:00:48
Que es un poco lo que hasta ahora no solía ocurrir 00:00:51
Compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones 00:00:54
Y será incompatible cuando no tenga solución 00:00:58
Estos dos casos, el indeterminado y el incompatible, empiezan a aparecer ahora 00:01:01
Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones 00:01:05
Estos dos sistemas que parecen totalmente diferentes, si comprobáis en ambos casos la x igual a 1 y la y igual a menos 1 cumplen los dos sistemas, por lo tanto son equivalentes. 00:01:10
¿Y cómo obtenemos esos sistemas equivalentes? Bueno, pues sumamos o restamos la misma cantidad a los dos miembros, como veis en 3x menos 5 igual a 1, si sumamos 4 a los dos lados, x igual a 2 sigue siendo solución de ese sistema. 00:01:25
Si multiplicamos una ecuación por un número distinto de 0 00:01:39
El mismo valor de la x sigue siendo solución 00:01:43
Y podéis echar las cuentas 00:01:46
Y además si multiplico una de ellas por un número 00:01:48
Y luego la sumo la resto 00:01:53
Pues también tiene el mismo valor, ¿vale? 00:01:55
Esto es básicamente lo que hacemos en reducción 00:01:58
Ahora, ¿qué ocurre? 00:02:00
Cuando en lugar de dos ecuaciones y dos incógnitas 00:02:02
Esto crece y tengo tres ecuaciones y tres incógnitas 00:02:04
Pues aplicamos el método de Gauss 00:02:07
que no es más que nada que una reducción muy estructurada 00:02:08
y lo que quiero es un sistema triangular que sea equivalente, es decir, con las mismas soluciones 00:02:12
esto es un sistema triangular, que la primera ecuación se quede igual 00:02:16
la segunda me falte la X y la tercera me falte la X y la Y 00:02:20
de manera que me queda solo una incógnita, la Z la puedo resolver 00:02:25
en una ecuación de primer grado, de primero de la ESO 00:02:29
y de ahí voy subiendo las soluciones que ya sé y voy calculando el resto de soluciones 00:02:32
Bueno, pues vamos a empezar por este ejemplo 00:02:36
Es decir, lo que vamos a pretender es de la segunda y de la tercera ecuación quitar las x en un primer paso 00:02:39
En un segundo paso, en la tercera ecuación quitar la y y ya solo me quedará la z 00:02:45
Es importante que vayamos indicando las operaciones que hacemos en cada ecuación para obtener ese sistema equivalente 00:02:50
¿Vale? Pues para quitar la x de la segunda multiplico la primera por dos y la resto 00:02:57
Hemos visto que eso se podía hacer 00:03:02
y para quitar la x de la tercera multiplico la primera por 3 y se la resto 00:03:04
y obtenemos ese nuevo sistema equivalente en el que solo la primera ecuación tiene x 00:03:10
ahora vamos a quitar de la segunda ecuación la y que es lo que se llama triangular 00:03:15
eso es hacer ceros, así que multiplico la segunda por 7, la tercera por 3 y la resto 00:03:19
y me quedo con solo la z en la última ecuación 00:03:28
de donde deduzco que la z vale menos uno 00:03:32
y voy subiendo para arriba, sustituyo ese z menos uno en la segunda 00:03:35
menos tres y menos cinco, seré menos ocho 00:03:38
y cuando ya tenga la y y la z subo para arriba 00:03:41
y las voy sacando todas 00:03:44
así que nos quedaría que la x vale dos 00:03:46
la y vale uno y la z vale menos uno 00:03:50
con lo cual sistema compatible determinado porque tiene solución única 00:03:52
como hemos visto antes 00:03:56
En los pasos de una manera más general 00:03:58
Reducimos la x en la segunda y la tercera ecuación 00:04:01
Utilizando la primera 00:04:05
Reducimos la y de la tercera ecuación 00:04:06
Para que me quede solo la z 00:04:09
Calculo esa z 00:04:10
Me voy para arriba 00:04:12
Calculo la y 00:04:13
Y ya tengo la z en la y 00:04:14
Sustituyo en la primera 00:04:16
Serían un poco los pasos genéricos 00:04:17
Lo bueno que tiene Gauss es que lo puede ampliar 00:04:19
En este ejemplo quitaría 00:04:22
Segunda, tercera y cuarta ecuación la x 00:04:23
de la tercera y cuarta la Y y de la cuarta la Z 00:04:26
y me quedaría solo la W, me voy arriba que solo tenía WZ 00:04:29
sustituyo y ya tengo WZ, me voy a la segunda 00:04:33
sustituyo WZ y solo me quedará la Y 00:04:36
y voy hacia arriba sustituyendo, vale 00:04:38
bueno, pues ahí os dejo unos cuantos ejemplos resueltos para que podáis ir practicando 00:04:41
Idioma/s:
es
Autor/es:
Patricia Rey Alcántara
Subido por:
Patricia R.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
5
Fecha:
8 de octubre de 2023 - 20:39
Visibilidad:
Clave
Centro:
CPR INF-PRI-SEC NUEVO EQUIPO
Duración:
04′ 47″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
14.87 MBytes

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