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Puntos simétricos. Teoremas de seno y del coseno - Contenido educativo

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Subido el 13 de marzo de 2026 por Roberto A.

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Venga, hoy es 10, ¿no? Vamos a tener un día 10, 10 de marzo del 2026, ¿vale? 00:00:01
Entonces, chavales, ayer estuvimos repasando el punto simétrico, ¿de acuerdo? Punto simétrico. 00:00:09
Y vamos a hacer un ejercicio y vamos a ver luego el teorema del seno y del coseno. 00:00:17
Seguramente empecemos hoy el tema de funciones, ¿eh? Que es el que nos interesa. 00:00:21
12 puntos simétricos, es decir, si yo tengo un punto P, ¿de acuerdo? 00:00:26
Un punto P, y yo tengo aquí otro punto Q, pues el punto P' es susimétrico, ¿vale? 00:00:32
Entonces, ¿qué ocurre? 00:00:43
Que la distancia de P a Q es igual que la distancia de P' a Q, ¿de acuerdo? 00:00:45
Es decir, P' es el punto simétrico de P respecto al punto Q, es decir, el punto Q que creéis que es respecto a P y P'. 00:00:54
El punto Q que es, muy bien, es el punto medio de P'. 00:01:17
¿Vale? Entonces 00:01:24
Fácil, ¿no? ¿Verdad, chavales? 00:01:27
Si yo tengo, venga, me decís un punto 00:01:29
¿Cuál queréis? 00:01:31
¿Qué punto P queréis? 00:01:34
6, 7 00:01:35
6, 7, venga, 6, 7, ¿no? 00:01:36
6, 7, venga, 6, 7 00:01:39
Y el punto 00:01:41
¿Cuál es? 00:01:44
¿Menos 2, 0, por ejemplo? 00:01:50
¿Sí? ¿Menos 2, 0? 00:01:52
Venga, o menos 2, 3 00:01:54
menos 2, 3, ¿vale? 00:01:55
Entonces, haya el punto simétrico de P respecto a Q. 00:01:57
Entonces, ¿yo qué sé? 00:02:15
¿Yo qué es lo que sé? 00:02:17
Que Q es el punto medio, ¿verdad? 00:02:18
Es el punto medio entre P y P'. 00:02:22
Yo lo que quiero hallar es el p'. ¿Vale? Entonces, ¿cuáles eran las coordenadas de p'? Las coordenadas de p', no lo sé, son p'x y p'y. ¿Sí o no? Las coordenadas de p hemos dicho que es 6, 7. Y las coordenadas de q hemos dicho que es menos 2, 3. 00:02:30
Pero como Q es el punto medio, ¿verdad? ¿Cómo se definía el punto medio? El punto medio, que es menos 2, 3, sabemos que es el P' de X más 6, ¿verdad? 00:02:52
¿Cómo se halla la media de dos puntos? Sumándolo y dividiéndolo entre dos, ¿verdad? La P' de Y más 7 partido de 2. ¿En eso estamos todos de acuerdo, chavales? Sí, ¿verdad? 00:03:09
Entonces, ¿qué ocurre? Yo de aquí ya tengo para poder hallar tanto P', ¿verdad? 00:03:22
Porque ¿cuánto tiene que valer todo esto, chavales? ¿Cuánto tiene que valer? 00:03:30
Menos 2, perfecto. ¿Y cuánto tiene que valer todo esto, chavales? 00:03:33
3. ¿De acuerdo? ¿Sí o no? 00:03:38
Entonces, ¿qué ocurre? Pues esto en azul que tengo, 00:03:42
que p' de x más 6 entre 2 es igual a menos 2, 00:03:46
de donde p' de x más 6 es igual a menos 4, ¿verdad? 00:03:53
Y p' de x es igual a menos 10. 00:03:59
Ya tengo p'. 00:04:04
¿Todo el mundo? 00:04:05
¿Sí? 00:04:08
¿Angelillo? 00:04:09
¿Sí o no? 00:04:10
Venga, deja lo que estás haciendo, gorrión. 00:04:11
Ojo. 00:04:15
P' de i más 7 entre 2 es igual a 3, ¿verdad? 00:04:17
De donde P' de i más 7 es igual a 6 y P' de i es igual a menos 1. 00:04:24
¿Estamos de acuerdo, chavales? ¿Sí o no? 00:04:35
Lo comprobamos si no, ¿vale? 00:04:39
Menos 1 más 7 es 6, 6 entre 2 es 3. 00:04:42
Y ahora, menos 10 más 6, menos 4, menos 4 entre 2, menos 2. 00:04:45
Entonces, la solución es que el punto B', ¿cuál es? 00:04:52
Menos 10, menos 1. 00:04:57
¿Lo veis complicado? 00:05:00
Esto lo hicimos ya ayer, ¿de acuerdo? 00:05:02
Y se hace así, ¿vale? 00:05:04
No tiene más misterio. 00:05:08
El punto simétrico nos basamos en el punto medio, ¿de acuerdo? 00:05:10
Es decir, cuando tú me dices lo que, por ejemplo, desde aquí, ¿no? ¿Cuál es el punto simétrico a mí respecto a Hugo Soler? ¿Cuál es el punto simétrico respecto a mí, mío, respecto a Hugo Soler? ¿Quién es? 00:05:15
¿Quién? El Pruden 00:05:28
El Pruden, ¿vale? 00:05:33
El punto simétrico a mí respecto 00:05:35
A Hugo Soler 00:05:37
Es Pruden, ¿vale? 00:05:39
¿Y cuál es el punto simétrico a mí 00:05:41
Respecto a Rafini? 00:05:43
¿Eh? No hay nadie 00:05:47
Pero más o menos Isabel 00:05:49
¿Vale? Es verdad que las distancias 00:05:51
Entre Isabel y tú es más chica 00:05:53
Que entre tú, o por ejemplo, ahora sí 00:05:55
¿Cuál es el punto simétrico a Joel 00:05:57
Respecto a Rafini? Ahora sí 00:05:58
Y sabéis sin duda, ¿vale? 00:06:00
¿Vale? 00:06:03
¿Sí? 00:06:04
Fácil, fácil. 00:06:04
Pues venga, chavales, esto que no lo hemos dado, lo que quiero que veáis es, vamos a ver el teorema del seno y del coseno, ¿de acuerdo? 00:06:06
Entonces, no es complicado. 00:06:14
Teorema del seno y del coseno. 00:06:17
Estos teoremas se utilizan en triángulos, ¿vale? 00:06:20
En triángulos que no tienen por qué ser, lo diré, rectángulos. 00:06:27
De hecho, se utilizan en triángulos que no son rectángulos, ¿vale? 00:06:37
¿Qué ocurre? 00:06:50
En los triángulos rectángulos, ¿verdad? 00:06:52
En los triángulos rectángulos, ¿qué teníamos, chavales? 00:06:54
Tenemos un ángulo recto, 90 grados, pero utilizábamos tres cosas, ¿verdad? Tres teoremas. 00:06:58
¿Sí o no? ¿El primero cuál era? No, pero teoremas, teoremas, Joel. ¿Qué teoremas son? 00:07:16
Efectivamente, el teorema de Pitágoras 00:07:24
¿Qué me dice el teorema de Pitágoras? 00:07:28
Que la hipotenusa al cuadrado 00:07:31
¿Vale? 00:07:35
Es igual al cateto 00:07:36
Cateto 1 00:07:38
Al cuadrado, este símbolo significa cuadrado 00:07:41
¿Vale? La casita con el 2 00:07:44
Más cateto 2 al cuadrado 00:07:45
¿De acuerdo? 00:07:49
Eso es lo que me dice el teorema de Pitágoras 00:07:50
¿De acuerdo? 00:07:52
Pero luego, ¿qué utilizábamos también, chavales, en los triángulos rectángulos? ¿Os acordáis? El teorema de, a través de tales, utilizábamos dos teoremas. Teorema de la altura y el teorema del cateto. ¿Vale? 00:07:53
¿Sí? El teorema del cateto, ¿qué me decía, chavales? Que, a ver, el teorema de la altura me decía, ¿os acordáis? Que la altura al cuadrado era igual a la multiplicación... 00:08:13
El teorema de la altura, no, era la proyección de un cateto por la proyección del otro cateto, ¿vale? 00:08:30
La proyección del otro cateto. 00:08:41
Y era así, Joel. 00:08:44
El teorema del cateto me decía que el cateto al cuadrado es igual a la hipotenusa por la proyección de ese cateto. 00:08:45
Ahora sí, ¿vale? 00:08:57
¿Vale, chavales? 00:08:59
Lo recordamos, ¿verdad? 00:08:59
¿Sí o no? 00:09:01
Entonces, cuando no tenemos un triángulo rectángulo, no se pueden utilizar los teoremas anteriores y utilizaremos los teoremas del seno y del coseno, ¿vale? 00:09:01
Esa es la teoría que nosotros tenemos que saber, ¿vale, chavales? 00:09:27
entonces, el teorema 00:09:31
del coseno 00:09:38
¿Vais bien copiando, chavales? 00:09:39
Voy muy ligero 00:10:08
¿Sí? 00:10:09
Perdón, perdón 00:10:14
Vamos, eres feliz 00:10:15
Lo voy a poner esto bien, ¿vale, chavales? 00:10:21
Vamos a ver 00:10:26
¿Qué me ha pasado aquí? 00:10:26
Que lo había hecho al revés, ¿no? 00:10:38
¿Todo el mundo lo ha copiado, chavales? 00:10:47
¿Esto qué es? 00:10:52
¿Y por qué no son cuadrados? 00:10:56
Dime hija 00:10:57
Ah, es verdad cateto 2 00:11:02
Salvo que me faltaba un 2 00:11:09
Pero el teorema de la altura me decía 00:11:13
El teorema de la altura es que h al cuadrado era igual a m por n 00:11:18
Y este de aquí es que cateto al cuadrado 00:11:23
Era igual a la hipotenusa por la proyección 00:11:27
Es decir, no solo teníamos, aquí no voy a poner nada, porque necesitaríamos el dibujo para tener, vaya. 00:11:30
El teorema del coseno se utiliza cuando queremos hallar un lado desconocido, 00:11:44
Desconocido, sabiendo la longitud de los... 00:11:55
Se utiliza también en triángulos, ¿eh? 00:12:05
El tema del coseno se utiliza en triángulos, no en triángulos, 00:12:08
cuando queremos hallar un lado desconocido, 00:12:15
sabiendo la longitud de los otros dos y del ángulo, 00:12:20
que los comprende, ¿vale? 00:12:25
¿Así? 00:12:29
Que los comprende. 00:12:31
Es decir, chavales, si yo tengo, ¿vale? 00:12:32
Si yo, por ejemplo, esto es ABC, ¿vale? 00:12:55
ABC, por lo tanto, esto es el lado C, 00:12:58
este es el lado A y este es el lado B, ¿verdad? 00:13:03
Entonces, si yo conozco este ángulo teta, ¿vale? 00:13:07
y conozco la longitud de A 00:13:12
y conozco la longitud de B 00:13:13
yo quiero hallar la longitud de C 00:13:16
entonces, el teorema 00:13:17
del coseno 00:13:20
es lo que me dice, chavales 00:13:23
que el lado desconocido 00:13:26
al cuadrado es igual, venga, que el guille 00:13:28
se lo sabe, dímelo 00:13:30
al cuadrado es igual a 00:13:30
al cuadrado 00:13:32
menos 2 por A 00:13:33
por A por B 00:13:36
por el seno de 00:13:38
no, no, no, date cuenta de cómo se llama 00:13:41
Eso se llama así, ¿vale? 00:13:42
Eso se llama teorema del coseno. 00:13:45
¿Vale, chavales? 00:13:47
Te vas ya, ¿no, Joel? 00:13:48
Vale. 00:13:49
Luego subo la clase. 00:13:51
Entonces, chavales, el teorema del coseno, fijaros una cosilla, chavales. 00:13:52
Es, no sé si os recuerda esto a algo. 00:13:57
¿A qué os recuerda esto, chavales? 00:14:01
A Pitágoras. 00:14:04
A Pitágoras. 00:14:06
¿Qué ocurre, chavales? 00:14:07
Aquí porque no está dibujado, pero ¿qué ocurre? 00:14:08
Si teta fueran 90 grados, chavales, si esto fuera 90 grados, que no lo es, ¿vale? Que esto no lo es. Si esto fuera 90, ¿qué ocurriría? Este y este serían los catetos, ¿verdad? Y este sería la hipotenusa, ¿no? Si fuera 90. ¿Cuánto vale el coseno de 90, chavales? Cero. 00:14:11
Por lo tanto, esta parte de aquí, ¿qué quedaría? Anulada. ¿Y con qué me quedaría? Con el teorema de Pitágoras. Es decir, el teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras. ¿De acuerdo? 00:14:35
Entonces, el teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras. 00:14:51
¿Lo veis, chavales? ¿Sí o no? ¿Sí? ¿Puedo pasar? 00:15:10
Daros cuenta que yo conozco AB y el ángulo que los comprende, ¿de acuerdo? 00:15:22
Entonces, ¿c es el desconocido? Pues c al cuadrado es igual a a al cuadrado más b al cuadrado menos dos veces a por b por coseno de teta, ¿vale? 00:15:27
Chavales, una cosilla. ¿Recordáis cómo yo sé que un triángulo es rectángulo? ¿Cómo sé yo que un triángulo es rectángulo si me dan una forma y no sé si me dan los tres lados? 00:15:39
Por ejemplo, yo te digo, no sé si puedo pasar. ¿Puedo pasar? No. Rafini, no me caes bien. Yo, por ejemplo, te digo el triángulo 3, 4, 5, ¿vale? Sin dibujar ni nada. 3, 4, 5. ¿Es un triángulo rectángulo? ¿Por qué? 00:15:52
¿Eh? Es una terna pitagórica, pero ¿qué cumple? 00:16:14
¿Cuál es el lado más largo de 3, 4 y 5, chavales? 00:16:21
El 5, ¿no? ¿Sí o no? 00:16:24
Y entonces, el 5 sería la hipotenusa, ¿no? 00:16:26
En caso de que fuese rectángulo, ¿sí o no? 00:16:30
Y entonces, 5 al cuadrado, ¿cuánto es? 00:16:32
25. 00:16:35
Y ahora tengo los otros dos lados. 00:16:36
Uno es 3 y otro es 4. 00:16:38
¿Cuánto es 3 al cuadrado, chavales? 00:16:40
¿Y 4 al cuadrado? 00:16:43
16. 00:16:45
9 más 16 es 25. 00:16:46
Por eso es una terna pitagórica, ¿vale, John? 00:16:48
Muy bien, muy bien, muy bien, muy bien. 00:16:50
Entonces, chavales, ¿qué es lo que ocurre? 00:16:52
Que yo sabiendo los lados, ¿vale? 00:16:54
Sabiendo los lados, yo sé si un triángulo es rectángulo o no. 00:16:56
¿Os acordáis que eso se da en primero de la ESO? 00:17:02
Seguramente no os acordéis. 00:17:04
¿Qué ocurre cuando un triángulo es octusángulo o un triángulo es acutángulo? 00:17:06
¿Sabéis la propiedad que se cumple o no? 00:17:12
¿Natilla? 00:17:15
Entonces, chavales, fijaros. 00:17:18
¿Puedo pasar, verdad? 00:17:21
Venga. 00:17:27
Yo tengo esto de aquí, ¿verdad, chavales? 00:17:29
Fijaros una cosilla. 00:17:31
Como me ha dicho bien, dice, como me ha dicho bien John, 00:17:33
si yo tengo el 3, 4, 5, 3, 4, 5 es una terna pitagórica. 00:17:37
¿Vale? Una terna pitagórica, ¿por qué? 00:17:43
Porque se cumple que 5 al cuadrado es igual a 3 al cuadrado más 4 al cuadrado. 00:17:49
Pero si yo ahora, chavales, os digo, esto de aquí, si yo tengo el triángulo 3, 4, 6, ¿este triángulo cómo es? ¿Rectángulo, octusángulo o acutángulo? 00:17:55
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:18:17
¿Qué es lo que ocurre? 00:18:24
Este es el lado más largo, ¿verdad? 00:18:26
El 6. ¿Y qué ocurre? 00:18:28
Que 6 al cuadrado, ¿verdad? 00:18:30
Es mayor, ¿verdad? 00:18:32
Es mayor que 3 al cuadrado 00:18:35
más 4 al cuadrado, que sabemos 00:18:36
que es 25, es decir, 36 00:18:38
es mayor 00:18:40
que 25, ¿sí o no? 00:18:42
Entonces, fijaros una cosilla. 00:18:45
Yo sé que rectángulo no es. ¿Verdad? ¿Rectángulo no es? ¿Por qué? Porque no cumple el teorema de Pitágoras. ¿Estáis de acuerdo conmigo en eso o no? 00:18:47
¿Y qué me dice el teorema del coseno? El teorema del coseno, que está escrito arriba, me dice que ese lado es a al cuadrado más b al cuadrado menos 2a por b por el coseno de teta. ¿Sí o no? 00:18:59
Bueno, y fijaros, ¿qué ocurre? Que yo aquí, ¿qué tengo? Que 36 es igual a 9 más 16 y aquí tengo otro número, ¿verdad? 00:19:15
Yo no. ¿Qué número es precisamente el que tengo yo aquí? 00:19:29
Sí, pero ¿cuánto vale todo esto para que me dé 36? ¿Cuánto tiene que valer? 00:19:36
36 es igual a 9 más 16 más otro número. 00:19:48
¿Cuánto tiene que valer ese número? 00:19:51
11. 00:19:54
¿Estáis de acuerdo conmigo o no? 00:19:55
11 tiene que valer, ¿verdad? 00:19:57
¿Sí o no? 00:19:59
Sí. 00:20:00
Entonces, fijaros. 00:20:01
Menos 2 por 9. 00:20:02
Perdona. 00:20:05
Menos 2 por 3 y por 4 por el coseno de ángulo. 00:20:06
Tiene que ser 11, ¿verdad? 00:20:11
¿Sí o no? 00:20:13
Y el coseno del ángulo, ¿qué es? Es menos 11 partido de 24. 00:20:13
¿Estáis de acuerdo conmigo o no? Estoy despejando. 00:20:22
Bueno, lo que quiero que veáis, si el coseno es negativo, ese ángulo puede ser agudo. 00:20:28
¿Puede ser agudo? 00:20:38
¿Hello? 00:20:40
Sí. 00:20:41
A ver, chavales, esto es menos y esto tiene que ser menos 11. Me he equivocado aquí, ¿vale? 00:20:42
Esto tiene que ser menos, menos 11 para que sea más, ¿vale? 00:20:50
Entonces, esto tiene que valer menos 11 y esto, entonces, es un más, ¿vale? 00:20:53
Entonces, ahora, perdonadme, me he equivocado, ¿eh? 00:21:02
Como es menos aquí, esto tiene que ser menos 11 para que sea más 11, ¿sí o no? 00:21:05
Entonces, ¿qué ocurre? 00:21:10
que todo esto 00:21:11
todo esto de aquí 00:21:13
lo estoy haciendo bien 00:21:18
todo esto de aquí 00:21:24
ah, no, tiene que valer 11 00:21:30
tiene que valer 11, ¿no? 00:21:32
chavales, que tenéis calculadora ahí, ¿no? 00:21:43
hace un momento yo el coseno de 120 00:21:45
da 0,5 00:21:47
vale 00:21:50
vale, menos 0,5 00:21:52
es 120, ¿verdad? 00:21:54
entonces esto es un más 00:21:56
y es un más 00:21:59
entonces 00:22:01
yo tuve una discusión con esto 00:22:02
y es que es lo que yo digo 00:22:05
vale 00:22:09
vale, perdonad chavales 00:22:10
todo esto de aquí tiene que ser 00:22:12
más 11, esto va bien como antes 00:22:15
¿vale? 00:22:17
entonces 00:22:20
¿qué ocurre chavales? que cuando 00:22:21
la c al cuadrado es mayor 00:22:23
que a al cuadrado más b al cuadrado 00:22:25
¿verdad? 00:22:27
este ángulo 00:22:27
¿cómo es si el coseno es negativo? 00:22:32
¿cómo es el coseno negativo? 00:22:36
¿cómo tiene que ser? ¿en qué cuadrante está? 00:22:38
en el segundo 00:22:41
en el tercero, ¿puede estar en el tercero 00:22:42
un triángulo? 00:22:44
no, porque los ángulos suman 00:22:46
180 grados, entonces esto es 00:22:47
obtusángulo 00:22:50
¿vale? es 00:22:51
obtusángulo 00:22:55
habéis dicho 120 ¿verdad? 00:22:59
que es negativo 00:23:02
¿Vale? Y ahora, chavales, si c al cuadrado es menor que al cuadrado más b al cuadrado, resulta que yo le estoy restando, ¿lo veis? Aquí, porque el coseno de un ángulo entre 0 y 90 como es positivo, ¿verdad? Entonces tenemos un acutángulo. Y todo viene del teorema del coseno. ¿Vale, chavales? ¿Vale? Y es aplicar la fórmula. 00:23:03
¿Hasta ahí bien, chavales? 00:23:30
Lo que quiero que tú veas es que cuando yo te doy un triángulo 00:23:46
los tres lados, tú puedes saber si es 00:23:49
rectángulo, octusángulo o acutángulo. 00:23:53
Entonces, tú te coges el lado mayor y lo elevas al cuadrado. 00:23:57
Y luego coges los otros dos valores, los elevas al cuadrado y los sumas. 00:24:01
Si el cuadrado del lado mayor es mayor, 00:24:05
nunca mejor dicho, que la suma de los otros dos más chicos, date cuenta que es octusángulo. 00:24:09
¿Por qué? Porque esto de aquí tiene que ser negativo y lo sumo y entonces la c es mayor. 00:24:14
Y entonces, ¿qué ocurre? Que el coseno del ángulo, para que esto sea positivo, 00:24:21
el coseno del ángulo tiene que ser negativo. 00:24:25
En este caso, el coseno del ángulo es negativo, es menor que 0. 00:24:28
Por lo tanto, el ángulo de teta es mayor que 90. 00:24:33
Y aquí en acutángulo el coseno de teta es mayor que 0, por lo tanto, teta es menor que 90 grados, por eso es acutángulo. 00:24:39
¿Vale, chavales? ¿Sí? ¿Sí? Vale. 00:24:51
Venga, ¿puedo pasar? 00:24:56
Aquí es a ver si hay dos fórmulas nada más, ¿vale? 00:25:00
¿Sí? ¿Puedo pasar? 00:25:04
Y ahora, el teorema del seno. Esto lo podría demostrar, pero ya el año que viene os lo demuestro en primero, ¿vale? Teorema del seno es A, que es el lado partido del seno de A, que es su ángulo, es igual a B partido el seno de B y es igual a C partido el seno de C. 00:25:08
Es decir, si yo tengo un triángulo tal que así, ¿vale chavales? Si esto es A, este es el ángulo de A. Perdonadme un momento, los vértices siempre en mayúsculas, ¿vale? Esto es el vértice de A, esto es el vértice de B, este es el ángulo B y este es el lado B. 00:25:31
Y si esto es C, este es el lado C y esto es el vértice de C, ¿vale, chavales? 00:26:04
Entonces, lo que me relaciona es el lado con su ángulo opuesto, ¿vale? 00:26:12
Relaciona un lado del triángulo con su ángulo opuesto, ¿vale, chavales? 00:26:19
¿Sí o no? 00:26:34
Entonces, chavales, un ejercicio. 00:26:38
Vamos a hacer un ejercicio nada más de esto. 00:26:44
Porque esto es más de ejercicio, ¿vale? 00:26:48
Si tengo este triángulo de aquí, si esto mide, me lo estoy inventando, ¿vale? 00:26:55
Esto mide, yo qué sé, 45 grados, ¿vale? 00:27:19
Esto mide 3 y esto mide 10, ¿vale? 00:27:26
Yo te pido haya los lados y ángulos del triángulo, ¿vale? 00:27:32
¿Cómo, cómo, cómo? 00:27:52
No, no, el cateto aquí no se puede aplicar. 00:27:54
Eso sí, ¿vale, chavales? 00:27:59
Entonces, fijaros, sé dos lados y sé el ángulo que lo comprende. 00:28:01
Sí, ¿verdad? 00:28:06
Entonces, ¿qué puedo aplicar? 00:28:07
El teorema del coseno. 00:28:09
Bueno, yo lo voy a nombrar. Esto es A, esto es B y esto es C, ¿vale? 00:28:10
Entonces, ¿qué sabemos de aquí, chavales? 00:28:15
Que C es igual a 3, que B es igual a 10. 00:28:17
El A lo desconocemos, pero es que más es que 45, que es el ángulo de A, ¿vale? 00:28:23
Entonces, lo que me piden es hallar A, lo que me piden es hallar A, 00:28:30
hallar el ángulo de B 00:28:36
y hallar el ángulo de C 00:28:38
¿estamos de acuerdo? 00:28:40
entonces con el teorema del coseno 00:28:44
el A al cuadrado 00:28:47
¿qué es chavales? 00:28:53
¿qué es A al cuadrado? 00:28:54
¿alguien me lo dice? 00:28:58
sería B al cuadrado 00:29:01
¿verdad? 00:29:04
¿sí o no? 00:29:05
más C al cuadrado 00:29:07
menos 00:29:10
2 por B 00:29:11
por c, ¿vale? Por el coseno de a. ¿Lo veis, chavales? ¿Sí o no? Entonces, al cuadrado, aquí que es 3 al cuadrado más 10 al cuadrado menos 2 por 3 por 10 por el coseno de 45 horas. 00:29:13
A al cuadrado es 9 más 100 menos 60 raíz de 2 partido de 2, ¿verdad? 00:29:38
Y esto es 109 menos 30 raíz de 2. 00:29:53
¿Cuánto vale A, chavales? 00:30:02
La raíz de 109 menos 30 raíz de 2. 00:30:08
¿Cuánto sale? 00:30:14
hacerme primero 109 menos 30 00:30:15
raíz de 2, le dais al igual 00:30:21
y luego hacéis... ¿Cuánto? 00:30:23
¿Tanto? 00:30:28
¿Me has hecho 109 menos 30 00:30:31
raíz de 2? ¿Cuánto da eso? 00:30:33
Ah, vale, eso sí, pero ahora 00:30:38
hay que hacer la raíz a esta. 00:30:39
Eso sí ya me 00:30:42
suena mal, ¿vale? 00:30:43
8,16 unidades. 00:30:44
Vale, fijaros una cosilla. 00:30:51
Esto es 8,16. 00:30:52
Porque el coseno de 45 es raíz de 2 partido de 2. 00:30:54
Hombre, sería un detalle que te lo supiera. 00:31:12
Era uno de los de 0, 30, 45 y 60 y 90. 00:31:14
Yo es que no tengo calculadores, me es más rápido hacerlo así. 00:31:21
¿Vale? Lo único, si lo hacéis con calculadora, chavales, hacerme toda esta operación completa, ¿vale? 00:31:24
Porque normalmente hacéis coseno de 45 que os va a dar, ¿cuánto da? 00:31:31
Y me lo ponéis con dos decimales y luego arrastráis únicamente los dos decimales y perdéis decimales. 00:31:36
Entonces, hacerme toda la operación, ¿vale? 00:31:42
Total, queda 8,16. 00:31:44
Lo que quiero que veáis, chavales, ¿cuál es el lado más largo? 00:31:47
¿El A, el B o el C? 00:31:51
El B, ¿vale? 00:31:56
Bien, bien, Valeria, te has puesto como lejos, guía. 00:31:57
El B. 00:32:00
Entonces, ¿cuál va a ser el ángulo mayor? 00:32:01
¿Eh? 00:32:06
El ángulo B. 00:32:08
Hay una cosa que ocurre en los triángulos, ¿vale? 00:32:09
Que conforme mayor sea, por ejemplo, en el triángulo rectángulo, 00:32:13
en el triángulo rectángulo, que lo tenemos más aprendido, 00:32:18
en el triángulo rectángulo, chavales, ¿cuál es el ángulo mayor siempre? 00:32:20
¿El ángulo? 00:32:26
El ángulo recto, ¿sí o no? 00:32:26
¿Por qué? Porque entre los dos, entre los tres suman 180. 00:32:30
Si yo ya quito 90 para el ángulo recto, los otros dos ángulos son agudos, ¿verdad? 00:32:33
¿Sí o no? Por eso lo utilizamos mucho en trigonometría, ¿vale? 00:32:39
Los triángulos rectángulos. 00:32:42
Entonces, ¿qué ocurre? 00:32:43
¿Cuál es el lado mayor de un triángulo rectángulo? 00:32:46
¿Cuál es el lado mayor? 00:32:49
La hipotenusa. 00:32:53
Y la cotenusa, ¿qué es? El lado contrario al ángulo recto, ¿lo veis? 00:32:54
Entonces, los triángulos siempre, siempre, siempre está esa relación. 00:32:59
Es decir, el ángulo más pequeño es el opuesto al lado más pequeño. 00:33:04
El ángulo mayor siempre es el opuesto al lado mayor. 00:33:09
Y el lado mediano es el opuesto al ángulo mediano, ¿vale? 00:33:13
Por lo tanto, mi pregunta es, mi pregunta es, ¿el ángulo B qué va a ser? ¿Mayor o menor que 45 grados? 00:33:17
¿Mayor? ¿Mayor? Vale, Sara, que lo has dicho creo que al revés. Date cuenta que A es el lado mediano, ¿lo ves? 00:33:27
Ah, vale, pues te he entendido menos, perdóname. Entonces, como es 45 grados, precisamente, ¿cuál va a ser el ángulo más chico? 00:33:35
el C. ¿Lo veis? Entonces esto lo vamos a ver aquí. ¿Cómo hallo yo el ángulo B y el ángulo C? Pues 00:33:44
precisamente con el teorema de los senos. ¿Vale, chavales? Y entonces, ¿qué me dice el teorema de 00:33:51
los senos? Que A partido el seno de A es igual a B partido el seno de B y es igual a C partido el 00:34:00
seno de C. ¿Estamos de acuerdo o no? Entonces, ¿qué ocurre, chavales? Que yo conozco A 00:34:10
y el seno de A. Sí. ¿Puedo hallar ya B y puedo hallar ya C? Sí. Sí, ¿verdad? Entonces, 00:34:18
¿qué ocurre? Si yo lo cojo de aquí, me lo voy a pasar al otro lado, ¿vale? Tenéis 00:34:26
ustedes los datos, ¿verdad? Entonces, de aquí, ¿qué voy a coger, chavales? De aquí, 00:34:41
¿Y qué sé yo del 1? 00:34:46
Que A partido seno de A es igual a B partido seno de B, ¿verdad? 00:34:48
¿Qué es lo que desconozco? 00:34:56
Seno de B, ¿verdad? 00:34:58
Si yo esto lo multiplico en cruz, ¿qué tengo? 00:34:59
A por seno de B es igual a B por seno de A. 00:35:02
Seno de B, ¿a qué es igual, chavales? 00:35:09
A B por seno de A partido de A. 00:35:12
¿Cuánto valía B? ¿3? ¿Puede ser 3? 00:35:16
10, ¿no? Vale, vale, es que no lo recuerdo. 00:35:21
¿El A cuánto valía? ¿45? 00:35:23
¿El ángulo A? 00:35:27
Vale, es seno de 45 grados. 00:35:29
Y ahora sí, ¿no? ¿El A vale 3 o me lo he inventado? 00:35:32
Pues no, el A, 8, 16. 00:35:35
¿Vale? Entonces, chavales, ¿cuánto da esto? 00:35:38
0,86. 00:35:47
0,86. Fijaros que el seno siempre tiene que estar entre menos 1 y 1, ¿vale? 00:35:48
Y en este caso tiene que estar, como está entre 0 y 180, tiene que estar entre 0 y 1, ¿vale? 00:35:55
Entonces, ¿ves cuánto vale el arco seno de 0,86? 00:36:04
¿Sabéis cómo se hace el arco seno? 00:36:09
El seno menos 1, ¿vale? 00:36:11
Seno menos 1 de 0,86. 00:36:13
¿Y esto cuánto da? 00:36:16
¿Hello? 60,06 grados, ¿verdad? 00:36:18
Y ahora, chavales, de 2, ¿verdad? De 2, que lo voy a hacer en vez de repetir bueno, 00:36:25
yo que tengo que A por seno de C, ¿verdad? Es igual a C por seno de A. 00:36:32
¿Estamos de acuerdo o no? Seno de C, ¿a qué es igual? A C por seno de A partido de A. ¿Cuánto valía C, chavales? ¿10? No, 3. ¿C vale 3, chavales? Sí. 3 por el seno de 45 grados partido de 8, 16. 00:36:40
También, pero vamos a comprobar 00:37:08
De que sale bien, ¿vale? 00:37:12
¿Cuánto da esto? 00:37:15
¿El low? 00:37:17
¿El low? 00:37:20
0,25, ¿no? 00:37:30
Por lo tanto 00:37:32
¿Qué es? 00:37:33
El arcoseno, ¿verdad? 00:37:36
De 0,25 00:37:39
Que da 00:37:40
74,94 grados 00:37:41
¿Vale, chavales? 00:37:44
Entonces, ¿es verdad que A más B más C suman 180? 00:37:47
Pues sí. 00:37:55
Tenemos 45, ¿verdad? 00:38:00
Más 60,06 más 74,94 grados. 00:38:02
Esto, si no me equivoco, son 180 grados. 00:38:09
Entonces, chavales, errores que cometen los chavales. 00:38:13
Errores que cometen los chavales. 00:38:16
Claro, Guille me ha dicho, es una tontería que haga esto, esta parte de aquí, porque si ya tengo dos ángulos, el tercero lo puedo calcular restando 180 menos los otros dos. ¿Eso es correcto o no? Pero recomendación que os doy. 00:38:18
como aquí muchas veces falláis 00:38:33
¿vale? yo os recomiendo 00:38:36
que apliquéis como lo he hecho yo 00:38:38
las dos fórmulas y luego 00:38:40
comprobéis de que realmente sale igual 00:38:42
¿vale? porque a veces 00:38:44
me encuentro chavales que me hacen 00:38:46
esto aquí por lo que sea se equivocan 00:38:48
hacen lo que tú has 00:38:51
dicho de 180 00:38:52
menos el que sé y el que acabo de hallar 00:38:54
por lo tanto tengo el valor 00:38:56
pero como se han equivocado aquí 00:38:57
también se equivocan en el otro 00:39:00
Entonces, yo os recomiendo que lo hagáis los dos, ¿de acuerdo? 00:39:01
Que lo hagáis los dos y comprobad que realmente da 180 grados, que sea un poquito más largo, ¿vale? 00:39:05
¿Veis esto complicado, chavales? 00:39:14
Dime, hijo. 00:39:17
Porque tú lo que hayas aquí con esta fórmula es el seno, ¿vale? 00:39:21
Entonces, el seno te da 0,86. 00:39:25
Pero eso vale seno de B, ¿vale? 00:39:27
Entonces, con la calculadora tú vas a hallar cuál es el ángulo, ¿vale? Y entonces hay una función que se llama arcoseno, ¿vale? ¿Y qué es lo que ocurre en la calculadora? ¿Tú tienes la calculadora de Dante Raffini? 00:39:30
hay una tecla 00:39:45
que seguramente 00:39:48
está encima del seno 00:39:50
pero en otro color 00:39:52
efectivamente, que se llama seno menos uno 00:39:53
pues eso es el arcoseno 00:39:56
no confundir 00:39:59
arcoseno 00:40:01
con cosecante 00:40:02
no es lo mismo 00:40:05
¿vale chavales? esta es la función 00:40:06
eso es para sacar el agua 00:40:09
¿de acuerdo? 00:40:11
¿Lo veis esto difícil? No, ¿verdad? No es complicado. ¿Vale? Entonces, dime. ¿Vale? ¿La habéis entendido? ¿Vale? 00:40:13
¿Sí? Vale, quiero empezar con ustedes funciones, ¿vale? Entonces, vamos a empezar el tema 9 de funciones, que nos queda nada. ¿Cuánto nos queda? Minutillos, ¿no? 00:40:46
¿No? ¿Es el tema 7? ¿Tienes ahí tú el libro? Mírame si es el tema 7, funciones. Vale. Chavales, el tema de funciones, el tema 7, funciones. Vale. Funciones como tal, yo os lo voy a explicar de una forma un poco rudimentaria, ¿vale? Pero yo creo que a la gente se le queda bastante bien. 00:41:01
Una función, chavales, ¿vale? Una función es como si fuera una caja negra, ¿vale? Esto es una función. Entonces, yo meto un valor de x, ¿de acuerdo? Yo meto un valor de x, ¿de acuerdo? Y al final me sale un valor que depende de esa x, ¿de acuerdo? ¿Sí o no? 00:41:26
Entonces, ¿qué es lo que ocurre, chavales? Cada entrada de x tiene un único valor de salida, ¿de acuerdo? Es decir, si yo meto la x igual a 3, no me pueden salir aquí dos valores, ¿de acuerdo? 00:41:51
no me pueden salir aquí dos valores. Si yo le meto el 3, me sale un único valor, ¿vale? 00:42:12
Un único valor. Un único valor que es función de x. Es decir, depende del valor de x. 00:42:19
¿Vale, chavales? Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:42:42
¿Qué es lo que ocurre? Que cuando yo tengo una función que tiene su representación gráfica, ¿vale, chavales? 00:42:47
Su representación gráfica, nosotros tenemos dos variables, ¿vale? 00:42:54
Vale, ya. 00:43:06
La variable x, que se llama variable independiente, ¿por qué es independiente, chavales? 00:43:08
Porque yo puedo elegir la x que yo quiera. 00:43:17
¿De acuerdo? ¿Pero qué ocurre? La Y se conoce como variable dependiente. ¿Por qué? Porque depende del valor de X. 00:43:19
Del valor de X. ¿Vale, chavales? Entonces, ¿qué sí nos podemos encontrar? 00:43:36
Si nos podemos encontrar varios valores de salida iguales, ¿de acuerdo? 00:43:43
Lo que pasa es que si yo meto una variable de entrada, tiene un único valor de salida, ¿vale? 00:43:50
Es decir, si entra Hugo en la máquina, va a salir un valor. 00:43:58
Imagínate 10. ¿Qué 10 qué es, Hugo? 00:44:02
La nota que vamos a sacar, ¿vale? ¿Sí o no? 00:44:05
Y ahora puede entrar Guille y Guille también puede salir con un 10, ¿vale? Eso sí es viable. Pero lo que no puede ser es que si entra Hugo salga con un 5 o con un 20 o con un menos 3. Si Hugo entra y sale con un 10 es la única posibilidad, ¿de acuerdo? Y entra Guille y entra Guille y también sale con un 10. 00:44:08
Es decir, la salida puede ser igual, pero lo que no puede tener es dos salidas distintas para un único valor de entrada. 00:44:33
Y eso es muy importante, ¿vale? Lo voy a escribir aquí. 00:44:41
No puede haber dos valores de salida para un único valor de entrada. 00:44:46
Entonces, lo que sí puede pasar es que dos valores de entrada tengan la misma salida. 00:44:54
¿Vale, chavales? ¿Entendéis el juego este de palabras? 00:45:06
Es decir, que entra Hugo, saca un 10. 00:45:11
Pero si entra Hugo no puede sacar un 2, ni un 3, ni un menos 8, ni un 20. 00:45:14
Entra Hugo y sale un 10. Entra Guillermo y sale un 10. 00:45:20
Es decir, tengo dos entradas distintas, que uno es Hugo y otro es Guillermo, y salen, tienen la misma salida. Eso sí es posible. Pero cada vez que entre en esta máquina de aquí, Hugo sale con un 10. Y cada vez que entra Guille en esta máquina, en esta función, sale con un 10. 00:45:23
seguramente hubo en otra máquina, en otra función, tenga otro valor, ¿vale? 00:45:43
Pero en esta de aquí es esto. 00:45:47
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:45:50
Esto lo hemos visto nosotros ya desde primero de la ESO, incluso yo creo que en primaria, 00:45:52
cuando nosotros, por ejemplo, imagínate, f de x es igual a 3x más 5, ¿vale? 00:45:57
Geométricamente alguien me sabe decir qué es 3x más 5, que es una recta, esto es una recta. 00:46:05
Entonces, mi función, que es como fuese una cajita, ¿vale? 00:46:13
Yo tengo aquí la x. 00:46:18
¿Y qué hago con la x, chavales? 00:46:20
Yo primero la multiplico por 3, ¿verdad? 00:46:22
Y al resultado le sumo un 5, ¿sí o no? 00:46:26
¿Sí o no? 00:46:30
Entonces, es decir, si x es igual a 0, ¿cuánto vale, chavales, f de 0? 00:46:31
Pues, ¿qué hago? 00:46:39
Al 3 lo multiplico por 0 y le sumo un 5, es decir, un 5. 00:46:39
¿Qué quiere decir esto? 00:46:46
Que cuando entra un 3, en esta función de aquí, en un 0, perdona, va a salir un 0, un 5. 00:46:48
No puede salir cualquier otro valor, es decir, si entra un 3, aquí un 0, joder, como estoy hoy. 00:46:54
Si entra un 0, perdonadme, si entra un 0, sale un 5, ¿de acuerdo? 00:47:00
Si la x vale 10, f de 10, ¿yo qué hago con la x? La multiplico por 3 y al resultado le sumo un 5, es decir, 35. 00:47:05
Si aquí en esta máquina entra un 10, sale un 35. No puede salir otra cosa, ¿de acuerdo? 00:47:18
Entonces, chavales, lo que yo siempre explico, si x es igual a pp, que esto parece una chumina, ¿cuánto es el valor de pp? 00:47:25
¿Qué hago con el Pepe? 00:47:34
¿Qué hago con el Pepe según esta función? 00:47:36
Lo multiplico por 3 00:47:39
Y le sumo un 5 00:47:41
¿Vale? 00:47:44
Siempre 00:47:45
Y eso es un ebook 00:47:46
¿Vale, chavales? 00:47:47
¿Sí o no? 00:47:49
Entonces, es la idea muy importante 00:47:49
Que tenemos que tener de funciones 00:47:52
Y con esto acabo por hoy 00:47:53
Y seguimos 00:47:55
Mañana no tenemos clase, ¿verdad? 00:47:56
Seguimos el jueves 00:47:57
Entonces, chavales 00:47:58
Una función 00:47:59
Lo que yo quiero que veáis 00:48:00
Una función, chavales, puede ser, por ejemplo, vaya, ¿puede ser esto de aquí? ¿Puede ser esto una función? ¿Con lo que hemos dado? Sí, ¿no? ¿Sí? ¿Sí? ¿Seguro? 00:48:03
fijaros aquí, en el 1 00:48:22
en el 1 00:48:26
tengo dos valores, ¿verdad? 00:48:27
¿es eso posible? 00:48:31
daros cuenta que esto es 00:48:32
x, la variable independiente 00:48:34
y esto es la y, si entra 00:48:36
un 1, no puede que me salga 00:48:38
aquí por ejemplo un 3 y aquí un 00:48:40
menos 3, eso es imposible 00:48:42
¿vale? entonces gráficamente 00:48:44
no puedo tener para 00:48:46
un único valor de x 00:48:48
más valores de y, esto 00:48:49
no es una función, no es una función, ¿vale? No os dejo tarea por ejercicio, pero sí necesito, 00:48:52
por favor, que para el jueves os leáis las primeras páginas del tema 7, ¿vale? Leeros 00:49:03
las primeras páginas del tema 7 porque vamos a ir rápido con esto, ¿de acuerdo? Porque 00:49:10
vamos a tener un examen de hecho, ¿vale? Creo... 00:49:14
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Educación Secundaria Obligatoria
    • Ordinaria
      • Segundo Ciclo
        • Cuarto Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
5
Fecha:
13 de marzo de 2026 - 12:50
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
49′ 22″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
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