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VIDEO 3 TEMA 5 MATEMÁTICAS I - Contenido educativo

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Subido el 24 de marzo de 2026 por Alberto T.

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VIDEO 3 TEMA 5 MATEMÁTICAS I

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Muy buenas a todo el mundo, ¿qué tal estáis? Espero que hayáis descansado el fin de, que 00:00:00
vengáis con ganas porque quedan dos clases del tema de geometría y luego nos quedarían 00:00:06
las últimas que son del tema 6 que ya es estadística. Entonces hoy vamos a ver algo 00:00:13
que probablemente entre en el examen, que es el teorema de Pitágoras, con lo cual lo 00:00:22
Porque siempre digo, si no venís con ganas, pausad el vídeo y cuando tengáis ganas, lo ponéis, ¿vale? 00:00:28
Porque hay que estar muy atentos. 00:00:34
Hoy vamos a estudiar los triángulos, ¿vale? 00:00:37
Y en concreto, un teorema que es el más conocido de los triángulos, que es el teorema de Pitágoras. 00:00:39
Luego también, la semana que viene, veremos otro teorema de los triángulos, que no es tan conocido, pero también es importante. 00:00:45
¿Vale? 00:00:52
Pero hoy vamos a ver un teorema que seguramente a lo mejor os suene. 00:00:54
así que venga, vamos con ello 00:00:58
como siempre al principio os recuerdo 00:01:00
mi correo para cualquier duda 00:01:02
atorrespatino.educa.madrid.rg 00:01:04
cualquier duda que tengáis 00:01:07
me la preguntáis por ahí 00:01:09
o podéis venir 00:01:10
los días de clase, es decir los miércoles 00:01:12
de 4 a 5 a preguntarme alguna duda 00:01:14
allí, sabéis que las clases 00:01:17
no hace falta que vengáis 00:01:19
pero si tenéis alguna duda puntual 00:01:21
y alguien quiere venir a preguntarla 00:01:22
pues puede venir 00:01:24
Eso, mandadme un correo e intentaré responder con la mayor prioridad posible 00:01:26
y intentar solucionar las dudas que tengáis 00:01:31
Bueno, vamos a empezar con el estudio del triángulo 00:01:33
Lo primero que hay que saber es que es un triángulo 00:01:37
Hemos visto ya lo que son los polígonos 00:01:41
Pues un triángulo es un polígono de tres lados 00:01:44
O sea, es el polígono con menor número de lados posibles 00:01:46
Acordáis que para que haya polígono tiene que haber mínimo tres lados 00:01:49
No se puede hacer un polígono con dos lados 00:01:54
Es imposible. Si lo habéis probado alguna vez, intentad probarlo, porque es matemáticamente imposible poder hacerlo. 00:01:56
Entonces, hay que conocer dos cosas del triángulo. 00:02:05
Una, una propiedad muy importante, y esto nos va a ayudar a hacer ejercicios, es que la suma de sus tres ángulos, 00:02:08
es decir, claro, como tiene tres lados, tiene también tres ángulos, 00:02:14
pues si tú sumas los tres ángulos, tiene que dar 180 siempre. 00:02:16
Es decir, este ángulo más este más este da 180. 00:02:22
Entonces, esto es muy importante porque si tú conoces dos ángulos, el otro lo puedes calcular como 180 menos la suma de los dos ángulos que tienes. 00:02:25
Entonces, esta propiedad no la tenéis que olvidar nunca, ¿vale? Que es importante. 00:02:35
Y luego también, por supuesto, la altura, claro. 00:02:40
¿Cómo se calcula la altura? Pues tú coges el vértice que esté más para arriba, ¿no? 00:02:42
Un triángulo, el vértice superior, y trazas una línea vertical, es decir, vertical total, ¿vale? 00:02:47
a 90 grados desde la horizontal. Y entonces donde caiga, pues desde donde toca el lado hasta donde 00:02:54
estaba el vértice, esa es la altura. Es una línea justo vertical, nada de oblicua. En este triángulo 00:03:03
sería muy fácil verla. ¿Qué pasa si tenemos esta especie de triángulo? Pues claro, el vértice que 00:03:10
está más arriba es este. Entonces al trazar una línea vertical nos sale esta línea. Entonces lo 00:03:16
que hay que hacer aquí es prolongar este lado para que se encuentre con la vertical vale aunque esta 00:03:20
medida no se tiene en cuenta vale para el lado para la del lado la del lado es ésta sólo lo único 00:03:29
que hay que tener en cuenta esto para bajar la altura vale para para que llegue a donde estaba 00:03:33
el lado inferior entendéis la altura tiene que ser el vértice superior a la base y la base siempre es 00:03:40
el lado que está puesto encima de la superficie, ¿vale? Es decir, el lado que está más abajo. 00:03:45
Entonces, visto lo que es la altura y visto la propiedad de los ángulos, del triángulo, 00:03:55
se puede hacer este ejercicio, ¿vale? Entonces, este ejercicio a lo mejor puede resultar un 00:04:00
poco difícil a algunos, sí que es verdad que el apartado A es muy sencillito, ¿vale? 00:04:07
El apartado B y C es un poquito más difícil, pero con la propiedad que os he dicho, se hace fácilmente. 00:04:13
Entonces, vamos a hacerlo ahora entre todos. Bueno, lo voy a hacer yo y vosotros me escucháis. 00:04:20
¿Vale? 00:04:25
Entonces, esto simplemente hay que tener en cuenta que la suma de los tres ángulos da 180. 00:04:26
Y hay que tener en cuenta los otros ángulos. 00:04:33
Y también los tipos de ángulos que estudiamos, es decir, ángulos suplementarios, complementarios, ¿no? 00:04:36
¿Os acordáis que, por ejemplo, los ángulos suplementarios son los que sumaban 180? 00:04:42
Entonces, todo esto hay que tenerlo en cuenta. 00:04:47
Prefiero, si estos dos tienen que dar 180 porque es la horizontal, si este mide 35, pues ¿este cuánto será? 00:04:50
Pues esto que es x, pues será 180 menos 35 grados. 00:04:56
¿Vale? 00:05:02
Y esto nos sale 145 grados. 00:05:03
¿Entendéis un poquito cómo sería? 00:05:06
es utilizando las propiedades de los ángulos que vimos al principio 00:05:07
y luego la propiedad de los triángulos, de la suma de sus ángulos, ¿vale? 00:05:12
Entonces, con esas dos cosas se hace este ejercicio. 00:05:18
En el apartado B y C hay que usar ambas cosas. 00:05:22
En el apartado A, solo la de la suma. 00:05:24
Solo la de la suma de los triángulos, ¿vale? 00:05:27
Bueno, entonces, ¿cómo sería esto? 00:05:30
Claro, aquí tenemos que nos dan un ángulo y luego este ángulo no nos lo dan, pero os voy a decir un truco, siempre que veáis que en vez de tener forma circular el ángulo, sino que tiene forma cuadrada, significa que tiene 90 grados justo, aunque por la forma lo sabréis decir. 00:05:35
es decir, siempre que veáis un ángulo así, sabéis que tiene 90 grados 00:05:55
claro, la cosa está que a lo mejor parece casi recto, pero no es 00:05:58
por ejemplo este sería menos, sería 88, 67 grados, etc 00:06:04
entonces, cuando nos ponga un cuadrado, significa que el libro no nos dará la certeza de que son 90 grados justo 00:06:06
con lo cual, este ángulo de aquí sería un ángulo recto, tendría 90 grados 00:06:14
con lo cual tenemos aquí 90 grados, 65, ¿cuánto será alfa? 00:06:19
Pues alfa será igual, bueno, lo primero que hay que hacer es sumar, ¿vale? Esto luego lo puedo subir si queréis, ¿vale? Este ejercicio del 4 lo voy a subir, luego escaneado. 00:06:24
Entonces, 65 grados más 90 grados, entonces 155 grados. Y luego, alfa será igual a 180 grados menos 155. Esto será igual a 35 grados, ¿vale? 00:06:36
alfa es igual a 35 00:06:50
siguiente, ¿vale? este es el más fácil 00:06:52
ahora vamos con los otros 00:06:55
¿por qué? claro, aquí nos dan este ángulo 00:06:56
y hay que calcular este 00:06:59
pero claro, no nos dan este, o sí 00:07:01
nos lo dan de forma encubierta 00:07:03
porque hay que sacarlo 00:07:05
es decir, claro 00:07:06
este ángulo más este suman 180, ¿no? 00:07:08
porque si os dais cuenta, es exactamente así 00:07:11
aquí tenemos el de 120 00:07:13
y este vamos a llamarlo beta 00:07:16
por poner otra letra griega igual que esta. Entonces, 120 más beta son 180. ¿Cuánto será beta? 00:07:19
Beta será igual a 180 menos 120, es decir, 60 grados. Y ahora que tenemos 60 grados aquí y 48, 00:07:28
Pues sumamos 48 grados más 60 grados. Esto es igual a 108 grados. Y ahora, estoy haciendo todo, si me equivoco en algún cálculo, estoy haciendo con la cabeza. Vale, 48 más así, porque 40 más 60 es 100. Vale, 108. 00:07:38
Y ahora, alfa se da igual a 180 grados menos 108, por la propiedad de los triángulos. 00:07:55
Da igual qué tipo de triángulo sea, en todo se cumple. 00:08:04
Ahora veremos luego los tipos de triángulos. 00:08:08
Entonces, 180 grados menos 108, esto se da igual, 180 menos 180, y menos 8, 72 grados. 00:08:10
Los alfa son 72 grados. 00:08:19
¿Vale? Bueno. 00:08:22
Y por último, el apartado C, que aquí hay que hacer algo parecido a esto, lo que pasa es que ahora está así en vertical, es decir, tenemos así esto, entonces, esto es alfa, ¿vale? 00:08:23
entonces, bueno voy a hacerlo parte por parte porque primero 00:08:39
lo primero que hay que ver es que nos dan 00:08:44
este ángulo, porque como os he dicho que al ser un cuadrado 00:08:48
indica que es ángulo recto, 90 grados y nos dan este, con lo cual 00:08:51
podemos calcular este ángulo de aquí y luego con este sacar este 00:08:56
vamos a llamarlo beta, siempre que nos dan una palabra griega 00:09:00
lo mejor o lo más común de usar para otro ángulo desconocido en vez de x 00:09:03
que podéis usar otra letra griega, por ejemplo beta, se utiliza mucho para ángulos 00:09:07
alfa y beta, ¿vale? letras griegas, igual que para los planos 00:09:12
entonces, vamos a poner 00:09:16
que beta es igual, bueno, primero hay que sumar 00:09:19
aunque lo puedo hacer todo de golpe, pero voy a hacerlo paso por paso por si 00:09:24
para que no os perdáis, 90 grados más 42 grados 00:09:27
es igual a 132, y ahora beta es igual a 00:09:31
180 menos 132 grados. 00:09:35
A ver si me ha salido un 1 un poco raro. 00:09:41
180 menos 132 grados. 00:09:45
Entonces, claro, lo que siempre os digo, un truquillo para el cálculo mental. 00:09:48
Tenéis que, por así decirlo, fraccionar una operación compleja más sencilla. 00:09:53
Es decir, 180 menos 132 a lo mejor no lo sabéis, pero 180 menos 130 sí, que es 50. 00:09:58
Pues son 50 y luego a 50 le quitáis otros 2 00:10:03
Con lo cual nos da 48 00:10:07
Por eso el cálculo mental se me da bien 00:10:08
Porque no hago la operación compleja 00:10:11
Sino que hago 2 o 3 operaciones sencillas 00:10:14
Para que sumando todas esas operaciones de la compleja 00:10:17
¿Entendéis? 00:10:20
Y por eso es fácil llegar a este número 00:10:22
Un truquito por si en caso no os dejarán utilizar calculadora, etc 00:10:24
Cosa que si os dejamos 00:10:27
¿Y luego? 00:10:29
¿Cómo sacaríamos aquí alfa? 00:10:30
Pues claro, tenemos así esto, tenemos que alfa más beta, claro, entre los dos da 180 grados, pues ya está, simplemente una resta, alfa será igual, 180 grados menos 48 grados, ¿vale? 00:10:33
Entonces, ¿cómo sería esto? Pues claro, el 48 se parece un poco a 50, ¿no? Pues restamos 180 menos 50, queda 130, y como hemos restado 2 menos, pues luego hay que sumárselo. 00:10:50
Pues al final nos da 132 grados 00:11:01
¿Vale? 00:11:04
Si os dais cuenta, es exactamente 00:11:05
Claro, como son suplementarios 00:11:07
Es exactamente al contrario de antes 00:11:09
Porque este y este dan 00:11:11
180, entonces 00:11:13
Alfa sería 00:11:15
132 grados 00:11:17
¿Vale? Entonces voy a mover 00:11:19
De aquí esto, no sé si puedo mover 00:11:23
El cursor 00:11:27
Pues ya estaría 132 grados 00:11:28
No sé por qué aparece ahí 00:11:31
A ver 00:11:36
132 00:11:38
vale, yo creo que ha quedado claro, ¿no? 00:11:43
vea, pues vamos a pasar ahora a ver los triángulos 00:11:50
y luego vemos pitagoras 00:11:52
pausad el vídeo y copiadlo si queréis, aunque luego 00:11:54
esto lo subo, ¿vale? 00:11:56
si veis que 00:11:58
al final de la semana no lo he subido 00:12:00
es decir, el viernes de esa 00:12:02
semana santa justo previo, pues me mandáis 00:12:04
un email para recordármelo 00:12:06
y lo subo, sin problema, aunque lo 00:12:08
intentaré subir antes, ¿vale? 00:12:10
bueno, entonces 00:12:12
vamos con el estudio del triángulo, voy a intentar que la clase dure 35 minutos como mucho 00:12:15
entonces, bueno, igual que los polígonos 00:12:20
se podían clasificar de diferentes formas, los triángulos igual, se pueden clasificar 00:12:24
de dos formas diferentes, una es según sus ángulos, que pueden ser 00:12:28
acutángulo, rectángulo, obtusángulo 00:12:32
vale, se me ha ido ahora, acutángulo, rectángulo y obtusángulo 00:12:35
es decir, acutángulo que tiene los tres ángulos agudos 00:12:40
¿vale? rectángulo es que tiene, que este es muy importante 00:12:43
porque es el único que se va a usar para el teorema de Pitágoras, con lo cual con este 00:12:48
si os aprendéis uno de los tres, que sea este, por favor, que es el más importante, el rectángulo 00:12:51
que tiene un ángulo recto, ¿veis? que tiene aquí el cuadrado, el ángulo recto 00:12:55
y luego tiene otros dos más pequeños, porque claro, si este son 90 grados 00:12:59
y entre los tres tiene que ser 180, pues entre este y este van a ser 00:13:04
90, es decir, estos dos ángulos son complementarios y este es un ángulo recto 00:13:07
entonces será un recto y dos agudos 00:13:11
y los obtusángulos serán un obtuso y dos agudos 00:13:16
todavía más pequeños que este 00:13:21
y luego la clasificación más conocida es según los lados 00:13:22
es decir, la igualdad de lados 00:13:28
el que tiene tres lados iguales, es decir, como el triángulo perfecto es el equilátero 00:13:30
este es el triángulo perfecto porque tiene tres ángulos iguales 00:13:35
Y aparte, al tener los ángulos iguales, tiene, al tener los lados iguales, tiene los ángulos iguales. 00:13:39
Porque creo que he dicho ángulos, ¿vale? 00:13:45
O sea, que me he adelantado un poco, he hecho un poco de spoiler. 00:13:49
O sea, al tener los tres lados iguales, tiene también los ángulos, ¿no? 00:13:52
Son 60, 60 y 60, quedan 180. 00:13:55
¿Vale? Este es el único triángulo que tiene todo igual, los ángulos y los lados. 00:13:58
Luego está el isórceles, que es como que tiene dos lados iguales y uno pues como que le fastidia la igualdad, ¿no? 00:14:02
Entonces, este tiene exactamente, normalmente son los dos lados así que están en vertical oblicuo iguales y luego la base suele ser más pequeña, ¿vale? 00:14:11
O podría ser más grande, pero se suele dibujar más pequeña. 00:14:21
Y luego está el escaleno, que tiene tres ángulos distintos. Este es como que va a su bola, ¿no? 00:14:24
Tiene cada lado de una longitud y, por tanto, también tiene los tres ángulos desiguales, ¿vale? 00:14:28
Es exactamente lo contrario que el equilátero. 00:14:35
Aquí, tres lados iguales, tres ángulos iguales. 00:14:37
Escaleno, todo desigual, tanto los ángulos como los lados, ¿vale? 00:14:40
¿Sí? 00:14:46
Bueno, entonces, vamos a esto muy sencillo. 00:14:47
Esto simplemente es aprendérselo y si os pongo algún triángulo, ya sea la tarea en el examen, no lo sé, 00:14:52
Pues no creo que esta pregunta caiga, pero la tarea puede ser, pues, si yo os dibujo varios triángulos, pues que me digáis cómo son. 00:14:57
Lo más fácil es llevaros una regla y medir los lados. 00:15:04
Este mide 5, este mide 4 y mide 3. 00:15:08
Pues son distintos, ¿no? 00:15:10
Se escalen, ¿no? 00:15:12
¿Qué mide uno 4,1 y otro 4? 00:15:14
Pues está también el ligero fallo, el factor humano, que seguramente esos dos lados sean iguales, ¿vale? 00:15:16
Y sean isósceles. 00:15:25
Me refiero, para que sea distinto tiene que haber una diferencia de un centímetro por lo menos 00:15:26
No vale de medio milímetro o un milímetro 00:15:30
Seguramente eso sea un fallo de precisión, ¿vale? 00:15:32
Un factor humano 00:15:36
Entonces, dicho eso, vamos a pasar con lo más importante de la clase de hoy 00:15:37
Que esto seguro que cae al 100%, que es el teorema de Pitágoras 00:15:42
¿Vale? Que se puede emplear para diversas funciones en la actualidad 00:15:45
¿Vale? Entonces, sobre todo el año que viene que veréis más aplicaciones y eso 00:15:50
del teorema de Pitágoras, aunque aquí también se puede ver alguna, pero lo da muy por encima, 00:15:56
si no recuerdo mal. Sobre todo es para calcular distancias. Es decir, tú ahora mismo te colocas 00:16:01
al lado de un árbol y en función de su sombra puedes calcular la altura del árbol, por 00:16:07
ejemplo. Entonces se puede aplicar para ciertas cosas. Entonces, el teorema de Pitágoras 00:16:10
dice así. Se aplica solo a triángulos rectángulos, es decir, un triángulo que tiene un ángulo 00:16:16
recto y otros dos agudos. Yo suelo dibujar o así o al revés, o hacia la derecha o hacia 00:16:24
la izquierda, como más os guste. A mí me resulta más fácil así porque soy diestro, 00:16:30
pero si alguien es zurdo de mano, pues seguramente le resulte más fácil dibujarlo al revés. 00:16:33
Esto va en función de si eres diestro o zurdo, da igual. Pero se aplica igual para los dos, 00:16:38
sea la rampa mirando para acá o para acá. Bueno, entonces, el teorema dice que el cuadrado 00:16:45
de la hipotenusa, la hipotenusa siempre es el lado que es mayor, normalmente el que hace rampa, si el triángulo este lo fijamos como una rampa, una cuesta, pues es como si fuera el que hace rampa, la hipotenusa, el cuadrado de la hipotenusa, es decir, la hipotenusa elevada al cuadrado, elevada a 2, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, es igual a este cuadrado elevado a 2 más este, o sea, este cuadrado, este cateto elevado a 2 más este cateto elevado a 2, 00:16:52
Se llaman catetos los dos lados que no son la hipotenusa 00:17:22
Que pueden ser iguales o no 00:17:29
Hay veces que son iguales y otras veces no, no tienen por qué 00:17:31
Pero siempre son estos dos más pequeños que la hipotenusa 00:17:34
La hipotenusa siempre tiene que ser el lado mayor 00:17:38
O sea, eso apuntarlo en rojo 00:17:40
La hipotenusa es siempre el lado más largo 00:17:43
Y si os dais cuenta, la hipotenusa es el que está entre los dos ángulos agudos 00:17:45
Mientras que los catetos comparten ángulos rectos. También es otra manera de ver cuál es el cateto y cuál es la hipotenusa. ¿Cuáles son los catetos? Los catetos siempre comparten un vértice que tiene un ángulo recto. Mientras que la hipotenusa no le pasa eso, sino que comparte vértices con ángulos agudos. 00:17:51
esta formulita es muy sencilla que la aprendáis 00:18:08
la hipotenusa como es con h 00:18:11
pues se pone h al cuadrado es igual a 00:18:13
normalmente los catetos se llaman 00:18:15
a más b 00:18:17
a y b, entonces h al cuadrado es igual a 00:18:18
a al cuadrado más b al cuadrado 00:18:21
y esto es muy sencillo 00:18:22
queremos a lo mejor calcular 00:18:24
la hipotenusa, no la hipotenusa 00:18:27
al cuadrado, entonces nos falta un paso previo 00:18:29
que es después de esto 00:18:32
para despejar la hipotenusa 00:18:33
hemos aprendido a despejar 00:18:35
en ecuaciones. Cuando hay una suma, pues se pasa restando. Cuando hay una multiplicación, 00:18:37
se pasa dividiendo. ¿Vale? Porque son operaciones inversas. Pues la operación inversa de elevar 00:18:42
al cuadrado es la raíz cuadrada. Es decir, lo contrario de 5 al cuadrado, que es un resultado 00:18:47
de 25, lo contrario es la raíz cuadrada de 25, que da 5. Pues esto es algo igual. Para 00:18:54
despejar h, pues este 2 de aquí 00:19:02
pasa a ser una raíz cuadrada, ¿no? 00:19:05
Es como si hubiera aquí un 2, pero no se pone. 00:19:10
Pasa a ser una raíz cuadrada. Es como lo de cuando está multiplicando aquí 00:19:14
2x, pues el 2 que está multiplicando pasa dividiendo, pues aquí igual. Estaba elevando 00:19:18
al cuadrado, pues ahora pasa a hacer la raíz cuadrada del otro. 00:19:22
Entonces se quedaría así. Entonces, muy importante, 00:19:27
tenéis que comprar una calculadora que tenga para hacer raíces cuadradas 00:19:30
no va a ir la del bazar, bueno, yo creo que esas todavía tienen para raíces cuadradas 00:19:34
pero mejor una de una librería, la típica que es FX82 00:19:37
o algo así, si no recuerdo mal 00:19:42
si, la FX82M-X 00:19:46
¿vale? y con esas pues tenéis para 00:19:50
incluso potencias, etc. ¿vale? 00:19:53
para hacer todo esto 00:19:56
si no tenéis que 00:19:58
la del bazar 00:19:59
viene a lo mejor raíz cuadrada 00:20:00
pero no viene 00:20:01
algo elevado a 2 00:20:02
entonces tenéis que hacer 00:20:03
si es 5 elevado a 2 00:20:04
pues tenéis que hacer 00:20:05
5 por 5 00:20:06
y apuntar el resultado 00:20:07
aunque bueno 00:20:08
5 al cuadrado 00:20:09
se sabe que es 25 00:20:09
pero las típicas potencias 00:20:10
os tenéis que aprender 00:20:12
pero bueno 00:20:13
entonces 00:20:14
no sé si se ha quedado claro 00:20:15
¿vale? 00:20:17
esta es la fórmula 00:20:18
pero luego tenéis que despejar 00:20:19
la hipotenusa 00:20:20
o cualquiera de los cuadrados 00:20:21
¿vale? 00:20:22
que siempre para despejar 00:20:22
algo que está elevado al cuadrado 00:20:23
pasar la raíz cuadrada al lado contrario 00:20:25
bueno, así que vamos a ponerlo en práctica 00:20:27
primero voy a enseñar unos ejemplos 00:20:29
y luego hay dos ejercicios que podemos hacer 00:20:32
y con eso terminaríamos la clase 00:20:34
yo creo que en 15 minutos lo hacemos 00:20:36
bueno, entonces 00:20:38
primer ejemplo 00:20:40
nos piden calcular la altura 00:20:43
del árbol, entonces 00:20:46
claro, nos dan la distancia que hay 00:20:47
de aquí a este punto 00:20:50
y nos dicen cuánta distancia hay 00:20:51
desde el pico más alto del árbol hasta donde estamos en diagonal. ¿Cuál será la hipotenusa? 00:20:54
Pues el lado más largo, es decir, este. ¿Veis? Siempre es el que está entre dos ángulos 00:21:01
agudos, mientras que los dos catetos, que sería un cateto la altura del árbol y otro 00:21:05
cateto la distancia horizontal que hay, porque comparten aquí el ángulo recto, pues esto 00:21:10
es muy sencillo. De nos dar la hipotenusa y nos dar un cateto, entonces, claro, no es 00:21:19
tan sencillo como despejar la hipotenusa, sino que tenemos que pasar a despejar uno 00:21:23
de los catetos, que en este caso sería la altura, ¿vale? Que es aquí el cateto A. 00:21:28
Entonces, vamos con ello. Paso a paso, ¿vale? La fórmula esta la tenéis que saber, pero 00:21:33
de pe a pa. Hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado, ¿vale? 00:21:40
Este al cuadrado más este al cuadrado, ¿vale? Entonces, lo de poner la raíz cuadrada es 00:21:45
al final del todo. Es igual que cuando vas a ir dividiendo. Primero lo que hacéis es 00:21:50
sumar y restar, ¿no? ¿Qué pasa aquí? Claro, para despejar esto 00:21:54
este está sumando el cateto B. Ahora estás sumando 00:21:58
este cateto al cuadrado, por lo cual vas a ir restando. Entonces sería 00:22:02
hipotenusa al cuadrado menos el cateto B al cuadrado es igual a 00:22:06
al cuadrado. Esto es como, por ejemplo, poner 3 menos 2 00:22:10
igual a x es lo mismo que x igual a 3 menos 2. Es como dar la vuelta 00:22:15
a la tortilla, pues le damos la vuelta 00:22:19
para ponerlo más bonito, porque siempre nos gusta tener la x o la incógnita 00:22:22
a la izquierda y el resultado a la derecha 00:22:27
a al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado menos 00:22:29
el cateto b al cuadrado, y ahora ya que tenemos 00:22:34
despejado esto, ya sí podemos hacer la raíz cuadrada, nos falta el último paso que es 00:22:38
a será igual a, esta potencia pasa haciendo la raíz cuadrada 00:22:42
la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado menos el cateto al cuadrado 00:22:46
¿vale? siempre cuando despejamos un cateto 00:22:51
siempre nos va a salir una raíz de dos cosas al cuadrado 00:22:55
pero que se están restando y siempre se resta el que aparece 00:22:59
como disminuyendo 00:23:03
es la hipotenusa y lo que aparece como sustraendo, lo que resta 00:23:06
es el otro cateto 00:23:10
bueno, entonces simplemente 00:23:11
despejar, vale, h al cuadrado 00:23:15
¿cuánto es? 28 al cuadrado 00:23:17
con la calculadora que dé, en este caso 00:23:19
nos pone que es 784 00:23:21
vale, la raíz cuadrada 00:23:23
de todo esto 00:23:25
vale, menos 00:23:26
18 al cuadrado, que es 00:23:28
320, entonces 00:23:31
¿qué tenéis que hacer? restar 780 00:23:33
menos 320, que es 00:23:35
460 y 00:23:37
hacer la raíz cuadrada de eso 00:23:39
460. ¿Vale? Y esto nos da que es 00:23:41
21,4 metros. ¿Vale? Pues tiene una altura de 21,4 metros. 00:23:45
Sí que es verdad que el dibujo este no está a escala. ¿Por qué? Porque parece 00:23:50
que la horizontal tiene mayor longitud que la altura 00:23:53
del árbol en el dibujo, cuando en realidad no es así. Entonces 00:23:57
es importante también que el libro haga un dibujo 00:24:01
realista. Es decir, yo lo que hubiera hecho, porque el libro sabe el resultado, ¿no? 00:24:05
O sea, el que ha escrito el libro. Entonces, yo lo que hubiera hecho es dibujar más alto el árbol o, también es más fácil para que ocupe menos, es dibujar un poco menos de distancia horizontal, ¿no? A lo mejor ponerlo hasta aquí, ¿vale? Y así, de esa forma, pues, sin hacer más grande el árbol, podemos hacer un dibujo más realista. 00:24:09
Pero bueno, eso es lo de menos. Lo digo porque, claro, a lo mejor pensáis, está mal calculado, ¿no? Porque esto es más pequeño que esto por el dibujo, pero no siempre el dibujo está hecho de forma realista, ¿vale? 00:24:30
Lo que sí es importante daros cuenta para saber si está bien o mal, un ejercicio es comprobar en que si calculas uno de los catetos, salga más pequeño que la hipotenusa. 00:24:43
puede a lo mejor salir muy parecido 00:24:54
imaginar que la longitud horizontal es muy pequeñita 00:24:56
y la altura es muy alta 00:24:59
entonces va a salir a lo mejor 00:25:01
muy parecido a la hipotenusa 00:25:03
a lo mejor es 27 metros o 27 y medio 00:25:06
cuanto más pequeño sea este cateto 00:25:08
y más grande sea este cateto 00:25:12
más próximo va a estar el cateto este a la hipotenusa 00:25:14
pero nunca va a ser igual 00:25:16
o mayor, nunca 00:25:19
tiene que ser siempre menor 00:25:21
y eso pasa al revés 00:25:22
la hipotenusa siempre va a tener que ser mayor 00:25:26
cuando calcule la hipotenusa 00:25:28
comprobar que el resultado os sale mayor que los catetos 00:25:29
si no, lo tenéis mal 00:25:32
es una manera de comprobar si está mal 00:25:34
en vez de volver a hacer las operaciones que tarden más tiempo 00:25:36
esa aplica a la lógica, siempre os digo 00:25:39
si no os da tiempo a volver a repetir el ejercicio en el examen 00:25:41
pero os da que la hipotenusa es 00:25:43
si uno de los catetos es 18 y la hipotenusa sale 16 00:25:45
pues yo valoro el que me pongáis en el examen 00:25:48
la hipotenusa no puede dar menor que los catetos 00:25:51
y eso lo valoro 00:25:54
porque eso me indica 00:25:56
que sabéis de matemáticas, que utilizáis la lógica 00:25:58
¿vale? claro, no lo puedo dar 00:26:00
bien entero el ejercicio, pero sí que os puedo contar 00:26:02
bastante 00:26:04
porque todo el mundo se puede equivocar 00:26:05
al hacer una operación, incluso a lo mejor os puedo dar el 75% 00:26:08
del ejercicio 00:26:10
¿vale? entonces yo valoro mucho más 00:26:11
la lógica a que os aprendáis una fórmula de memoria 00:26:14
y la hagáis sin pensar 00:26:16
porque eso no indica 00:26:18
que la habéis entendido, en cambio, utilizar la lógica 00:26:20
sí 00:26:22
¿vale? bueno, entonces 00:26:23
vamos con el siguiente 00:26:26
ejemplo 00:26:28
¿vale? aquí hemos adivinado la altura del árbol 00:26:29
utilizando pitágoras, con lo cual 00:26:32
para que veáis que a veces las matemáticas sirven para algo 00:26:34
sí, que diréis, ¿para qué voy a calcular 00:26:36
la altura del árbol? bueno, a lo mejor 00:26:38
a algunos les parece una tontería, pero bueno 00:26:40
imagínate que ese árbol de repente se cae 00:26:41
entonces, pues tú tienes que estar colocado 00:26:44
a una distancia lo suficientemente lejana 00:26:46
para que si se cae para tu lado no te dé 00:26:48
entonces para eso sí sería importante por ejemplo 00:26:50
es lo primero que se me ha ocurrido 00:26:52
entonces 00:26:54
otro ejercicio sería 00:26:55
con un velero 00:26:59
aquí nos dan, claro, cuidado con esto 00:27:00
porque es un poquito más difícil 00:27:03
que hay que utilizar algo de lógica 00:27:05
no es poner la fórmula 00:27:07
y despejar, no 00:27:10
es aparte aplicar 00:27:11
algo de lógica 00:27:13
nos dan la altura de la vela 00:27:14
y nos dan lo que mide 00:27:18
el velero de largo 00:27:19
entonces si os dais cuenta 00:27:22
la vela se divide en dos triángulos 00:27:25
porque si cogemos aquí el mástil 00:27:27
justo traza verticalmente 00:27:29
y nos separa 00:27:32
el lado izquierdo de la vela 00:27:34
del lado derecho 00:27:36
con lo cual si os dais cuenta 00:27:36
nos dan dos lados rectángulos 00:27:38
entonces se puede utilizar cualquiera de los dos 00:27:39
entonces 00:27:41
este mástil 00:27:43
mediría exactamente lo mismo 00:27:46
que la altura de la vela 00:27:49
Con lo cual, esto de aquí serían 4 metros. 00:27:51
Y si os dais cuenta, bueno, voy a dibujar aquí un cuadrado porque es un 90 grados, ¿vale? 00:27:54
Pues nos sale un triángulo rectángulo. 00:27:58
Entonces podemos aplicar sin problema, quieta horas. 00:28:02
Vale, voy a dibujar aquí el triángulo. 00:28:06
Entonces, claro, tenemos uno de los catetos aquí. 00:28:09
La hipotenusa no la sabemos. 00:28:12
¿Vale? Que es lo que se nos pide, la longitud de este cable. 00:28:14
Entonces, ¿cómo calculamos el otro cateto? 00:28:17
¿Lo podemos saber el dato? Sí, lo que pasa es que no lo dan de forma encubierta. Siempre lo digo, que hay algunos datos de los que a partir de ellos se puede sacar el otro dato que falta. ¿Cómo? Claro, si os dais cuenta, si la longitud del barco son dos metros y medio, bueno, del velero, pues si justo este mástil está partiendo la vela por la mitad y la vela justo mide lo mismo que el barco, 00:28:22
pues claro, este lado será la mitad de la longitud del barco 00:28:50
es lógico, ¿no? 00:28:54
entonces si el barco mide 2 metros y medio 00:28:55
pues esto medirá 1,25, ¿no? 00:28:59
porque 2 metros y medio entre 2 son 1,25 00:29:02
¿veis? es justo la mitad de esto 00:29:04
y ya tendríamos los dos catetos 00:29:06
así que ahora solo despejar la hipotenusa 00:29:08
pues ya está 00:29:10
hipotenusa al cuadrado es igual al cuadrado más b al cuadrado 00:29:11
entonces al final la hipotenusa es igual a la raíz de 00:29:15
al cuadrado más b al cuadrado y simplemente 00:29:19
sustituimos, al cuadrado vamos a poner que la es esto, 4 al cuadrado 00:29:22
más 1,25 al cuadrado 00:29:27
entonces esto será la raíz cuadrada de 4 al cuadrado es 16 00:29:29
y 1,25 al cuadrado es 00:29:35
1,56, con lo cual al final 00:29:38
1,56 más 16 son 17,56, hacemos una raíz cuadrada 00:29:41
y nos da la altura, que la altura es 4,19 metros. 00:29:46
Y ya estaría. 00:29:53
O sea, la altura, la hipotenusa, perdón. 00:29:55
Entonces, ¿cuál es la longitud total del cable que se necesita para sujetar las velas? 00:29:59
La longitud del cable es lo que va de aquí hasta aquí. 00:30:03
Está tanto este cable como este, que es igual. 00:30:06
Lo único que cogemos dos veces es el cable. 00:30:09
Entonces, nos estarían preguntando la hipotenusa. 00:30:12
Aunque si tenéis alguna duda, en el examen os pondría entre paréntesis 00:30:15
la longitud del cable, etcétera, os pondré entre paréntesis 00:30:17
hipotenusa, vale 00:30:20
o sea, intentaré 00:30:22
que no parezca ambiguo a la pregunta 00:30:25
vale, esto es muy sencillo 00:30:28
lo único que aquí hay que aplicar un poquito 00:30:31
de lógica, un poquito, no siempre 00:30:32
va a ser tan fácil la vida 00:30:34
vale, y ahora 00:30:35
vamos con los dos 00:30:38
ejercicios del libro, que os pone que creo que son 00:30:40
el 3 y el 14 00:30:42
vale, entonces voy a hacer uno y el otro 00:30:43
lo dejo para vosotros, si tenéis alguna duda 00:30:46
me preguntáis, son iguales 00:30:48
son semejantes 00:30:50
entonces, ya llevamos 00:30:51
30 minutos de clase 00:30:54
así que perfecto 00:30:55
se me ha quedado dibujado un triángulo y lo creo que es perfecto 00:30:57
para borrar los números 00:31:00
y poner los nuevos valores 00:31:02
vale 00:31:05
entonces 00:31:09
calcular la longitud de la hipotenusa 00:31:10
tengo que calcular otra la hipotenusa 00:31:13
a ver, normalmente es más cómodo para vosotros 00:31:15
calcular la hipotenusa, porque no tenéis que despejar 00:31:17
uno de los catetos, que es lo que más 00:31:19
difícil os pueda resultar 00:31:21
porque os ponéis nerviosos al tener cosas al cuadrado 00:31:23
como que os da pánico 00:31:25
¿vale? pero es 00:31:27
es como que tenéis que olvidar que está 00:31:28
algo elevado al cuadrado y es despejarlo 00:31:31
tal cual, ¿no? si está sumando, restando, etc. 00:31:33
y luego ya, al final, cuando ya tengáis 00:31:35
en el lado izquierdo 00:31:37
lo que queréis despejar, ya 00:31:39
pasáis el cuadrado como raíz cuadrada 00:31:41
del otro 00:31:43
¿vale? pero 00:31:44
Pero al principio olvidaros de que está algo elevado al cuadrado, simplemente si ese cateto está sumado con el otro, pues lo pasa restando, si quiere despejar el otro cateto, ya está. 00:31:46
Y luego al final del todo, solo al final, se hace lo de pasar la potencia elevada al cuadrado como raíz cuadrada, solo al final, es exactamente igual como pasaba cuando hacíamos las ecuaciones. 00:31:59
cuando está multiplicando 3x, el 3 por x, pues al final del todo 00:32:10
no al principio, porque al principio siempre jugábamos con las sumas y las restas 00:32:15
al final del todo es cuando el 3 pasaba dividiendo 00:32:19
al final del todo, soy muy cansino, pero es que no quiero que falles en esto 00:32:22
que luego, pues seguramente alguien me falle 00:32:27
bueno, no creo, porque como se presentan 00:32:30
tan pocas personas al examen, no creo que falle, pero bueno 00:32:36
si se presentan más personas seguro que alguna 00:32:40
a lo mejor puede 00:32:43
bueno, vamos a hacer el ejercicio 00:32:45
13 y el 14, son muy parecidos 00:32:47
lo único que el 14 00:32:49
aparte te pide dibujar el triángulo, aunque da igual 00:32:51
aunque no os pida dibujar el triángulo 00:32:54
yo si fuera vosotros 00:32:55
lo que haría es dibujar lo primero el triángulo 00:32:57
os va a ayudar un poquito a ponernos 00:32:59
en contexto del problema 00:33:02
entonces, da igual que os lo pregunto o no 00:33:03
siempre lo primero 00:33:05
dibujar el triángulo y poner los datos 00:33:06
encima del triángulo 00:33:09
Es decir, el cuánto mide cada cateto, el hipotenusa, etc. 00:33:10
Entonces, vamos a hacer el 13. 00:33:15
Vamos a poner que este es el 13. 00:33:17
Entonces, nos dicen que los catetos miden 6 y 9. 00:33:21
Entonces, como este parece mayor, voy a poner que este son 9 centímetros y este 6 centímetros. 00:33:24
¿Vale? Para que sea el dibujo un poco más realista. 00:33:29
Aunque, aún así, esto se ve que es mucho más pequeño que esto. 00:33:31
No es 2 tercias partes, ¿vale? 00:33:33
Como son los números. 00:33:39
Entonces, nos pide la hipotenusa, pues ya está 00:33:40
La hipotenusa al cuadrado es igual a al cuadrado más b al cuadrado 00:33:46
La hipotenusa es igual a raíz cuadrada de al cuadrado más b al cuadrado 00:33:50
Y ya está 00:33:53
Entonces, la hipotenusa es igual a 9 al cuadrado más 6 al cuadrado 00:33:54
Entonces, la raíz cuadrada de todo esto, 9 al cuadrado, ¿cuánto es? 00:34:01
Voy a hacerlo parte por parte, ¿vale? 00:34:07
Bueno, tengo aquí la calculadora, 9 al cuadrado son 9 por 9, 81, más 6 por 6, 36, ¿vale? Pues ya está. Entonces aquí hay que hacer 8 más 3 son 11, ¿no? Pues esto más esto son 110, pero como tenemos un 6 y un 1, 117, ¿vale? 00:34:08
Entonces la raíz cuadrada de 117, esa raíz cuadrada nos da un número exacto, así que ya ves si encuentro la calculadora, aquí está, raíz cuadrada de 117 nos da 10,816 redondeando 10,8 centímetros, ¿vale? 00:34:25
entonces esta sería la hipotenusa 00:34:51
10,8 cm, ¿tiene sentido? 00:34:54
sí, ¿por qué? porque es mayor que los catetos 00:34:57
un cateto es 9 00:34:59
y otro cateto 6, entonces tiene sentido 00:35:00
que la hipotenusa sea mayor 00:35:02
¿vale? pues el otro es exactamente 00:35:04
igual, triángulo rectángulo isósceles 00:35:07
¿vale? cuidado con esto 00:35:08
os voy a dar una pista, al ser isósceles 00:35:10
tiene dos 00:35:13
lados iguales, es decir 00:35:15
claro, ¿qué pensáis que serán iguales? 00:35:16
la hipotenusa y un cateto 00:35:19
o los dos catetos, claro, si os estoy diciendo que la hipotenusa siempre 00:35:20
siempre, siempre es mayor que los catetos, pues lo que van a ser iguales 00:35:24
para ser un triángulo isósceles serán los catetos, ¿no? pues hay que 00:35:28
un triángulo isósceles es el que tiene dos lados iguales, esto quiere decir 00:35:32
que el cateto vertical y el cateto horizontal van a ser iguales 00:35:36
más o menos en el dibujo este, son iguales, entonces, ahora trazamos la 00:35:40
línea y ya está, ¿no? y cada uno nos mide 5 centímetros 00:35:44
5 centímetros. 5 centímetros de 5 centímetros. Calcular la hipotenusa. Y dibujar el dibujo. 00:35:48
O sea, básicamente lo que he hecho. Y al final, por despejar la hipotenusa, ¿no? Que 00:35:54
es 5 al cuadrado más 5 al cuadrado, 25 más 25, la raíz cuadrada de 50. No sé, al final 00:35:58
estoy haciendo el ejercicio. Así que con lo poco es que se tarda esto. Esto es muy 00:36:05
sencillo. 50, 7, 7,1 centímetros. Y ya estaría. ¿Vale? ¿Veis? La hipotenusa sale mayor que 00:36:08
los catetos. Y ya está. O sea, esto es muy 00:36:22
sencillo. Es el ejercicio 00:36:24
14. 00:36:25
Ahí, para que no se confunda. Entonces, 00:36:30
pausad el vídeo si queréis 00:36:32
y copiarlo. Y nada, 00:36:33
hasta aquí la clase de hoy. La semana 00:36:35
que viene terminamos el tema. Vamos a dar 00:36:37
otro teorema importante, que es el teorema de 00:36:39
Tales, que es también de los triángulos, 00:36:41
que es lo último del tema. Y antes 00:36:43
veremos un poquito 00:36:45
las relaciones entre figuras semejantes, 00:36:46
las escalas, es decir, 00:36:50
cómo 00:36:52
no sé si habéis visto alguna vez un mapa 00:36:52
se dice que ese dibujo está a escala 00:36:55
porque lo que está dibujado ahí 00:36:58
representa la realidad 00:37:00
lo que pasa es que la realidad es mucho mayor 00:37:01
entonces vamos a ver que hay tipos de escala 00:37:03
de aumento, de disminución, etc 00:37:04
y todo eso 00:37:06
aparte de otro teorema que es también muy importante 00:37:08
de los triángulos 00:37:11
así que nada, buen fin de 00:37:12
descansad, estudiad si podéis 00:37:15
y venid con las pilas recargadas para la semana que viene 00:37:17
hasta luego 00:37:19
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Operaciones matemáticas
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24 de marzo de 2026 - 13:23
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Público
Centro:
CEPAPUB JOSE LUIS SAMPEDRO
Duración:
37′ 22″
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1.78:1
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