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AR4. 3.3 Combinaciones sin repetición. Números combinatorios. Ejercicio 8 - Contenido educativo

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Subido el 17 de agosto de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy estudiaremos 00:00:21
las combinaciones sin repetición y los números combinatorios y resolveremos el ejercicio 00:00:33
propuesto 8. En esta videoclase vamos a estudiar el siguiente 00:00:37
patrón regular que son las combinaciones sin repetición. Son similares en cierta medida 00:00:49
a las variaciones sin repetición que veíamos en la videoclase anterior. Al igual que en 00:00:54
las variaciones, disponemos de n elementos, de los cuales vamos a tomar un subconjunto 00:00:59
menor de m. En las variaciones contábamos de cuántas formas posibles podíamos elegir 00:01:04
esos m elementos teniendo en cuenta que el orden era importante. En el caso de las combinaciones 00:01:11
es lo mismo, vamos a tomar m elementos, pero ahora el orden no importa. Si en el ejemplo 00:01:17
anterior elegíamos de 15 estudiantes tres personas para que fueran delegado, subdelegado y encargado 00:01:23
de reciclaje, os decía que enero a lo mismo A como delegado, B como subdelegado y C como encargado 00:01:30
de reciclaje, A, C como delegado, B como subdelegado y A como encargado de reciclaje. En este caso, de 00:01:37
los 15 elementos seleccionamos, pongamos tres, A, B, C y el orden en el que los hayamos seleccionado 00:01:45
No importa, A, B, C, C, B, A, B, A, C son la misma combinación, puesto que no vamos a tener en cuenta el orden. 00:01:51
¿Cómo podemos calcular esas combinaciones sin repetición? 00:01:59
Bueno, en primer lugar, se denotan de la manera que veis aquí, C sub nm, combinaciones de n elementos, es el tamaño del conjunto inicial, tomado de mnm, m es el tamaño del subconjunto que tomo. 00:02:02
Bueno, pues lo que vamos a hacer es partir de las variaciones de n elementos tomados de mnm. 00:02:14
Aquí estamos tomando de los n elementos m, igual que en el caso de las combinaciones. La diferencia está en que aquí tenemos contado las distintas ordenaciones. 00:02:19
a, b, c, b, a, c, c, b, a cuentan o computan como variaciones distintas, cuando desde el punto de vista de las combinaciones son todas iguales. 00:02:31
¿Qué es lo que debo hacer? Pues eliminar de las variaciones de elementos tomados de m en m las distintas ordenaciones de esos m elementos que he extraído. 00:02:40
Voy a dividir entre las permutaciones de m elementos, que es este m factorial. 00:02:50
Si las variaciones de n elementos tomados de m en m se escribían como n factorial entre n menos m factorial, 00:02:55
aquí lo que tengo es esa misma expresión, habiendo añadido en el denominador m factorial. 00:03:02
esta expresión n factorial dividido entre m factorial y n menos m factorial las combinaciones 00:03:07
de elementos tomados de m en m son tan importantes que se representan de una forma especial entre 00:03:13
paréntesis arriba la n y abajo la m y no es numerador y denominador tened cuidado porque 00:03:20
esto no es una fracción esto se llama número combinatorio con base n y orden n y se lee n 00:03:26
sobre m. Es importante no poner la raya de fracción y es importante sí poner estos paréntesis. El 00:03:33
número combinatorio n sobre m, que se calcula con esta fórmula que vemos aquí, tiene una serie de 00:03:41
propiedades que en un momento dado pueden llegar a ser importantes. En primer lugar, n sobre 0 o bien 00:03:46
n sobre n son idénticamente igual a 1. n sobre 1 es igual a n sobre n menos 1 y es idénticamente 00:03:51
igual a n. Existe una relación de simetría entre los números combinatorios que se encuentran con 00:03:59
la misma base y en concreto n sobre m va a ser igual a n sobre n menos m con independencia de 00:04:06
cuánto valgan n y m. Hay una serie de propiedades generativas también que me permiten calcular los 00:04:13
números combinatorios en función de otros y por ejemplo n sobre m se puede calcular a partir de 00:04:19
dos números combinatorios con una base inferior, sería n-1 sobre m-1 más n-1 sobre m. Si 00:04:25
aplico reiteradamente esta propiedad, podría escribir n sobre m como una suma de números 00:04:34
combinatorios que tengan como orden m-1 y podría ser n-1 sobre m-1 más n-2 sobre m-1 00:04:40
y así sucesivamente hasta completar con m-1 sobre m-1. 00:04:50
Utilizando estas propiedades, utilizando las definiciones, 00:04:56
resulta que hay una forma muy rápida, muy gráfica, 00:04:59
de determinar los números combinatorios sin necesidad de usarlos factoriales. 00:05:03
Es utilizando lo que se denomina triángulo de Pascal o bien también triángulo de Tartaglia. 00:05:07
Vamos a formar un triángulo de la siguiente manera. 00:05:13
En la primera fila ponemos 0 sobre 0. 00:05:16
Tenemos como base 0, como orden 0. 00:05:18
En la siguiente fila, formando un triángulo con el anterior, vamos a colocar los números combinatorios que tienen como base no 0, sino 1. 00:05:21
1 sobre 0 y 1 sobre 1. 00:05:29
En la siguiente fila, los que tienen como base el número 2, también formando un triángulo. 00:05:31
2 sobre 0, 2 sobre 1, 2 sobre 2. 00:05:35
Y así sucesivamente. 00:05:38
Lo que tenemos es, en filas sucesivas, bases crecientes empezando por 0, 1, 2, 3, 4, hasta 5, como veis aquí. 00:05:39
Y lo que hago es poner en orden los órdenes crecientes. 00:05:48
Aquí tengo 0, 0 y 1, 0, 1 y 2, 0, 1, 2 y 3, y así sucesivamente. 00:05:53
¿Cómo puedo formar el triángulo de Pascal con los valores de estos números combinatorios? 00:06:00
Pues de la siguiente manera. 00:06:05
0 sobre 0 es 1, porque la base y el orden coinciden. 00:06:07
1 sobre 0 y 1 sobre 1 también son igual a 1, es una de las probabilidades que hemos visto antes. 00:06:11
En general, toda esta diagonal va a estar formada por unos, puesto que lo que tengo es la base sobre cero, 00:06:16
y eso veíamos que como propiedad era igual a uno. 00:06:23
Al igual, esta otra diagonal también está formada por unos, porque lo que tengo es la base del orden con el mismo número, 00:06:26
y eso veíamos que como propiedad era igual a uno. 00:06:32
Este elemento que tengo aquí, 2 sobre 1, es 2. 00:06:35
Y lo puedo determinar de dos maneras, con los factoriales o aplicando esa propiedad generativa que habíamos visto. 00:06:39
Yo puedo expresar cualquier número combinatorio como la suma de dos números combinatorios con la base menor, 00:06:47
que son los que se encuentran en estas dos diagonales. 00:06:53
Y este 2 es este 1 más este 1. 00:06:55
Aquí tengo un 3, es la suma de este 1 y este 2. 00:06:58
Y aquí tengo este 3, es la suma de este 2 y este 1. 00:07:02
Aquí tengo un 4, es la suma de este 1 y este 3. 00:07:05
Este 6 es la suma de estos dos 3, y este 4 es la suma de este 3 y este 1, y así sucesivamente. 00:07:08
En cuanto a la propiedad de simetría que os comentaba antes, si os fijáis y leemos los números combinatorios en una fila de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, me encuentro con lo mismo. 00:07:15
Este 1 es igual a este 1, este 5 es igual a este 5, este 10 es igual a este 10, y así sucesivamente. 00:07:26
Como ejemplo, supongamos que queremos hacer zumos de frutas y tenemos en casa naranjas, limones, kiwis, fresas y pomelos. Tenemos estas cinco frutas distintas. Queremos hacer un zumo con tres frutas y la pregunta es ¿cuántos zumos podríamos formar? 00:07:32
La idea es que tengo que seleccionar tres de esas frutas y el orden no importa porque cuando vaya a hacer el zumo de naranjas, limones y kiwis es lo mismo que si hago limones, kiwis y naranjas. Haré los tres zumos y los mezclaré y una vez hecha la mezcla el orden en el que los he vertido no importa. Así que tengo cinco elementos de los que seleccionar tres sin importar el orden. Lo que tengo que calcular son las combinaciones de cinco elementos tomados de tres en tres. 00:07:50
Esos son 5 sobre 3, que puedo calcular utilizando factoriales como 5 factorial dividido entre 3 factorial y 5 menos 3 factorial, que es 2 factorial. 00:08:19
Sería 5 factorial 5 por 4 por 3 por 2 y por 1, 3 factorial 3 por 2 por 1, 2 factorial 2 por 1, y si hago las operaciones lo que me queda es 10. 00:08:30
Este 10, por cierto, lo puede haber determinado leyendo en el triángulo de Pascal. 00:08:41
Yo puedo construir hasta aquí y puesto que quiero buscar cuánto es 5 sobre 3, que es este elemento de aquí, sería este 10 que tengo aquí. 00:08:46
De una u otra manera, con el triángulo de Pascal o bien con las fórmulas de los factoriales, resulta que con 5 frutas y seleccionando 3 puedo formar un total de 10 zumos. 00:08:55
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:09:07
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:09:13
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:09:18
Un saludo y hasta pronto. 00:09:23
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
4
Fecha:
17 de agosto de 2025 - 7:38
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
09′ 52″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
24.73 MBytes

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