Resumen funciones 4º ESO | Mediateca de EducaMadrid

¡Hola! Os damos la bienvenida a este repaso a fondo donde vamos a descifrar la anatomía 00:00:00

de una gráfica. Hoy nos ponemos la bata del laboratorio para entender algo que es absolutamente 00:00:04

fundamental si estáis en cuarto de la ESO o si simplemente queréis refrescar vuestras 00:00:08

bases matemáticas, las funciones. Vamos a dejar atrás esos números aburridos en un 00:00:13

papel para empezar a leer gráficas como si fueran auténticos mapas del tesoro. Literalmente 00:00:17

vamos a traducir fórmulas abstractas en líneas y curvas con un significado superreal. 00:00:22

¿Por qué nos molestamos en dibujar todo esto en un plano cartesiano? 00:00:26

Bueno, ya conocéis el dicho 00:00:30

Más vale una imagen que mil palabras 00:00:31

Imaginad por un momento una tabla infinita llena de números sobre, no sé 00:00:33

Cómo sube y baja el precio de un videojuego a lo largo de los años 00:00:37

Leer eso número a número es un dolor de cabeza, ¿verdad? 00:00:41

Pero, si ponemos esos mismos puntos en un plano 00:00:44

¡Pum! 00:00:47

La imagen nos revela al instante cuándo estuvo tirado de precio o cuándo se disparó 00:00:48

Por eso las dibujamos 00:00:53

nos ahorra muchísimos cálculos y nos da la información de un solo vistazo. 00:00:54

Para que no nos perdamos, este es nuestro plan de clase para hoy. 00:00:58

1. ¿Qué es una función? 00:01:02

2. Dominio y continuidad. 00:01:04

3. Crecimiento y periodicidad. 00:01:07

4. La función lineal. 00:01:10

5. La cuadrática. 00:01:13

Y 6. Echaremos un ojo a otras funciones elementales. 00:01:15

¡Vamos a ello! 00:01:19

Empezamos por el principio. 00:01:20

Sección 1. ¿Qué es exactamente una función? 00:01:22

Imaginad un plano lleno de garbatos y curvas rarísimas. 00:01:25

¿Cómo sabemos cuáles son funciones matemáticas de verdad y cuáles son simples dibujos sin sentido? 00:01:28

Pues resulta que la regla de oro es súper estricta. 00:01:33

A cada valor de entrada, es decir, a nuestra X, le puede corresponder única y exclusivamente un solo valor de salida, la Y. 00:01:36

Ni uno más, ni uno menos. 00:01:43

Si a un valor de X le tocan dos valores de Y distintos, se acabó. 00:01:45

el sistema se rompe por completo y deja de ser una función. Y para cazar esas funciones impostoras, 00:01:49

tenemos un truco buenísimo, la regla de la línea vertical. Pensad en ello como un escáner láser de 00:01:55

altísima tecnología que barre la gráfica de izquierda a derecha. Si ese láser imaginario 00:02:00

toca el dibujo en un solo punto a la vez durante todo el trayecto, bingo, es una función auténtica. 00:02:05

Pero cuidado, si en algún momento ese escáner toca dos o más puntos a la vez, tenemos un error fatal. 00:02:11

La regla se rompe y podemos descartar ese dibujo al instante 00:02:17

Pasamos a la sección 2 00:02:21

Dominio y continuidad 00:02:23

Vamos a ver por dónde se mueven estos trazados 00:02:24

Vale, una vez que sabemos que tenemos una función de verdad 00:02:27

Hay que ver cómo se comporta en su entorno 00:02:30

La continuidad es súper intuitiva 00:02:33

Básicamente, si podemos trazar toda la gráfica de principio a fin 00:02:35

Sin levantar el lápiz del papel en ningún momento 00:02:38

Decimos que es continua 00:02:40

Es un camino suave y sin cortes 00:02:42

Y luego está el dominio 00:02:44

Que es un concepto absolutamente clave 00:02:45

Pensad en el dominio como el territorio exclusivo donde la función existe 00:02:47

Son todos esos valores de la X donde la maquinaria matemática funciona sin problemas 00:02:51

Fuera de ahí, simplemente no hay función 00:02:55

Pero claro, a veces toca levantar el lápiz 00:02:58

Cuando la continuidad falla nos topamos con baches en el camino 00:03:00

Hay tres tipos principales 00:03:04

Primero, la discontinuidad evitable, que es como un pequeño socavón en el asfalto 00:03:05

Solo falta un puntito exacto que podemos esquivar 00:03:09

Luego tenemos el salto finito, que ya es un poco más radical 00:03:12

como llegar a un puente roto donde la carretera sigue, sí, pero a una altura totalmente distinta. 00:03:15

Y, finalmente, el salto infinito. Esto es literalmente asomarse al abismo. Ocurre cuando 00:03:20

el camino se dispara hacia arriba o hacia abajo sin parar, perdiéndose en el infinito. 00:03:25

Avanzamos a la sección 3, crecimiento y periodicidad. Toca estudiar los comportamientos 00:03:29

a lo largo del tiempo. Igual que en una montaña rusa, necesitamos ver la trayectoria. Si la 00:03:34

vagoneta sube la cuesta, la función crece. Si baja en picado, decrece. Pero hay funciones a 00:03:40

las que les encanta la rutina estricta, las funciones periódicas. Fijaos en este par de 00:03:46

ejemplos tan visuales. A un lado tenemos unas ondas súper suaves, la función seno, repitiéndose como 00:03:51

el vaivén de las olas del mar. Al otro lado vemos algo mucho más puntiagudo, clavado a los picos de 00:03:57

un electrocardiograma, monitorizando un corazón. Aunque se vean muy distintas, ambas son periódicas, 00:04:02

porque repiten exactamente el mismo ciclo una y otra vez de forma rítmica e incansable. 00:04:07

Llegamos a la sección 4, la función lineal, o lo que es lo mismo, la proporcionalidad directa. 00:04:13

Esta es la auténtica piedra angular de todo el plano cartesiano. Geométricamente es una línea 00:04:19

recta perfecta. Y un detalle súper importante, siempre, siempre tiene que cruzar exactamente 00:04:24

por el origen por el 0,0. Pensad en ir a comprar manzanas. Cero manzanas te cuestan 0 euros. Una 00:04:29

manzana, un euro. Dos, dos euros. Es proporcionalidad directa. ¿Veis esa letra M minúscula en la 00:04:35

fórmula? Es vital. Se llama pendiente y es la que nos chiva exactamente cómo de empinadas la cuesta, 00:04:40

marcando el ritmo de crecimiento. Subimos de nivel con la sección 5. La función cuadrática y sus 00:04:46

famosas parábolas simétricas. Aquí dejamos atrás las líneas rectas y nos metemos con las curvas 00:04:53

elegantes. ¿Os suena el arco que hace un balón de baloncesto al lanzar un tiro libre? ¿O la 00:04:59

trayectoria de un pájaro al jugar al Angry Birds? Pues eso es, ni más ni menos que una parábola. 00:05:03

Y el secreto de su forma está en el coeficiente principal, la letra A. Si ese número es positivo, 00:05:09

la parábola sonríe y se abre hacia arriba con forma de copa. Si es negativo, se pone triste y 00:05:14

mira hacia abajo. Con unas fórmulas muy sencillas que vemos en clase, podemos encontrar justo su 00:05:19

punto más alto o más bajo, el vértice, y ver por dónde corta los ejes. Y para ir completando el 00:05:24

temario sección 6. Otras funciones elementales de la familia. Para tener el kit completo de 00:05:29

herramientas de cuarto de la ESO, tenemos que hablar de las funciones exponenciales. ¿Sabéis 00:05:35

cuando un vídeo de TikTok se vuelve viral de la noche a la mañana? Eso es crecimiento exponencial 00:05:40

puro y duro. Aquí la base lo domina todo. Si la base es mayor que 1, la gráfica explota hacia 00:05:45

arriba a una velocidad de vértigo. Pero si está atrapada entre el 0 y el 1, ocurre lo contrario, 00:05:51

cae en picado. Y el detalle más alucinante es lo que pasa en la parte de abajo. La curva se 00:05:56

acerca infinitamente a la línea horizontal del cero, casi rozándola, pero jamás llega a cruzarla, 00:06:01

como si hubiera un campo de fuerza repeliéndola. Y para no pedernos en este universo matemático, 00:06:06

tenemos el resumen definitivo. Fijaos en cómo esta matriz organiza toda la teoría de golpe. 00:06:11

Nos da los dominios, recorridos y asíntotas para funciones exponenciales, logarítmicas y también 00:06:17

para la trigonometría. Podríamos considerarla la tabla periódica de las matemáticas visuales. Es 00:06:22

la chuleta mental perfecta para tener clarísimo cómo se comporta cada familia de funciones antes 00:06:27

de enfrentarse a un examen. De un solo vistazo lo tenéis todo bajo control. Así que, como veis, 00:06:32

estas gráficas no se quedan encerradas en el papel ni son solo dibujos aburridos en una pizarra. Son 00:06:37

las formas matemáticas precisas que modelan nuestra realidad. Nos sirven para absolutamente 00:06:42

todo, desde predecir cómo se propaga velozmente un virus usando exponenciales, hasta entender los 00:06:47

ciclos inmutables de las mareas mediante las periódicas. Una vez que aprendéis a leer el 00:06:53

idioma de las funciones, empezáis a ver el mundo que pisáis estructurado en coordenadas. Con esta 00:06:57

potente visión analítica ya instalada en la mente, ¿qué otros patrones ocultos de este 00:07:01

universo seremos capaces de descifrar a continuación? 00:07:05

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