Sucesiones | Mediateca de EducaMadrid

Venga, vamos a meternos de lleno en el fascinante mundo de las sucesiones matemáticas. 00:00:00

Sé que el nombre puede sonar un poco intimidante, pero en realidad no son más que las reglas del juego, 00:00:04

los patrones ocultos que ordenan un montón de cosas a nuestro alrededor, 00:00:09

desde cómo crece el dinero en el banco hasta las formas que vemos en la naturaleza. 00:00:13

Y para empezar, lanzo una pregunta que es casi un acertijo. 00:00:17

¿Qué pueden tener en común algo como la cría de conejos, el interés del banco y los pétalos de una flor? 00:00:20

Parecen cosas que no tienen nada que ver, ¿verdad? Pues resulta que las une un hilo 00:00:26

invisible, un patrón matemático que vamos a desvelar hoy. 00:00:29

La idea central que conecta todo esto es lo que llamamos sucesión. Pensemos en ello de 00:00:33

una forma muy sencilla. Es como una fila de números, pero eso sí, bien ordenadita. Cada 00:00:37

número de la fila es un término y, esto es fundamental, su posición en esa fila importa. 00:00:42

La más básica de todas es la que aprendemos casi sin darnos cuenta, 1, 2, 3, 4 y así 00:00:47

hasta el infinito. Vale, pues empecemos con el primer gran tipo de sucesión, las progresiones 00:00:52

aritméticas. La palabra clave aquí es suma. Se basan en sumar constantemente la misma cantidad, 00:00:58

lo que genera un crecimiento lineal, muy predecible, como si diéramos siempre pasos 00:01:05

del mismo tamaño. Entonces, ¿cómo funciona exactamente una progresión aritmética? Pues 00:01:09

la regla es súper simple. Para pasar de un número al siguiente, siempre, siempre damos el mismo paso, 00:01:14

o bien sumamos una cantidad fija o la restamos. A ese tamaño del paso lo llamamos la diferencia 00:01:19

y la representamos con la letra D. Vamos a verlo con un ejemplo, que es como 00:01:24

mejor se entiende todo. Imaginemos que nuestro punto de partida, el primer término, es el 3, 00:01:29

y nuestro paso constante, la diferencia, es 2. El proceso es de lo más intuitivo. Empezamos en 3, 00:01:34

le sumamos 2 y llegamos al 5. A ese 5 le volvemos a sumar 2 y obtenemos el 7, 00:01:41

Y así podríamos seguir construyendo la sucesión paso a paso, término a término. 00:01:46

Claro, aquí es donde la cosa se pone de verdad interesante. 00:01:52

Porque, ¿y si quisiéramos saber cuál es el término número 100? 00:01:55

Ir sumando de 2 en 2 99 veces sería un rollo. 00:01:58

Por suerte, hay un atajo. 00:02:02

La fórmula del término general. 00:02:04

Esta fórmula nos permite saltar directamente a cualquier posición n que queramos. 00:02:06

Esto me recuerda a la famosa anécdota del matemático Gauss. 00:02:10

Cuando era un niño, su profesor, para tener a la clase callada, les mandó sumar todos los números 00:02:13

del 1 al 100. Mientras todos se pusieron a sumar 1 a 1, Gauss se dio cuenta de un patrón, que 1 más 00:02:18

100 es 101, que 2 más 99 también es 101, y así. Encontró la regla general y resolvió el problema 00:02:24

en un momento. Pues esa es la potencia de estas fórmulas. Nos enseñan a ver el patrón para 00:02:31

ahorrarnos todo el trabajo pesado. Bien, pues ahora dejamos la suma y damos un salto a la 00:02:36

multiplicación. Con las progresiones geométricas, el crecimiento ya no es lineal, es exponencial. 00:02:41

Y aquí es donde las cosas se ponen espectaculares. El mecanismo es muy parecido al de antes, 00:02:47

pero con un giro fundamental. En lugar de sumar para avanzar, ahora vamos a multiplicar. Siempre 00:02:52

vamos a multiplicar por el mismo número, al que en este caso llamamos razón y representamos con 00:02:58

una R. Miremos un ejemplo clásico para ver este tipo de crecimiento. Si empezamos en 1 y la razón 00:03:03

es 2, el primer salto nos lleva a 2. El siguiente, multiplicando por 2, nos lleva a 4. Luego a 8. 00:03:09

Después a 16. Fijaos en que cada paso es más grande que el anterior. El crecimiento se acelera, 00:03:15

se vuelve explosivo. Y como no podía ser de otra manera, también tenemos una fórmula para saltar 00:03:21

a cualquier término sin tener que calcular todos los intermedios. La gran diferencia, y aquí está 00:03:26

la clave de todo, es que la posición n ahora está en el exponente. Ese pequeño detalle es el motor 00:03:31

de ese crecimiento exponencial tan bestia que define estas progresiones. Entonces, para que 00:03:37

quede súper claro, las progresiones aritméticas avanzan a un ritmo constante, como caminar dando 00:03:41

siempre pasos iguales. Las geométricas, en cambio, se disparan. Son como una bola de nieve que baja 00:03:47

por una ladera, haciéndose cada vez más y más grande a una velocidad de vértigo. Y ahora vamos 00:03:52

a llevar esta idea de crecimiento exponencial a un terreno que nos toca a todos y a todas, 00:03:58

el dinero. Vamos a hablar de finanzas y del famoso interés compuesto. A ver, el interés 00:04:02

compuesto, en el fondo, no es más que una progresión geométrica aplicada a nuestros 00:04:07

ahorros. La magia del asunto, como dice la definición, está en que los intereses que 00:04:11

se generan se suman al capital inicial y se reinvierten. O sea, no solo crece el dinero 00:04:15

que pusimos al principio, sino que los propios intereses empiezan a generar más intereses. 00:04:20

Es el auténtico efecto bola de nieve financiero. Fijaos en el mecanismo año a año. El primer 00:04:25

año el capital inicial se multiplica por un factor, que es 1 más la tasa de interés. Al empezar el 00:04:31

segundo año, todo ese nuevo capital, que ya es más grande, se vuelve a multiplicar por el mismo 00:04:38

factor. Por eso, en el año 2, el factor está elevado al cuadrado. Y en el año n, pues estará 00:04:42

elevado a n. Es una progresión geométrica de manual. Y aquí vemos el resultado en la práctica. 00:04:48

Un depósito de 1.500 euros con un interés compuesto del 3,5% se convierte en más de 00:04:54

1.663 euros en solo tres años. Puede que la cifra no impresione de primeras, pero la clave del 00:04:59

interés compuesto, su verdadero poder, es el tiempo. Cuantos más años pasen, más espectacular y rápida 00:05:06

será esa aceleración. Y ahora nos adentramos en una de las sucesiones más famosas, y por qué no 00:05:12

decirlo, mágicas de todas. La sucesión de Fibonacci. Esta no es ni aritmética ni geométrica. Tiene su 00:05:17

propia regla, y lo curioso es que aparece en los lugares más inesperados, como si fuera una especie 00:05:23

de código secreto de la naturaleza. La historia o la leyenda cuenta que Fibonacci se topó con 00:05:28

esta secuencia al plantear un acertijo. Algo así como si tenemos una pareja de conejos que tarda 00:05:32

un mes en madurar y a partir de ahí tiene una nueva pareja cada mes, ¿cuántos conejos habrá 00:05:38

al cabo del tiempo? Pues la solución a este acertijo da lugar a esta famosa secuencia. Y lo 00:05:42

increíble es que la regla que la genera es de una simpleza que casi desarma. Cada número nuevo es 00:05:49

simplemente la suma de los dos anteriores. Empezamos con 1 y 1. Su suma es 2. Ahora sumamos 00:05:54

1 y 2 y nos da 3. Luego 2 y 3 nos dan 5. Y así, con una regla tan básica, la secuencia se despliega 00:06:02

hacia el infinito. Pero aquí viene lo alucinante de verdad. Lo mágico de Fibonacci no es tanto la 00:06:10

secuencia en sí, sino lo que esconde. Si tomamos cualquier número de la secuencia y lo dividimos 00:06:16

por el número anterior, ocurre algo muy curioso. Al principio los resultados van cambiando, pero 00:06:21

a medida que avanzamos, esa división se va acercando cada vez más y más a un número muy 00:06:27

especial, la razón áurea, o número phi, que es aproximadamente 1,68. Y esta proporción no es un 00:06:32

capricho matemático, no. Desde la antigüedad se ha considerado casi como la fórmula de la belleza, 00:06:39

de la armonía. Artistas como Leonardo da Vinci la usaron para estructurar las proporciones de 00:06:44

sus obras maestras, buscando un equilibrio estético que nos resulta naturalmente agradable, 00:06:49

como podemos ver en su famoso Hombre de Vitruvio. Al final, todo esto nos lleva a esa famosa y 00:06:53

potentísima idea que Galileo expresó hace siglos. La naturaleza está escrita en lenguaje matemático. 00:06:59

Parece que las matemáticas no son sólo una herramienta que hemos inventado, sino el propio 00:07:05

lenguaje con el que está construido el universo. Así que, la próxima vez que veamos una flor, 00:07:10

que pensemos en nuestras finanzas o que simplemente observemos el mundo, 00:07:15

vale la pena que nos hagamos la pregunta. 00:07:19

¿Qué otros patrones, qué otras sucesiones matemáticas estarán ahí, 00:07:21

ocultas a simple vista, esperando a que alguien las descubra? 00:07:25

Sucesiones - Contenido educativo

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