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Cálculo del rango utilizando determinantes - Contenido educativo

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Subido el 11 de octubre de 2020 por Ana Maria R.

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Cálculo del rango de una matriz aplicando los determinantes. 00:00:03
Recordamos la definición de rango de una matriz que se definía como el número de filas o columnas linealmente independientes. 00:00:09
Vamos a pensar en matrices cuadradas. 00:00:17
Si una matriz es cuadrada y tiene alguna fila o columna linealmente dependiente de las restantes, 00:00:19
mejor dicho, entonces su determinante es cero. Esto era una de las propiedades que vimos en vídeos anteriores. 00:00:29
Recíprocamente, si yo tengo que el determinante de una matriz es cero, entonces la conclusión era que sus filas o sus columnas eran linealmente dependientes. 00:00:36
Entonces, pensando en esto, o sea, viendo esto, vamos a averiguar cuál es el rango de una matriz, bien sea cuadrada o no sea cuadrada. 00:00:47
Necesitamos un nuevo concepto que es el de menor de orden k. 00:00:58
Entonces, dada una matriz a la dimensión m por n, fijaos, no tiene por qué ser cuadrada. 00:01:01
Así que voy a definir el menor de orden k como un determinante de la matriz cuadrada de orden k 00:01:06
que resulta de eliminar m menos k filas y n menos k columnas. 00:01:12
Este numerito k tiene que ser siempre un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas que tenga. 00:01:18
Fijaos que voy a definir determinantes de orden K 00:01:25
Luego, por ejemplo, en esta matriz, en la matriz general 3x4 00:01:31
No voy a poder nunca construir menores de orden 4 00:01:39
Porque aquí nunca voy a poder con estos elementos formar o sacar o construir 00:01:43
Eliminando filas y columnas ningún determinante de orden 4 00:01:49
Luego, por eso ese k hemos dicho que tenía que ser siempre menor o igual que el número de filas y el número de columnas. 00:01:52
En este caso, como mucho k podrá valer 3, o sea, el rango de esta matriz como mucho será 3. 00:01:59
Menores de orden 1 de esta matriz, por ejemplo. 00:02:06
Vale, pues son los determinantes de orden 1 que vamos a formar eliminando 3 menos 1, 2 filas, y 4 menos 1, 3 columnas. 00:02:09
Eliminando 2 filas, 3 columnas. 00:02:19
Pues venga, si eliminamos por ejemplo segunda fila, tercera fila, segunda columna, tercera columna y cuarta columna, me ha quedado este elemento que con él forma un determinante de orden 1. 00:02:21
¿Cuántos determinantes de orden 1 o menores de orden 1 voy a tener en una matriz? Pues tantos como elementos tenga esa matriz. 00:02:34
En este caso voy a tener 12 menores de orden 1. 00:02:41
Menores de orden 2 son los que se van a formar eliminando 3 menos 2 igual una fila 00:02:44
Eliminando una fila y eliminando 4 menos 2, dos columnas 00:02:51
Algunos de estos elementos serían estos de aquí 00:02:55
Por ejemplo, este de aquí lo hemos formado eliminando la tercera fila y la tercera y cuarta columna 00:02:58
Se nos ha formado este determinante de orden 2 00:03:06
Este de aquí lo formaría eliminando la segunda fila y la segunda y tercera columna, etc. 00:03:09
Menos de eso hacen tres, pues los que se forman eliminando tres menos tres, cero fila, o sea, no puedo eliminar ninguna fila, pero sí que puedo eliminar cuatro menos tres, una columna. 00:03:19
Entonces, algunos serían estos. 00:03:28
Dos de ellos serían estos. 00:03:32
Este primero de aquí lo hemos formado eliminando la cuarta columna. 00:03:35
Este de aquí lo hemos formado eliminando la segunda columna. ¿De acuerdo? Vale, pues con esto definimos el rango de una matriz como el orden del mayor menor distinto de cero. 00:03:39
El orden del mayor menor distinto de cero. Vale, vamos a ver ejemplos. Rango de esta matriz. Vamos a hallar el rango de esta matriz. 00:03:53
Lo primero de todo, nos fijamos, la dimensión de esta matriz es 4 por 2, luego el rango no puede ser nunca mayor que 2, como mucho puede ser 2. 00:04:06
Como la matriz es no nula basta con escoger cualquier elemento no nulo para comprobar que al menos el rango de la matriz es 1, porque va a haber un menor de orden 1 distinto de 0. 00:04:15
Por ejemplo, el primer elemento, el A11, el determinante formado por ese elemento, es 1, que es distinto de 0. 00:04:25
El rango, al menos, es 1. 00:04:34
A partir de ese elemento vamos a formar menores de orden superior, añadiendo elementos de otra fila y de otra columna. 00:04:38
Por ejemplo, vamos a añadir estos dos elementos de esta segunda columna y este elemento de la segunda fila. 00:04:47
Formamos ese menor de orden 2, cuyo determinante, o sea, cuyo valor es menos 2 distinto de 0. 00:04:55
Por lo tanto, como he encontrado un menor de orden 2 distinto de 0, el rango es 2. 00:05:03
No puede ser más que 2, hemos dicho. 00:05:09
Otro ejemplo. Vamos a hallar el rango de esta matriz B. 00:05:13
Esta matriz B es una matriz 4 por 3. 00:05:16
Aquí el rango de esta matriz, como mucho, puede ser 3, como mucho. 00:05:19
Vale, como la matriz es no nula ya sabemos que el rango va a ser al menos 1 00:05:22
Pues empezamos a trabajar con menores de orden 2 00:05:28
Bueno, pues empezamos por ejemplo con este primer menor de orden 2 00:05:32
El que está formado por estos cuatro elementos 00:05:36
Los dos primeros de la primera fila y los dos primeros de la segunda fila 00:05:40
Ese determinante es distinto de 0 00:05:44
Por lo tanto ya puedo concluir que al menos será de rango 2 00:05:46
Bueno, pues a partir de este menor de orden 2 vamos a añadir elementos de otra fila o de otra columna para construir menores de orden 3. 00:05:51
Por ejemplo, voy a añadir estos elementos, con lo cual formamos este menor de orden 3 que también es distinto de 0. 00:06:03
Conclusión, el rango es 3 y he encontrado un menor de orden 3 distinto de 0. El rango es 3. El rango no podía ser mayor que 3. 00:06:11
Este otro ejemplo, hallar el rango de esta matriz, esta es una matriz cuadrada de dimensión 4, como mucho el rango puede ser 4 00:06:18
Lo mismo, como la matriz es no nula, pues sabemos que el rango al menos es 1 00:06:29
Empezamos a trabajar con menores de orden 2, por ejemplo, el primer menor de orden 2 que encontramos 00:06:35
Como es distinto de 0, concluimos que el rango es al menos 2, mayor o igual que 2 00:06:43
Vale, pues a partir de este menor vamos a construir menores de orden 3, añadiendo elementos de otra fila y de otra columna. 00:06:50
Por ejemplo, si añadimos estos elementos de esta fila y de esta columna, obtenemos un menor de orden 3 cuyo valor es 0. 00:07:02
entonces como este menor de orden 3 es 0 00:07:11
tenemos que formar otro menor de orden 3 00:07:15
pero siempre partiendo del mismo menor de orden 2 00:07:17
siempre partiendo de ese menor de orden 2 00:07:20
hasta que encontremos un menor de orden 3 distinto de 0 00:07:22
si lo hay, si todos los menores de orden 3 00:07:25
que se forman a partir de ese menor de orden 2 son 0 00:07:29
entonces ya el rango de esa matriz sería rango 2 00:07:32
vale, pues por ejemplo 00:07:37
podemos formar un menor de orden 3 00:07:40
añadiendo estos dos elementos 00:07:43
estos dos y este tercero 00:07:46
que tendría que estar fila columna 00:07:51
y veo que ese valor es 0 también 00:07:53
bueno, pues formamos otro menor de orden 3 00:07:55
añadiendo este elemento, estos dos y este de aquí 00:07:58
y también me da determinante 0 00:08:02
también me da que el menor de orden 3 es 0 00:08:05
Buscamos otro, el siguiente que podemos encontrar es añadiendo estos dos elementos, estos dos y el 7 menos 7 00:08:08
Y también ese determinante es 0 00:08:15
Conclusión, como todos los menores de orden 3 que se pueden formar con ese menor de orden 2 son nulos 00:08:18
Entonces el rango de esa matriz es 2 00:08:25
Autor/es:
ANA MARIA RUBIO VILLANUA
Subido por:
Ana Maria R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
61
Fecha:
11 de octubre de 2020 - 14:26
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
08′ 33″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
96.63 MBytes

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