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Asíntotas de una función racional - Contenido educativo
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Vamos a ver cómo calcular las asíntotas de una función racional, es decir, una función del tipo p partido de q, donde p y q son polinomios.
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Estas funciones son muy frecuentes y sus asíntotas son muy fáciles de calcular.
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Las asíntotas verticales pueden estar donde el denominador sea igual a cero.
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Tendremos que calcular el límite en esos puntos.
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Si el grado de P es menor que el grado de Q, si el grado del numerador es menor o igual que el del denominador, tienen una asíntota horizontal y es la misma, eso es importante, para más infinito y hacia menos infinito.
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No hace falta calcularla dos veces.
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Si el grado de P es igual al grado de Q más 1, tienen una asíntota oblicua y es la misma hacia más infinito y hacia menos infinito.
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No hace falta calcularla dos veces.
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Vamos a verlo con un ejemplo.
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La función 2X partido de X al cuadrado más 1.
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Su dominio son todos los reales.
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Por tanto, ya sabemos que no tiene asíntotas verticales.
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Por otro lado, sabemos que tiene una asíntota horizontal
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porque el grado del numerador es más pequeño que el del denominador
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Calculamos el límite cuando x tiende a infinito
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para ver cuál es esa asíntota horizontal
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Límite cuando x tiende a más infinito
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de esta función, que nos queda infinito partido de infinito
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que al resolverlo obtenemos cero
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Y este valor saldrá lo mismo si le hiciésemos hacia menos infinito.
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Luego tiene una asíntota horizontal que es y igual a cero.
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Representándola obtenemos la asíntota horizontal es justamente el eje x y la función se aproxima a ella tanto hacia menos infinito como hacia más infinito.
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infinito. Para poderla representar, además, tendríamos que hallar los máximos y los
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mínimos, que eso es otra cuestión. Vamos a ver otro ejemplo. Esta función. f de x
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igual a x al cubo menos 2x al cuadrado partido de x al cuadrado menos 4. Su dominio son todos
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los reales menos el 2 y el menos 2. Es decir, las asíntotas verticales pueden estar en
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x igual a 2 o x igual a menos 2. Vamos a estudiarlas. Las verticales. Límite cuando x tiende a 2
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de la función. Nos queda 0 partido de 0. Para resolver una indeterminación del tipo
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0 partido de 0, descomponemos los polinomios. Y al simplificar nos da 1. Es decir, que lo
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que le ocurre en x igual a 2 es que la función tiene una discontinuidad evitable. Vamos a ver
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lo que ocurre en x igual a menos 2. En x igual a menos 2, al hacer el límite, nos sale un número
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partido de cero. Es decir, que efectivamente aquí va a tener una asíntota vertical. Hacemos los
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límites laterales. En un caso da más infinito y en otro da menos infinito. Por tanto, tiene una
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Asíntota vertical en x igual a menos.
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Oblicua.
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Sabemos que tiene una asíntota oblicua porque el grado del numerador es uno más que el del denominador.
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Vamos a calcularla.
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Las asíntotas oblicuas son de la forma y igual a mx más n.
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Vamos a añadir la m.
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La m, que es el límite cuando x tiende a infinito, de la función entre x.
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Resolvemos ese límite y nos da uno.
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La n es el límite cuando x tiende a más infinito de la función menos mx, es decir, menos x. Calculamos ese límite y nos da menos 2. Por tanto, la asíntota oblicua es y igual a x menos 2.
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Vamos a representar la función. Por un lado, hemos dicho que tiene una asíntota vertical en x igual a menos 2.
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Cuando nos aproximamos a menos 2 por la derecha, la función va hacia más infinito.
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Cuando nos aproximamos por la derecha, la función va hacia más infinito.
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Cuando nos aproximamos por la izquierda la función va hacia menos infinito
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Por otro lado, hemos dicho que tiene una discontinuidad evitable en x igual a 2
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Y el límite cuando nos aproximamos a 2 es 1
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Es decir, que en x igual a 2 lo que tiene es un hueco
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Por otro lado, vimos que tenía una asíntota oblicua que es y igual a x menos 2
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La representamos, esta recta es creciente y la ordenada en el origen es menos 2.
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Una recta creciente a la que se está aproximando la función.
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Con esta información podemos representar aproximadamente la función.
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Los máximos y los mínimos están pintados aproximadamente,
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porque esa información no la obtenemos a partir de las asíntotas.
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- Autor/es:
- Francisco Medina
- Subido por:
- Francisco M. M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 82
- Fecha:
- 22 de noviembre de 2020 - 20:03
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES JAIME FERRAN CLUA
- Duración:
- 06′ 02″
- Relación de aspecto:
- 16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
- Resolución:
- 768x480 píxeles
- Tamaño:
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