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Ejemplo de Examen 2 - Ej 2a) - Contenido educativo

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Subido el 18 de abril de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a calcular las asíntotas de esta función. 00:00:00
A simple vista tendríamos que hacernos ya una idea de lo que va a ocurrir. 00:00:04
Es más grande el numerador, o sea, el grado del numerador, por lo tanto no va a tener horizontal. 00:00:07
Solamente hay diferencia de un grado, por lo tanto va a tener oblicua. 00:00:11
Y en principio el denominador se anula en dos puntos, por lo tanto lo más seguro es que tenga también verticales. 00:00:15
Pero vamos a ir resolviendo cada cosa o calculándolo. 00:00:22
Lo primero, asíntotas horizontales. Para que exista asíntota horizontal, el límite en el más o en el menos infinito tiene que ser un número. 00:00:25
Sustituimos en la función, son polinomios, luego esto es infinito entre infinito, bueno, como arriba es x cubo, esto sería un más menos, 00:00:36
y como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, esto se va al más o al menos infinito, ¿vale? 00:00:45
depende del grado, si lo estoy calculando en el más o en el menos. ¿Y esto qué significa? 00:00:55
Pues esto lo que significa es que no existe asíntota horizontal, que siempre en los ejercicios 00:00:59
es lo peor, porque si no existe asíntota horizontal significa que puede existir asíntota 00:01:06
oblicua, que lo tenemos que calcular. Si obtenemos asíntota horizontal, pues directamente ponemos 00:01:11
que no existe asíntota oblicua, siempre que la función esté definida en un único trozo. 00:01:16
Vale, asíntotas verticales, donde se calculan en los ceros del denominador 00:01:21
x cuadrado menos 1 igual 0, es decir, resolvemos, esto es x igual a más menos 1 00:01:27
Tenemos dos posibles puntos para asíntotas verticales 00:01:34
Vale, pues empezamos calculando en el primero, en x igual 1 00:01:38
Lo que tiene que ocurrir es que el límite cuando x tiende a 1 de la función x cubo partido por x cuadrado menos 1 00:01:42
Para que sea asíntota vertical se tiene que ir al infinito. Esto sería 1 partido por 0, efectivamente se va al infinito. 00:01:51
Y lo que hacemos ahora es calcular los límites laterales para ver por dónde se acercarían las ramas. 00:01:59
Límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de x cubo partido por x cuadrado menos 1, arriba sigue siendo 1 y abajo. 00:02:09
si me acerco al 1 por la izquierda es un 0, algo 00:02:18
0, algo al cuadrado es más pequeño que 1 00:02:21
por lo tanto esto va a ser un 0 negativo 00:02:23
y esto se va a ir al menos infinito 00:02:25
por la derecha sería x cubo partido por x cuadrado menos 1 00:02:28
1 partido y ahora ¿cómo va a ser el 0? 00:02:37
1 por la derecha es 1, algo 00:02:40
1, algo al cuadrado es más grande que 1 00:02:42
por lo tanto algo más grande que 1 como menos 1 00:02:44
va a ser un 0 positivo. Luego esto va a más infinito. 00:02:47
¿Esto qué significaba? Si yo tengo aquí mis ejes, y aquí tengo el 1, 00:02:51
lo que estamos viendo es que aquí hay una asíntota. 00:03:03
Cuando me acerco por la izquierda se va al menos infinito, es decir, que va a venir por aquí abajo, 00:03:07
y cuando me acerco por la derecha se va a ir al más infinito. 00:03:12
Vale, por ahí. ¿Vale? Eso es lo que significan los límites laterales. 00:03:15
Calculamos lo mismo en el menos 1. 00:03:21
Límite cuando x tiende a menos 1 de x cubo partido por x cuadrado menos 1. 00:03:24
Arriba es menos 1 y abajo será 0 directamente. 00:03:33
Y esto es menos infinito. 00:03:38
Ah, bueno, no lo he puesto. 00:03:41
Aquí lo que quería poner es que, se me olvida poner que x igual 1 es asíntota vertical. 00:03:43
Directamente lo he dado por hecho. 00:03:49
Esto significa que x igual menos 1 es asíntota vertical. 00:03:52
Y ahora calculamos los límites laterales. 00:03:57
límite cuando x tiende a menos 1 00:04:02
de x cubo partido por x cuadrado menos 1 00:04:07
arriba es un menos 1 00:04:12
y abajo me queda un 0 00:04:13
pero vamos a ver el signo 00:04:15
bueno, me he comido el menos 00:04:16
no sé si lo he dicho y no lo he puesto 00:04:18
si me acerco al menos 1 por la izquierda 00:04:20
vengo por menos 1 coma algo 00:04:22
por lo tanto al cuadrado 00:04:24
va a ser más grande que 1 00:04:26
por lo tanto esto va a ser un 0 más 00:04:27
menos entre más 00:04:29
menos infinito 00:04:31
¿vale? 00:04:33
si ahora calculo el límite cuando x tiende a menos 1 00:04:35
por la derecha 00:04:38
de x cubo partido por x cuadrado 00:04:39
menos 1 00:04:42
arriba sigue siendo menos 1 y abajo un 0 00:04:43
como, si me acerco al menos 1 00:04:46
por la derecha, es más pequeño 00:04:48
o sea, es un menos 0 como algo 00:04:50
que al cuadrado va a ser más pequeño que 1 00:04:51
por lo tanto esto es negativo 00:04:53
luego aquí será más infinito 00:04:54
¿vale? es decir, obtenemos 00:04:57
los mismos que hemos obtenido antes. Si calculo cómo es, por dónde vienen las ramas, ya 00:05:00
que tengo arriba la gráfica, vamos a suponer que aquí tenemos el menos 1, lo que estoy 00:05:06
viendo es que aquí tenemos otra asíntota, y ahora si me acerco por la izquierda se va 00:05:11
a menos infinito, y si me acerco por la derecha se va a más infinito. Esto es lo que significaría. 00:05:16
Y ahora lo único que nos faltaría es comprobar si existe asíntota oblicua. 00:05:25
Voy a borrar, ¿vale? 00:05:31
Vale, pues vamos con las asíntotas oblicuas. 00:05:32
Para que haya asíntota oblicua, tiene la forma la ecuación igual a MX más N, ¿vale? 00:05:36
Yo, como os digo siempre, yo lo calculo por límites. 00:05:45
Si vosotros lo calculáis dividiendo, no hay ningún problema, siempre y cuando hagáis todos los pasos y lo hagáis bien. 00:05:48
Lo primero calculamos la m, m es el límite cuando x tiende a infinito de f de x, lo voy a poner directamente, partido por x, ¿vale? 00:05:53
Luego esto es el límite cuando x tiende a infinito, arriba tenemos un x cubo partido por x cuadrado menos 1, y abajo partido por x, 00:06:06
operamos la fracción producto de extremos entre producto de medios 00:06:16
y me queda arriba x cubo y abajo x cubo menos x 00:06:20
ya que se multiplican, sería estos dos 00:06:25
por el denominador aquí que es como si fuera uno 00:06:27
y aquí esto es infinito entre infinito 00:06:31
que pasa ahora que tienen el mismo grado 00:06:34
lo que os decía al empezar el ejercicio 00:06:40
por lo tanto es cociente de coeficientes de mayor grado 00:06:41
1 entre 1, 1. Es decir, m es igual a 1, o sea que ya sabemos que tiene asíntota oblicua. 00:06:45
A ver, si en lugar de ser, por ejemplo, arriba a x cubo hubiera sido una x cuarta, no hubiera 00:06:54
tenido ni asíntota horizontal ni asíntota oblicua, ¿vale? Aquí nos hubiera salido 00:06:59
infinito y por lo tanto no hubiéramos tenido, pero en este caso tiene. Ahora calculamos 00:07:06
la n. El valor de n es el límite cuando x tiende a infinito. Obviamente si en el m me 00:07:11
sale que es infinito ya no calculo el n porque sabría que no tiene asíntota oblicua. El 00:07:18
límite cuando x tiende a infinito en este caso la n es f de x menos mx. Luego esto es 00:07:24
el límite cuando x tiende a infinito de x cubo partido de x cuadrado menos 1 menos m 00:07:32
x1, x. Límite cuando x tiende a infinito, operamos las fracciones, en el numerador me queda x cubo, 00:07:40
multiplicamos el menos x por el otro denominador, menos x cubo menos, por menos 1 es más x, 00:07:49
y bueno, se estoy multiplicando el menos x por el x cuadrado y luego por el menos 1, ¿vale? 00:07:58
Y en el denominador que me queda, x cuadrado menos 1. 00:08:02
Las x cubos se me van, para no volver a escribir, sustituimos, esto es un infinito entre infinito, pero ¿qué ocurre? 00:08:07
Lo que está ocurriendo aquí es que el grado del numerador es más pequeño que el grado del denominador. 00:08:15
Puede más el denominador, por lo tanto esto es 0. 00:08:21
Es decir, que n es 0. 00:08:24
Creo que en el, espero no haberos puesto la misma asíntota, no, es otra función, ¿verdad? 00:08:27
Pero creo que da los mismos valores que en el otro límite, o sea, que en el otro examen, casualidad, ¿vale? 00:08:34
Luego, ¿cuál va a ser mi asíntota oblicua? 00:08:39
Mi asíntota oblicua es y igual a x directamente, ¿vale? 00:08:40
La m vale 1, pues este sería el resultado. 00:08:47
Y os recuerdo que no se haya horizontal no significa que tiene que existir asíntota oblicua 00:08:50
Si hubiera sido una X cuarta en lugar de una X cubo no hubiera tenido ni horizontal ni oblicua 00:08:57
Eso lo tenemos que tener en cuenta 00:09:04
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
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Fecha:
18 de abril de 2025 - 14:38
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
09′ 07″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
21.17 MBytes

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