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5-3-BT2 - Contenido educativo

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Subido el 5 de marzo de 2024 por Francisco J. M.

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un montón de detalles y os he puesto un montón de tutoriales porque es que la casuística 00:00:00
es bastante larga. Las cuentas no son complicadas, pero los conceptos hay que tenerlos muy claros. 00:00:08
Bueno, antes de continuar, os sigo diciendo que estoy grabando esta clase, que si alguien 00:00:13
tiene un comentario que lo diga y si no, ya vamos directamente, proseguimos, vamos 00:00:18
hablando. Vamos a las clases de distancia y estamos con la clase... ¿Es 9 en A15 en A2? 00:00:23
Es que claro, aquí no le cambio las fechas, pero sí. No, esta ya es la lista, ¿no? Perdón, 00:00:43
Es que es la décima quince. 00:00:51
¿Estoy haciendo bien? 00:00:55
A ver. 00:00:57
Sí, sí, es de a cinco. 00:01:01
Está bien, me he costado la ciencia. 00:01:02
Bueno, vamos a ver. 00:01:03
De la clase anterior, se supone que tenéis que saber trabajar con las coordenadas de los puntos. 00:01:05
Sabéis calcular la coordenada del punto medio. 00:01:12
Saber calcular todas las ecuaciones de una recta. 00:01:16
Y a partir de la ecuación de una recta, saber calcular un punto y un vector director. 00:01:19
Ahí vamos a dar un poquito más, pero bueno, entonces, lo que hay, las posiciones relativas de entre rectas. 00:01:24
Entonces, hoy nos vamos a meter, ya os digo que toda esa casuística tenéis que buscarla en, tenéis que buscar los tutoriales, si queréis ver todos los casos posibles, y los ejercicios que os he puesto. 00:01:41
Sí, bueno, el cálculo del área, vamos a incidir sobre ello, pero sí, eso es de la quincena anterior, o sea, esa es de la novena quincena, esta es la decimada quincena, bueno, del tema anterior mejor dicho, de la unidad 4. 00:01:54
Si el tema 4 es de vectores, el tema 5 es de puntos, rectas y planos. Hemos visto puntos y rectas y nos falta por ver planos, lo cual no es moco de pavo porque ya veréis que aquí hay mucha mierda. 00:02:19
¿Vale? Bueno, entonces, ¿cómo se calcula la ecuación general de un plano? 00:02:37
A ver, para dar un plano en el espacio yo necesito un punto P o A y dos vectores que no sean proporcionales, que no estén alineados. 00:02:46
¿Sí? O los datos que necesito. O también puedo tomar el plano un punto, un vector perpendicular. Muchas veces este vector perpendicular se le llama n porque es el vector normal. 00:03:11
¿Sí? Entonces, de momento vamos a hacerlo solo con lo que se llama la ecuación normal, que es con el punto y el vector perpendicular. 00:03:36
A ver, yo tengo un punto A, un punto P, como queráis, que es un punto ABC. Tengo un punto que está en el plano, un punto genérico. 00:03:55
bueno, sí, lo voy a llamar 00:04:14
el punto genérico es que siempre lo llamo 00:04:20
P, X y Z 00:04:22
¿qué pasa con 00:04:23
el ángulo, con este ángulo? 00:04:26
que es de 90 grados 00:04:30
sea cual sea el punto, si cojo otro punto 00:04:31
del plano, ¿sí? 00:04:34
ese ángulo siempre va a ser de 90 grados 00:04:36
pues esto, si yo tengo 00:04:38
perdón, A 00:04:42
un punto del plano 00:04:43
Los planos se suelen poner con letras griegas, empezando por la pi. Y tengo el vector perpendicular, vector perpendicular n, para dar la ecuación del plano, 00:04:45
Para dar la ecuación del plano, yo tengo que decir que el vector AP, producto escalar N, es cero. 00:05:06
¿Sabéis por qué tiene que ser cero? Porque los vectores son perpendiculares. 00:05:28
Entonces, ¿cómo quedaría esto? ¿Cuál es el vector AP? 00:05:45
Las coordenadas de AP sabéis que son las coordenadas del extremo, x menos a, y menos b, z menos c, ¿no? 00:05:49
Y lo que estáis diciendo es que, y aquí voy a poner una cosa muy rara, pero ya os la voy a poner así, os voy a poner que las coordenadas de n del vector son a mayúscula, c mayúscula y c mayúscula. 00:06:04
¿Por qué? Porque esto quiero que os recuerde a lo que os salía el año pasado cuando tenéis la ecuación de un arreglo. 00:06:23
A ver, entonces, si yo hago el producto escalar de AP con N, producto escalar con el vector ABC, y lo igualo a cero, sabéis que el producto escalar es primera componente por primera componente, 00:06:31
Más P por segunda componente, más tercera componente por tercera componente. 00:06:55
Aquí es. 00:07:07
Esto, os recuerdo que las tres rayitas significa que pi no es igual a una ecuación. 00:07:14
Pi tiene por ecuación la condición. 00:07:19
Entonces, ¿por qué os pongo esto? 00:07:25
¿Por qué os lo pongo así? 00:07:32
Porque, por ejemplo, si yo tengo este plano, si yo tengo un plano pi' que es 2x más 5y más 3z más 17 igual a 0, de aquí puedo sacar un dato, puedo sacar el vector perpendicular. 00:07:33
¿Cuál es el vector perpendicular? El 2, 5, 3. ¿Sí? Entonces, esto es, en términos generales, cómo sale la ecuación de un plano. 00:07:58
Esta se llama la ecuación implícita. Siempre que sale una ecuación igualada a cero se llama implícita. 00:08:13
Y recordad que la recta tenía dos ecuaciones implícitas y el plano solo tiene una. ¿Por qué? 00:08:19
una recta es 00:08:27
intersección de dos planos, ¿no? 00:08:30
Bueno, pues si yo tengo dos 00:08:32
ecuaciones para la recta, 00:08:34
una es un plano que la contiene y otra es 00:08:36
otro plano que lo contiene y la intersección 00:08:38
es esa. Ese 00:08:40
concepto creo que es bastante importante 00:08:42
que lo tengáis y lo 00:08:44
trabajaremos en algún otro 00:08:46
momento. ¿Vale? 00:08:48
Bueno, entonces, 00:08:50
aquí siempre, cuidado con los datos 00:08:54
e insisto, para dar un plano 00:08:56
necesitáis siempre un punto 00:08:58
por donde pasa y o 00:09:00
un vector perpendicular o dos 00:09:02
vectores directores. En este caso 00:09:04
lo hemos hecho con el vector perpendicular. 00:09:06
Bueno, vamos a hacer este ejercicio 00:09:09
muy sencillito. 00:09:10
Vale. No me había dado cuenta. 00:09:24
Tenía que copiar con mi imagen. 00:09:26
Ah, me falta copiar el vector. 00:09:31
El vector. 00:09:34
A ver. 00:09:43
Bueno. Pues ¿cómo hago esto? 00:09:44
Pues ya directamente 00:09:48
Cogería 2 por x menos 2 más 0 por y menos menos 1, que es y más 1, más 3 por z menos 0, igual a 0. 00:09:49
Esta es la ecuación del plano. Eso si no lo dejéis así, quitáis paréntesis, 2x menos 4, esto vale 0, más 3z igual a 0. 00:10:11
O sea que el plano que busco tiene por ecuación 2x. Conviene que lo dejéis ordenado. 00:10:23
Hay gente que le gusta dejar el hueco, pues si necesitamos alguna vez el vector perpendicular, que es el 2, 0, 3, ¿no? 00:10:29
menos 4 igual a 0 00:10:37
o sea, siempre va a ser una ecuación de este tipo 00:10:40
ax más bi más cz 00:10:44
más b igual a 0 00:10:47
y esto son las coordenadas del vector 00:10:50
perpendicular 00:10:53
esto ya es la primera forma 00:10:53
de escribir la ecuación de un plano, pero hay más 00:11:01
que por ejemplo 00:11:05
ahora son las ecuaciones, ahora vienen las ecuaciones paramétricas. Vamos a ver. Los 00:11:08
datos para las ecuaciones paramétricas es, para dar un plano, dar un punto y dos vectores 00:11:17
directores. Es el otro caso que os he puesto antes. Bueno, como os he dicho, para dar un 00:11:24
plano necesitáis un punto y dos vectores que no sean proporcionales. Si son proporcionales 00:11:52
tienen la misma dirección y no puedo crear un plano. Necesito dos direcciones distintas. 00:11:58
Un punto, A, y dos vectores, U y V. 00:12:03
Entonces, como hacíamos con la recta, para que un punto esté en el plano, este vector tiene que ser combinación lineal de estos dos. 00:12:10
O lo que es lo mismo, este vector tiene que ser suma de un vector proporcional a este, más un vector proporcional a este. 00:12:24
Este dibujo está mal hecho. O sea, la ecuación vectorial, un punto genérico x y z tiene que ser igual a más un vector proporcional a u más un vector proporcional a u. 00:12:33
Si yo lo tengo en coordenadas, diría que un punto está en el plano, si es igual al punto, más la suma de lambda por u1, u2, u3, más beta por v1, v2, v3. 00:13:04
Las paramétricas serían como en la recta, sería decir, x es igual a primera coordenada, que es a, más primera coordenada, que es lambda u, más primera coordenada, que es beta u2. 00:13:33
Y pues será igual a B más lambda U2, perdón, aquí es V1, más beta por V2. 00:13:52
Y Z es igual a C más lambda U3 más beta V3. 00:14:08
Entonces, esto recordad, cuando estén las paramétricas, que lo que no tiene lambda es el punto A, B, C. 00:14:22
El que tiene lambda, los coeficientes de lambda nos dan el vector director, uno de los dos, 00:14:34
y los que tienen el otro coeficiente beta nos dan el otro vector director. 00:14:39
¿Sí? Esto es el punto A. Esta columna me da el vector director, el primero, que es U, y esta columna me da el segundo vector director, que es V. 00:14:42
Ahora, para hacer la ecuación general, tengo que tener en cuenta que el vector AP, el vector U y el vector V, o sea, el vector AP es combinación lineal de O y V, 00:15:03
de tal forma que estos tres vectores son linealmente dependientes. ¿Qué quiere decir que son linealmente dependientes? 00:15:32
Que si yo tomo su determinante, ¿cuánto tiene que valer? 00:15:45
Para que sean linealmente dependientes, el determinante tiene que ser cero. 00:15:55
Cero, ¿no? 00:16:00
Bueno, pues esto nos da la ecuación general. 00:16:01
Se hace directamente porque es mucho más rápido. 00:16:07
Igual a cero. 00:16:14
Bueno, voy a hacer un poquito más de lo que me pide este ejercicio. 00:16:16
Dice, haya las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por estos tres puntos. 00:16:19
Cuidado. 00:16:24
aquí nos da un punto y dos vectores 00:16:25
nos dan tres puntos efectivamente 00:16:27
pues yo necesito tomar un punto A 00:16:31
se supone que esos tres puntos no están alineados 00:16:33
porque si no el problema no tiene sentido 00:16:37
por tres puntos alineados pasan muchos planos 00:16:39
no solo uno 00:16:42
¿y qué vectores puedo coger? 00:16:43
el vector AB y el vector AC 00:16:46
entonces el vector AB 00:16:49
sabéis que son las coordenadas del extremo menos las del origen 00:16:52
1, menos 1, 0 00:16:57
1, menos 2, menos 1 00:16:59
y menos 1, menos 0, menos 1 00:17:02
y el vector AC 00:17:05
es el vector 3, menos 1, 2 00:17:09
2, menos 2, 0 00:17:14
y 1, menos 0, 1 00:17:19
voy a repasarlo 00:17:22
0, menos 1, menos 1 00:17:25
y 2, 0, 1, vale 00:17:27
entonces, ecuaciones paramétricas 00:17:31
ecuaciones paramétricas la vamos a hacer así 00:17:35
pongo x igual, y igual 00:17:43
y z igual, en la primera columna 00:17:46
pongo el punto, ¿qué punto voy a poner? 00:17:49
pues el 1, 2, 0, puedo coger cualquiera 00:17:53
de los otros dos, pero por comodidad, ya que he hecho el dibujo así 00:17:55
el 1, 2, 0, ¿sí? ahora el primer vector 00:17:58
este es el 0-1-1. A ver, esto generalmente no se pone. Lo voy a poner aquí para que 00:18:01
lo veáis. Más 0 lambda, menos 1 lambda y menos lambda. Menos 1 lambda. ¿Veis? El vector 00:18:08
director 0-1-1. Y ahora más 2 beta, más, esto no se suele poner, 0 beta, más 1 beta. 00:18:18
Estas son las ecuaciones paramétricas. Y se pone que pi tiene por ecuaciones paramétricas esas tres. Paramétricas hay tres, una por cada coordenada. 00:18:30
Y ahora, si quiero hacer la ecuación general, aunque no me la pide, hago el determinante. Pongo x menos a, o sea, x menos y menos 2, z menos 0. Y ahora cojo los dos vectores. 0, menos 1, menos 1, 2, 0. 00:18:41
¿Sí? Bueno, pues esto lo desarrollo, me queda menos 1 por x menos 1, más 2 por xz menos 0, que es 2z, y esto sale, a ver si lo estoy haciendo bien, no, a ver, es este por este por este. 00:19:09
Ahora sería menos 2, menos 2 por Z por Y menos 2. Este sale 0 por 0 por 0, que es Z. Este sale menos 2 por Z, pero cambiando de signo queda más 2Z. Este sale 0 y este sale 0, ¿no? 00:19:31
Bueno, pues la ecuación general del plano sería menos x más 1 menos 2y más 4 más 2z más 2z igual a cero. 00:19:51
O sea que queda menos x menos 2y más 2z más 5 igual a cero. 00:20:09
¿Sí? A mí me gusta, para saber si me he equivocado en las cuentas, sustituir en un punto cualquiera de estos tres. Por ejemplo, en el 3-2. Menos 3, menos 2, menos 5. Pues mirad, me he equivocado en las cuentas. 00:20:16
A ver, menos 3, no, menos 3, menos 4, menos 7. No, no, está bien. Si sustituís en cualquiera de los tres puntos, está bien. Lo he comprobado, lo sustituís, ¿no? Esto me parece, esa comprobación, son estas cosas que os digo que lo pongáis en vuestra chuleta. 00:20:33
si queréis saber que un plano está bien 00:20:57
sustituís en los puntos 00:21:00
y salgo, ¿no? 00:21:02
y es una forma cuando hacéis un ejercicio 00:21:03
de decir este paso a ver si lo tengo bien 00:21:05
porque si no a veces 00:21:07
que sabéis que cambiando los datos 00:21:09
de un problema se complican 00:21:11
a veces están preparados para que 00:21:13
para que 00:21:15
las cosas salgan de una forma 00:21:20
las cuentas salgan de una forma 00:21:23
más sencilla 00:21:25
bueno, vamos a 00:21:26
aquí 00:21:27
sin pararme demasiado. Paso de ecuaciones paramétricas 00:21:29
a la ecuación general y viceversa. 00:21:36
A ver, hay una parte que ya la hemos visto. 00:21:39
No voy a hacer todas las vueltas, las voy a dejar en línea. 00:21:46
A ver, si yo tengo las paramétricas, yo sé 00:21:50
que el punto es el... Ese es el punto genérico, 00:21:52
pero el punto es 5, 0, menos 1. 00:21:58
Un vector es el que tiene los coeficientes de la T, 00:22:03
que es 3, 1, menos 1. 00:22:06
3, 1, menos 1 00:22:08
y el otro vector es el de los coeficientes de la S 00:22:12
que sería menos 2 00:22:16
menos 1, menos 4 00:22:18
es que como no está en columna despista un poco 00:22:21
es 5, 0, menos 1, vector 3, 1, menos 1 00:22:24
y vector menos 2, menos 1, menos 4 00:22:27
entonces, ¿cómo se calcula la ecuación general 00:22:30
de este plano? No voy a hacer las cuentas 00:22:33
Tendréis que poner x menos 5, y menos 0, z más 1, restando el punto. 00:22:36
Y ahora 3, 1, menos 1, y menos 2, menos 1, menos 4, igual a 0. 00:22:44
Y esto se calcula. 00:22:51
Ahora, ¿cómo se pasa de paramétricas a general? 00:22:55
Fijaos en una cosa, porque esto es una cosa súper fácil, lo que pasa es que muchas veces no lo es. 00:23:01
Esto es una ecuación con tres incógnitas. Tiene rango uno porque solo hay una ecuación, tenemos tres incógnitas, con lo cual depende de tres menos uno parámetros. 00:23:07
¿Os acordáis del teorema de José Florent? 00:23:20
Solo podéis despejar una incógnita. 00:23:22
¿Cuál queréis despejar? 00:23:25
¿La X? 00:23:30
Bueno, pues si quiero despejar la X, 00:23:32
3X es igual a 7 menos 4Y menos 12Z. 00:23:34
Lo que está multiplicando pasa dividiendo. 00:23:43
Pues x es igual a 7 tercios menos 4 tercios por y menos 4z. 00:23:51
La y puede tomar cualquier valor y la z puede tomar cualquier valor. 00:24:05
Paramétricas. 00:24:11
Si queréis poner aquí lambda o rst, pero estas son las paramétricas. 00:24:13
Un punto de este plano es el 7 tercios, perdón, 0, 0, primera columna. 00:24:18
Un vector director es el menos 4 tercios, 1, 0. 00:24:31
Y el otro vector director podría ser el menos 4, 0, 1. 00:24:38
Este, como no me gusta, yo los puntos no puedo multiplicarlos. 00:24:51
Pero si yo tengo un vector, puedo coger uno proporcional. 00:24:55
Proporcional se escribe así, que sería multiplicando por 3, sería al menos 4, 3, 0. 00:24:59
¿Sí? A la hora de operar, si os salen fracciones con vectores y lo único que os interesa es la dirección, podéis coger uno proporcional. 00:25:06
¿Vale? Los puntos no, ¿eh? El punto 7, 3, 0, 0, ese no se mueve, no se puede multiplicar. 00:25:13
Bueno, pues esto siguen siendo distintos trucos que os voy dando para que los vayáis utilizando cuando os vengan. 00:25:20
Bueno, a ver, otras determinaciones del plan. Esto lo pongo así y quiero darlo muy deprisa. A ver, plano que pasa por tres puntos no alineados. Eso ya lo hemos hecho, ¿no? 00:25:35
A veces. Este ya lo hemos hecho, ¿no? Entonces, no voy a insistir sobre él. Este es el 1, ¿no? Ahora, el 2. Plano que contiene una recta y un punto exterior. Tenéis una recta y un punto exterior. 00:25:55
Sabéis que si tenéis una recta podéis sacar un punto Q y un vector director, ¿no? 00:26:13
Entonces, ¿qué datos puedo utilizar? 00:26:23
O sea, aquí en el primer caso vimos que para dar una recta necesito o un punto y un vector perpendicular o un punto y dos vectores. 00:26:29
Aquí puedo coger A, el vector AB y el vector AC, ¿no? 00:26:37
Si yo tengo una recta y un punto, de la recta puedo sacar un punto y un vector, pero yo necesito un punto y dos vectores. ¿Qué punto cogeríais? El Q. ¿Y qué vectores? El O y el QP. Si cogéis el PQ no pasa nada. 00:26:42
¿Sí? Ahora, tercer caso. Plano que contiene a dos rectas paralelas. Yo de aquí puedo sacar un punto y un vector. De aquí puedo sacar un punto y un vector, que no tiene por qué ser el mismo, va a ser proporcional. 00:27:05
Y yo necesito dar una recta que contenga a todo esto. ¿Cómo haría esto? ¿Qué punto cogería? Por ejemplo, el P. ¿Y qué vectores cogeríais? El U. Y el V no se puede coger porque tiene la misma dirección que U, pero ¿qué vector se puede coger? El P, efectivamente. 00:27:24
¿Sí? Entonces, esto es para cuando tenéis un problema, que os digan, calcula el plano que contiene estas dos rectas paralelas. 00:27:49
Y ahora, en el caso 4, plano determinado por dos rectas que se cortan. Dos rectas secantes, ¿no? 00:28:00
yo tengo un punto P 00:28:07
y un vector 00:28:10
tengo un punto Q 00:28:12
y un vector 00:28:15
ya sé que se cortan 00:28:16
y un vector director 00:28:18
este es U y este es U 00:28:19
¿qué punto cogeríais? 00:28:21
si no lo conocéis 00:28:26
a ver, punto puedo coger 00:28:28
el punto 00:28:32
puedo coger o P 00:28:34
o Q o el de corte 00:28:36
Cualquiera de los tres. Y vectores U y V. Aquí puedo coger U y V porque los dos son linealmente independientes. 00:28:38
¿Vale? Entonces, estas son las posibilidades que os pueden salir. Cuando tengáis un problema, que sepáis que generalmente os pueden pedir que estudiéis la posición relativa y en función de eso que calculéis el plano que lo contiene. 00:28:53
Ah, bueno, y si tengo dos rectas que se cruzan, ¿hay algún plano que los contenga? 00:29:13
Os acordáis que es cruzarse, ¿no? Como que una pasa por encima de otra, pero que no tiene la misma dirección. 00:29:25
Si dos rectas se cruzan, no existe un plano que contenga a los dos. 00:29:32
como veis aquí la casuística es bastante grande 00:29:48
y por eso 00:29:53
bueno 00:29:54
la posición relativa de dos planos 00:29:55
es más sencilla que la relativa de tres 00:29:59
no sé si lo habéis mirado ya 00:30:01
y si no os insisto 00:30:03
en las tutorías individuales 00:30:05
un plano, para dar un plano 00:30:08
necesitáis solo una ecuación 00:30:10
¿sí? entonces 00:30:11
este es un plano 00:30:16
este es otro 00:30:19
Si dos planos en el espacio o son paralelos, son coincidentes, o son paralelos, o se cortan. 00:30:20
Y dos planos si se cortan, ¿en qué se cortan? En una recta. ¿No? En una recta, siempre. En una recta. 00:30:45
Bueno, entonces, cuando se corta una recta se llaman secantes, ¿no? 00:30:58
Bueno, pues entonces, vamos a hacer el esquema. 00:31:09
A ver, si yo tengo las ecuaciones ax más bi más cz más d igual a cero, 00:31:12
si me dan las paramétricas, pues tendría que pasar a implícitas, ¿no? 00:31:22
No, este es el plano pi y este es el plano pi'. 00:31:31
¿Qué pasa si A, si los coeficientes son proporcionales? 00:31:36
¿Qué quiere decir eso? 00:31:49
Que tienen el mismo vector perpendicular, ¿no? 00:31:51
¿No? 00:31:55
Caso A. 00:31:59
Vector perpendicular. 00:32:02
¿Cuándo va a pasar eso? 00:32:07
O bien cuando los planos son paralelos, ¿no? Tienen el mismo vector perpendicular, ¿no? Porque los vectores perpendiculares son proporcionales, paralelos o son coincidentes. 00:32:09
entonces 00:32:28
¿cómo distingo estos dos casos? 00:32:47
pues cuando van a ser paralelos 00:32:50
cuando además 00:32:53
el D 00:32:59
el término que queda también es 00:33:01
proporcional, porque ¿qué ocurre 00:33:03
si ocurre esto? 00:33:05
que esta ecuación 00:33:08
y esta son proporcionales 00:33:09
¿sabéis que si multiplicáis una ecuación por un número 00:33:11
os sale la 00:33:13
Se llama una ecuación equivalente, tiene las mismas soluciones, ¿no? Y aquí serían coincidentes, perdón, esto es cuando son coincidentes, ¿no? Cuando son coincidentes. 00:33:14
Y aquí serían paralelas si, por ejemplo, C partido por C' es distinto de D partido por D'. 00:33:28
Y en caso contrario, en caso contrario, se cortan en una recta, son secantes. 00:33:35
Secantes, ¿sí? 00:33:46
Atención, la ecuación de la recta es el sistema que forman esas dos ecuaciones. 00:33:48
¿Sí? Entonces, para un caso práctico, bueno, aquí, ancla, ¿sí? 00:33:56
Sí. A ver, para dar una recta tú puedes dar las ecuaciones implícitas. Acuérdate que dan dos, ¿no? Eso es dar las ecuaciones implícitas de la recta. Las puedes pasar a paramétricas y, claro, hay un montón de casuísticas también. 00:34:23
A ver, por ejemplo, esto es un ejercicio de examen relativamente sencillo, que es calcular el valor del parámetro A para que esos dos planos sean paralelos. Bueno, pues para que sean paralelos, ¿qué tiene que ocurrir? 00:34:43
Que, a ver, yo aquí tengo 1, el vector normal es 1, menos 3, 5, ¿no? Y aquí el vector normal es el... Vamos, esto no hace falta A, ¿sí? Bueno, pues para que sean paralelos, 1 partido por 2 tiene que ser igual a menos 3 partido por menos 6, igual a 5 partido por A, ¿sí? 00:35:10
¿Sí? Esto siempre se cumple porque multiplicando en cruz menos 6 es igual a menos 6, ¿no? Si no se cumpliera es que los planos nunca pueden ser paralelos, ¿sí? Y entonces, ¿qué nos quedaría por hacer? Pues que menos 3A es igual a menos 30, ¿no? Con lo cual A es igual a 10, ¿sí? 00:35:38
Y ahora, para comprobar que son paralelos y no son coincidentes, ¿tendría que hacer? Para comprobar que no son coincidentes, tendréis que hacer menos 3 partido por menos 6, tiene que ser igual a 5 partido por 10. 00:36:02
Pues entonces, si os fijáis, son coincidentes. Bueno, hay gente que a coincidente también lo llama paralelo, es un caso particular de paralelo. Pero bueno, aquí tendríais que especificar esto. 00:36:32
entonces en realidad es que son 00:36:49
a ver 00:36:52
ay perdonad, no, no, no 00:36:54
no son coincidentes 00:36:56
es que he hecho algo mal 00:36:57
sí, que 00:36:59
d y d' son 00:37:01
3 y menos 3 00:37:02
3 y menos 3 00:37:05
3 partido por menos 3 00:37:07
es distinto, entonces 00:37:09
no son coincidentes, son paralelos 00:37:11
pi y pi' 00:37:14
pi 1 y pi 2 00:37:16
son paralelos 00:37:17
esto se escribe así 00:37:19
bueno 00:37:20
más cosas 00:37:28
a ver 00:37:31
os voy a contar muy rápidamente 00:37:33
lo que es un haz de planos 00:37:36
aquí todo tiene que ser rápidamente 00:37:37
esto es una técnica que se usa bastante 00:37:39
que es la siguiente 00:37:49
yo sé que una recta 00:37:50
es intersección 00:37:57
de dos planos 00:37:59
a esto lo puedo llamar pi1 00:38:00
y a esto pi2 00:38:01
pi1 y pi2 00:38:03
una recta 00:38:05
Esa intersección de dos planos. 00:38:08
No sé si se ve aquí más o menos, ¿no? 00:38:12
¿Sí? Pi 1 y pi 2. 00:38:20
Pero imaginaos que esto es un libro que está abierto. 00:38:22
Por aquí habría otro plano, por aquí habría otro plano, infinitos planos, ¿no? 00:38:25
Y la recta es como un eje que va rotando esos planos, ¿no? 00:38:29
Bueno, entonces, ¿cómo se consigue el app de planos que pasa por este punto y que contiene a la recta? 00:38:34
lo que se llama el app de planos 00:38:41
que contiene R 00:38:44
pues cogéis el primer plano 00:38:47
2X más 3Y menos Z 00:38:54
menos 9 y ahora cogéis un 00:38:57
en realidad habría que poner aquí una lambda y una beta 00:39:00
¿qué número pongo? porque la lambda nos suele gustar 00:39:02
pongo una T 00:39:06
por el otro plano 00:39:07
he cogido una combinación lineal de estos 00:39:10
Esto es lo que se llaman todos los planos, que están aquí como rotando sobre esta recta, tienen esta forma, ¿sí? Y ahora me piden que calcule el plano que contiene a este punto, o sea, que pasa por el punto 3, 2, 3. 00:39:19
Imaginaos que aquí tengo un punto que es el 3, 2, 3, ¿no? Y es 3, 2, menos 3, perdón. Y sería el plano que contiene esa recta, ¿no? Y que pasa por aquí. ¿Lo veis? 00:39:38
a ver, tengo esta recta 00:39:56
que contiene un montón de hojas 00:39:59
girando esto, y me dicen, el que pasa 00:40:01
precisamente por este punto 00:40:03
pues va a ser un plano que va por aquí 00:40:05
que contiene esta recta 00:40:07
¿no? y que 00:40:09
contiene el punto, pues para que 00:40:10
pase por el punto, ¿qué tenéis que hacer? 00:40:13
sustituir en el punto 00:40:15
o sea, 2 por 3 00:40:16
más 3 por 2 00:40:19
menos, menos 00:40:21
3, menos 9 00:40:23
Más t por menos 3, más 2 por 2, más 3 por menos 3, más 2, igual a 0. 00:40:25
Esto sale 6 y 6, 12, 12, 15, 15 menos 9, 6, ¿no? 6 más, y aquí saldría, menos 3 más 4, 1, 1 más 2, 3, y 3 menos 9, 3 menos 9 es menos 6, ¿no? 00:40:41
Menos 6t igual a 0. 00:41:04
Despejáis y sale que t es igual a 1, ¿no? 00:41:07
¿Sí? 00:41:11
6 igual a 6t, ¿no? 00:41:16
Igual a 1, ¿sí? 00:41:18
Entonces, la ecuación del plano que busco es 00:41:21
2x más 3y menos z menos 9 más 1 por lo que sea, ¿no? 00:41:24
Esto lo hago. 00:41:41
A ver, sería 2X menos X, X. 3Y más 2Y, 5Y. Menos Z, más 3Z, más 2Z. Y menos 9 más 2 es menos 7, igual a 0. Esta es la ecuación del plano. 00:41:42
Voy a comprobarlo un momento. 3 más 10, 13, menos 6, 7 y menos 7, 0. Está bien. Yo hago estas comprobaciones de vez en cuando para ver que las cuentas cuadran. 00:42:00
bueno, esta es la técnica del haz de planos 00:42:15
que os puede 00:42:18
servir o no, hay gente que hace 00:42:20
esto de otras formas, hay otras técnicas 00:42:21
esta, yo lo que os digo es que generalmente 00:42:23
es muy rápida 00:42:26
de cuentas 00:42:27
cómo hacer un plano 00:42:28
que contiene una recta y un punto 00:42:32
bueno, lo último de hoy que son las 00:42:33
posiciones relativas 00:42:35
bueno, como veis 00:42:37
esto es interminable, os dejo los tutoriales 00:42:39
de cómo hacer un simétrico 00:42:42
y demás, aunque os digo 00:42:44
que va a haber una clase de 00:42:45
repaso porque 00:42:48
queda por ahí una 00:42:49
clase 00:42:51
que no hemos perdido. 00:42:52
Bueno, esto lo digo 00:42:56
rápidamente. Si nos dan tres 00:42:57
planes, 00:43:00
a ver, el caso más fácil 00:43:02
prácticamente 00:43:04
se estudia como si fuera un sistema. 00:43:05
A ver, si yo 00:43:08
tengo estas tres ecuaciones y el 00:43:09
sistema que forman tiene rango 00:43:11
1, ¿qué quiere decir? 00:43:13
Que las ecuaciones son proporcionales. 00:43:15
Bueno, si el 00:43:18
rango y el de la estrella es igual a 1. 00:43:19
El sistema es compatible e indeterminado 00:43:21
pero las tres ecuaciones son proporcionales. 00:43:23
Eso quiere decir que las tres ecuaciones 00:43:25
representan el mismo plano. 00:43:27
Este caso es el más tonto. Este es muy 00:43:29
raro que se haga así. Ahora, 00:43:31
¿qué pasa si el rango 00:43:34
de A es 1 00:43:35
y el rango 00:43:37
de la ampliada es 2? Que el sistema 00:43:39
es incompatible, ¿no? 00:43:41
¿Eso qué quiere decir? 00:43:43
El rango es uno quiere decir que todos los planos son paralelos, 00:43:45
porque tienen el mismo vector perpendicular. 00:43:48
Y si el sistema es incompatible, quiere decir que son paralelos. 00:43:52
La diferencia entre el primer caso y el segundo es que aquí el sistema es compatible. 00:43:59
Si el sistema es compatible, tienen que ser coincidentes los tres planos. 00:44:04
Son paralelos, pero compatibles. 00:44:08
Con lo cual, aquí son coincidentes. 00:44:11
Si son paralelos e incompatibles, incompatible quiere decir que los planos tienen que ser paralelos. 00:44:12
Ahora, si el rango de A y de A estrella es 2, el sistema es compatible, los planos se cortan, pero si se cortan y el rango es 2 quiere decir que depende de un parámetro. 00:44:21
Que dependa de un parámetro quiere decir que hay infinitas soluciones. ¿Cómo son planos que se cortan y tienen infinitas soluciones? Se cortan todos en una recta, efectivamente. Son secantes, se cortan en una recta. 00:44:40
¿Sí? Ahora, este caso, voy a apuntar estos tres casos porque son los más habituales. En este caso, el sistema es compatible e indeterminado. Quiere decir que tienen infinitas soluciones, ¿no? 00:44:56
Eso quiere decir que los tres planos pasan por una red. El otro plano lo podría pintar así, por ejemplo. 00:45:23
Ahora, ¿qué pasa aquí? En este caso es incompatible y puede haber dos casos. Que los dos planos sean paralelos y el tercero no. 00:45:34
¿no? este es el caso A 00:45:50
o puede que formen 00:45:57
los tres planos, lo voy a dibujar así 00:46:00
que formen una tienda de campaña 00:46:02
porque aquí 00:46:04
las tres rectas se cortan 00:46:07
dos a dos en tres rectas diferentes 00:46:10
¿sí? y el caso C 00:46:12
es cuando 00:46:14
pues todo funciona bien 00:46:15
cuando tengo un sistema compatible 00:46:18
determinado 00:46:20
y las tres rectas 00:46:21
pues se cortan en un punto 00:46:24
No sé si os fijáis, estas dos rectas se cortan aquí y con esta tercera se cortan en un punto. Esta es la posibilidad, la ideal, que las tres sean concurrentes en un punto. 00:46:26
Entonces, este sería un ejercicio también de examen, de estudiar posiciones relativas de planos. Nos dan los siguientes planos. En la práctica es mucho más sencillo de lo que parece. 00:46:42
A ver, mirad. Por ejemplo, tengo estos tres planos, ¿no? Entonces, vamos a ver. Yo tengo un sistema de ecuaciones, ¿no? 4, 2, 2, 2. A, 1, 1, 1. Y 2, 1, A, 1. 00:47:02
Esta es la matriz ampliada, ¿no? Calcule el determinante de A. Bueno, el determinante de A es 4A más 4 más 2A y ahora consigo menos, menos 4, menos 4 otra vez y menos 2A cuadrado. 00:47:26
A ver, esto y esto se van. Queda menos 2a cuadrado más 6a menos 4. ¿Sí? Lo igual a cero. ¿Sí? 00:47:55
Bueno, lo voy a hacer mentalmente. A ver si no me equivoco. Hay una solución que a es igual a 1 y la otra es que a es igual a 2 a 2. ¿Sí? Esto nos lo creen. ¿Sí? 00:48:09
Bueno, entonces, primer caso. Si A es distinto de 1 y de 2, ¿el sistema es compatible? Fijaos que lo escribo con todas las letras, determinado. ¿Qué quiere decir eso? Estos tres puntos solo tienen una solución en común, pues se cortan en un punto, ¿no? 00:48:27
se cortan 00:48:49
en un punto 00:48:51
que es la solución de este sistema 00:48:53
ahora, ¿qué pasa? 00:48:57
caso B 00:49:07
si A es igual a 1 00:49:08
si A es igual a 1 00:49:11
me queda 00:49:13
4, 2, 2, 2 00:49:15
1, 1, 1 00:49:19
2, 1 00:49:22
¿sí? a ver 00:49:25
Con esto conviene que tengáis ojo. Yo no sé si os fijáis que esta primera y esta de abajo son proporcionales. Yo sé que este plano y este son iguales. Pero bueno, voy a seguir, voy a escalonar. 00:49:29
Pongo 4, 2, 2, 2. Aquí si hago F2 menos 4F1 sale, perdón, 4F2 menos F1 me sale 0, 2, 2 y 2. 00:49:42
Y aquí me salía 0, 0, 0, 0, ¿no? Entonces, bueno, creo que de todas formas aquí sale el rango de A, ¿no? El rango de A es 2 y el rango de A estrella es 2, ¿no? 00:50:09
Bueno, pues aquí nos fijamos y bueno, lo que tendría que deciros es que son estos dos y dos. Sí. Entonces, aquí tendría que decir que se cortan en una recta, ¿no? En una recta. 00:50:28
Si queréis decirlo más fácil, hay dos planos que son iguales, que son pi1 y pi3, y hay un plano que no es paralelo y por eso se cortan en una recta, ¿no? Vamos, si queréis especificar. 00:50:59
Y, bueno, el siguiente caso, pues, lo veis. A ver si el próximo día voy a empezar por la posición relativa de recta y plano para que tengáis todo explicado, porque si no, no veo otra opción. Como las clases están grabadas, yo creo que es la mejor opción que el próximo día, cuando me ponga con posiciones relativas, voy a empezar por el final del jueves, ¿vale? 00:51:18
bueno, fijaos 00:51:41
que queda esto, posición relativa de recta 00:51:44
y plano, que aquí hay un montón 00:51:46
de cosas que os podría explicar el próximo 00:51:48
día 00:51:50
y bueno, que aquí tenéis 00:51:50
pues toda la casuística 00:51:54
mirados uno o dos tutoriales al día 00:51:55
porque la casuística es bastante 00:51:58
grande 00:52:00
¿vale? bueno, pues que tengáis 00:52:02
muy buena semana 00:52:03
y os sigo ofreciendo las 00:52:04
tutorías individuales 00:52:08
como siempre 00:52:10
Gracias. 00:52:10
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Autor/es:
Javier M.
Subido por:
Francisco J. M.
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Reconocimiento
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Fecha:
5 de marzo de 2024 - 12:23
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IES LOPE DE VEGA
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