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CLASE CCFF 24 DE FEBRERO - Contenido educativo

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Subido el 25 de febrero de 2026 por M.jose S.

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Y para hacer estos ejercicios, las fórmulas que necesitáis, las tenéis en el resumen. 00:00:00
¿Os acordáis que os di, el primer día que empezamos, que yo no metía, os di unas hojas que ponían resumen? 00:00:06
Entonces, en estas hojas de resumen tenéis, tenéis en principio las fórmulas que vamos a utilizar, 00:00:14
que son, lo primero que pone el segundo de la tabla, 00:00:21
el segundo, marcaroslas 00:00:26
para que sepáis cuáles son las fórmulas 00:00:28
que tenéis que utilizar 00:00:30
es lo segundo, poner razones trigonométricas 00:00:31
de un ángulo agudo 00:00:34
las relaciones fundamentales 00:00:35
y otras razones trigonométricas 00:00:39
¿vale? 00:00:41
o sea, de la primera hoja que os di del resumen 00:00:44
cogerla 00:00:46
y para la resolución 00:00:48
de triángulos 00:00:51
de ejercicios de trigonometrías 00:00:52
con triángulos 00:00:54
vamos a utilizar el resumen de la primera hoja, las tres, o sea, la segunda, tercera y cuarta fila. 00:00:56
Entonces, de esta tabla, segunda, tercera y cuarta fila. 00:01:08
De momento, esa sí, de la siguiente hoja, o sea, el resumen son dos hojas. 00:01:14
Son dos hojas. Entonces las fórmulas que utilizamos son de la primera hoja, insisto, la segunda, tercera y cuarta fila y de la segunda hoja la cuarta y quinta. 00:01:23
¿De acuerdo? 00:01:36
Yo no tengo esa hoja. 00:01:37
¿No lo dices? 00:01:38
No, no lo he dicho. 00:01:39
Ah, que no es correcto. 00:01:41
Cuarta y quinta de la segunda y la tercera. 00:01:42
Venga, repito. De la primera hoja, marcaros la segunda, la tercera y la cuarta fila de la tabla. 00:01:45
y de la segunda hoja del resumen la cuarta y la quinta, el teorema del coseno y el teorema del cero, ¿vale? 00:01:51
Con esas fórmulas podemos resolver todos los ejercicios, ahora veremos los que no estuvisteis ayer, 00:02:00
ahora veremos cómo lo hacemos, los que estuvisteis ayer ya podéis empezar a hacerlo. 00:02:06
Es importante que los ejercicios de trigonometría los dibujéis, si no los dibujáis es muy complicado 00:02:11
que es hacer un ejercicio de trigonometría. 00:02:19
Luego lo primero que hay que hacer es leer y dibujar lo que nos está diciendo. 00:02:22
es el 68 00:02:53
estamos haciendo el 68 00:02:56
os lo he dibujado 00:03:34
este es el más complicado 00:03:37
¿alguien lo está sacando? 00:03:52
¿lo está sacando nena? 00:03:54
¿lo está sacando? 00:03:56
lo estoy sacando de todos lados 00:03:57
pero bueno 00:03:58
lo hago si queréis 00:04:00
¿lo hago? 00:04:03
sí 00:04:04
¿no siquiera lo habéis intentado? 00:04:04
¿Sí? Espera, vamos a darle un poco de margen a ella para ver si lo acabamos. 00:04:10
Os lo he dibujado, por si... 00:04:15
Dice, desde A y B son dos puntos. 00:04:17
Bueno, os lo voy a dibujar en otro lado y luego vuelvo a este dibujo. 00:04:22
Dice, A y B son dos puntos inaccesibles. 00:04:26
A y B. 00:04:30
A y B. 00:04:33
Pero visibles desde otros puntos accesibles. 00:04:34
C y D. 00:04:36
C y D. 00:04:37
dices, ¿y estos dos puntos están separados? 73,2 metros. 00:04:40
Suponiendo que los ángulos ACD, es decir, este, es 80 grados 12 minutos. 00:04:49
BCD, es decir, este, es 43 grados 31 minutos. 00:05:00
B de C es este, B de C es este, estos son 32 grados y A de C, es decir, A, D, C, este de aquí dentro, son 23,14. 00:05:11
dice hallar la distancia esta 00:05:31
bueno, eso es lo que os he dibujado aquí 00:05:36
es lo mismo, entonces cuando uno dibuja en trigonometría 00:05:42
dibuja, esto es muy parecido a este que dejamos ayer sin hacer 00:05:46
cuando uno dibuja en una situación trigonométrica como esta 00:05:49
lo que hay que sacar son los triángulos 00:05:53
hay que sacarlos fuera porque así, si solamente ves esto no ves nada 00:05:54
Entonces hay que sacar los triángulos para ver los datos que tienes de cada triángulo y ver si con las fórmulas que tienes, qué es lo que puedes sacar. 00:05:58
Yo aquí tengo tres triángulos fundamentales, uno que es este, voy a dibujarlo en rojo, uno que es este, uno es ese, que es este, ¿veis? 00:06:06
este ángulo es de 12 grados 00:06:22
y este de aquí es de 23,14 00:06:27
y este de aquí es 23,14 00:06:29
¿lo veis? 00:06:31
el siguiente 00:06:33
el otro es este 00:06:34
que es este 00:06:39
este ángulo es de 43 grados 00:06:42
y este ángulo es de 32 00:06:44
y estas distancias es las dos 00:06:46
en el mismo y ya está 00:06:48
y el último que he dibujado 00:06:49
es este 00:06:52
que es ese pequeñito que tiene 43, 31 por aquí, esto está mal, estos son 32, esto no son 32, son 23, 14 y seguimos teniendo los 73. 00:06:54
Entonces, ¿con esto qué puedo sacar? A mí, como lo que a mí me piden es esto, yo necesito saber cuánto mide esto, esto y este ángulo, para poder sacar eso de allá. 00:07:13
Yo consigo saber cuánto mide esto, porque claro, yo tengo que trabajar con cosas de los triángulos de los que conozco cosas. 00:07:28
entonces yo para poder sacar esto 00:07:36
necesito saber cuánto mide esto 00:07:39
cuánto mide esto 00:07:41
y cuánto mide este ángulo 00:07:42
entonces, este ángulo es igual que este 00:07:44
porque dos ángulos 00:07:46
que están, dos rectas que se cruzan 00:07:48
los ángulos que están opuestos 00:07:51
unos a los otros son iguales 00:07:53
y este lo puedo saber 00:07:54
porque este es esto 00:07:56
¿cuánto vale ese ángulo? 00:07:58
180 menos esto 00:08:01
y pasármelo 00:08:02
a ver 00:08:03
y restármelo 00:08:06
y decirme cuánto vale ese ángulo 00:08:08
si queréis los pasamos todos a grados 00:08:11
que es más fácil trabajando con 00:08:14
voy a pasar los a grados 00:08:15
para pasar a grados 00:08:16
no, no es que no sirvan 00:08:18
pero es que aprender a utilizar esto 00:08:20
vamos, sí sirve 00:08:22
pero es que aprender a manejar esto 00:08:25
es absurdo 00:08:27
porque es que es muy antiguo 00:08:28
lo importante 00:08:29
es que tenga este botón 00:08:32
A ver, si yo meto, si yo meto, ¿cuánto hemos dicho? Por ejemplo, 43, 31, bueno, aproximadamente, sí. 00:08:34
Bueno, entonces, ¿cuánto es este ángulo? 00:08:55
Lo que estábamos diciendo, a ver, vamos a pasar los ángulos. 00:09:25
Este ángulo de 43, 31, hemos dicho que es 43,5, ¿no? 00:09:29
43,5. 00:09:42
23, 14, ¿cuánto es? 00:09:44
23, 23. 00:09:47
80, 12, ¿cuánto es? 00:09:54
Y 23, 14, hemos dicho que es 23, 23, ¿no? 00:10:01
Hola. 00:10:09
32 ya lo tenemos 00:10:14
43, 31 00:10:17
me habéis dicho que es 43,5 00:10:19
y ya están todos 00:10:21
¿no? vale, entonces 00:10:27
este ¿cuánto mide? 00:10:29
este ángulo mide lo mismo que este 00:10:31
¿qué es cuánto? 00:10:33
sacádmelo, 180 menos eso 00:10:35
ya sabemos que la suma de los ángulos de triángulo 00:10:37
¿cuánto? 00:10:39
113,26 00:10:43
que es lo mismo que esto 00:10:45
113,26 00:10:46
¿Vale? 00:10:49
Sabiendo esto 00:10:51
Sabiendo esto 00:10:52
Yo puedo sacar 00:10:54
Esto y esto 00:10:56
Venga, sacádmelo 00:10:58
¿Terema del seno o terema del coseno? 00:11:00
Venga, vamos, vamos 00:11:03
Vamos, vamos, no me miréis 00:11:05
Mirándome nos aprende, vamos 00:11:06
Yo tengo este 00:11:08
Yo con esto puedo sacar 00:11:11
Esta medida y esta medida 00:11:12
si luego saco esta medida y esta medida 00:11:14
ya solamente tengo que restarlo y sacar esta 00:11:18
¿me he explicado? 00:11:21
o sea, mi objetivo, lo que no puedo perder es el objetivo 00:11:24
a mí me piden esto 00:11:27
me piden esto, ¿vale? 00:11:28
entonces, yo digo, este ángulo lo sé 00:11:31
porque es el mismo que este 00:11:34
pero necesito dos lados 00:11:35
para poder sacar esto con el teorema del coseno 00:11:38
necesito saber cuánto mide este trocito y ese trocito 00:11:40
y para sacar este trocito y este trocito 00:11:43
yo lo que hago es, saco el largo 00:11:45
y le quito el corto, es decir 00:11:47
saco este de aquí y le quito esto 00:11:49
y ya tengo esto 00:11:52
bueno, ¿y cómo lo has hecho? 00:11:53
yo lo que he sacado, de los dos triángulos de abajo 00:11:54
¿este? 00:11:57
no, de los que tienes dos triángulos de abajo 00:11:59
yo he sacado los lados 00:12:01
y luego C, A y D 00:12:03
C, A y D ya está unido, es este 00:12:05
C, A y D 00:12:06
¿esto? 00:12:07
sí 00:12:09
ya, pero ahí, ¿qué tienes? 00:12:09
lados, entonces tendría los lados 00:12:11
También, eso es más fácil 00:12:13
¿Esa manera también es válida? 00:12:15
¿Os habéis enterado lo que ha hecho ella? 00:12:19
Algo del triángulo 00:12:21
Mira 00:12:22
Ella lo que hay 00:12:24
Ella tiene esto 00:12:26
Tenemos esto, ¿no? 00:12:32
Entonces ella coge y coge 00:12:34
Este triángulo grande 00:12:36
¿Vale? 00:12:37
Bueno, con que cojas este es suficiente 00:12:40
No, pero no puedes 00:12:42
Porque no tienes 00:12:44
Bueno, ¿tienes este también? 00:12:46
Claro 00:12:48
Ah, vale, vale 00:12:48
Ya, ya entiendo lo que has hecho 00:12:49
Ella coge y dice 00:12:53
Tengo este, ¿no? 00:12:54
Que es este rojo 00:12:55
Que es este rojo 00:12:56
Que es este rojo 00:12:58
¿Vale? 00:13:01
Y como de aquí tiene 00:13:03
Tiene este ángulo 00:13:04
Tiene este ángulo 00:13:06
Por lo tanto tiene este 00:13:08
Y tiene esto 00:13:09
Saca esto 00:13:10
Y esto 00:13:11
¿Vale? 00:13:12
¿Me seguís? ¿Me estáis siguiendo? 00:13:14
Una cosa es si sabes cómo sacarlo y otra cosa es verlo geométricamente. 00:13:17
Es decir, yo tengo aquí este triángulo, me han dado este ángulo, me han dado este ángulo, esos dos ángulos, 00:13:24
puedo sacar este porque si tengo dos ángulos en triángulo, tengo dos tres, porque tienen que sumar 180 grados. 00:13:31
Y entonces, con el teorema del seno o del coseno, saco estos dos lados. 00:13:38
¿Vale? Y ya tengo este triángulo 00:13:43
Luego cojo, coge y dice 00:13:45
Bueno, y ahora este, ahora cojo este 00:13:47
¿Vale? De ese tengo 00:13:49
Tengo este ángulo, tengo este ángulo 00:13:51
Y tengo esto, pues puedo sacar esto 00:13:53
Y puedo sacar esto, exactamente igual 00:13:55
Y una vez que tiene esto 00:13:58
Una vez que tiene esto 00:13:59
Coge y dice, bueno, pues yo ahora 00:14:01
Lo que hago es que me cojo este triángulo 00:14:03
¿Vale? Pero de ese triángulo no puedo 00:14:05
Lo que mide C, B 00:14:08
Y de ese lado lo que mide A, C 00:14:09
pero con dos lados solos no puedes hacer nada 00:14:12
y no tienes los ángulos 00:14:14
si, si los tienes 00:14:16
si los tienes, llevas razón 00:14:17
si los tienes, si los tienes 00:14:19
tienes esto, esto y esto 00:14:20
y tienes 00:14:23
tienes este lado, que es este 00:14:24
tienes 00:14:27
este lado, que es este 00:14:28
y tienes este ángulo 00:14:31
porque este ángulo sale 00:14:33
de quitarle a 8 con 12 00:14:35
este de aquí 00:14:37
entonces con estos dos puedes sacar esto 00:14:37
que es lo que te pido 00:14:40
¿Habéis entendido el razonamiento? 00:14:41
Este es lo más complicado que os puede salir 00:14:44
¿Vale? 00:14:48
Porque primero tienes que entender la geometría que tienes delante 00:14:49
Y luego aplicarla 00:14:52
¿Habéis entendido lo que hemos hecho? 00:14:53
O sea, primero hemos dibujado el ejercicio 00:14:57
Hemos dibujado el ejercicio 00:15:00
Una vez dibujado el ejercicio, extraigo los triángulos que tengo 00:15:04
una vez extraído los triángulos 00:15:08
yo puedo actuar como quiera 00:15:11
yo por ejemplo no hubiese actuado como ella 00:15:13
yo lo hubiese hecho de la otra manera 00:15:15
nos tenía que haber dado lo mismo 00:15:16
yo lo que hubiese hecho es 00:15:17
en vez de coger estos dos 00:15:19
y luego este de aquí 00:15:21
la diferencia entre lo que ha hecho ella 00:15:23
y lo que yo iba a hacer 00:15:24
es que yo estos dos triángulos 00:15:25
los cogemos las dos 00:15:27
y las dos con estos datos 00:15:28
calculamos todos los del triángulo 00:15:30
ya sabéis que solo tenéis dos teoremas 00:15:33
el seno y el coseno 00:15:35
Con esas fórmulas os tenéis que apañar. Con estos datos sacáis todo lo que os falta aquí, es decir, ¿qué os falta? Os falta esto, os falta esto y os falta esto. Se resuelve. Eso no tiene ningún problema. 00:15:36
Luego me cojo el otro, el otro grande, lo mismo, me falta esto, me falta esto y me falta esto. 00:15:51
Yo lo que hubiese hecho es cogerme este tercer triángulo, que es este, y sacar esto y esto. 00:15:58
Y luego hubiese restado esto menos esto, me hubiese dado esto, esto menos esto, me hubiese dado esto y hubiese resuelto ese triángulo. 00:16:05
¿Vale? Eso es una manera. 00:16:15
cuando trabajas con geometría 00:16:16
en general cuando trabajas en matemáticas 00:16:19
hay muchos caminos para llegar a lo mismo 00:16:20
esa es una manera, la otra manera 00:16:22
que es la que ha hecho ella, es lo mismo 00:16:24
ella coge los dos triángulos 00:16:26
con los datos que tiene 00:16:28
y los calcula 00:16:29
eso en las dos, lo que pasa que 00:16:31
luego en vez de coger este triángulo pequeño 00:16:34
ella se coge este 00:16:36
se coge este 00:16:37
y de aquí que tiene, pues 00:16:39
este lado es este, lo veis, no 00:16:41
este lado 00:16:44
este lado es este 00:16:46
¿lo veis, no? 00:16:48
y este ángulo es 00:16:50
el grande, el 80-12 00:16:52
menos el 43-31 00:16:54
¿lo veis? 00:16:56
y ya tiene esto, como tiene este lado 00:16:58
este lado y este ángulo, teorema del coseno 00:17:00
y saca eso, venga ahora quiero que lo hagáis 00:17:02
que lo escribáis 00:17:04
¿habéis entendido el procedimiento? pues hacerlo 00:17:05
teorema del seno y teorema del coseno 00:17:08
sacáis primero 00:17:10
sacáis este triángulo 00:17:12
y con los datos que tenéis 00:17:14
sacáis esto y esto. Luego este 00:17:16
y sacáis esto y esto. 00:17:18
Luego este y 00:17:20
con los datos que habéis recogido 00:17:21
sacáis eso. Venga, te doy más el seno, te doy más el coseno. 00:17:24
¿Cuál quieres? 00:17:28
Esta. 00:17:30
Pero esta, esta, esta... 00:17:32
Ya, no sé si es para los datos. 00:17:34
Claro, con lo que ha hecho, 00:17:36
con lo que ella propone 00:17:37
que es más sencillo 00:17:39
eso no lo necesitas. 00:17:42
tendrías este otro, tendrías este otro, ¿vale? 00:17:44
Donde esto es esto, esto es esto y este ángulo es 80,2 menos 43,5, ¿de acuerdo? 00:17:51
Tiene más seno y tiene más coseno 00:18:12
Una vez que ya geométricamente lo habéis visto 00:18:17
Hacerlo es aplicar los teoremas 00:18:21
Es una cosa bastante sencilla 00:18:25
Para resolverlo aquí no hace falta que saquéis todo 00:18:27
Lo que necesitáis para hacer ese es suficiente 00:18:34
Sacáis esto, sacáis esto 00:18:37
Y luego ya con eso sacáis lo otro 00:18:39
Ya lo he hecho, os explico, os he traído los que han salido en el examen a lo largo de los años, no es fijo que vaya a caer algo, que a veces cae y otra vez cae, pues reza para que te caiga, porque lo que ponen al ESO es más complicado, lo siguiente que vamos a ver, analítica del espacio, entonces eso, rectas y planos en el espacio. 00:18:43
entonces eso 00:20:27
a ver, no es más difícil 00:20:29
porque sea más difícil, sino porque 00:20:31
necesitas memorizar 00:20:33
más cosas, aquí con cinco 00:20:35
fórmulas lo tienes resuelto 00:20:37
no metía con cinco fórmulas 00:20:39
y hombre, un poco de manejo que tienes que hacer unos cuantos 00:20:40
porque si no has hecho nunca ninguno en tu vida 00:20:43
es imposible, pero si no 00:20:45
los vas haciendo, suelen ser 00:20:47
bastante más sencillos que los otros 00:20:49
porque los otros tienes que memorizar 00:20:51
muchas más cosas 00:20:53
lo hacemos 00:20:54
os lo hago, bueno ya está hecho 00:20:56
yo os lo explico, habéis entendido 00:20:58
el gráfico 00:21:02
lo habéis entendido, vale 00:21:04
entonces hemos dicho que teníamos 00:21:06
estos dos, lo negro es lo que tenemos 00:21:07
estos dos, lo negro es lo que tenemos 00:21:10
y este necesitaba 00:21:12
esto y necesitaba esto 00:21:14
porque este ángulo 00:21:16
ya me salía directamente 00:21:17
quitándole a 80-12 que es este 00:21:19
grande, quitándole este pequeño que me da 00:21:22
36,7, de acuerdo 00:21:24
Bueno, entonces yo sé que esto de aquí es esto de aquí 00:21:26
Entonces, esto de aquí lo saco por el teorema del seno 00:21:30
Que dice que esta medida partido el seno de este ángulo 00:21:34
Y este ángulo lo saco porque es 180 menos estos dos 00:21:41
Es igual a esta medida que es la que busco partido por el seno de este 00:21:44
Entonces de aquí saco x y me sale ya directamente este valor 00:21:49
Que es este, 29,7 00:21:54
Pero, ¿cómo lo has hecho? 00:21:55
¿Lo has hecho así, con el teorema del seno? 00:21:58
Bajo con el seno. 00:21:59
Sí, ¿cómo has hecho? 00:22:01
73,2 dividido, ¿qué te da? 00:22:02
76,57, que es el que falta, y en el otro 104,5, ¿vale? 00:22:04
Y ahora... 00:22:09
Y luego es dividir seno de 76,57 en cosas... 00:22:10
¿Por qué? 00:22:15
Pues el teorema del seno no dice eso. 00:22:16
El teorema del seno lo tenéis en el ojo resumen, ¿qué os digo? 00:22:19
Ah, vale. 00:22:23
Claro, tienes que dividir, claro, tienes que dividir es la medida entre el seno del ángulo opuesto, es decir, esta entre el seno de esta tiene que ser igual a esta medida dividido por el seno de esta. 00:22:23
Despejas esto, esto por esto, dividido esto te da X, ¿vale? De la misma manera haces este, yo cojo este y digo, ¿de aquí qué necesito? Necesito esto, ¿qué es esto? 00:22:36
Y lo hago igual, 73,2 dividido el seno de 104,5 tiene que ser igual a esto dividido el seno de 32, luego saco 40. 00:22:46
Como tengo esto y esto y este ángulo, aquí sí que tengo que emplear el teorema del coseno, porque aquí no me vale el del seno, ¿vale? 00:22:55
Porque no tengo estos dos ángulos, para que me valga el teorema del seno tengo que saber como mínimo, mínimo, mínimo, 00:23:03
tengo que tener dos lados 00:23:09
y uno de los ángulos 00:23:11
y un ángulo 00:23:13
que no sea el que está entre esos dos lados 00:23:15
entonces, bueno y si no, lo probáis 00:23:17
pruebas el teorema del seno y verás que con eso 00:23:20
no llegas a nada, pero el del coseno 00:23:21
sí, el del coseno dice que 00:23:23
esto al cuadrado 00:23:25
x igual, entonces a raíz cuadrada 00:23:27
es esto al cuadrado 00:23:29
esto al cuadrado más esto al cuadrado 00:23:31
menos dos veces esto por esto 00:23:33
por el coseno del ángulo este que lo tengo 00:23:35
y aquí saco 00:23:37
Si lo tengo bien con mis números, lo tengo bien. 00:23:38
Está bien. 00:23:40
O sea, el planteamiento es correcto. 00:23:41
Vale. 00:23:43
Pero luego no se equivoquen si se aplica la fórmula. 00:23:43
O sea, lo único ha sido los dos triángulos. 00:23:46
Bueno. 00:23:48
Pero es el seno esteorema del seno. 00:23:49
24. 00:23:50
Vale. 00:23:51
Y entonces me da 24. 00:23:52
Es decir, esto, la distancia que me piden, que es esta, es de 24 metros. 00:23:54
¿De acuerdo? 00:23:59
Vale. 00:24:00
Venga, darle la vuelta y hacemos el 62. 00:24:00
El 62 es mucho más sencillo. 00:24:03
El 62, dibujároslo y lo planteáis. Es de los normales, de los de miro una cosa, de no sé qué, luego me acerco y la veo desde otro ángulo. 00:24:05
Lo dibujáis y lo hacéis. 00:24:17
Es como el de ayer. 00:24:20
Eso vuelve a ser otra vez como el de ayer. 00:24:23
Es que esos son los más típicos. Los que hicimos ayer y este, que es del mismo tipo, son los más típicos. 00:24:26
Lo de veo una torre desde no sé qué, me acerco, me alejo o estoy en un río, en el otro y nos vemos de tal manera o veo un árbol, esos son los más normales. 00:24:31
Vamos a hacer este, ese, este, este, ¿vale? 00:24:41
Venga, vamos, vamos, intentadlo por lo menos, dibujadlo, dibujadlo, venga, intentadlo, vamos, intentadlo. 00:24:51
No, no, no, eso es la labor. 00:24:58
Yo voy a terminar de copiar. 00:24:59
Porque los otros ya los... 00:25:00
Los otros están hechos en la grabación de ayer, los que hicimos todos. 00:25:01
Venga, no me la distraigas, vamos. 00:25:04
Inténtalo. 00:25:06
Dibujadlo, dibujadlo. 00:25:08
Hay que dibujarlo y una vez que lo dibujas sacas los triángulos y ya los teoremas del seno y el coseno, 00:25:12
o si son triángulos rectángulos con las fórmulas de los triángulos rectángulos, se saca muy fácil. 00:25:18
El ángulo de elevación es el ángulo con que se mira. 00:25:23
¿Vale? Ese es el ángulo. 00:25:27
Da igual, como lo dibujéis, la cuestión es que luego lo pongáis. 00:25:27
¿A qué lado? ¿A ese? Porque es el ángulo de observación. 00:25:41
Aquí está, están aquí en el pueblo y miran la montaña, luego el ángulo de observación es este, 00:25:45
o sea, es el ángulo con el que miras, ¿entiendes lo que digo? 00:25:52
Es el ángulo con el que miras, o sea, esto es como si aquí hubiese un ojo. 00:25:55
¿A ese lado? Sí, eso me da igual. 00:25:59
Pero, pero, y os piden esto, la altura H. 00:26:02
¿Veis lo que he hecho, no? O sea, es, supongo que los que estuvisteis ayer, el dibujo lo habéis hecho bien, ¿no? 00:26:12
Sí, ¿no? Vale. Entonces, esto está aquí, ven la cima de la montaña con un ángulo de 30 grados. 00:26:19
Se acerca 100 metros a la montaña y de pronto lo ve con 45 grados. 00:26:25
entonces de aquí tenéis que sacar 00:26:30
dos triángulos 00:26:32
que en este caso son rectángulos 00:26:34
y con esos dos triángulos sacar la altura 00:26:36
este es muy parecido 00:26:39
casi igual a lo que hicimos ayer 00:26:41
y que ya os digo que son los normales 00:26:42
este que hemos hecho anterior 00:26:45
es tremendamente complicado 00:26:47
para lo que normalmente han puesto 00:26:49
es por lo que yo te estoy diciendo 00:26:51
ya te lo dije ayer 00:27:19
pero a mi lo que me piden es H 00:27:19
¿Eso es X? 00:28:35
Sí, sí, pero luego se multiplica por 1 también 00:28:36
Vale 00:28:38
Ah, vale, me queda lo mismo 00:28:39
Efectivamente 00:28:41
H igual a 00:28:43
Vale 00:28:45
Está claro, ¿no? 00:28:59
A ver 00:29:02
El dibujo, ¿lo habéis entendido? 00:29:02
¿Cómo es el dibujo, no? 00:29:05
Tengo una colina y entonces 00:29:07
Estoy desde aquí y lo veo con un ángulo de 30 grados 00:29:09
Y si me acerco 100 metros 00:29:12
Lo veo con uno de 45 00:29:14
De aquí saco dos triángulos, ya sabéis que una vez dibujado hay que sacar triángulos para ir sacando cosas que yo puedo, una es este, entonces como yo sé que esto es h, que es lo que me piden, pero yo esto no sé lo que mide, por lo tanto lo llamo x, y esto es 45, y entonces, y el otro es este, el otro es este, que es este, esto es h también, y esto, claro, esto será los 100 más x. 00:29:15
Y esto 30. 00:29:45
Entonces, ahora ya veo que lo que tengo son dos triángulos rectángulos. 00:29:46
Si tengo dos triángulos rectángulos, ya sabemos que si coges las fórmulas de los triángulos rectángulos, 00:29:51
que son los que están en el resumen, en la segunda fila, veis que la tangente de un ángulo, 00:29:57
en este caso la tangente de 45, es en un triángulo rectángulo el cateto opuesto partido el cateto contiguo. 00:30:06
Es decir, en este caso h partido por x. 00:30:12
y aquí despejo la h, esto pasa multiplicando y me queda esto, aquí lo mismo, la tangente de 30 va a ser cateto opuesto que es h partido cateto contiguo que es 100 más x, 00:30:14
si despejo la h, esto pasa multiplicando y me queda esto, tengo dos ecuaciones con dos incógnitas, como h y h es lo mismo, pues las igualo y al igualarlas y despejarlas 00:30:27
me sale que la X, es decir, este valor, esto vale 132,5, una vez que tengo eso, tengo que sacar la H, que es lo que me piden, 00:30:39
la H es esto, pues me voy aquí y veo que es X, es decir, los 132,5 por la tangente de 45, que es 1, por eso aquí pone 1, 00:30:51
porque la tangente de 45 es 1, luego en este caso H y X, pues son exactos, es lo mismo, es el mismo valor, ¿de acuerdo? 00:31:01
Vale, yo 0,43x a 1, ¿qué es? 00:31:09
Pues a esta x, a una x, esto es 0,57, lo paso restando y es 1 menos 0,57, 0,47. 00:31:16
Esto es x menos, esto pasa restando y esto es 0,43, ¿vale? 00:31:28
Venga, el siguiente, yo no sé si, este lo hicimos yo creo, ¿no? 00:31:41
Ese está hecho de ayer, ¿verdad? El 63, este yo creo que sí. 00:31:47
A ver. 00:31:51
¿Seguro? 00:31:56
No, no la hicimos, pero me suena que sí, pero es que es igual. 00:31:59
Sí, sí, sí, sí, estos los hicimos ayer. 00:32:03
Los que no hemos hecho han sido los de abajo. 00:32:06
El 65, a ver, el 65 que se ha colocado un cable con un máster que lo sujeta. 00:32:09
Estoy hablando de la vuelta. Es diferente al que teníamos... No, es igual que el 64 de la hoja anterior. 00:32:16
Sí, sí, es igual que el 64 00:32:30
Sí, sí, sí, sí, eso lo hicimos ayer 00:32:39
Y el 64 también, es el de los tres pueblos 00:32:41
Que es el 66 de la hoja anterior 00:32:45
Sí 00:32:47
Pasamos a... 00:32:47
¿Quién creó esto? 00:32:49
Y el 66 también 00:32:54
Vamos a hacer de esta hoja, de la vuelta 00:32:56
hacemos el 65 00:32:58
hacemos este 00:33:00
hacemos este 00:33:07
hacemos este, vale 00:33:10
este, este 00:33:14
os lo dan dibujado, es este dibujo 00:33:16
así que es bien fácil, venga 00:33:19
os piden la altura del este 00:33:20
y la medida total del cable 00:33:26
la medida total os piden 00:33:28
os piden la longitud total del cable 00:33:30
os piden la suma de estas dos 00:33:35
si tienes todas las medidas haces pitágoras 00:33:40
si no pues haces 00:33:47
con cualquier fórmula os sale 00:33:48
¿Cómo? 00:33:52
No puede ser 00:35:36
¿El qué? 00:35:37
A ver 00:35:41
¿Está claro, no? 00:35:41
¿Está claro? 00:36:15
A ver, lo repito para la gente que está más perdida 00:36:17
En este caso los dos triángulos son 00:36:20
el de la izquierda y el de la derecha, ¿vale? ¿Lo veis claro? Entonces, el de la izquierda 00:36:24
conozco este ángulo, entonces como estos son 20 metros, a esto le llamo x, y el de 00:36:30
la derecha, por lo tanto, me queda que esto es 20 menos x, ¿vale? Me llamo x y a esto 00:36:35
20 menos x, y en los dos la h es igual. El planteamiento es exactamente igual que el 00:36:43
anterior. Yo tengo aquí, entonces como tengo un ángulo y dos catetos de un triángulo 00:36:50
rectángulo, pues con la tangente, tangente de 45 es h partido por x, cateto opuesto partido 00:36:55
cateto contiguo y de aquí despejo h, aquí lo mismo, tangente de 30 es igual a cateto 00:37:01
opuesto que es h partido cateto contiguo que es 20 menos x y de aquí despejo, la h aquí 00:37:09
y la h aquí y como son h las dos, pues lo igualo, al igualarlo y despejar la x me sale 00:37:14
que la X es 726, 726, perdón, 726, y como la H es la tangente de 45, que es 1 por X, 00:37:21
pues la H es exactamente igual, 726, ¿de acuerdo? ¿Vale? ¿Vale para todos? Bueno, 00:37:32
y ahora me piden, eso es lo primero que me pedían, la altura del poste, y ahora me piden 00:37:38
la longitud del cable, la longitud del cable es la suma de lo que mide esta hipotenusa 00:37:42
y esta hipotenusa, entonces lo que hago es trabajar con el teorema de Pitágoras, esta hipotenusa A es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus catetos 00:37:47
y esta otra, esta hipotenusa B exactamente igual, es la suma del cuadrado de este más el cuadrado de este, de acuerdo, esto me da estas medidas que sumadas 00:37:59
porque es la longitud del cable total 00:38:09
me da 25 metros 00:38:11
¿de acuerdo? 00:38:12
aquí como son triángulos rectángulos 00:38:14
con lo que trabajo son 00:38:17
directamente con las variables trigonométricas 00:38:19
y el teorema de Pitágoras 00:38:22
también te sale 00:38:24
1,57 00:38:25
claro, porque ahora este pasa sumando 00:38:28
esto es igual que el de antes 00:38:30
lo que pasa es que antes estaba sumando y pasaba restando 00:38:31
y ahora está restando y pasa sumando 00:38:33
¿os ha salido bien? 00:38:34
si, acepto eso, pero vamos 00:38:36
ojo con eso, tú cuando tienes 00:38:38
te da una medida total 00:38:40
tienes que llamar al trozo que desconoces x 00:38:42
y a lo otro pues depende 00:38:44
en el anterior 00:38:46
ah lo he borrado, bueno 00:38:47
en el anterior 00:38:49
como están los dos en el mismo lado 00:38:51
si uno es x el otro es 100 menos x 00:38:54
o sea 100 más, bueno ya no me acuerdo 00:38:56
pero vamos, tú a la medida 00:38:58
que desconoces llamas x 00:39:00
y a lo otro pues lo que tengas grande 00:39:02
menos la x, ya está, vale 00:39:04
Vamos con el 66, el del globo aéreo estático. 00:39:06
Este igual, fijaros que os dan la figura. 00:39:21
Ese venga, vamos, a por ello. 00:39:29
Venga, si son todos muy parecidos. 00:39:32
Sí, la altura de la metida es sencillísima. 00:39:33
¿Habéis hecho unos cuantos? 00:39:36
Os piden esto, la altura y esto, y la longitud de ese cable. 00:39:38
Intentadlo, chicas, que es otra cosa, vamos, intentadlo. 00:39:47
Lo mismo, dibujáis los triángulos, en este caso son dos triángulos rectángulos 00:39:50
y lo resolvéis con las fórmulas de los triángulos rectángulos, ¿vale? 00:39:54
Claro, porque lo que te piden es esto, te piden la altura. 00:39:59
Entonces, al trazar la altura es cuando te salen los dos triángulos. 00:40:03
Es que este es un poco distinto, no es exactamente igual. 00:40:29
Aquí, como en este no tienes ángulos, aquí lo único que puedes utilizar es Pitágoras. 00:40:31
Para despejar la H. 00:40:36
No, son dos. 00:40:40
Porque aquí te piden esta altura. 00:40:41
Claro, te piden esta altura. 00:40:46
Tú tienes que dibujar lo que te piden, porque con lo que te piden es con lo que luego montas los triángulos, 00:40:48
si no, pasa que en este caso te dibujan el mástil, pero aquí no, 00:40:57
pero aquí lo que te están pidiendo es la altura a la que está el globo, te está pidiendo eso. 00:41:02
Es que con ese triángulo solo, es que ahí no te sale la altura, lo que te piden. 00:41:08
9,15 en el largo 00:41:14
No, ahí no tienes, no puedes hacer nada 00:41:16
Ahí no puedes hacer nada 00:41:19
Puedes trabajar con estos también, si quieres 00:41:20
Puedes trabajar con esos 00:41:24
¿Lo habéis hecho? 00:41:26
¿Por ahí? 00:42:33
¿No? 00:42:34
¿Por ahí al fondo? 00:42:36
Tenéis dos maneras de hacerlo 00:42:38
Este se puede hacer de dos maneras 00:42:40
O con estos dos triángulos que serían este y este, ¿lo veis? ¿Los veis? Los dos triángulos, o con los que yo os he puesto aquí, que son este, el que os dan, y luego este otro, es decir, este y este, ¿vale? 00:42:41
Si lo hacéis con este, tenéis que aquí, como lo único que tenéis son medidas, aquí tendríais que plantear que h es la raíz cuadrada de 80 al cuadrado menos x al cuadrado. 00:43:03
Y aquí h es la tangente de 37 grados por 60 más x. 00:43:18
Hacéis, igualáis y tenéis, es un poquito más complicado el sistema porque tenéis, en vez de tener dos de tangentes que son muy sencillos, 00:43:33
pues tenéis una raíz cuadrada, entonces tendrías que resolver este sistema de ecuaciones. 00:43:42
Esa es una manera. Y la otra manera es utilizar estos dos triángulos. Si utilizo estos dos triángulos, yo en este triángulo tengo esto que vale 60, esto que vale 80 y esto que vale 37. 00:43:47
Con el teorema del seno digo 80 partido del seno de 37 tiene que ser igual a 60 partido del seno de este ángulo y con eso saco el seno de B. 00:44:05
Ya sabéis que con la calculadora si tenemos el seno sacamos el ángulo, es decir, que una vez que yo tengo el seno 45, si lo meto en la calculadora me da que ese ángulo mide 26,75, ¿de acuerdo? 00:44:15
Entonces, este ángulo y este son iguales, pero si no lo sabéis así a simple vista, pues sacáis este ángulo que son 116,25 y este son 180 menos eso, es decir, 26,75. 00:44:28
Tengo en este triángulo, ahora tengo este ángulo, la hipotenusa y H. 00:44:41
Yo sé que el seno de este ángulo es el cateto opuesto que es H partido por la hipotenusa. 00:44:46
Despejo H y me da, ¿lo veis? 00:44:51
En este caso, podríais hacer las dos cosas. 00:44:54
Ahí os saldría un sistema de ecuaciones que es un poco más complicado, 00:44:57
porque tendríais que, si lo hacéis por este camino, 00:45:00
Tenéis que igualar la raíz cuadrada de 80 al cuadrado menos x al cuadrado, tiene que ser igual a 45 con 2 más 0,75x. 00:45:04
Entonces para quitar esto tendrías que elevar todo esto al cuadrado. 00:45:27
Entonces esto os quedaría 80 al cuadrado menos x al cuadrado tiene que ser igual a cuadrado de 45 a esto al cuadrado para quitar esto. 00:45:29
Entonces esto lo hacéis y ya tenéis que desarrollar eso. 00:45:41
La altura me da 36 metros. 00:45:46
No, no da eso. A ver, pues lo habré calculado mal. 00:45:49
A ver, el este está bien hecho. Voy a calcular, voy a coger los números otra vez. 00:45:52
son 37 es 80 00:45:57
a partir de por encima de 37 00:46:00
que me puse igual a 0 00:46:01
a partir de 0 00:46:03
esto es 00:46:04
seno de 37 00:46:07
igual a esto 00:46:09
por 60 00:46:11
igual a esto 00:46:15
dividido 80 00:46:17
es vale 00:46:18
36,75 00:46:19
vale 00:46:22
es que esto está mal 00:46:25
Es que esto está mal, aquí hay una cosa que está mal. 00:46:26
Aquí hay una cosa que está mal, un momento. 00:46:29
Son 63,75, ahora sí. 00:46:33
Seno de 63,75, hay 1,75. 00:46:39
Ahora sí, había puesto mal ese ángulo. 00:46:48
Bueno, ahí me da eso. 00:46:50
¿Vale? 00:46:52
¿Está claro? 00:46:53
Más o menos. 00:46:55
Ya veis que todos los ejercicios de trigonometría se resuelven igual, es importantísimo tener el dibujo y luego vas sacando triángulos, sacas triángulos, ves lo que tienes, siempre sin perder de vista lo que necesitas, entonces si tú vas resolviendo los triángulos, en el peor de los casos que no veas la manera directa, tú una vez sacados los triángulos, tú los resuelves y los resuelves completos, si quieres. 00:46:55
O sea, una vez eso, pues tú lo resuelves completo, aquí yo puedo sacar todo, porque tengo todo lo necesario para sacar todas esas medidas, y una vez que tengo estas medidas, pues lo pongo aquí y voy sacando, es decir, voy sacando de unos triángulos, voy sacando el resto, hasta conseguir lo que me piden. 00:47:24
¿De acuerdo? Venga, vamos a hacer otro, vamos a hacer el último 00:47:42
El 67 00:47:45
Este es el teorema de Pitágoras 00:47:47
El teorema de Pitágoras dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a h al cuadrado más x al cuadrado 00:47:49
Si despejo la h, h es la raíz cuadrada de 80 al cuadrado 00:47:57
Esta es la otra manera 00:48:00
Si queréis trabajar solo con triángulos rectángulos, pues lo hacéis así 00:48:02
¿Qué es lo que pasa? Que aquí lo que sale es una ecuación de segundo grado 00:48:06
Es la única diferencia 00:48:10
Antes os salía una ecuación normal y corriente 00:48:12
Y aquí, vamos, de grado 1 00:48:14
Y aquí os sale una ecuación de segundo grado 00:48:16
¿Por qué? 00:48:19
Porque en el ejercicio anterior 00:48:20
Yo tenía este ángulo 00:48:21
Y por lo tanto podía trabajar con las tangentes 00:48:23
En los dos triángulos 00:48:26
¿Me seguís lo que digo? 00:48:28
Aquí no, porque aquí en este triángulo 00:48:30
Tenéis que ver lo que tenéis 00:48:32
Y qué fórmula tenéis que aplicar con lo que tenéis 00:48:33
Aquí yo no puedo aplicar 00:48:36
la tangente de nada, ni el seno de nada, ni nada de nada, 00:48:38
entonces aquí lo único que puedo aplicar para relacionar los datos que tengo 00:48:41
es el teorema de Pitágoras, no tengo otra cosa. 00:48:46
Entonces, este con Pitágoras y este sí, este como tengo este ángulo, 00:48:49
pues puedo hacerlo con la tangente. 00:48:53
Y entonces, claro, el problema de Pitágoras es que nos metemos en cuadrados. 00:48:55
En el momento en que me obligan a trabajar con el teorema de Pitágoras, 00:49:00
me meto en cuadrados y por lo tanto me meto en ecuaciones de segundo grado, 00:49:02
digamos que tampoco es que sea una cosa, pero resolviéndolo por aquí tendría que salir exactamente lo mismo, ¿de acuerdo? 00:49:06
Y este es un método más rápido, cogiendo este resolvemos esto, o sea, sacamos todos los parámetros de este con el teorema del seno 00:49:13
y una vez que tengo esto, con eso que consigo, consigo sacar este ángulo, consigo sacar este ángulo, 00:49:22
Bueno, una vez que tengo este ángulo ya sacar la H que me piden es directo, ¿vale? 00:49:28
¿Me seguís más o menos? 00:49:34
El último, el último, este es en planta, o sea, este no es de mirar ni de ángulo de elevación, 00:49:36
esto es en planta, es una puerta a una casa que yo veo el cine y lo otro con un ángulo de no sé qué. 00:49:49
intentar dibujarlo 00:49:54
y sacar los triángulos 00:49:57
o el triángulo, a veces es un solo triángulo 00:49:59
otras veces son dos 00:50:01
el último 00:50:02
es en planta, no, yo estoy aquí en la puerta 00:50:07
de mi casa y veo el cine y veo 00:50:10
lo otro, no, y entonces 00:50:12
el ángulo con el que lo veo es este de aquí 00:50:13
por eso digo que es en planta 00:50:15
no es ángulo de elevación 00:50:19
es ángulo en planta 00:50:21
en horizontal, entonces yo 00:50:23
estoy en la puerta de mi casa y veo el cine 00:50:25
y lo otro, a esta distancia y a esa distancia 00:50:27
y el ángulo que forman 00:50:29
los dos visuales 00:50:31
en este caso sería 00:50:33
estoy en la puerta de mi casa y veo 00:50:34
por un lado 00:50:37
esto es A 00:50:38
veo el cine 00:50:39
y veo el kiosco 00:50:42
y me dice que 00:50:45
el cine está 00:50:48
a 120 metros y el kiosco 00:50:51
a 85 00:50:53
Y el ángulo ABC, o sea, BAC, es decir, este ángulo, es de 40 grados. 00:50:53
Y me piden esto. 00:51:05
A ver si son tuyos. 00:51:23
Bueno, a ver, este es muy sencillo, tenemos los dos, chicos, tenemos los dos valores de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos, 00:51:53
tenemos el coseno, me piden esto, entonces yo sé que x es la raíz cuadrada de 120 al cuadrado más 85 al cuadrado menos dos veces 120 por 85, 00:52:07
y por el coseno del ángulo comprendido 00:52:23
que es esto, si metéis esto 00:52:26
os da la 00:52:28
esto era dibujarlo, una vez que lo tienes dibujado 00:52:29
en este caso directamente 00:52:32
de acuerdo, te da más el coseno 00:52:33
y nada más 00:52:36
bueno, con esto 00:52:37
hemos acabado, a ver 00:52:38
cogeros el resumen que os di 00:52:42
las hojitas estas del resumen 00:52:44
para que entendáis y guardarosla 00:52:46
para que entendáis lo que os di 00:52:48
tenéis, en el resumen ya os he 00:52:50
dicho cuáles son las fórmulas que hemos utilizado hasta ahora en trigonometría, que 00:52:52
son de la primera página de la tabla, resume, las filas 2, 3 y 4, ¿vale? Y de la segunda 00:52:56
página, que es la segunda página de la tabla, las filas 4 y 5 que son el teorema del seme 00:53:05
y del coseno. Venga, escuchadme, escuchadme, ¿vale? ¿De acuerdo? ¿Por qué os doy todo 00:53:11
esto y el resto de las fórmulas no hemos trabajado 00:53:19
con ello, el resto de las fórmulas se utilizan 00:53:21
para hacer ecuaciones trigonométricas 00:53:23
que tengo la esperanza 00:53:25
de que me dé tiempo a que las hagamos 00:53:27
pero ahora no me voy a parar en las ecuaciones 00:53:29
trigonométricas porque 00:53:31
las ecuaciones trigonométricas son 00:53:32
bastante complicadas, o sea hay que 00:53:34
tener mucho manejo, es bastante complicado 00:53:36
entonces las veremos más adelante 00:53:38
guardaros esto y las veremos más 00:53:40
adelante, y luego si 00:53:43
pasáis la hoja tenéis problemas 00:53:44
de resolución de triángulos, estos 00:53:46
no los hemos hecho, son parecidos a los que hemos hecho en clase, aquí os los dejo para 00:53:48
que los hagáis, si queréis que los corrijan me los dejáis y los corrijo. También tenemos 00:53:54
la siguiente página, estos sí que los hicimos en clase, ¿os acordáis? Estos son muy sencillitos, 00:54:00
estos son los primeros que hicimos en clase y lo último son ecuaciones trigonométricas 00:54:06
que los dejamos de momento en stand-by para verlo un poco más adelante. Os voy a subir 00:54:10
hoy o mañana 00:54:17
os voy a subir 00:54:20
los ejercicios de trigonometría 00:54:21
que han salido en el examen 00:54:23
en los exámenes 00:54:25
desde que cambió el programa 00:54:27
el programa 00:54:29
solamente ha caído una vez 00:54:30
uno de trigonometría 00:54:33
pero antes sí que caían más a mi modo 00:54:34
entonces yo os voy a subir todos 00:54:37
desde muchos años anteriores 00:54:39
para que lo resolváis, veis que son bastante sencillitos 00:54:40
y bueno, intentar hacerlos 00:54:43
¿de acuerdo? 00:54:45
ahora voy 00:54:46
y luego ya por último 00:54:48
para acabar, ya sabéis 00:54:51
lo repito para los que no lo sabíais 00:54:52
que 00:54:56
en vista de que no vamos 00:54:56
lentitos 00:54:59
pues entonces 00:55:00
los viernes de 10 a 11 y media 00:55:02
estoy dando clase de análisis 00:55:05
a los que vengan 00:55:07
los que, ya hago las clases 00:55:09
entonces, los que no podéis venir 00:55:11
ir mirándolo 00:55:13
porque en principio 00:55:15
el análisis lo vamos a dar ahí 00:55:16
y yo os animo 00:55:18
a los que podáis, que vengáis 00:55:20
porque vamos a dar análisis 00:55:22
que es la parte más compleja de todas 00:55:24
la vamos a dar, tenemos todo lo que queda 00:55:26
hasta el examen, que eso nos va a dar tiempo 00:55:28
a verlo con bastante detenimiento 00:55:30
¿de acuerdo? y si no 00:55:32
tenéis las clases, ¿de acuerdo? 00:55:34
venga, pues para los que vengáis 00:55:36
Gracias. 00:55:37
¿Te suena la vera? 00:56:07
Pues ahí 00:56:10
El lunes empezamos 00:56:10
Todo lleno de pimentón 00:56:11
Todo lleno de pimentón 00:56:14
Vaya gente 00:56:17
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
M.jose S.
Licencia:
Dominio público
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Fecha:
25 de febrero de 2026 - 11:12
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
56′ 29″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
126.77 MBytes

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