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Derivabilidad 2 - Contenido educativo
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Vamos a ver este ejemplo también de derivabilidad de una función, ¿vale?
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Os recuerdo lo que vimos en el otro vídeo, lo primero siempre que para que la función sea derivable
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tenemos que estudiar la continuidad, si la función no es continua, entonces no es derivable, ¿vale?
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Esto hay que tenerlo en cuenta, si no es continua, entonces no es derivable.
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Por lo tanto, vamos a estudiar primero la continuidad.
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Son funciones, cada uno de los trozos son polinómicas, por lo tanto son continuas
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El único posible punto de discontinuidad, como ya lo tengo aquí puesto, es justamente en el 1
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Bueno, pues vamos a estudiar la continuidad en el x igual 1
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¿Qué significa que f de x sea continua en x igual 1?
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Bueno, pues esto lo que quiere decir es que el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de f de x tiene que ser igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de f de x y tiene que ser igual al valor de la función.
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Bien, pues vamos a ir calculando
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Igual que pasaba antes
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Como tengo el igual con el menor
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Pues significa que f de 1
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Es igual al límite por la izquierda
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Lo calculamos una sola vez
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Cuando x tiende a 1 por la izquierda
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Y la función es x menos 1 al cubo
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Sustituye, me queda 1 menos 1 es 0
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0 al cubo, 0
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Calculamos ahora el límite
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cuando x tiende a 1 por la derecha de x menos 1 al cuadrado.
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Y esto sustituimos en el 1 y es 1 menos 1, 0.
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¿Qué ocurre? Que estos dos valores son iguales.
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Por lo tanto, sabemos que f de x es continua en x igual 0.
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Vale, pues lo primero que teníamos que comprobar ya está.
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Es decir, ya sabemos que la función es continua.
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vale, por lo tanto puede ser derivable, tenemos que tener claro que si una función,
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lo pongo aquí, si f de x es continua, esto lo que significa es que puede ser derivable
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o puede ser no derivable, sé que lo que estoy escribiendo es una tontería,
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pero para que nos quede claro, no significa que por ser continua ya va a ser derivable,
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Ahora tenemos que verificarlo
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¿Cuándo va a ser derivable?
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Cuando, bueno, cuando existen las derivadas
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Es como muy obvio lo que acabo de decir, ¿no?
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Es decir, yo tengo una función definida a trozos
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Lo primero que tendríamos que hacer es calcular la función derivada
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La función derivada de una función definida a trozos
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No sé si habéis visto ya ese vídeo
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Es hacer la derivada en cada uno de los trozos
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¿Vale?
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Por lo tanto, si yo derivo primero el cubo de x menos 1, esto sería 3 veces la función elevada a un exponente menos por la derivada de lo de dentro, que es 1.
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Y esto sería cuando la x es menor que 1.
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Y fijaros, he puesto estrictamente menor, no es que se me haya olvidado el igual.
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Es que ahora veremos que para que sea derivable en ese punto, tiene que verificarse una cosa.
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Por eso en la función derivada a trozos no está el igual.
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Y la derivada del segundo trozo sería el exponente por la función elevada a un exponente menos,
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es decir, a 1, por la derivada de lo de dentro, que es 1.
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Y aquí cuando x es mayor que 1.
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Esta sería la función derivada.
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Si os dais cuenta, en cada trozo, como pasaba antes, son funciones polinómicas,
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por lo tanto van a ser derivables, no va a haber ningún problema.
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¿Cuál es el posible punto de problema para ver la derivabilidad?
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Pues como pasaba antes, en el 1.
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Entonces, ¿qué es lo que significa? O sea, ¿qué es lo que tiene que ocurrir?
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Lo que tiene que ocurrir primero es que f de x sea continua y para que sea derivable en un punto,
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lo que tiene que ocurrir es que el límite cuando x tiende a ese punto por la izquierda de mi derivada, ¿vale?
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Tiene que ser igual al límite cuando x tiende a ese punto por la derecha de mi función derivada.
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Si este límite coincide, entonces diremos que la función es derivable en ese punto
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y el valor de la derivada en ese punto justamente coincidirá con el límite,
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con cualquiera de los dos límites, que es el mismo valor.
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¿Vale? Entonces ahora, ¿qué tendríamos que calcular?
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Lo que tendríamos que hacer es verificar lo de los límites.
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Pues vamos a ver, ¿cuánto es el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda?
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Pues tengo que coger la derivada es 3 por x menos 1 al cuadrado.
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Sustituimos aquí que me queda 1 menos 1 es 0, es decir, esto es 0.
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¿Cuánto es el otro límite?
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Límite cuando x tiende, bueno y esto se suele poner, le podemos llamar a esta parte de aquí el límite por la izquierda,
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es como si fuera f' de a por la izquierda, ¿vale?
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Y este sería el f' de a por la derecha, por si en algún sitio lo veis escrito así en el libro, ¿vale?
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Es decir, esto es como si fuera el f' de 1 por la izquierda, y esto sería el f' de 1 por la derecha.
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Vale, cuando x tiende a 1 más, y esto aquí sería 2 veces por x menos 1.
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Sustituimos en el 1 y vuelve a ser 0.
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¿Qué ocurre? Que estos dos límites son 0. Muy bien, pues ¿esto qué significa? Pues significa que f de x es derivable en x igual 0.
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Y es más, ¿cuánto va a ser el valor de esta derivada? f' en 0 va a ser exactamente el valor que hemos obtenido de los límites, 0.
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Entonces cuando queramos estudiar si una función definida a trozos es derivable,
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Fijaos, lo primero que tenemos que hacer es, primero, estudiar la continuidad, lo que hemos puesto aquí arriba.
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Que la función es continua, entonces ya me pongo a mirar si es derivable.
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Calcularíamos la derivada primera de esa función definida a trozos y luego los límites laterales en el punto en el que se separa de un trozo a otro, ¿vale?
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¿Qué obtengo desde el principio? Que la función no es continua.
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Entonces ya paro, no calculo derivada ni nada más.
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Ya sé que la función no puede ser derivable.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
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- Subido por:
- Francisca Beatriz P.
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- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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- 9
- Fecha:
- 30 de marzo de 2025 - 13:58
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 06′ 53″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 17.33 MBytes