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2Bto - 01 - Matrices - 12 - Método de Gauss I - Contenido educativo
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Hola, en este vídeo vamos a ver el segundo método de obtención de la matriz inversa de otra matriz dada
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con un método llamado el método de Gauss o método de Gauss-Jordan, lo podéis encontrar así también en internet.
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Mirad, para llevar a cabo este método, lo primero que tenemos que hacer es escribir la matriz ampliada
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de la matriz original.
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Una matriz ampliada es una matriz que nos va a salir mucho a partir de ahora
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en la que vamos a establecer una línea vertical y después vamos a escribir
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lo que tengamos que escribir en cada momento.
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En este momento lo que tenemos que escribir es la matriz identidad de mismo orden.
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Una vez que tenemos escrita esta matriz tan grande,
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lo que vamos a hacer es aplicarle transformaciones elementales
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a las filas de la matriz, ya os explico lo que es esto, hasta conseguir transformar esto
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de manera que en el lugar donde yo antes tenía la matriz original me quede ahora la matriz identidad
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y en ese momento en el que aquí a la izquierda esté la matriz identidad, los números que estén a la derecha
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formarán, serán los elementos de la matriz inversa, ¿vale?
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Voy a, pasamos de, con ejemplos lo vais a entender mucho mejor.
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De la matriz ampliada, donde hemos escrito la matriz original
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y hemos ampliado con una línea vertical y hemos escrito la inversa,
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haremos una serie de transformaciones con operaciones elementales
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hasta conseguir que quede la matriz inversa en primer lugar
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y cuando consigamos eso, lo que queda a la derecha es la matriz,
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he dicho inversa, pero aquí quería decir identidad,
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Es que veo la I y me lío. Pero bueno, lo que quiero decir es que cuando tengo aquí la matriz identidad, lo que queda a la derecha en la parte que amplié es la matriz inversa.
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¿Qué son las transformaciones elementales? Las transformaciones elementales las conocéis del año pasado cuando visteis el método de resolución de sistemas por Gauss.
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Si os acordáis en aquel método, lo que hacíais era operaciones elementales a toda una ecuación de un sistema de 3x3 hasta que conseguíais ir eliminando incógnitas.
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Pues la idea es la misma.
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Las transformaciones elementales que vamos a hacer nosotros son, por un lado, el intercambio de filas.
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¿Vale? Por otro lado, la multiplicación de todos los elementos de una fila por un número real, que sea distinto de cero porque no tiene gracia anular una fila por completo, y la última de las operaciones elementales que vamos a ver es la suma, o sea, tomar una fila y sumarle o restarle el producto de la otra de las filas por un número real.
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¿De acuerdo? Creo que os acordáis en el momento que empecemos, os recordará esto bastante al método de resolución de Gauss, ¿vale?
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Al fin y al cabo, o sea, bueno, Gauss aplicado a ecuaciones, esto es Gauss también, pero aplicado a matrices, ¿vale?
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Vamos a ver en este vídeo un ejemplo muy sencillo donde nos piden hallar con este método la matriz inversa de esta matriz 2x2.
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Mirad, lo primero que vamos a hacer, bueno, pues es lo que teníamos ahí, escribir la matriz ampliada, ¿vale?
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Vamos a escribir la matriz que yo ya tenía, que me dan una línea vertical y detrás de esta la matriz identidad
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A partir de aquí yo voy a empezar a hacer operaciones elementales a toda la fila, ¿vale?
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Incluyendo los elementos de la matriz original y los de la parte de la matriz identidad, ¿vale?
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Toda la fila
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A priori yo puedo hacer las transformaciones que yo quiera para conseguir que aquí me quede la matriz 1, 0, 0, 1
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¿De acuerdo? Cada uno puede seguir la estrategia que quiera
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Yo os voy a decir una estrategia, no la voy a escribir, simplemente la voy a mencionar ahora
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Y la voy a ir llevando a cabo en cada uno de los pasos, cada uno quien quiera que se la escriba por ahí
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Ya os adelanto que el método de Gauss no se suele usar, ¿vale?
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Pero, bueno, nosotros lo vamos a ver porque toca verlo en esta parte entera del tema, pero no se suele usar para la obtención de la matriz inversa.
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Bueno, a ver chicos, como mi objetivo es conseguir que los elementos de la diagonal principal sean 1,
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lo que voy a ir a hacer, la estrategia que yo os recomiendo seguir es que columna a columna os vayáis centrando en conseguir que cada elemento de la matriz, perdón, de la diagonal principal sea 1, ¿vale?
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Entonces lo primero que voy a hacer es intentar convertir este 2 en un 1, ¿vale?
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No lo escribo, lo digo simplemente.
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Mi objetivo principal es que los elementos de la diagonal principal sean 1, claro, para ir consiguiendo la matriz identidad.
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En el momento que yo consiga aquí tener un 1, ¿de acuerdo?
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Cuando yo haga operaciones al resto de las filas de las de multiplicar, o sea sumarle o restarle otra fila por un número real
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Pues va a ser súper fácil quitar después de este menos uno
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Entonces lo primero que voy a hacer es hacer que en esta primera fila me quede aquí un uno
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Podría hacer dos cosas, de forma general lo que se suele, lo que se os pide que hagáis es que se puede multiplicar toda una matriz por el número que queráis, incluido una fracción, ¿vale?
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Una forma que tendríamos que hacerlo es tomar esta primera fila y multiplicar todo por un medio, porque así de esa manera, dos por un medio, pues sería uno, ya tengo aquí mi objetivo conseguido, ¿vale?
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¿Cómo van a quedar por aquí fracciones? Pues yo creo que no es un método muy lógico
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si nos damos cuenta de que aquí tenemos un menos 1, ¿vale?
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El elemento 2, 1 es un menos 1. ¿Por qué es esto interesante para nosotros?
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Porque mirad, si yo ahora tomo la fila 1 y le sumo la fila 2, le hago la transformación elemental
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de sumarle la fila de abajo, al sumar 2 más menos 1 ya voy a conseguir aquí el valor 1
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¿de acuerdo? porque bueno, porque esta está preparada
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como está preparada ¿vale? entonces vamos a ir haciendo
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la misma operación con el resto de elementos, a 5 le sumaré
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menos 3 ¿vale? o sea a cada fila, a cada elemento de la fila 1
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le sumo los de la fila 2, al sumarle aquí menos 3
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me quedaría aquí un 2 y detrás de la línea en la matriz ampliada
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aquí me quedaría un 1 y aquí me quedaría otro 1
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Como en este paso no le he hecho ninguna operación a los elementos de la fila 2, los voy a copiar como están, ¿de acuerdo?
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Esta es la primera de las operaciones, ya he conseguido mi objetivo, ya tengo uno de los números colocados, ¿vale?
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El elemento 1, 1, ¿vale? Ya lo tengo como quería.
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Una vez que tengo ya un elemento de la diagonal principal hecho que sea 1
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Lo que hago es intentar hacer ceros el resto de elementos de esa columna
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Para hacer cero el elemento 2,1 porque estoy ahora trabajando todavía sobre la columna 1
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Le voy a hacer a la fila 2 la transformación elemental de sumarle la fila 1
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¿Vale? Daos cuenta
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Bueno, como a la fila 1 no le estoy haciendo nada, la copio como está
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Y a la fila 2 lo que le voy a hacer es sumarle lo de la fila 1
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De tal manera que cuando haga aquí la operación menos 1 más 1 voy a obtener un 0
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Aquí haré menos 3 más 2, voy a obtener menos 1
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Aquí haré 0 más 1 y obtendré 1
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Y aquí haré 1 más 1 y obtendré 2
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¿Vale? Ya tengo terminada y calculada toda la columna 1. El siguiente paso es cambiar de columna, irme a la columna 2 y conseguir que el elemento que está en la diagonal principal de la que va a ser después la matriz de identidad, conseguir que este sea un 1.
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Lo tengo casi casi, ¿vale? Porque aquí ya tengo un menos 1. Simplemente si a esta matriz, a esa fila, le hago la operación de multiplicar por menos 1, la fila 2, conseguiré tener ya ahí el 1 que busco, ¿vale?
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Como estoy haciendo la operación sobre la fila 2, no le hago nada a la fila 1 y ahora tomo todos los elementos de la fila 2 y los multiplico por menos 1, de tal manera que simplemente se les cambia el signo, ¿vale?
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Bien, bueno ya estamos casi casi terminando, ¿de acuerdo? Solo nos queda eliminar este 2 de aquí. En el momento que he pasado a la siguiente columna y veo que ya tengo lo que es el elemento que va a estar en la diagonal principal ya es un 1, ahora va a ser muy fácil quitar este 2 de arriba porque simplemente con multiplicar la fila 2 por 2 y restársela a la fila 1 tendré echada, bueno, lo conseguiré.
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gracias a que tengo este elemento de aquí es un 0 vale el elemento 2 1 es un
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0 pues ahora mismo ya no le va a afectar a ese 1 las operaciones que yo le haga
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vale entonces nada cambiamos aquí de línea y como digo como quiero quitar el
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2 que está en la posición 2 1 lo que le voy a hacer a la fila 1 es restarle la
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fila 2 multiplicada por 2, ¿de acuerdo? La fila 2 en principio ya no la voy a mover,
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entonces la copio como está, ¿vale? Y vamos a hacer las operaciones a la fila 1, venga,
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entonces la fila 1 la voy a sustituir por la resta de esa fila menos dos veces la fila
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2. 1 menos 2 por 0 es 1. 2, que está el 2 que habría aquí, menos 2 por 1, es decir,
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2 menos 2 es 0. Aquí tendría 1 menos 2 por menos 1, tendría menos 2 por menos 1 es 2,
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y el 1 más 2 sería aquí un 3. A ver si lo hago bien. Y por último, en esta posición
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Yo tendría 1, que ya estaba, menos 2 por menos 2, que sería 1 menos 4, que sería, no, perdón, 1 más 4, que sería 5, ¿vale?
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Entonces, esto, si os dais cuenta, en la parte de la izquierda de la matriz ampliada ya me ha quedado la matriz identidad
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y por tanto lo que queda a la derecha ya es la matriz inversa, ¿de acuerdo?
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No vamos a hacer la comprobación porque nos ha salido el mismo resultado que obtuvimos haciendo el método por ecuaciones, ¿vale?
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En el vídeo anterior, entonces pues ya lo tendríamos, ¿de acuerdo?
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Era 3, 5 menos 1 menos 2 que es lo que hemos obtenido también con este método de resolución.
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- 26 de septiembre de 2020 - 16:03
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