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Derivabilidad de funciones con raíces - Bachillerato CT - Contenido educativo

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Subido el 9 de julio de 2024 por Jesús Pascual M.

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Derivabilidad de funciones con raíces

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Debido a unas dudas, voy a explicar cómo se hace de forma lo más mecánica posible la derivación de las funciones con raíces. 00:00:00
Antes de nada, recordamos que funciones como la raíz cuadrada o la raíz cúbica, pues tienen dominio. 00:00:11
Esta, el dominio es 0 a infinito, y esto todo R, es decir, de menos infinito a infinito. 00:00:19
Sin embargo, no son derivables en el cero 00:00:27
De hecho, si calculamos la derivada 00:00:30
En el cero esto es uno partido por cero 00:00:32
Y eso también sería uno partido por cero 00:00:34
Que no existe, ¿no? 00:00:37
De hecho, el límite sería más o menos infinito 00:00:42
La razón es que aquí la tangente es perpendicular 00:00:44
Entonces, y esa tangente pues sea la tangente de 90 grados 00:00:51
Esto es la tangente de pi medios, que es lo correcto 00:00:56
que sería más menos infinito. Entonces no existe como número. 00:00:58
Entonces decimos que ahí no es derivable. De hecho, esto ocurre en general para cualquier x elevado a donde a está entre 0 y 1, 00:01:06
porque la derivada es a por x elevado a menos 1. Esto es menor que 1. Vamos a llamarle b, perdón, menor que 0. 00:01:15
vamos a verle b, o mejor dicho menos b 00:01:26
esto es igual a por x elevado a menos b con b positivo 00:01:29
y sería a por x elevado a b 00:01:32
por tanto en 0 tendríamos a partido por 0 00:01:35
y no existe 00:01:38
entonces todo lo que son raíces cúbicas 00:01:39
o pues lo que sea, x elevado a 2 tercios 00:01:42
pues el exponente está entre 0 y 1 00:01:46
todas estas no van a ser dilables en 0 00:01:49
si a es mayor que 1, sí 00:01:51
porque entonces ya esto es positivo 00:01:56
bien 00:01:58
los ejercicios típicos de la BAU 00:02:00
son, los que he visto hasta ahora 00:02:03
son de este tipo 00:02:05
podrían quizá poner este 00:02:05
y esto ya son casos un poco más raros 00:02:07
que ya podemos explicar por ya ser absolutamente 00:02:11
exhaustivos 00:02:13
pero bueno, en la BAU preguntarían lo más fácil 00:02:13
que es este caso 00:02:16
o por lo menos lo que hayan hecho hasta ahora 00:02:17
primero habría que ver el dominio de la función 00:02:21
y luego el dominio de la derivada 00:02:26
eso sería lo más sencillo 00:02:29
Ahora os explico lo de incluyendo límites. 00:02:30
Una última cosa. Cuando grabé el vídeo, os dije que resolvería esos cuatro ejemplos. 00:02:35
Bueno, después de grabarlo, he visto que los últimos dos ejemplos, 00:02:43
eso es algo que no voy a preguntar en el examen porque se complica y va más allá del ABAO, 00:02:48
así que casi esa parte la dejo para después del examen. 00:02:54
Entonces, en el vídeo, para no asustaros con su longitud, no voy a incluir esos dos ejemplos. 00:02:57
Cuando pase el examen sí que dejaré el vídeo completo. 00:03:02
Primer caso, este de aquí. 00:03:07
Bueno, pues el dominio es r porque la raíz cúbica está definida siempre. 00:03:12
Y ya está. 00:03:20
Ahora derivar f' de x. 00:03:21
Bueno, pues si f de x es la raíz cúbica de x-2 elevado al cuadrado, eso es x-2 elevado a 2 tercios. 00:03:24
la derivada sería 2 tercios por x-2 elevado a 2 tercios menos 1 por la derivada de adentro, que es la derivada de x, que es 1. 00:03:32
Ahora bien, 2 tercios menos 1, esto es 2 tercios menos 3 tercios, que es menos 1 tercio. 00:03:47
Sería 2 tercios por x menos 2 elevado a menos 1 tercio 00:03:53
Esto es 2 entre 3 por x menos 2 elevado a 1 tercio 00:03:58
Y así se quiere poner completa por 3 veces la raíz cúbica de x menos 2 00:04:04
Y ahora, ¿cuándo esto no existe? 00:04:12
Pues cuando el denominador es 0 00:04:16
Cuando x menos 2 es igual a 0, eso quiere decir que x es igual a 2 00:04:18
¿Qué ocurre entonces? Pues que f' de 2, ¿cuánto sería? 2 partido por 3 a la vez de 0, y esto no existe. 00:04:24
Entonces tendríamos que f no es derivable en 2, y ya está. 00:04:32
No hay ningún problema y ya está hecho. 00:04:40
Entonces esa es una forma de hacerlo, sino con esas reglas. 00:04:43
Una regla podría ser que la función es derivable raíz cúbica no derivable en el 0, 00:04:45
con lo cual, cuando lo de adentro sea 0, pues no es variable Y. 00:04:52
Lo que pasa es que, por lo que veremos después, puede haber algún caso donde, aunque sea cierto ese argumento, 00:04:55
puede ser muy sutil verlo, ¿vale? Entonces, eso lo diré en breve. 00:05:05
Otra forma de hacerlo sería poner que fx es igual a x menos 2 elevado a 2 tercios. 00:05:11
Bueno, antes decimos que el dominio de f es r, cosa que ya no te mostraré en la otra, en la anterior plataforma voy a demostrarlo, y decir pues como eso es de la forma x-2 elevado a con 0 menor que a menor que 1, pues esto no es derivable si x-2 es igual a 0 y eso ocurre si y solo si x es igual a 2. 00:05:19
De modo que f no es derivable en 2. 00:05:52
Entonces, la función f es derivable en r menos 2. 00:05:59
A ver, este juego tiene un pequeño pero. 00:06:10
Y es que, si pusiéramos por ejemplo la función raíz cúbica de x cuadrado menos 4x más 4, todo ello al cuadrado, ¿de acuerdo? 00:06:11
Y dijéramos que esto no es continuo cuando x cuadrado menos 4x más 4 es igual a 0. 00:06:31
Y esto ocurre cuando x menos 2 es igual a 0. 00:06:37
Y aquí es como la ecuación del segundo grado y es una solución doble, 2, 2. 00:06:39
De modo que esto es x menos 2 al cuadrado. 00:06:45
Bueno, pues esta función sí que sería la de en el 2, porque en realidad es raíz cúbica de x menos 2 al cuadrado, 00:06:48
que es la raíz cúbica de x menos 2 a la 4. 00:06:55
Y esto es x menos 2 elevado a 4 tercios, y 4 tercios sí que es mayor que 1. 00:07:02
No obstante, dudo que en la UAU os ponga alguna cosa tan subida 00:07:07
En la UAU os pondrán una cosa como esta 00:07:11
En tuyo caso, este argumento sería correcto 00:07:13
No obstante, si queréis ir a lo seguro, pues el anterior argumento es más directo 00:07:15
Esto es lo que os iba a comentar en los últimos problemas que hice al principio 00:07:21
Que he omitido para no leer más 00:07:25
Bien, aquí tenemos la raíz cuadrada de x-1 00:07:28
Aquí sería importante ver antes el dominio 00:07:32
A ver, para el dominio eso tiene que ser mayor o igual que cero. 00:07:35
Entonces, x cuadrado, primero vemos cuando es cero, x cuadrado menos uno es igual a cero. 00:07:40
Si, solo si, x cuadrado es igual a uno. 00:07:45
Si, solo si, x es igual a más menos uno. 00:07:47
Bueno, raíz cuadrada de uno, que es más menos uno. 00:07:51
También se puede ver, porque utilizando las igualdades notables, 00:07:53
esto es x cuadrado menos uno al cuadrado, y esto es x menos uno por x más uno. 00:07:58
O sea, como fue, la cuestión es que x cuadrado menos 1 es esto, bien habiendo hallado las raíces o bien directamente por igualdades matables. 00:08:03
De modo que tenemos que ver dónde esto es mayor o igual que 0. 00:08:13
bajamos la tabla 00:08:16
0, 1 00:08:18
y vemos que aquí es 00:08:21
y aquí tenemos la función 00:08:22
x cuadrado menos 1 00:08:24
aquí vale, bueno perdón, 0 y 1 00:08:26
me he fiscado 00:08:29
menos 1 y 1, aquí vemos que vale 0 00:08:29
aquí 0 y aquí 00:08:32
viendo valores, por ejemplo 00:08:34
aquí el menos 2 00:08:36
pues sería 00:08:38
positivo, negativo y positivo 00:08:39
también lo podemos 00:08:43
Vamos a hacer, representando este tipo de binomio, muy rápidamente, entre 1 y menos 1, bueno, perdón, empezaremos por el infinito, tenemos esto, es una parábola, y aquí sería positivo, aquí negativo, y aquí positivo. Esto es más rápido. 00:08:44
Sea como fuere, ¿cuál es el dominio? Pues el dominio de f va de menos infinito a menos 1, unión de 1 a infinito. 00:09:00
¿por qué hemos mirado el dominio? 00:09:11
porque evidentemente si f no está definida 00:09:13
no puede estar derivable 00:09:15
hay que ver los puntos del dominio 00:09:16
y después los puntos donde f no es derivable 00:09:17
¿vale? 00:09:20
para ver que no es derivable 00:09:21
pues hacemos ¿cuánto vale f' de x? 00:09:23
pues la derivada de una raíz cuadrada es 00:09:26
1 entre 2 raíz cuadrada 00:09:29
¿no? pues 1 entre 2 raíz cuadrada de x cuadrado menos 1 por 2x 00:09:31
Bueno, esto es 2x entre 2 raíz cuadrada de x cuadrado menos 1 00:09:36
Bueno, y de hecho el 2 se puede simplificar 00:09:42
Sería x entre raíz cuadrada de x cuadrado menos 1 00:09:44
¿Esto dónde no está definida? Pues no está definida 00:09:51
Cuando x cuadrado menos 1 es igual a 0 00:09:54
Que como habéis visto, eso es cuando x cuadrado es igual a 1 00:09:58
Esto es x es más menos 1 00:10:01
Faltaría ver realmente que la función no está definida ahí 00:10:02
No sea que hubiera límites 00:10:06
A ver, el límite cuando x tiende a 1 de f' de x, así que ya de, bueno, sí, de f' de x, voy a poner todos los casos, x entre la vez cuadrada de x cuadrado menos 1, que sería 1 entre 0, que no existe. 00:10:07
no hace falta ver si es más infinito o menos infinito 00:10:27
se podría ver por el signo aquí y aquí 00:10:31
pero bueno 00:10:33
el límite cuando x tiende 00:10:34
o sea que no existe como número real 00:10:37
a menos 1 00:10:39
o si queréis 00:10:41
ponemos aquí 00:10:43
más o menos infinito o no pertenece a r 00:10:44
yo que sé 00:10:47
límite cuando x tiende a menos 1 00:10:47
de f' de x 00:10:50
el límite 00:10:52
cuando x tiende a menos 1 00:10:55
de x en la raíz cuadrada de x al cuadrado menos 1 00:10:56
sería menos 1 partido por 0, sería más o menos infinito, si queréis 00:11:00
pues no existe o no pertenece a R 00:11:06
y entonces pues la derivada no existe, entonces 00:11:09
f no es derivable entre 00:11:13
en 1 y menos 1, a ver ese es el dominio, no lo pedimos en el problema 00:11:21
pero ¿dónde sería continua? pues f es continua en el dominio 00:11:26
En todo esto. ¿Y dónde es derivable? Pues f es derivable en el dominio de f quitando el 1 y el menos 1. Sería desde menos infinito a menos 1, unión 1 infinito, quitando el 1 y el menos 1, y eso pues si tenemos todo esto hasta el punto incluido, todo esto punto incluido, y quitamos los dos puntos, nos quedaría desde menos infinito hasta menos 1 abierto, 00:11:29
unión un infinito del método que decíamos que había que calcular 00:12:14
el dominio y luego ver donde derivable por ejemplo derivando y ya está con eso 00:12:21
ya está siempre que haya raíces va a haber este problema o siempre hay 00:12:27
exponentes menores con un exponente pues el menor 00:12:31
que uno y mayor que cero 00:12:35
Una vez previsto, por supuesto, que el dominio de f vale menos infinito hasta menos 1 unión 1 infinito, pues es lo de decir que f de x que es x cuadrado menos 1 medio con 0 menos 1 medio menos que 1, es que esta función f, f no es variable, sin x cuadrado menos 1 es igual a 0, si solo si, x cuadrado es igual a 1, si solo si, x es menos 1. 00:12:42
De modo que f es derivable en el dominio de f, que es esto, menos el 1 y el menos 1, que es de menos infinito a menos 1, unión 1 hasta infinito. 00:13:14
en realidad es nuevamente este problema anterior 00:13:33
y es que si yo hubiera puesto en vez de esta función 00:13:39
yo que sé, pues una raíz donde hubiera algo 00:13:43
que estuviese elevado a una condición más grande, donde tuviera por ejemplo 00:13:47
x menos 1 al cubo por x más 1 en su lugar 00:13:50
entonces en x menos 1 eso sería 00:13:55
x menos 1 elevado a 3 medios por x más 1 00:13:59
elevado a un medio. Entonces, aquí sí que tenemos que cero es menor que un medio, 00:14:03
menor que uno. Pero aquí eso no ocurre. Entonces, hay que tener este tipo de 00:14:07
cuidado cuando escribiste este argumento. 00:14:11
Pero dudo que pongan una cosa como esta en el evau. 00:14:15
No obstante, pues ahí queda dicho. Esto es lo que va a decir en las siguientes 00:14:19
diapositivas que he quitado de para el examen. Bien, ahora vamos a ver los casos 00:14:22
que pueden aparecer más raros. Este caso de aquí, que no apareció en el evau, pero 00:14:29
Bueno, es un poco más raro. A ver, ¿cuál es el dominio de f? 00:14:34
Pues x6 menos 4x cuadrado, perdón, 4 ha de ser mayor o igual que 0. 00:14:38
Esto es x4 por x cuadrado menos 4, que eso es igual a 0, pero va a ver que eso es igual a 0, 00:14:43
pues x cuadrado menos 4 es 0, x cuadrado es igual a 4, luego x es más o menos la raíz cuadrada de 4, esto es más o menos 2. 00:14:50
De modo que esto va a ser x4 por x menos 2 por x más 2 00:14:59
Entonces, ¿cuál es el dominio? 00:15:04
El dominio de f sería ver donde esto es mayor o igual que 0 00:15:09
Bueno, el problema de ver el dominio de esta función sí que está en la de abajo 00:15:16
Entonces tenemos que ver esta función 00:15:20
¿Dónde están los puntos problemáticos? 00:15:23
Pues más o menos 2 y el 0, o sea, esto es igual a 0 00:15:26
En 0, 2 y menos 2 00:15:29
Pues cogemos la tabla, cogemos el 0, cogemos el 2, el menos 2 y o bien vemos signos o bien representamos. 00:15:34
Representar se podría hacer fácilmente porque si estamos en 0, en 2 y en menos 2, pues la función del límite es infinito porque el grado más alto es positivo, pues haríamos así, así y así. 00:15:44
Y ya está. 00:16:03
Bien, entonces el dominio sería, pero si no lo hacemos con la tabla, viendo que la función aquí es, bueno, aquí vale cero, aquí vale cero y aquí vale cero. 00:16:05
Aquí, mirando valores, aquí vale positiva, negativa, negativa y positiva. 00:16:23
Y entonces, pues el dominio sería desde menos infinito, bueno, aquí sería el momento, positiva, negativa, negativa y positiva, pues desde menos infinito hasta menos 2, unión el 0 como punto aislado y del 2 a infinito. 00:16:28
Bueno, esto no lo hemos dado en clase, pero sí a punto aislado, ¿vale? Es correcta esta definición. 00:16:51
¿Dónde es continua? 00:16:55
Bueno, en rigor no se puede hablar de límite cerca de cero 00:16:58
Pero por motivos más potentes 00:17:01
Por eso dudo que el pregunto en la baula continúe esta función 00:17:05
Pero en rigor, si está definido en puntos de grado es continua 00:17:09
¿De acuerdo? 00:17:13
No existe límite, pero tampoco puede decir que el límite no sea la función 00:17:14
Bueno, realmente es por alguna cosa más potente 00:17:17
Es que realmente se cumple la división de límite, ¿vale? 00:17:19
porque realmente todos los puntos que están 00:17:23
a una distancia más o menos 00:17:26
epsilon pues cumplen 00:17:27
no es ninguno 00:17:29
pero cumplen la condición 00:17:31
por eso hay límites 00:17:32
entonces 00:17:34
no lo preguntan en esta pregunta 00:17:36
pero f es continua 00:17:39
en el dominio 00:17:41
aunque haya puntos aislados 00:17:43
¿dónde es derivable? 00:17:46
vamos a verlo 00:17:48
en primer lugar 00:17:49
en el cero no es derivable 00:17:51
no es que no sea derivable, es que no puedes definir la derivada 00:17:53
sino que la derivada se define en los puntos cercanos a él 00:17:57
si la función no está definida ahí 00:18:00
directamente no se puede hacer derivada 00:18:02
o sea, la función que tendría más o menos de esta forma 00:18:05
en el cero vale esto, aquí, bueno 00:18:08
vale algo así y aquí vale algo así 00:18:12
bueno, un poco más, perdón, no tan así 00:18:14
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Jesús Pascual M.
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Todos los derechos reservados
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Fecha:
9 de julio de 2024 - 18:16
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Duración:
18′ 19″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
119.39 MBytes

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