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T5 - ej 70-71 - Contenido educativo

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Subido el 7 de diciembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Hola, vamos a hacer el 70, ¿vale? 00:00:00
Vemos que es una función racional. 00:00:02
El grado del denominador es más grande que el grado del numerador, 00:00:06
así que vamos a intentar dividirlo en fracciones, 00:00:09
en suma de fracciones, ¿vale? 00:00:12
¿Qué ocurre? Que si nosotros factorizamos el denominador, 00:00:14
x cuadrado más 6x más 9, 00:00:17
resulta que es el cuadrado de una suma, 00:00:20
es x más 3 al cuadrado, ¿vale? 00:00:23
Es decir, que si nosotros lo resolvemos, 00:00:26
Lo que obtenemos es que tenemos una raíz doble. 00:00:30
En los casos anteriores, lo que teníamos eran raíces simples. 00:00:34
Ahora lo que tenemos es una raíz doble. 00:00:38
Para poder descomponer esta integral en una suma de integrales, 00:00:42
vamos a hacer algo parecido a lo anterior, 00:00:46
cuando lo que teníamos eran fracciones simples. 00:00:48
Escribimos la misma fracción, x cuadrado más 6x más 9. 00:00:51
Y ahora a ver, yo esto lo quiero poner como suma de dos fracciones, ¿vale? 00:00:58
Para que aquí tengamos un numerador que desconozco, el a y el b. 00:01:03
¿Qué denominadores vamos a poner? Antes poníamos el producto de los dos. 00:01:06
Ahora, claro, si ponemos solamente x más 3 en uno, en el otro no puedo poner también x más 3, 00:01:11
porque entonces el mínimo común múltiplo, la suma de los dos, no sería x más 3. 00:01:16
Para que el mínimo común múltiplo sea x más 3 al cuadrado, pues lo que vamos a poner es justamente eso, 00:01:21
x más 3 al cuadrado, ¿vale? Y ahora si ya sumamos esto, poniendo el mínimo como un múltiplo, x más 3 al cuadrado, en la primera fracción tengo que multiplicar a la a por un x más 3, 00:01:27
sin embargo en la segunda fracción no tengo que sumarle por nada. Y ya tendríamos la ecuación que teníamos en el método anterior, es decir, que 5x más 13 va a ser igual a 00:01:42
por x más 3 00:01:55
más b 00:01:57
¿vale? 00:02:00
pues una vez que tenemos la ecuación 00:02:03
sustituimos la raíz 00:02:05
x igual a menos 3 00:02:07
y que obtenemos 00:02:10
5 por menos 3 00:02:12
lo que no sé es porque 00:02:15
vale, sí 00:02:17
5 por menos 3 00:02:18
creo que me he equivocado en un número 00:02:19
al copiarlo, pero no 00:02:21
sería menos 15 más 13 00:02:23
es menos 2 00:02:24
es igual a menos 3 más 3 es 0 00:02:26
y que me queda que esto es igual a b 00:02:30
vale, ya tenemos el primer valor 00:02:32
para calcular el otro, la a 00:02:34
ahora solo tenemos una raíz 00:02:37
antes teníamos dos, ¿verdad? 00:02:39
entonces, ¿ahora qué es lo que tenemos que hacer? 00:02:42
bueno, pues en el libro veréis que lo que os dicen 00:02:45
es que derivéis directamente esta primera ecuación 00:02:47
también podemos dar otro valor 00:02:51
por ejemplo, si yo doy el valor x igual a 0 00:02:53
lo que obtenemos aquí que es 5 por 0 es 0, me queda 13, es igual a 3a más b, y b hemos calculado que es menos 2, 00:02:55
por lo tanto la ecuación que me queda es 13, el menos 2 pasa sumando, serían 15, es igual a 3a, o lo que es lo mismo, 00:03:09
la a es igual a 15 entre 3, es decir, 5, ¿vale? 00:03:19
Bueno, pues ya lo tenemos, nos vamos a nuestra primera integral 00:03:30
y esto es lo mismo que a, que hemos dicho que es 5, 00:03:35
entre x más 3 más b, que es menos 2, entre x más 3 al cuadrado, ¿vale?, diferencial de x. 00:03:40
Bien, pues las dos integrales son inmediatas. 00:03:58
La primera es un logaritmo, es el logaritmo neperiano de x más 3, que se me ha olvidado poner, el 5, ¿vale? 00:04:01
cinco veces este logaritmo neperiano, y el otro que sería, es una función potencial, 00:04:10
por lo tanto si lo hago todo de una vez, pongo el menos 2, subo con exponente negativo, 00:04:16
y esto sería x más 3 elevado a menos 2 más 1 entre el menos 2 más 1, ¿vale? 00:04:22
Y esto, si lo sumamos, o sea, si operamos, a ver, lo pongo aquí abajo, esto sería 5 veces logaritmo neperiano de x más 3, ¿vale? 00:04:34
sé que lo estáis diciendo todos en casa, que no he puesto lo de siempre, ¿verdad? 00:04:53
Pero lo importante, uy, he borrado todo, lo importante no es que se me haya olvidado, 00:04:59
es que me he dado cuenta que no lo he puesto, entonces rectificamos, ¿vale? 00:05:05
Se nos pueden olvidar las cosas, pero luego nos damos cuenta de que nos faltan. 00:05:10
Vale, ¿qué tenemos abajo? Abajo es menos 2 más 1 es menos 1, 00:05:14
Con el menos de arriba se nos transforma en un más 2. 00:05:17
Y abajo, ¿qué va a quedar? 00:05:22
El exponente es menos 2 más 1, este exponente, esto es menos 1, 00:05:24
luego baja el denominador, x más 3. 00:05:28
¿Vale? 00:05:32
Y que no he puesto la k. 00:05:33
Pues esa sería la forma de hacerlo cuando tenemos una raíz doble. 00:05:36
Vamos a ver el 71. 00:05:41
¿Vale? Pues el 71 es exactamente igual que el anterior, 00:05:45
lo que tengo también en el denominador es una función racional que el denominador x cuadrado menos 2x más 1 00:05:48
es el cuadrado de una diferencia, es x menos 1 al cuadrado, ¿vale? 00:05:55
Si no lo veo, directamente lo que hago es resolver la ecuación. 00:06:01
Entonces, ¿cómo lo vamos a poner? Pues el 2x más 3, es decir, la fracción inicial que tenía, 00:06:06
Bueno, no hace falta paréntesis, menos 2x más 1 00:06:12
Lo voy a poner como una primera fracción que va a ser a partido por x menos 1 00:06:15
Más b partido por la fracción al cuadrado 00:06:22
O sea, por la raíz al cuadrado, x menos 1 al cuadrado, ¿vale? 00:06:26
Haciendo el mínimo común múltiplo, esto me queda aquí, x menos 1 al cuadrado 00:06:32
En la primera fracción tengo que multiplicar a por x menos 1 00:06:36
pero el b se mantiene igual, ¿de acuerdo? 00:06:41
y entonces lo que me queda que es que 2x más 3 00:06:45
para que las fracciones sean iguales 00:06:49
tiene que ser igual a por x menos 1 más b 00:06:51
sustituimos en la primera raíz 00:06:57
vamos a la única raíz que tenemos que es x igual a 1 00:07:02
¿vale? es decir, si yo esto lo igualo a 0 00:07:04
a 0 lo que me queda es que x es igual a 1. Sustituimos y que me queda 2 más 3 es 5, es igual a por 0 es 0 más b. Luego el valor de b es 5. 00:07:08
Buscamos, como os he dicho en el apartado anterior, el libro lo que os hacen es que derivemos esta fórmula, ¿vale? La ecuación que tenemos. 00:07:23
Otra opción también es dar otros valores, por ejemplo, si pongo que x vale 0, lo que obtengo es 2 por 0 es 0, más 3 es 3, igual a a por 0 menos 1 es menos a, más b, que la b acabamos de sacar, que es 5. 00:07:33
Por lo tanto, de aquí, despejando la a, me queda que la a es igual a 5 menos 3, es decir, 2. 00:07:49
y por tanto nuestra integral se transforma en estas fracciones 00:07:58
a que hemos dicho que es 2 partido de x menos 1 00:08:03
más la b que es 5 partido de x menos 1 al cuadrado 00:08:09
todo con el diferencial de x 00:08:18
y esta ya hemos visto que es inmediata igual que antes 00:08:20
la primera es el logaritmo 00:08:23
he vuelto a hacer lo mismo que he hecho antes 00:08:24
se me ha olvidado poner el 2, 2 veces el logaritmo neperiano del valor absoluto de x menos 1, más 5 veces, y el otro es una potencial, 00:08:27
lo subo y esto sería x menos 1 elevado a menos 2 menos 1, perdón, más 1, partido de menos 2 más 1. 00:08:38
Luego esto va a ser 00:08:51
No sé si me va a caber ahí todo 00:08:54
Pero bueno, vamos a intentarlo 00:08:56
No, no me va a caber, ¿por qué? 00:08:57
¿Qué es lo que no he puesto? 00:09:00
Masca 00:09:02
Venga, pues 00:09:02
Lo ponemos aquí abajo 00:09:06
Bueno, lo ponemos aquí 00:09:09
Esto es igual 00:09:14
A dos veces 00:09:16
Logaritmo neperiano 00:09:17
De x menos 1 00:09:19
Menos 2 más 1 es menos 1 00:09:21
El denominador, ¿vale? 00:09:26
Esto es menos 1, por lo tanto subimos el menos, me queda menos 5, y como el exponente es menos 1, me queda x menos 1, más k, ¿vale? 00:09:27
Y así sería el ejercicio 71. 00:09:40
Entonces vamos a recapitular un poco lo que tenemos que hacer cuando tenemos fracciones que no son simples, ¿vale? 00:09:43
Fracciones, o sea, raíces múltiples. 00:09:49
Bueno, pues lo que hacemos es poner las dos fracciones como una con el denominador x menos 1, 00:09:52
o sea, una de las raíces de los factores y el otro el factor al cuadrado, ¿vale? 00:09:58
Y simplemente lo demás es hacer lo mismo. 00:10:03
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
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16
Fecha:
7 de diciembre de 2025 - 10:39
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
10′ 07″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
24.63 MBytes

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