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16_Ecuaciones de la recta en R3_02_implícitas - Contenido educativo
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Dados dos planos del espacio que no sean paralelos,
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tenemos que los puntos de corte, la intersección de ambos, es siempre una recta.
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Entonces, una manera de determinar, de elegir, de expresar una recta en el espacio
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es directamente dar dos planos que la contengan, porque deben cortarse justamente en esa recta.
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Decimos entonces que las ecuaciones de los dos planos conjuntamente
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constituyen unas ecuaciones implícitas de la recta.
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Por supuesto no hay solo dos planos que se corten en esa recta,
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hay infinitos planos, todos ellos pasando por la misma recta.
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Y una pareja cualquiera de ellos serviría para determinar la recta.
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Es decir, una misma recta puede tener infinitas ecuaciones implícitas.
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Desde el punto de vista del álgebra, dar las ecuaciones implícitas de una recta
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es entonces dar simplemente un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, de grado uno.
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El rango del sistema, es decir, tanto de su matriz ampliada como de la matriz de coeficientes,
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debe ser dos, porque esto es lo que hace que el sistema sea compatible indeterminado
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y que admita por tanto infinitas soluciones, que son las coordenadas de los infinitos puntos de la recta.
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Esta última condición se cumple si geométricamente los planos pi1 y pi2 no son paralelos,
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porque entonces los vectores normales a dichos planos tampoco serán paralelos,
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es decir, no serán proporcionales, y sus coordenadas a, b, c, a', b' y c'
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formarán una matriz de rango dos con vectores no proporcionales.
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A diferencia de lo que pasaba con el resto de ecuaciones de la recta,
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en las ecuaciones implícitas no podemos leer la información geométrica,
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es decir, ahí no tenemos escrita o en ningún lugar dónde está o cuál es un punto de la recta
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ni cuál es su vector director.
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Tenemos aquí a la recta R dada como intersección de dos planos
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y queremos estudiar la relación entre las direcciones de los planos y la de la recta.
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Consideramos entonces el vector n1, normal al plano, el que nos da la dirección perpendicular al plano,
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y el vector n2, que es el normal al otro plano, el que nos da la dirección perpendicular al otro plano.
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Y por último vamos a considerar el vector director de la recta, el que nos da la dirección de la recta a intersección.
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Y vamos a observar la relación entre estos tres vectores.
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Bueno, pues lo que subamos aquí es que v es perpendicular al plano determinado por n1 y n2.
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Es perpendicular simultáneamente a ambos vectores, y esto debe ser así porque la recta está contenida
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en un plano que es perpendicular al vector verde, luego v y n2 tienen que ser perpendiculares.
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Y de la misma manera la recta está contenida en el plano morado,
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y el vector n1 es perpendicular a todo el plano morado, así que v y n1 también deben ser perpendiculares.
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Pero si el vector director v es perpendicular simultáneamente a n1 y a n2,
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eso quiere decir que podemos obtener un vector director haciendo el producto vectorial de ambos vectores normales
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que están dados por los coeficientes de x, y y z en las ecuaciones de los planos.
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En nuestro ejemplo, un vector director de R se obtendría haciendo el producto vectorial de 0, 1, menos 2, por 3, 1, 1,
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que son los coeficientes que observamos en estas ecuaciones.
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Por otro lado, es fácil encontrar las coordenadas de un punto cualquiera de la recta
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sin más que inventarnos, eligiendo al azar una de las coordenadas de ese punto
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y despejando las otras dos de las ecuaciones implícitas.
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Por ejemplo, si elegimos que z sea 0, la primera ecuación nos estará diciendo entonces en este caso
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que y debe ser 4, e introduciendo 4 y 0 en la segunda ecuación, obtendremos que x tiene que ser 17 tercios.
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Tenemos así ahora un procedimiento para obtener, a partir de las ecuaciones implícitas,
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el vector director de la recta y un punto cualquiera de la recta,
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eligiendo una coordenada y despejar las otras dos del sistema.
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- Autor/es:
- Guerrero López, Jaime
- Subido por:
- Jaime G.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 6
- Fecha:
- 28 de agosto de 2023 - 9:17
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CPR INF-PRI-SEC NTRA. SRA. DE LAS ESCUELAS PÍAS (28013115)
- Duración:
- 04′ 55″
- Relación de aspecto:
- 16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
- Resolución:
- 1152x720 píxeles
- Tamaño:
- 12.04 MBytes
