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Qué es un PROBLEMA de OPTIMIZACIÓN - Contenido educativo

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Subido el 13 de noviembre de 2020 por Esteban S.

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hola de nuevo chicas y chicos de segundo bachillerato 00:00:02
vamos a hacer un vídeo en el que voy a explicar lo que es un problema de 00:00:08
optimización y aviso que este es un vídeo que hacemos para que entendáis lo 00:00:13
que es un problema de optimización no vamos a dar recetas ni vamos a hacer 00:00:20
ningún problema concreto esto es un vídeo de entender un vídeo teórico 00:00:25
¿Qué es un problema de optimización? Un problema de optimización, ahí lo podéis ver en la pantalla, es aquel en el que hay que hallar el máximo absoluto o el mínimo absoluto de una función. Así de sencillo, así de sencillo. 00:00:30
Por cierto, antes de continuar, aviso. 00:00:49
En este vídeo voy a ir despacio y seguro que va a durar bastante. 00:00:52
Pero lo quiero hacer despacio porque ya sabéis que a los profesores de matemática 00:00:57
nos gusta mucho que entendáis lo que estáis haciendo. 00:01:01
Porque ya sabéis que si lo entendéis os va a resultar muchísimo más fácil. 00:01:05
Luego me gustaría que pusierais mucha atención al escuchar este vídeo. 00:01:11
bien, voy despacio 00:01:15
pero no te enrolles Esteban 00:01:17
y vamos al lío 00:01:19
entonces, pues si es un problema de optimización es hallar 00:01:19
el máximo absoluto o el mínimo absoluto 00:01:22
¿sabemos algo de esto? pues sí 00:01:24
por ejemplo, sabemos lo que es un 00:01:26
máximo absoluto, un máximo absoluto es 00:01:29
facilísimo de decir 00:01:30
yo tengo aquí una función 00:01:31
un máximo absoluto de esta función 00:01:34
es cuál es el mayor valor que tiene la función 00:01:37
bueno, pues este sería 00:01:39
el máximo absoluto 00:01:42
así de sencillo y vamos a ver 00:01:44
si sabemos hacerlo, voy a poner otra función, para que no veáis 00:01:46
que todo va a ser coser y cantar, mirad esta, ¿cuál es el máximo 00:01:50
absoluto de esta función? bueno, pues el máximo absoluto de esta función 00:01:57
pues está en estos puntos de aquí, tiene muchísimos, infinitos, bueno, pues eso 00:02:01
es lo que tenemos que hacer, ¿sabemos algo de máximos y mínimos absolutos? 00:02:05
sí, algo sabemos, porque nosotros sí sabemos 00:02:09
calcular los máximos y mínimos relativos, y vimos 00:02:13
que algunos de ellos podían ser máximos absolutos. 00:02:17
No voy a repetir cómo era, pero sí lo sabíamos. 00:02:22
Bueno, pues entonces vamos a explicar una característica importantísima de los problemas de optimización. 00:02:26
Una característica importantísima de los problemas de optimización es eso que está escrito ahí. 00:02:33
Es que son problemas realistas. 00:02:40
problemas realistas significa que son problemas que están extraídos de la realidad 00:02:42
o son problemas que se han inventado, que han surgido para interpretar la realidad 00:02:49
o algún fenómeno concreto de la realidad 00:02:56
así que en estos problemas nunca os diremos 00:02:58
calcula el máximo de la función f de x igual a pi pi pi pi pi pi 00:03:02
pues no, siempre pondremos un texto donde se diga 00:03:06
que los beneficios de una empresa se rigen por esta función 00:03:10
donde X son los años transcurridos 00:03:13
y F de X son los miles de euros de beneficio que obtienen 00:03:17
¿Cuál es el máximo absoluto? 00:03:21
Serán de ese estilo 00:03:23
Son problemas que vosotros decís contexto 00:03:24
Bueno, pues estos problemas realistas tienen dos características 00:03:28
que espero que no las aceptéis 00:03:32
Ahí están 00:03:35
Una la vais a aceptar muy fácilmente 00:03:35
La otra la vais a discutir un poco 00:03:37
pero al final la vais a aceptar. 00:03:39
Una característica es que tienen que ser funciones continuas. 00:03:44
Pues claro que sí, tienen que ser funciones continuas, tampoco os escandalicéis, 00:03:49
casi todas las funciones que vamos a utilizar son funciones continuas, 00:03:53
las funciones polinómicas, las funciones exponenciales, 00:03:57
y los logaritmos, pues mientras no tengan aún cosas con negativos, 00:04:00
pues van a ser también funciones continuas, ¿de acuerdo? 00:04:05
Pero tampoco os preocupéis mucho porque también sabemos cómo podemos conseguir una función a trozos que dependa de parámetros, podemos hacerla continua y también sabemos cómo funciones que tienen un agujerito, sabemos qué valor darle justo a ese agujerito para que la función sea continua. 00:04:08
Entonces, permitidnos que nos digáis que sí, que aceptamos que las funciones con las que vamos a trabajar son continuas. 00:04:25
Muy bien. La otra condición es que el dominio de esas funciones sea un intervalo cerrado. Y aquí ya, a lo mejor, nos convencemos rápidamente. Bueno, voy a poneros un ejemplo para intentar convenceros. 00:04:33
voy a poner esta función 00:04:48
que me la estoy inventando 00:04:50
es una función realista 00:04:51
fijaros, tiene números decimales 00:04:53
muy realista 00:04:55
jolín, es con 0, muy bien 00:04:57
realista total 00:05:02
y hay un logaritmo loco, mira lo que pongo 00:05:03
si yo os pregunto 00:05:06
cuál es el dominio de esta función 00:05:10
pues todos ahora mismo en casa 00:05:12
están gritando, R, R, R 00:05:13
pues sí, son todos los números reales 00:05:16
claro que sí 00:05:18
porque esto ya lo sabéis, ¿por qué? 00:05:20
Porque esto es una exponencial 00:05:21
Dominio R, X al cuadrado dominio R 00:05:23
X dominio R, anda y que casualidad 00:05:25
Y el logaritmo, esto que hay dentro del logaritmo 00:05:28
Es mayor que 0 00:05:30
Siempre, en concreto es mayor que 1 00:05:32
Muy bien, que casualidad 00:05:34
Bueno, pues fenomenal 00:05:36
Luego aquí cualquier valor que dé a esta X 00:05:37
Puedo calcularla, luego el dominio es R 00:05:40
Perfecto, muy bien 00:05:42
Bueno, pues ahora 00:05:44
Voy a cambiar un poquito 00:05:46
La película, y mirad lo que digo ahora 00:05:47
Ahora digo, mirad esa función 00:05:50
Esa función es 00:05:52
Esta función 00:05:55
Indica 00:05:57
Que f de x es el rendimiento 00:05:59
De un atleta 00:06:01
Es el rendimiento de un atleta 00:06:03
De un atleta 00:06:05
Mientras corre el maratón 00:06:09
Muy bien 00:06:13
Y x son los minutos que transcurre 00:06:15
Desde que empezó la carrera 00:06:18
Muy bien 00:06:20
La función no la he cambiado 00:06:21
No he cambiado la función 00:06:23
pero ahora la he metido en un contexto realista 00:06:25
que yo ya sabía que era esta 00:06:27
bien, pues ahora ya pregunto 00:06:29
ahora ya cambia todo 00:06:31
¿cuál es el dominio de la función? 00:06:32
no, no, no, no, no, no, no 00:06:37
R no, bueno, vale, no os enfadéis 00:06:39
lo quito, vale, quito R, vamos a pensarlo 00:06:41
un poquito, vamos a ver, primero 00:06:43
¿creéis que X 00:06:45
puede ser negativo? pues no puede ser 00:06:47
negativo de ninguna manera 00:06:49
porque cuando uno empieza la carrera 00:06:51
el tiempo, cuando empieza, cuando disparan 00:06:53
preparado, listo, ya 00:06:55
ese momento es cero, luego no puede haber 00:06:57
número negativo, muy bien 00:06:59
pues estáis conmigo que el dominio de F 00:07:01
va de cero en adelante 00:07:03
¿hasta dónde? 00:07:05
voy a poner otra burrada, hasta más infinito 00:07:07
¿qué decís? pues no 00:07:09
profesor, de ninguna manera 00:07:11
no hay ningún atleta que haya tardado infinito 00:07:12
en minutos en correr un maratón 00:07:15
no, puede ser que haya abandonado 00:07:17
pero no, pues claro que no 00:07:19
pues ahora hay que pensar cuánto 00:07:21
ponemos aquí, vamos a ver cuánto ponemos 00:07:23
imaginaros que yo, que esta función me la ha encargado un vendedor de bebidas isotónicas, creo que sí 00:07:25
y quiere investigar el rendimiento de la atleta para ver en qué momento le conviene beber, pues muy bien 00:07:35
pues entonces si es una atleta profesional que tarda cerca de dos horas, pues podría poner 120 00:07:40
pero bueno, también hay gente que corre madrugones populares que tarda cuatro horas 00:07:46
bueno, también hay gente que tarda cinco horas, bueno pues yo para no pillarme los dedos 00:07:50
voy a poner que hay gente que tarda 6 horas, ya no más, pues muy bien, entonces a esto le voy a poner como máximo 360 minutos, ¿lo habéis visto?, así que esta función roja, que parecía, que desnuda, o sea, sin adorno, el dominio era R, cuando la metemos dentro de un contexto, ya no, el dominio no es R, el dominio es de 0 a 360, cerrado, muy bien, ¿de acuerdo?, 00:07:54
Luego aquí tenemos un ejemplo en el que una función, su dominio es un intervalo cerrado. 00:08:20
Muy bien, bueno, pues lo mismo podríamos decir con todas las funciones con las que vamos a trabajar. 00:08:26
Muy bien, entonces una vez que estáis de acuerdo en que vamos a trabajar con funciones continuas en intervalos cerrados, 00:08:31
pues aquí viene el aparato matemático, y el aparato matemático tiene un teorema importantísimo que se refiere a estas funciones, 00:08:37
a las que cumplen estas dos características que son muy sencillas de cumplir. 00:08:43
Funciones continuas en intervalos cerrados. Bueno, pues estas funciones cumplen lo siguiente. 00:08:50
Estas funciones cumplen que, aquí lo tengo, una función por el mero hecho de ser continua en un intervalo cerrado, 00:08:57
entonces a la fuerza tiene un máximo absoluto y a la fuerza tiene un mínimo absoluto en ese intervalo. 00:09:07
Fijaros que este teorema tiene mucho que ver con los problemas de optimización, 00:09:15
porque los problemas de optimización es calcular máximos 00:09:18
y mínimos absolutos 00:09:21
fantástico este teorema 00:09:22
este teorema, muy bien 00:09:24
yo no sé si lo entendemos 00:09:26
o bueno, vamos a hacer algunas 00:09:28
gráficas para entenderlo 00:09:30
esto que he dibujado tan mal son los ejes 00:09:32
aquí pongo A y aquí pongo B 00:09:37
voy a poner una función 00:09:39
que sea continua en intervalo cerrado 00:09:41
la voy a poner en rojo 00:09:43
que va de A al valor de B 00:09:44
que yo que sé el valor de B lo voy a poner aquí abajo 00:09:47
porque quiero, bueno, pues ahora se trata de unir 00:09:49
este punto rojo con este punto rojo 00:09:51
unirlo, bueno pues yo lo uno 00:09:53
como me ha salido 00:09:55
pues ya está, bueno pues sí 00:10:00
esta función resulta que tiene 00:10:01
un máximo absoluto y un mínimo absoluto 00:10:04
pues muy bien 00:10:07
está claro 00:10:07
una función continua en un tema cerrado 00:10:09
pues sí que tiene, lo que no va a hacer esta función 00:10:11
son escaparse, mirad 00:10:14
voy a poner una función que no valga 00:10:15
voy a poner una función, ya la pongo de un solo color 00:10:17
porque ya, a ver quien ve 00:10:21
quien ve, esta función no tiene máximo absoluto 00:10:23
No tiene máximo absoluto 00:10:28
¿Esta función está incumpliendo este teorema tan bueno de aquí? 00:10:33
Pues no lo incumple, profesor 00:10:36
Porque esta función no es continua 00:10:37
No cumple esta condición, la de continuidad 00:10:39
Vale 00:10:42
Voy a poner otra más difícil 00:10:43
A ver esta aquí en B 00:10:45
¿Qué está incumpliendo? 00:10:46
Muy bien, ahora aquí voy a poner una función 00:10:51
En la que aquí voy a poner una asíntota 00:10:53
En A y aquí una asíntota en B 00:10:55
Pero es continua 00:10:58
Mirad que continua 00:11:00
es, continuo totalmente, pero no tiene ni máximo ni mínimo absoluto, que está incumpliendo 00:11:00
esta función, lo estáis viendo, os oigo, claro que sí, no está incumpliendo esta 00:11:10
segunda condición, que sea un intervalo cerrado del dominio, porque aquí el A está abierto, 00:11:15
no toca la A y aquí tampoco, no toca la B, muy bien, bueno, pues entonces ya está claro 00:11:21
y nos vamos a basar en este teorema. Este teorema tan bueno es un teorema que ya hemos visto algunos de ellos 00:11:27
que nos dice que va a haber un máximo o un mínimo absoluto. Ahora lo que estáis pidiendo a gritos es decir 00:11:33
¿cómo calculamos ese máximo y ese mínimo absoluto? Pues bueno, pues lo vamos a calcular de esta manera. 00:11:39
Para eso tenemos unos candidatos, candidatos a máximo absoluto o mínimo absoluto. 00:11:43
Bueno, pues vamos a ver quiénes son estos candidatos. 00:11:56
¿Los primeros candidatos que hay? Los primeros candidatos que hay, o sea, primer grupo de candidatos, lo tenemos en este ejemplo de aquí, este primer grupo de candidatos, pues son unos puntos especiales que hacen que la tangente sea horizontal, mirad que aquí había otro E, y aquí otro E, muy bien, son candidatos, pero luego resulta que estos dos últimos que he dibujado no son los absolutos, muy bien. 00:11:58
Bueno, pues estos puntos que tienen tangente horizontal, ya lo sabemos, son puntos que, traducido esa condición al lenguaje de funciones, es que su derivada vale cero. 00:12:23
Pues tenemos un primer grupo de candidatos, que son x1, x2, x3, los que sean, que cumplen que la derivada vale cero. 00:12:35
que la derivada vale cero, que la derivada vale cero, todos los que haya, muy bien, pues ahí hay un grupo de candidatos en los que la derivada vale cero, 00:12:46
que podrían ser máximos o mínimos absolutos, muy bien, vamos a por otro grupo de candidatos, otro grupo de candidatos que hay, 00:12:59
esto me gustaría oíros, pero qué pena que esto todavía no tiene esa capacidad, vamos a ver, 00:13:05
¿Qué otros candidatos puede haber que sean máximos o mínimos absolutos, pero que no sean del tipo 1? Pues este otro grupo de candidatos son, muy facilito, voy a dibujarlo, mira, puede ocurrir que sean estos, mira, mira, mira, mira, mira, mira, ¿cómo lo hago? 00:13:11
espera un momento, me he bloqueado 00:13:35
pin, pin, pin, alarma, ahora ya 00:13:43
venga, yo tengo que poner que vaya de aquí 00:13:45
a aquí 00:13:47
por ejemplo 00:13:55
pues nada, puedo hacer esta función 00:13:56
anda, que buena 00:13:58
esta función profesor, muy buena 00:14:01
pues esta función resulta 00:14:03
que el mínimo absoluto 00:14:05
es este punto 00:14:07
de aquí y el máximo absoluto es este de aquí 00:14:09
fijaros que esto ya no son del tipo 1 00:14:11
No, fijaros, estos ni siquiera tienen derivada. Bien, pues ¿quiénes son esos valores? Bueno, pues estos valores son los puntos A y B, que son los extremos del intervalo o del dominio, del intervalo del dominio. Fenomenal. 00:14:14
Luego ya tengo dos grupos de candidatos. Bueno, y hay un tercer grupo de candidatos, que es un grupo que ya os digo que aparece muy pocas veces, pero que conviene saberlo por si acaso. Por si acaso. Son un grupo que ya son viejos amigos nuestros, porque los hemos visto ya más veces. Bueno, pues son estos. Son estos puntos tan fastidiosos. 00:14:32
Este punto de aquí es el máximo absoluto y le pasa que como es un punto de pico no tiene derivada, ni siquiera es derivable. 00:14:53
Bueno, pues hay otros candidatos que son el C1, el C2, que son puntos que no tienen derivada. 00:15:08
No existe F' de C1, F' de C2, los que sean. 00:15:14
Muy bien, os recuerdo que estos puntos de pico se dan en aquellas funciones a trozos que no se juntan suavemente, se juntan abruptamente. Muy bien, pues ya está. Bueno, pues ahora ya tenemos los candidatos. Así que los candidatos los tenemos divididos en tres grupos. 00:15:22
Os recuerdo que el último grupo, insisto una vez más, casi nunca aparece, no os preocupéis por él. Esos son los tres grupos, que son los puntos con derivada cero, los extremos de intervalo y los que no tienen derivada. 00:15:41
Muy bien, pues ahora la pregunta es 00:15:55
Muy bien, profesor, estos son los candidatos 00:16:00
Pero, ¿y ahora yo cómo sé cuál es el máximo de todos estos? 00:16:02
¿Cómo lo sé? ¿Y el mínimo? Pues no lo sé, vamos a ver 00:16:09
Bueno, pues esto ahora se hace facilísimo 00:16:13
Se hace facilísimo porque yo ya sé seguro que uno de esos es el máximo y otro es el mínimo 00:16:14
Muy bien, entonces, ¿cómo vemos cuál es el máximo de todos estos? 00:16:19
de x sub 1, x sub 2, x sub 3, a, b 00:16:23
c sub 1, c sub 2, c sub 3, ¿cómo se sabe? pues muy fácil 00:16:27
¿cuál será el mayor? pues lo único que tengo que calcular son sus imágenes 00:16:31
yo calcularé f de x sub 1, f de x sub 2, de x sub 3 00:16:35
f de los extremos y f de los no derivables 00:16:39
yo calculo esto, yo lo calculo, esto en matemáticas 00:16:43
se dice evaluamos, evaluamos la función 00:16:48
en ellos, entonces se calcula lo que vale la función 00:16:53
lo que salga, lo que salga, lo que salga, a lo mejor sale 00:16:57
7, 3, 8, 4, 42, 3, 5, 3 00:16:59
lo que sea, y una vez que se evalúa 00:17:03
pues facilísimo, el mayor 00:17:05
será 00:17:08
el máximo absoluto y el menor 00:17:10
de todos estos valores pues será 00:17:16
el mínimo 00:17:19
absoluto y se acabó 00:17:21
Y ahora estáis diciendo, anda, y no hay que hacerlo de estudiar el signo de la derivada para ver si pasa, pues no, no hay que hacerlo, porque ya sabemos que el máximo absoluto y mínimo absoluto está entre estos valores que hay aquí, lo que ya simplemente es evaluar en la función, evaluar en la función, se calculan estos valores, los que salgan, y el mayor le llamaremos máximo, será el máximo absoluto y el menor el mínimo absoluto. 00:17:24
Muy bien, bueno, pues ya termino y hago el último resumen que tanto os gusta. ¿Cómo haremos un problema de optimización? Habrá que hacer varias cosas. Primero, asegurarnos de que la función es continua y que está en un intervalo cerrado. Esto ya veremos qué pasa si no es un intervalo cerrado, pero si es un intervalo cerrado, alegría. 00:17:52
luego habrá que calcular la derivada 00:18:12
luego resolver la ecuación esta que ya estamos 00:18:15
hartos de resolverla, donde la derivada vale 0 00:18:19
y luego simplemente se resuelve y calculamos 00:18:23
f en los valores que anulan la derivada 00:18:27
luego f en los extremos del intervalo y luego f en los puntos no derivables 00:18:30
y el mayor será el máximo absoluto y el menor el mínimo absoluto 00:18:35
Bueno, os doy las gracias por haberme escuchado, ya dije que este vídeo iba a ser largo, hemos querido ir despacio porque nos gusta que lo entendáis y ya está, a partir de ahora estoy seguro que vais a hacer los problemas con mucha mayor facilidad. 00:18:40
Bueno, muchas gracias, 19 minutos, muy bien, hasta luego. 00:18:55
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Esteban S.
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Fecha:
13 de noviembre de 2020 - 19:40
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN JUAN BAUTISTA
Duración:
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