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7-3-BT2 - Contenido educativo

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Subido el 8 de marzo de 2024 por Francisco J. M.

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Desde empezar os pregunto si alguien tiene algún inconveniente en que se haga la grabación y si es así, pues, si alguien tiene algún inconveniente de tener la grabación, sin ningún problema. 00:00:00
Vale. Bueno, una vez dicho esto, por si no vinisteis en la clase el martes, la semana pasada sabéis que hubo huelga del profesorado, que yo la secundé y, claro, me estaba viendo a ver hasta qué punto os podía afectar. 00:00:15
Yo este principio de curso programé la asignatura en once quincenas, resulta que son doce, esto ya creo que lo había comentado, con lo cual yo he decidido coger la semana anterior y pasarla a esta. 00:00:32
y entonces nos sobraba una quincena 00:00:59
y ahora nos sobrará una sesión que será 00:01:02
una clase que dediquemos 00:01:04
a que pasara el tema, ¿de acuerdo? 00:01:06
Bueno, entonces, una vez 00:01:09
dicho eso, creo que 00:01:10
ya está compartida la pantalla, creo que 00:01:12
ya está todo funcionando, ¿no? 00:01:14
También, en la clase del martes 00:01:18
sabéis que está grabada 00:01:20
si no sabéis encontrarla, me lo decís 00:01:21
creo que ya os lo he enseñado algún día 00:01:24
esta clase es bastante 00:01:26
larga, tiene bastante contenido. Entonces, os dije que la parte final, que es posición 00:01:28
relativa de dos planos o de recta y plano, el otro día os di la de recta y plano, la 00:01:35
de posición relativa entre dos o tres planos y hoy, si no da tiempo, voy a priorizar la 00:01:40
posición relativa de plano y recta para que tengáis todo aunque sea en diferido. 00:01:47
Bueno, vamos a ver. El otro día vimos lo que era la ecuación de una recta. Los datos que necesitéis para dar una recta, los tradicionales, es dar dos puntos. Pero sabemos que para hacer la ecuación paramétrica necesitamos un punto inverso. 00:01:54
en el plano es distinto 00:02:11
y voy a empezar no dando 00:02:14
la dirección del plano, porque un plano 00:02:16
tiene muchas direcciones 00:02:18
pero un plano solo tiene 00:02:19
en el espacio solo tiene un vector 00:02:22
perpendicular, él y 00:02:24
todos sus proporcionales 00:02:26
entonces, si yo 00:02:28
tengo un plano 00:02:30
a ver, que tengo demasiadas cosas 00:02:31
bueno 00:02:40
vamos a 00:02:45
que a mí me dan 00:02:46
Un punto, un punto A. Y un vector, voy a ponerlo así para que el dibujo quede más sencillo, vector perpendicular. Hay muchos planos que son perpendiculares a este vector, pero solamente uno de ellos pasa por A. 00:02:49
entonces como veis 00:03:32
si yo quiero dar un plano 00:03:35
los planos se suelen escribir con letras griegas 00:03:38
se suele poner mucho el pi 00:03:40
porque es la p de los griegos 00:03:42
pero también se utiliza la alfa 00:03:44
la beta, la gamma 00:03:45
los datos que necesito 00:03:47
son 00:03:51
un punto 00:03:51
y un vector perpendicular 00:03:54
o normal 00:03:58
en inglés se llama normal 00:03:59
por eso lo he llamado 00:04:02
que se llama 00:04:05
la primera idea es esa 00:04:10
la primera idea de 00:04:14
y en general en todo este 00:04:15
tema tenéis que 00:04:18
pensar cuando os dan una 00:04:20
recta o un plano, que datos 00:04:22
necesitáis para calcular 00:04:24
esto es la idea geométrica 00:04:26
que siempre 00:04:30
es bueno basarse en 00:04:32
un esquema y ahora vamos a ver cómo se lleva esto a la práctica. Vamos a calcular la ecuación 00:04:34
del plano que pasa por este punto A y es perpendicular a este vector. Lo que os acabo de decir con 00:04:43
cuentas. Para entender esto, insisto, este tema está muy dado que hagáis a presumir. 00:04:48
¿no? 00:05:02
por ejemplo, esto es un ejercicio 00:05:03
típico, tipo de 00:05:06
el paso 00:05:07
entonces, queremos calcular 00:05:08
un plano que pasa 00:05:11
o sea, que contiene un punto A 00:05:13
y que es perpendicular a un vector A 00:05:15
pues si yo tengo 00:05:18
cualquier punto de este plano 00:05:24
por ejemplo este 00:05:27
¿sí? 00:05:28
este punto lo llamo 00:05:30
P y tiene 00:05:32
coordenadas X y Z 00:05:34
esto es lo que se llama el punto genérico, ¿qué tiene que ocurrir para que este punto esté en este plano? 00:05:36
¿Qué tiene que ocurrir con estos dos vectores? Que sean perpendiculares, ¿no? 00:05:42
Supongo que sabes que el signo de perpendicular es este, ¿no? Es como un cuadradito con el punto en medio, ¿sí? 00:05:47
O sea que el vector AP, el vector AP y el vector N son perpendiculares. Esto equivale a decir que su producto escalar es cero. 00:05:52
Si no lo recordáis esto, os recomiendo, buscad el resumen del tema anterior, 00:06:17
porque esto es una de las cosas que tenéis que saber sí o sí. 00:06:24
Otra cosa, ¿cuál es el vector AP? ¿Cómo se calcula el vector AP? 00:06:29
Restando las coordenadas de P menos las de A. 00:06:35
O sea, sería x menos 2, y menos menos 1, que es y más 1, y z menos 0. 00:06:39
No hace falta ponerlo, pero lo pongo para que... 00:06:47
Entonces, esta condición es que x menos 2, y más 1, z menos 0, voy a quitar de la rata, z menos 0. 00:06:51
Producto escalar 2, 0, 3, sea igual a 0. 00:07:08
Entonces, si no lo recordáis, lo apuntáis en vuestro hoja de resumen 00:07:14
El producto escalar de dos vectores consiste en multiplicar componente con componente 00:07:20
La x con la x más 0 por i más 1 más 3 por z 00:07:25
Esto nos queda en una ecuación y esa es la ecuación de ese plano 00:07:34
Que lo llamo pi, recordad que las tres rayitas indican que el plano tiene esa ecuación 00:07:38
Y luego, lo que generalmente se hace es operar. 00:07:44
2x menos 2, esto vale 0, más 3z igual a 0. 00:07:52
Y generalmente se deja ordenado. 00:07:58
Primero la x, luego la y, que no hay. 00:08:02
Yo os recomiendo que dejéis un pequeño espacio y luego el término independiente que es 0. 00:08:06
Como veis, un plano tiene solo una ecuación general o implícita. 00:08:15
Esta es la ecuación general o implícita. 00:08:20
Una cosa que quiero que veáis. 00:08:28
Creo que son menos 4 y no menos 2. 00:08:33
Sí, tienes razón. Sí, muchas veces. 00:08:36
Es 2 por 2 menos 4. 00:08:38
Aquí es menos 4 y aquí es menos 4. 00:08:41
Sí. 00:08:43
Vale. 00:08:44
Sí. 00:08:46
Bueno, una cosa que os comentaba el otro día que me parece interesante. 00:08:47
Y a cuenta de lo que dice vuestra compañera, porque me he equivocado, si vosotros sustituís el punto en el plano tiene que salir 2 por 2, 4. 3 por menos 1, la y vale menos 1 pero no está aquí. 00:08:51
sería 3 por 0 00:09:10
que es 0, 4 menos 4 es 0 00:09:13
se cumple la ecuación, eso podéis comprobarlo 00:09:15
eso lo haré algunas veces 00:09:17
y creo que es práctico 00:09:19
pero que veáis 00:09:21
que si os dan la ecuación de un plano 00:09:23
claro 00:09:26
cada vez que hagáis una cosa de estas 00:09:30
tenemos que sacar el mayor partido 00:09:32
posible, si yo tengo 00:09:34
la ecuación de un plano 00:09:36
os fijéis que estos son los coeficientes 00:09:37
del vector perpendicular 00:09:40
¿no? Entonces 00:09:41
los coeficientes del vector 00:09:43
perpendicular 00:09:45
son las 00:09:47
coordenadas, perdón, son A, B 00:09:52
y C. Esto 00:09:54
para vuestro resumen debería 00:09:56
estar colocado. 00:09:58
Son cosas básicas que a la hora de hacer 00:10:00
cálculos, pues si las tenéis en mente 00:10:02
¿no? Cuando estoy repasando 00:10:04
un examen, pues a veces es decir 00:10:06
bueno, ¿cómo se opera? 00:10:08
¿Cómo se hacen las cosas? Pues estas pequeñas 00:10:10
No las llamaría recetillas, pero vamos, estos pequeños trucos pues son bastante confiables, ¿vale? 00:10:12
Bueno, no es lo más habitual la del vector perpendicular. 00:10:20
Para dar un plano, generalmente se da un punto y dos vectores. 00:10:26
Vamos allá. 00:10:34
Vamos allá. 00:10:43
Entonces, vamos a ver cómo se llega a las ecuaciones paramétricas con un punto y dos vectores. 00:10:44
A ver, si yo tengo un punto A y tengo dos vectores U y U, pone aquí que no pueden ser proporcionales. 00:10:52
¿Por qué? Porque si los vectores son proporcionales tienen la misma dirección y esto no me va a determinar un plano. 00:11:04
entonces tengo que dibujar un vector 00:11:10
que no sea proporcional al anterior 00:11:13
entonces yo tengo el plano que forma 00:11:15
y de nuevo 00:11:20
si tengo un punto 00:11:23
el plano, ese punto 00:11:25
es combinación lineal 00:11:28
voy a pintar aquí el punto 00:11:32
voy a pintar un punto gordo 00:11:36
de u y de v 00:11:37
O sea, este es el punto genérico X y Z. O sea, que el punto P es la suma del punto A con una combinación lineal de 1. 00:11:39
¿Cómo se escribe esto entonces? El punto A supongamos que tiene coordenadas ABC y los vectores tienen coordenadas 1, 2 y 3 y v1, v2, v3 respectivamente. 00:11:54
Bueno, pues es muy parecida a la ecuación de la recta, pero, o sea, el punto es el mismo. 00:12:12
Ahora tengo que poner más un múltiplo de u. 00:12:25
Un múltiplo de u sería u1, u2, u3, más un múltiplo de u. 00:12:29
Como veis, es como la programática, es una recta, pero añadiendo otro vector que nos desplaza el punto hacia otro lado. Esto es como un juego de fuerzas y que A no tiene por qué ir por la dirección de U ni por la de V, sino que puede ir por una que tiene un entre las dos. 00:12:38
Si hacéis las operaciones, creo que ya lo hemos hecho suficientes veces para hacerlo directamente, yo sé que X es igual a A más lambda por U1 más beta por V1. 00:13:07
La primera coordenada igual a la suma de las primeras coordenadas. La Y es B más lambda por U2 más beta por V2. Y la Z es C más lambda por U3 más beta por V3. 00:13:26
De tal forma, por eso no me detengo tanto, porque esto en la recta lo habíamos visto, cuando nos dan las paramétricas, este es el punto. 00:13:57
Los números que multiplican al primer parámetro nos dan el primer vector, el vector u. 00:14:14
Y los números que multiplican al segundo parámetro nos dan el segundo vector. 00:14:22
Como veis, estas son las ecuaciones paramétricas. 00:14:30
Cada vez que estoy haciendo un ejercicio de estos, os estoy diciendo cómo se va de los datos a la ecuación y cómo de la ecuación se pueden sacar los datos. 00:14:34
Esto, en nuestro resumen, creo que sería bueno que lo tuvierais claro. 00:14:51
Y ahora, ¿cómo se calcula la ecuación general? 00:14:56
La forma más fácil de calcularlo es diciendo. 00:15:00
Esto se ve aquí. 00:15:04
Aquí se ve que el vector AP es combinación lineal de U y V. 00:15:05
Se ve aquí en el gráfico un paralelogramo que hay. 00:15:19
¿Qué quiere decir eso? 00:15:22
Que el rango de la matriz que forma el vector AP U y V doble es 2. 00:15:24
Yo sabía que como mínimo eras un 2 porque estos dos son generalmente independientes, ¿no? 00:15:38
Entonces, para que este rango sea 2, el determinante que forman tiene que ser oro, ¿no? 00:15:44
Combinación lineal, si hay tres vectores generalmente independientes, 00:15:54
si son tres en el espacio, nos queda una matriz 3x3 y ese determinante tiene que ser 0. 00:15:57
En este caso el vector AP, recordad que el punto A tiene coordenadas ABC, el punto P es el punto genérico X y Z, pues pondría X menos A, Y menos B, Z menos C, Z menos C, tomo las coordenadas U1, U2, U3 y las coordenadas V1, V2, V3. 00:16:05
lo igualo a cero y esto me quedará 00:16:36
la ecuación de un plano 00:16:39
esto en teórico 00:16:40
porque aquí no se ve nada 00:16:45
vamos a ver con algún 00:16:48
dato 00:16:50
cómo se hace esto 00:16:50
vamos a hacerlo con esto 00:16:53
y bueno, voy a hacer un poquitín 00:17:05
más 00:17:08
porque 00:17:08
creo que es interesante, ya que os digo que 00:17:11
vamos a hacer las cosas 00:17:13
más o menos que veamos un poquito 00:17:16
de variedad. A ver. 00:17:18
Dice, haya las ecuaciones paramétricas 00:17:20
del plano que pasa por tres 00:17:23
puntos. 00:17:24
Estos tres puntos se supone 00:17:26
que no están alineados. 00:17:28
Si están alineados 00:17:31
nos va a salir una ecuación 00:17:33
cero igual a cero, que lo sepáis 00:17:34
que va a salir una cosa que no 00:17:36
tiene sentido. 00:17:38
Supongo que sabéis 00:17:41
Que las sillas más estables son las que tienen tres patas, ¿no? Nunca cojean. ¿Sabéis por qué? Porque por tres planos solo pasa un punto. Solo se supone que es plano, ¿no? Lo digo por curiosidad, ¿no? Por tres puntos no alineados, ¿no? Las patas de una silla no están alineadas, ¿no? 00:17:42
Entonces yo tengo tres puntos A, B y C y yo necesito o un punto y un vector perpendicular o un punto y dos vectores. 00:18:03
Yo creo que está claro que lo más fácil en este caso es utilizar como datos un punto que es el A 00:18:15
y los vectores, pues el U sería el vector AB, por ejemplo, y el V sería el vector AC. 00:18:24
Podríais coger otras combinaciones, pero bueno, vamos a esta vez, ¿no? 00:18:36
entonces dice ecuaciones paramétricas 00:18:39
pues vamos a ver, el vector A B 00:18:43
el vector A B es el B menos A 00:18:45
os lo voy a indicar 00:18:51
1 menos 1, aunque esto ya 00:18:54
1 menos 2 00:18:57
y menos 1 menos 0, o sea que este es el vector 00:18:58
0 menos 1 00:19:05
menos 1 00:19:07
y el vector hace 00:19:09
Ya lo voy a hacer directamente. 3 menos 1, 2. 2 menos 2, 0. Y 1 menos 0, 1. A mí me gusta poner encima de los vectores esto porque si son puntos me hago un lío. 00:19:12
Si no queréis hacerlo, no pasa nada. Bueno, pues el plano pi, sus ecuaciones paramétricas son, como pasa por el punto 1, 2, 0, pues 1, perdón, pongo x igual, y igual, z igual. 00:19:32
el punto es el 1, 2, 0 00:19:50
pues pongo 1, 2 00:19:52
y aquí si queréis pongo el 0 00:19:54
y si no, no lo voy a poner para que lo veáis aquí 00:19:56
ahora 00:19:58
vector, director, 0, menos 1, menos 1 00:19:59
pues aquí sería 00:20:02
más 0 por 00:20:04
t, por ejemplo 00:20:06
porque yo sé que lambda y beta 00:20:07
se hacen diversos, ¿no? 00:20:10
pues 0, t 00:20:11
más 00:20:12
bueno, aquí sería 00:20:14
menos 1, t 00:20:17
menos 1T 00:20:19
¿y qué más? 00:20:23
y menos 1T 00:20:24
y el otro parámetro 00:20:26
que nos da el vector 2, 0, 1 00:20:29
más 2S 00:20:31
por ejemplo 00:20:33
más 0S 00:20:34
más 1S 00:20:36
esto, lo normal 00:20:38
es que lo 00:20:41
quitemos, esto, esto y esto 00:20:43
yo lo que sí que pondría en columnas 00:20:45
esto para cuando necesite 00:20:47
¿vale? 00:20:49
Bueno, estas serían las paramétricas, que es lo que nos piden en ese ejercicio. 00:20:51
Pero voy a hacer un poquito más, ya que estamos aquí, cómo se calcula la ecuación general. 00:20:57
A mí esta me gusta calcularla porque además aquí se comprueba si está bien o no está bien. 00:21:04
Os recuerdo, hacéis el determinante x menos a y menos b, z menos c, que z es cero. 00:21:09
Y los vectores directores que ya los he calculado. 0, menos 1, menos 1 y 2, 0. Entonces calculáis el determinante. Esto sale menos x menos 1. Este sale menos 2 por y menos 2. Este sale 0 por 0 por z. No lo pongo. 00:21:19
Luego saldría menos 2, pero como se cambia de signo, más 2 por z, este sale 0 y el otro sale 0, ¿no? Bueno, entonces, quito paréntesis y me sale menos x más 1 menos 2y más 4 más 2z igual a 0. 00:21:41
Y conviene ordenarlo. Menos x menos 2y más 2z. Y ahora sería 1 más 4, que es 5, igual a 0. 00:22:03
Bueno, pues esta es la ecuación general de ese plano que llamo pi. 00:22:19
Como hacía el martes pasado, a mí me gusta hacer la comprobación. 00:22:25
¿Cuál es el punto que os gusta más? ¿El b o el c? 00:22:30
El b. Bueno, pues esta ecuación la tienen que cumplir los tres puntos. Como una compañera vuestra ha dicho del b, la hacemos con el b. Menos x sería menos uno. Menos uno, menos dos, menos tres. Ahora, dos por menos uno, menos dos, menos tres, menos dos, menos cinco, más cinco, cero. Parece que está bien, ¿no? 00:22:33
Más cosas, más cosas. 00:22:59
¿Cuál es el vector perpendicular a este plano? 00:23:02
Es el menos uno, menos dos, dos. 00:23:08
¿Vale? O sea, de aquí sacamos muchas cosas. 00:23:14
Esto por curiosidad, ¿no? 00:23:17
O sea, que veáis cómo se pueden exprimir todos los datos a partir de unos poquitos que nos dan, 00:23:19
que eran tres puntos que nos habían dado al principio. 00:23:25
Vale. Bueno, la siguiente parte es sencilla y, en mi opinión, os permite entender un poquito lo que son los sistemas de ecuaciones. A ver, nos dice, ¿cómo se pasa de paramétricas a ecuación general? 00:23:27
¿Sí? Bueno, este no voy a hacerlo exactamente. Si yo iba a saberlo, no hubiera hecho el otro completo. A ver, simplemente, calcula la ecuación general de este plano. 00:23:45
¿No? Bueno, ¿qué hay aquí? A mí esto me confunde un poquito porque no se ve bien. Yo aquí pondría 5 más 3T. ¿Está enchufado? Perdón, problema del directo. Ya podemos ver. 00:24:08
Bueno, esto lo coloco aquí, 3t menos 2s. Aquí pongo debajo de la t pongo la t y debajo de la s pongo la s. Y aquí es menos 1 menos t menos 4s, ¿no? 00:24:38
Entonces, yo sé de aquí que un punto es el 5, 0, menos 1, y que los vectores directores son el 3, 1, menos 1, y este otro vector será el menos 2, menos 1, menos 4. 00:24:56
entonces, no voy a hacer las cuentas 00:25:22
os voy a poner que hagáis las cuentas 00:25:25
simplemente os voy a decir 00:25:31
que para hacer la ecuación general de ese plano pi 00:25:34
en algunos sitios, en vez de tres rayitas 00:25:38
ponen dos puntos, es lo mismo 00:25:41
tengo que hacer el determinante 00:25:42
x menos 5 00:25:44
le estoy restando este punto 00:25:46
y menos 0 00:25:49
y aquí 00:25:50
hago menos 2 00:25:54
menos 1, 4 00:25:56
aquí 3, 1 00:25:58
menos 1 y que no se os olvide 00:26:00
igual a 0, porque si no pones un 00:26:02
igual no hay ecuación 00:26:04
esto es como pasar de paramétricas 00:26:05
general o implícita 00:26:10
que muchos profesores 00:26:13
o no lo explican 00:26:18
o ya lo hacen sobre ejercicios hechos 00:26:20
esto me parece muy interesante hacerlo 00:26:22
porque las cuentas son muy sencillitas 00:26:26
y la idea es muy tonta 00:26:28
pero esto es un sistema 00:26:30
de una ecuación y tres incógnitas 00:26:34
esto está escalonado porque no se puede hacer ningún escalón 00:26:38
entonces si yo quiero resolver esto 00:26:42
solo puedo despejar una incógnita 00:26:45
¿cuál queréis que despejemos? 00:26:49
La x, por ejemplo. La x es... Bueno, pongo 3x es igual a... Voy a hacerlo aquí. A ver, voy a hacerlo. 3x es igual a 7 menos 4y menos 12z. Lo hago en el orden que quiero. 00:26:50
Lo hago así porque quiero que me salga la paramétrica. Entonces, ¿de aquí qué me sale? X es igual a 7 tercios menos 4 tercios por Y menos 12 tercios, que es 4Z. 00:27:21
¿Qué pasa con la I y con la Z? 00:27:45
Que no puedo despejarlas porque solo hay una ecuación. 00:27:48
Esto tiene rango 1, solo hay una ecuación, hay tres incógnitas, depende de 3 menos 1, que son dos parámetros. 00:27:52
Ya está. 00:28:02
Pasar de general a implícita, a paramétrica, es rapidísimo. 00:28:03
Y además, a veces necesito tener datos. 00:28:08
Yo sé que un punto de este plano es el 7 tercios, 0, 0, y que los vectores directores son u, que es menos 4 tercios, 1, 0, v, que es menos 4, 0, 1. 00:28:13
Y una cosa importante, yo un número no lo puedo multiplicar, un número no lo puedo mover, pero si este vector no me gusta, este otro vector es proporcional, con lo cual para hacer cuentas es mejor colocar un vector multiplicando este por 3, me queda menos 4, 3, 0, por si quiero utilizar ese vector en algún momento. 00:28:34
Es mucho más fácil operar con un vector proporcional cuyas coordenadas no tenemos. Esto, si no me equivoco, lo vimos el otro día tal cual y continuamos. 00:29:04
Bueno, otras determinaciones del plano. Esto os lo doy por encima para que lo veáis. Bueno, la primera ya la hemos hecho. El plano que pasa por tres puntos. El plano que pasa por tres puntos es, coger, tengo tres puntos que no están alineados, por supuesto, y tengo un punto y dos vectores. 00:29:24
Estos son los datos que tenéis que utilizar 00:29:49
Ahora, otro tipo 00:29:53
Plano que contiene a una recta y un punto exterior 00:29:55
O sea, plano que contiene a una recta y a un punto exterior 00:29:58
O sea, sería como este plano 00:30:02
Bueno, no he sido muy afortunado esto 00:30:04
A ver, lo voy a hacer así 00:30:08
Así parece que está contenido porque esto parece bueno 00:30:11
Y los dibujos 3D sabéis que pueden crear confusión, ¿no? 00:30:15
Bueno, ¿qué datos puedo sacar de una recta? 00:30:20
Un punto y un vector, ¿no? 00:30:24
Yo necesito un punto y dos vectores que no sean proporcionales. 00:30:29
Pues este y este, ¿no? 00:30:34
O sea, los datos que uso siempre necesito un punto y dos vectores, el punto A, el vector V y el vector AP. 00:30:35
Otro caso, plano que contiene a dos rectas paralelas 00:30:45
Si dos rectas son paralelas, están en el mismo plano 00:30:53
¿Verdad? 00:30:58
Vamos, hay un plano que las contiene, R y S 00:31:00
¿Sí? Este plano 00:31:03
Yo de aquí puedo sacar un punto y un vector 00:31:07
Esto se supone que lo vimos el otro día 00:31:11
Puedo sacar de la otra recta un punto y otro vector 00:31:13
yo puedo tomar, puedo coger como datos 00:31:17
pues el punto, ¿cuál preferís? ¿el A o el B? 00:31:22
el A, puedo coger un vector que es el U 00:31:26
pero ¿puedo coger el V? 00:31:30
no, porque tiene la misma dirección que U 00:31:33
y para dar un plano necesito un punto y dos vectores no alineados 00:31:36
¿qué vector puedo coger? el AB 00:31:40
o sea, tengo un punto y dos vectores 00:31:44
En este caso, 4. Plano determinado por dos rectas que se cortan. Yo sé que se cortan, pero no sé dónde. Bueno, si lo sé, mejor. 00:31:49
A. Yo sé que hay una recta AU y otra AB con un vector V. Y necesito un punto y dos vectores. ¿Qué punto cogería eso? 00:32:03
el vector se puede coger el 1 5 g y se luce puede también sí porque no son paralelos una 00:32:19
cosa muy importante que se puede preguntar en cualquier momento no sin dos rectas se cruzan 00:32:35
No son coplanarias. No sé si lo veis. Esto no hay ningún plano que contenga estas dos cosas. Si tenéis dos rectas que pasan como una por encima de la otra, pero tienen distinta dirección, haced el gesto en casa porque yo lo he hecho aquí en clase y se ve claro que en ningún plano no existe un plano que las contenga las dos. 00:32:48
tenga simultáneamente, ¿no? A las dos. 00:33:30
Bueno, pues esto es lo que puedo decir de los planos y de sus actuaciones. 00:33:42
Tenéis actividades propuestas, tenéis un montón de vídeos, 00:33:49
que yo recomendaría que vierais uno o dos al día, 00:33:54
que vierais también los trucos que os dan cada uno. 00:33:56
Esto lo vimos el otro día por la mañana. 00:33:59
Me lo voy a saltar y si da tiempo lo voy a hacer. 00:34:01
Pero creo que, como está grabada la clase, 00:34:04
creo que es mejor que os dé la posición relativa de recta y plano, que sea no medio a tiempo, verla en otro día, ¿vale? 00:34:07
Y si tenéis alguna otra duda, pues me lo preguntáis, ¿vale? 00:34:16
Bueno, entonces, vamos a ver la posición relativa de recta y plano. 00:34:22
A ver que me queda, como veis hay un montón de ejercicios para abajo, porque el repertorio de ejercicios es muy amplio. 00:34:28
Vamos a ver. Una recta y un plano pueden ser paralelos, ¿no? Más o menos se puede ver así, ¿no? 00:34:35
R y S son paralelos. Una recta puede que esté metida dentro de un plano. R contenida en el plano. 00:34:55
Voy a escribirlo con palabras. Contenida en el plano. Una recta puede cortar al plano en un punto. Estos que son secantes. 00:35:13
Bueno, pues fijaos en una cosa muy curiosa. No voy a usar el plano, sino el vector perpendicular. Si la recta está contenida en el plano, o si la recta y el plano son paralelos, ¿qué pasa con el vector de la recta y el vector normal? 00:35:41
Sí, sí, pero ¿qué pasa? ¿Cuánto vale este ángulo? 90 grados, son perpendiculares, ¿no? Entonces, en estos dos casos, ¿sí? El vector normal, n, y el vector de la recta es u. 00:36:09
pues pueda llamarlo V 00:36:34
porque si no se van a confundir las letras 00:36:37
son perpendiculares 00:36:40
¿qué pasa si son secantes? 00:36:49
si son secantes 00:37:04
el vector N 00:37:05
y el vector director de la recta 00:37:07
no son perpendiculares 00:37:09
¿no? 00:37:12
no son perpendiculares 00:37:17
¿por qué tanta manía 00:37:19
aunque sean perpendiculares o no? 00:37:25
Porque si son perpendiculares, sabemos que el producto escalar es cero. Y si no son perpendiculares, el producto escalar es distinto a eso. 00:37:26
Entonces, ah, bueno, una cosa, una recta, ¿hay otro tipo de posición relativa entre una recta y un plano? ¿Hay alguna otra posibilidad? 00:37:38
A ver, si una recta puede no ser paralela a un plano y no tocar, tiene que tocarla, ¿no? Si no es paralela. 00:37:49
Entonces, si se corta en un punto, que son secantes, y si se corta en más de un punto, la recta está contenida dentro del plano. 00:38:05
Entonces, solo hay estas tres posibilidades. 00:38:17
Que sepáis que no hay más. 00:38:21
Entonces, esta es la parte cerca. 00:38:24
Ah, bueno, una cosa. 00:38:28
Otra cosa. 00:38:30
Yo de aquí puedo sacar un punto y de aquí puedo sacar un punto, ¿no? 00:38:31
¿Cómo distingo este caso de este? 00:38:35
Pues si P pertenece al plano, ¿no? 00:38:40
Bueno, voy a poner Q. 00:38:45
Como Q pertenece al plano, la recta está contenida en el plano, ¿sí? 00:38:46
A ver, si yo tengo una recta, ¿sí? 00:38:54
Cuyo vector director es perpendicular al vector normal del plano, 00:38:58
esa recta tiene una de las direcciones del plano, ¿no? 00:39:04
Si además este punto está contenido en el plano, toda la recta está contenida en el plano. 00:39:08
Efectivamente, que cumpla la ecuación. 00:39:18
Y ahora, si el punto P no pertenece a pi prima, entonces r y pi son paralelas. 00:39:19
A veces os lo pongo simbólicamente, pero sabéis que a mí me gusta que lo pongáis con palabras. 00:39:30
R y pi son paralelos. Mucho cuidado aquí porque a veces lo mecanizáis mucho y en cada caso a mí me gusta hacer uso del esquema para evitar memorizaciones que a veces os puedan llevar a alguna condición. 00:39:35
Entonces, esto es lo que os he escrito en esa tabla 00:40:04
Y vamos a eso, hallar la posición relativa de esa recta y de ese plano 00:40:08
Bueno, pues ya veréis que fácil, que facilito es esto 00:40:13
Porque, vamos a ver 00:40:16
Bueno, es fácil en este caso 00:40:20
Me explico, me explico 00:40:24
De aquí puedo sacar un punto y un vector 00:40:30
ya sabéis que necesito 00:40:33
un punto y un vector 00:40:37
el vector está chupado 00:40:39
¿cuál es? 2, 1, menos 1 00:40:41
y el punto 00:40:47
no sé si os acordáis 00:40:52
que esto se cambiaba de signo 00:40:54
pues es menos 1, 0, 0 00:40:55
os lo 00:41:01
la ecuación principal 00:41:02
a ver, os lo voy a poner aquí 00:41:08
para que os acordéis 00:41:11
¿no? pero este tipo de trucos 00:41:12
si los tenéis en 00:41:15
a un resumen y de vez en cuando 00:41:17
le echáis un vistazo, 00:41:19
pues es más difícil 00:41:21
que se os lo diga, ¿no? 00:41:23
Entonces, ya he sacado esto de aquí. 00:41:25
Bueno, de aquí saco esto. 00:41:29
Y ahora, el plano. 00:41:31
¿Qué necesito 00:41:33
del plano solo? 00:41:34
El vector 00:41:37
normal, ¿no? 00:41:38
¿Y cuál es el vector normal alce plano? 00:41:40
Uno menos dos, 00:41:45
tres. Efectivamente. 00:41:46
Uno menos dos, tres. 00:41:48
Entonces, ¿qué tengo que hacer? Tengo que comprobar cuánto vale n por v. 00:41:50
Y n por v es 1 menos 2, 3, producto escalar, 2, 1 menos v. 00:42:06
Si esto es distinto de cero, la recta se corta con el plano en un punto. 00:42:17
Son secantes. 00:42:25
Y si resolvéis el sistema, os saldrá compatible determinado. 00:42:27
Solo hay una solución. 00:42:31
¿Vale? 00:42:33
Y si no, pues ya veremos qué pasa. 00:42:34
Vamos a ver. 00:42:36
2 por 1, 2. 00:42:37
Menos 2 por... 00:42:40
A ver, es 2, 1, menos 1. 00:42:44
Y 1, menos 2, 3. 00:42:46
A ver, menos 2 por 1, menos 2. Y 3 por menos 1, menos 3. Pues esto sale menos 3, distinto de 0. ¿Conclusión? ¿Cómo son? ¿La recta contenida en el plano, paralelos o secantes? R y pi son secantes. 00:42:47
esto no nos lo piden 00:43:13
pero ya que no lo hice el otro día 00:43:19
voy a hacer cosas así un poco 00:43:21
si puedo algún día variar alguna cosa 00:43:23
cómo calcular el punto de corte 00:43:25
os voy a ir dando distintos 00:43:27
trucos para que lo vayáis 00:43:33
viendo, ¿no? 00:43:35
por cierto, si sale un punto de corte 00:43:36
¿no? o sea, resuelvo el sistema 00:43:40
tiene solución, sale el punto de corte 00:43:43
bien, pero si 00:43:45
No sé, si sale una cosa incompatible es que me he equivocado las plantas, ¿vale? 00:43:46
Bueno, ¿cómo se hace el punto de corte? 00:43:51
Pues, atención, voy a coger esto y voy a ponerlo en paramétricos. 00:43:55
Yo sé que el punto es menos 1, 0, 0, ¿no? 00:44:06
Menos 1, 0, 0, ¿sí? 00:44:14
Y esto es más, como nos gusta la lambda, voy a poner más 2t, más 1t y menos t, ¿no? 00:44:17
Esto sale de aquí, de este vector, ¿sí? 00:44:32
Del vector director. 00:44:39
Es lo que hemos hecho antes con el plano, pero solo con un vector, ¿sí? 00:44:41
Bueno, pues sustituyo en el plano pi. 00:44:44
¿Cuánto vale la x? 00:44:55
menos 1 más 2t, menos 2 por, ¿cuánto vale la i? t, ¿no? 00:44:58
Más 3 por, ¿cuánto vale la z? menos t, y más 1 igual a 0. 00:45:08
Me queda aquí menos 1, esto con esto se da, ¿no? 00:45:17
Y aquí queda menos 3t más 1 igual a 0. 00:45:22
Como soy un maniático y en la test negativa la voy a pasar aquí, 3t, 3t es igual a cero, ¿no? 00:45:28
Anda, qué casualidad, sale que t vale cero, ¿no? 00:45:37
No, no, no, no, no, no. 00:45:48
Entonces, el punto de corte es menos 1 más 2 por 0, 0 más 1 por 0 y 0 menos 0. 00:45:49
O sea, nos sale el punto menos 1, 0, 0. 00:46:18
O sea, que este punto que me salía aquí, casualmente es el punto de la red. 00:46:32
Si no os lo creéis, porque tenéis derecho a no creeros esto. 00:46:38
Vamos, habéis visto que un punto de esta recta es menos 1, 0, 0. 00:46:43
Voy a sustituirlo aquí. 00:46:47
menos uno más cero 00:46:49
más cero más uno 00:46:52
es cero, veis que ese es el punto 00:46:54
que veáis que aquí 00:46:56
todas las cuentas cuadran 00:46:57
todas las cuentas cuadran 00:46:59
entonces en este caso particular 00:47:01
sale el mismo, ¿por qué? 00:47:04
porque el valor del parámetro c me sale cero 00:47:05
¿no? es una casualidad 00:47:07
este problema no me acuerdo de donde 00:47:09
lo saqué ni como 00:47:11
lo hice pero son cosas 00:47:12
veréis que hay 00:47:16
un montón de posibilidades 00:47:17
el abanico en la parte de geometría 00:47:19
es impresionantemente 00:47:21
amplio 00:47:23
bueno 00:47:25
la posición relativa de 00:47:26
planos os indicaré 00:47:29
un poquito por encima al final 00:47:31
pero a ver, problemas que tenéis que ver 00:47:33
vosotros por vuestra cuenta 00:47:35
visteis esto el año pasado 00:47:39
lo entenderéis un poquito mejor 00:47:41
pero vamos 00:47:43
a ver, os voy a 00:47:45
decir un poquito porque esto es simétrico de un punto respecto de otro esto es muy fácil y esto 00:47:47
este es la base de todos yo tengo un punto a un punto b y quiero calcular el simétrico a prima 00:48:00
es que este vector es igual que este a ver yo solo puedo indicar cuál es la estrategia a seguir pues 00:48:08
Si yo tengo este dato y yo tengo este dato, el punto A' es el punto B trasladado por el vector AB. 00:48:19
Lo repito. Este es el vector AB, ¿no? 00:48:33
Yo se lo sumo al punto B y me voy a A'. 00:48:36
Se puede hacer como el punto medio también. 00:48:41
Sí, también se puede hacer así. 00:48:51
Yo os digo, ahora, os voy a decir distintos casos porque no os puedo explicar todos. 00:48:53
Simétrico de un punto respecto de una recta A. 00:48:58
Perdón, de un punto A respecto de una recta R. 00:49:03
Vale. 00:49:07
Entonces, aquí de lo que se trata es que busquéis el punto, este punto, ¿sí? 00:49:09
Y aquí está el punto A', ¿sí? 00:49:18
Bueno, pues os voy a decir la estrategia. Tengo que calcular el plano, calculo el plano pi que es perpendicular a R y pasa por A. 00:49:21
Ese plano más o menos sería así, ¿sí? Bueno, pues el punto B es la intersección, es la intersección de R y ese plano. 00:49:42
Una vez hecho eso, pues de nuevo A' es B más el vector AB. 00:50:14
en estos ejercicios tenéis que ver en cada caso 00:50:25
cuál es la estrategia que hay que seguir 00:50:29
métrico de un punto respecto de un plano 00:50:31
yo tengo un plano así 00:50:34
tengo un plano así 00:50:38
tengo un punto aquí 00:50:44
y quiero calcular su simétrico 00:50:47
respecto de ese plano 00:50:51
¿qué es lo que tengo que hacer? 00:50:52
algo muy parecido al anterior 00:50:57
calculo la recta 00:50:59
calculo R 00:51:04
que es perpendicular 00:51:07
al plano 00:51:12
y pasa por A 00:51:17
después calculo B 00:51:19
que es este punto 00:51:26
que es la intersección 00:51:28
de R y pi 00:51:32
y lo básico 00:51:37
y cuando hay algo que es básico 00:51:40
es el tercer paso 00:51:42
que es decir de nuevo 00:51:44
que el simétrico es B más A 00:51:46
entonces 00:51:48
si no sabéis esto 00:51:52
el resto no se puede 00:51:54
entonces que sepáis que 00:51:56
lo básico en un examen es decir 00:51:58
cuando definís una estrategia 00:52:01
cuando hay que hacer un simétrico 00:52:03
siempre hay que hacer el simétrico 00:52:04
y luego en los demás casos 00:52:05
buscarse la vida de cómo se hace esto 00:52:09
tenéis un montón de tutoriales 00:52:11
donde está 00:52:13
todo esto 00:52:14
a ver 00:52:16
esto de entrada 00:52:24
es que os estoy explicando un montón de ejercicios 00:52:33
con un curso normal 00:52:35
pues en dar dos o tres en una clase 00:52:37
y demás, que no os asuste 00:52:39
mirad un par de ellos 00:52:41
al día y las cosas con práctica 00:52:43
van saliendo 00:52:45
bueno, ahora 00:52:46
a ver, os voy a decir 00:52:49
más estrategias. La perpendicular común a dos rectas. 00:52:51
Es una pena que no me dé tiempo a hacerlo entero. 00:52:56
A ver, el 9.4. 00:53:02
A ver, yo tengo dos rectas que se cortan o se cruzan. 00:53:11
Me da igual. 00:53:15
En este caso voy a poner que se cruzan. 00:53:19
Yo de aquí tengo un punto y un vector. 00:53:23
Y de aquí tengo un punto 00:53:25
y un vector, ¿sí? 00:53:29
Entonces, supongo que veis que una recta es intersección de dos planos, ¿sí? 00:53:33
¿Qué recta voy a coger? 00:53:41
Bueno, lo primero que voy a hacer es, en el 9.4, 00:53:44
lo primero que hago es, calculo un vector perpendicular a u y v. 00:53:48
¿cómo se calcula un vector perpendicular 00:54:01
a y v? 00:54:04
y aquí venimos a lo básico 00:54:06
otra vez 00:54:08
¿os acordáis que el producto 00:54:09
vectorial era un vector 00:54:12
perpendicular a u y a u? 00:54:14
pues si esto no lo sabéis 00:54:17
ya nos está costando 00:54:18
hacer el siguiente paso 00:54:20
todos estos tipos de cosas 00:54:21
que os voy diciendo 00:54:24
las generalidades, esto para hacer los cálculos 00:54:25
lo necesitáis 00:54:28
una vez hecho eso 00:54:29
Voy a ver qué tal me sale el dibujo. 00:54:31
A ver, yo tengo el vector perpendicular, ¿no? 00:54:34
Si hago ese vector perpendicular me queda este plano, ¿lo veis? 00:54:36
¿Sí? 00:54:42
Si yo cojo ese mismo vector perpendicular me queda este otro plano, ¿no? 00:54:45
Bueno, lo que es más difícil ver es que la intersección de estos dos planos es la perpendicular también. 00:54:51
Pero os lo voy a poner aquí. 00:54:57
Entonces, calculo. 00:54:59
Y calculo el plano pi 1 y el plano pi 2. 00:55:01
El plano pi 1 es el que pasa por P y, bueno, a este vector lo llamo M, ¿no? 00:55:08
Y tiene vectores U y M. 00:55:22
El plano pi 2 es el plano que contiene a Q, que contiene a V y el vector normal M. 00:55:26
Entonces, y esto es lo último que os quiero decir por hoy. 00:55:40
Cuando tenéis una ecuación de una recta sabéis que son dos en las implícitas. 00:55:45
¿No? ¿Sí? Pues si yo junto estas dos ecuaciones, ecuación de pi 1 y la ecuación de pi 2, pues aquí tengo la ecuación de la recta, que es la ecuación de este punto. 00:55:50
Voy a ver cómo... Es que este tema es inmenso, pero voy a ver un poquito, tendremos una clase de repaso y lo que queda es más sencillo. 00:56:09
Yo creo que esto es lo que quizá tenga más variedad. Ir mirando esto, ir mirando sobre todo lo básico, cómo se hacen los cálculos, cómo se pasa de una ecuación a otra, cómo salen los datos. 00:56:25
Ahora mismo es esto, que cogáis confianza con eso y luego ya iremos haciendo los esquemas, ¿de acuerdo? 00:56:39
Bueno, pues que tengáis una gran semana. Os recuerdo que tenemos tutorías individuales. 00:56:46
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Autor/es:
Javier .
Subido por:
Francisco J. M.
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Reconocimiento
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Fecha:
8 de marzo de 2024 - 11:03
Visibilidad:
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Centro:
IES LOPE DE VEGA
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