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Global de análisis - T2 2023 - Tercer ejercicio - Contenido educativo

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Subido el 23 de febrero de 2023 por Manuel D.

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Tercer ejercicio del control global de análisis y geometría - Matemáticas II 2º Bach

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Bueno, vamos con el tercer y último programa, el tercer y último ejercicio del examen en el que 00:00:00
es un ejercicio de geometría, como veis, vectores u y v, un punto, el punto a, y me 00:00:07
están pidiendo que determine ciertas cosas con ellos. El primero de ellos, un vector 00:00:13
que sea a la vez perpendicular a u y a v, que sea unitario y cuya tercera 00:00:18
coordenada sea negativa. Nosotros sabemos que los vectores que son 00:00:22
perpendiculares a dos dados se pueden calcular como el producto vectorial, es 00:00:27
decir, este vector, si lo llamamos v doble, será perpendicular a u y 00:00:32
perpendicular a v. Entonces, lo que podemos hacer es directamente calcular el 00:00:38
producto vectorial. ¿Qué vale? Pues este vector, i, j, k, como el determinante y 00:00:44
menos 1, 2, 3, 2, 0, menos 1. Y desarrollando este vector, pues tendremos un vector que es 00:00:51
perpendicular a los dos. En este caso, 00:01:01
y en este caso, bueno, pues el resultado es el siguiente. Vamos a calcularlo y 00:01:10
listo. Será menos 2, i, es decir, menos 2. Estoy calculando, desarrollando por los elementos de la 00:01:15
primera línea. Después tenemos 1, menos 6, menos 5, cambio de signo, 5, y luego tenemos 00:01:22
el menos 4. Podemos comprobar que lo hemos hecho bien multiplicando menos 1 por 00:01:32
menos 2, 2, 2 por 5, 10, 12, y 3 por menos 4, menos 12, da 0. O sea, que tiene 00:01:38
pinta de estar bien. ¿Qué pasa? Que ese vector no es unitario, así que lo que hacemos es 00:01:45
dividirlo por su módulo. Dividiéndolo por su módulo, tendremos un vector unitario. 00:01:49
El módulo de ese vector lo calculamos en un momento y listo. Será raíz cuadrada de 00:01:53
4 más 25 más 16. ¿Lo que dé? Pues en este caso, 4 y 25, 29, y 29 y 6, 35, y 10, 45. Pues 1 partido por raíz de 00:01:59
45 de el vector menos 2, 5, menos 4. Y ya tenemos, además, que la última coordenada es 00:02:13
negativa. Si no hubiese dado negativa, pues habíamos calculado el opuesto y se acabó. 00:02:20
Bueno, pues esto es. Vamos ahora al siguiente apartado. En el siguiente apartado nos piden que 00:02:26
calculemos un vector w que sea combinación lineal de u y v y que sea 00:02:31
ortogonal, perpendicular a v. Pues, ¿qué haremos? Pues imponerle las condiciones, a ver si somos 00:02:35
capaces de encontrar ese vector. ¿Qué condiciones son? Pues tiene que ser combinación lineal de u y v, pues podemos poner 00:02:42
lambda por u más nu por v y me están pidiendo que sea a la vez perpendicular con u y con v. 00:02:47
Es decir, perdón, me están diciendo que sea perpendicular con v. Es decir, pues lambda u más nu por v, al 00:02:54
multiplicar por v, tiene que dar cero. Si hago este desarrollo, este producto, quedará 00:03:03
lambda u por v más u por v, tiene que ser cero. Vamos a hacer estas cuentas, sustituimos y vemos 00:03:08
una relación entre lambda y nu. Vamos a ver, el vector u era menos 1, 2, 3. El vector v era 2, 0, 00:03:16
menos 1. Y vamos a sustituir y hacer estas operaciones. Estas. Entonces, menos 1 por 2, menos 2, menos 3, menos 5, lambda. 00:03:26
Y aquí queda 2 por 2, 4, más 1, 5, nu. Y esto tiene que ser cero. ¿Cómo consigo que esto sea cero? Bueno, pues esto es 00:03:42
equivalente a que la lambda sea igual a la nu. Es decir, cualquier vector lambda u más nu por v, que verifique que la lambda es igual a la nu, me vale. 00:03:51
Por lo tanto, pues puedo coger, por ejemplo, hay infinitos, pero puedo coger, por ejemplo, los dos valores 1. Es decir, u más v verifica la 00:04:00
denuncia del problema. Esto es, calculamos u más v y ha arreglado. Esto es, menos 1 más 2, 1. 2 más 0, 2. Y 3 menos 1, 2. Podríamos comprobar que este vector es 00:04:09
perpendicular con u y con v. Muy bien, pues ya tenemos el apartado b. Vamos al último, el apartado c, y hemos terminado este último ejercicio de examen. 00:04:25
Entonces, en el apartado c, lo que nos están pidiendo, vamos a verlo por aquí, lo tenemos, determinar los vértices del paralelogramo, cuyos lados tienen las direcciones de los vectores v y u, 00:04:36
y la diagonal está, en las diagonales, el segmento OA. Vamos a hacer un dibujito. La situación es la siguiente. Yo tengo el segmento O, el segmento OA. 00:04:47
Esa va a ser la diagonal del paralelogramo. Yo tengo un vector, que será el vector u, el vector v, que será algo así, y ¿qué es lo que tengo que hacer? Bueno, puedo hacerlo de dos formas. 00:04:59
O trazando paralelas, para encontrar los puntos que me piden, tengo que pedir, me están pidiendo estos dos puntos, el punto b y el punto c. Están aquí, ¿verdad? 00:05:11
O trazando paralelas, o observando lo siguiente. El vector v es un múltiplo, una combinación, o sea, es lambda por u. El vector v será lambda por v. 00:05:24
Entonces, el vector OA, como es la diagonal, por la caracterización geométrica de la combinación lineal, pues será, OA será lambda por u más u por v. 00:05:37
¿Qué tengo que hacer? Pues calcular OA, escribir aquí esta combinación lineal, y resolver el sistema calculando la lambda y la u. 00:05:49
Este problema, básicamente, lo que nos exige es entender la interpretación geométrica de las combinaciones lineales. 00:06:01
U es menos 1, 2, 3, vamos a escribir aquí, menos 1, 2, 3, v era 2, 0, menos 1, y tenemos, finalmente, que OA será los coordenados de A, que es menos 4, 4, 7, menos 4, 4, 7. 00:06:10
Pues nada, tengo que escribir esto como un sistema de ecuaciones, resolverlo, esta sería la primera coordenada, esto es un 4, vaya letra que estoy haciendo aquí con la tableta, 2lambda más 0u, y la última que es 7 igual a 3lambda más menos 1 por u. 00:06:39
Evidentemente, el punto OA, el vector OA tiene que estar en el plano formado por u y v, si no, el problema no tiene solución. 00:07:08
De aquí deducimos que la lambda vale 2, y si la lambda vale 2, pues por aquí obtenemos que aquí es menos 2, que pasa como más 2, que menos 2 será igual a nu que está multiplicado por 2, es decir, nu valdría menos 1. 00:07:15
Y vamos a comprobar que esto se cumple, 3 por 2 más menos 1 por menos 1 es 6 más 1, 7, correcto, nos da 7. 00:07:34
Total, ¿cuáles serían las coordenadas del punto B y del punto C?, les he puesto dos nombres iguales, pues bueno, OC es igual a lambda por v, es decir, las coordenadas de C serán las coordenadas de este vector lambda por v. 00:07:47
Así es que como la lambda vale 2, pues será dos veces el vector v, que es, vamos a ver la lambda, la estoy cogiendo con el vector u, así que vamos a ponerlo bien, este sería el punto B en realidad, vamos a hacerlo bien, es el punto B, lambda por u, que sería dos veces menos 1, 2, 3, 00:08:03
es decir, el punto B es el menos 2, 4, 6, y el punto C será nueces v, es decir, menos una vez el vector 2, 0, menos 1, es decir, será el punto menos 2, 0, 1. 00:08:33
Y aquí tenemos, por tanto, las coordenadas de los puntos que me pedían, y ya está, con esto se acaba el examen. 00:08:49
Hasta otra, chicos, espero que os haya resultado bien el examen, nos vemos en otro, chao. 00:08:56
Autor/es:
Manuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
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Fecha:
23 de febrero de 2023 - 22:20
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
09′ 03″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
657.93 MBytes

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