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Concepto de derivada - Contenido educativo

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Subido el 12 de abril de 2020 por Eva A.

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Hola, en este vídeo vamos a ver un poco cuál es la idea de lo que es una derivada. 00:00:00

Entonces, para esto, vamos a mirar esta función que tenemos aquí, 00:00:06

que es una parábola, pero podría ser cualquier otra función. 00:00:12

Yo, para conocerla, la recorro y veo si la función crece, si decrece, 00:00:17

si es cóncava, convexa, etc. 00:00:25

Pero esto de recorrerla yo ahora lo estoy haciendo con el cursor. 00:00:28

¿Se me ocurre algún elemento matemático con que recorrer una curva? 00:00:33

Pues sí, lo vamos a recorrer con la recta tangente. 00:00:37

La recta tangente en un cierto punto se va a mover con la gráfica de la función. 00:00:43

Y vemos que si la función, por ejemplo, crece muy rápido, la recta también cambia su inclinación muy rápido. 00:00:53

Que si decrece muy rápido, también la inclinación cambia en el otro sentido también muy rápido. 00:01:06

Bueno, entonces, ¿qué propiedad de la recta puedo asociar a esos cambios que sufre la gráfica de mi función? 00:01:13

Pues la pendiente. 00:01:27

Entonces, definimos la derivada de la función en un punto, en este caso sería en este punto de aquí, 00:01:29

asociado al valor de la XA, como la pendiente de la recta tangente en ese punto. 00:01:37

Entonces vamos a verlo con un poquito más de detalle. 00:01:46

Vamos a coger la misma gráfica. 00:01:51

Vamos a coger el punto A y vamos a coger cualquier otro punto. 00:01:56

entonces sobre el punto A cogemos el punto de la gráfica de coordenadas A, F de A 00:01:59

y sobre X el punto de coordenadas X, F de X 00:02:09

y vamos a coger la recta secante que pasa por estos dos puntos 00:02:13

según se vaya moviendo la X la recta secante irá cambiando 00:02:22

Pero, ¿qué pasa si X se va acercando cada vez más a A? ¿A qué se acerca la recta? 00:02:27

La recta acaba siendo la recta tangente. 00:02:35

Por tanto, esta recta, digamos que en el límite en que X tiende a A, tiene como límite la recta tangente en A. 00:02:40

Pero hemos dicho que lo que me interesa de la recta tangente es la pendiente. 00:02:50

¿Y cómo calculo la pendiente de esta recta tangente? Pues si cojo esta distancia y cojo esta distancia, recordad que la pendiente de una recta era el cociente entre la diferencia de las y y la diferencia de las x. 00:02:54

Es decir, en este caso, la pendiente de esta recta secante es f de x menos f de a, que es esta distancia de aquí, este segmento de aquí, entre x menos a, que es esta otra longitud de aquí. 00:03:15

¿Vale? Entonces, cuando yo X lo voy acercando a A, ¿qué voy teniendo? Voy teniendo el límite cuando X tiende a A, X se va acercando a A, del valor de las pendientes y a esto, es a lo que hemos dicho que llamamos derivada de la función en el punto A, ¿vale? 00:03:35

Que va a ser esta recta roja de aquí 00:04:01

Por tanto, mi recta secante se acerca, se acerca 00:04:03

Hasta que se acaba solapando con la recta tangente 00:04:07

Bueno, me diréis, esto todo es muy bonito, pero ¿para qué vale? 00:04:14

Bueno, pues eso lo iremos viendo poco a poco 00:04:19

Primero, cómo calcular este valor 00:04:21

Porque esto no lo vamos a hacer mediante un límite, aunque se pueda 00:04:24

y luego cómo vamos a usar estos valores para deducir información de la curva 00:04:27

porque al fin y al cabo, en este caso partimos de un dibujo 00:04:33

yo veo el dibujo y ya sé todo lo que tengo que saber sobre si la función crece, decrece, etc. 00:04:36

pero normalmente vamos a partir de una expresión algebraica de mi función 00:04:42

y voy a querer poder llegar a dibujar, vamos a hacer el camino inverso 00:04:46