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FU1. 2.7+2.8 Curvatura. Puntos de inflexión. Ejercicio 7 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 16 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:21
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos la curvatura y los puntos de inflexión. 00:00:31
La curvatura se refiere a si la gráfica de la función es convexa, con esta forma, 00:00:41
como la del símbolo de la unión, o bien cóncava, con esta forma, como la que corresponde al símbolo de intersección. 00:00:54
En el caso de concavidad o convexidad, que es el término con el que nos referiremos a la curvatura en un momento dado, 00:01:05
tenemos que tener cuidado, y es que en distintos contextos a esto se le denomina en lugar de convexo, cóncavo, 00:01:13
y a esto, en lugar de cóncavo, convexo. De la forma que en un momento 00:01:19
dado va a ser necesario, para que quede bien claro, para que quien quiera 00:01:23
que esté revisando nuestros ejercicios sepa de lo que estamos hablando, que hablemos 00:01:27
de convexa y dibujemos el símbolo, o bien cóncava 00:01:31
y dibujemos el símbolo. En un momento dado se puede hablar 00:01:35
de cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, cuando estamos hablando de la concavidad, con términos 00:01:39
generales, de una función. Y decimos hacia arriba porque esto 00:01:43
es como una parábola con las ramas hacia arriba, o bien hacia abajo, porque esto es como una parábola 00:01:47
con las ramas hacia abajo. Nosotros, en cualquier caso, diremos convexa y dibujaremos un símbolo 00:01:52
como el de la unión, cóncava y dibujaremos un símbolo como el de la intersección. La definición 00:01:57
algo más rigurosa, que no es como el símbolo de la unión o como una parábola con las ramas 00:02:04
hacia arriba, o bien como el símbolo de la intersección o bien como una parábola con las 00:02:09
ramas hacia abajo es esta que tenemos aquí. Una función es convexa cuando al unir mediante un 00:02:13
segmento dos puntos cualesquiera dentro de un intervalo lo que tenemos es un segmento que está 00:02:19
por encima del dibujo de la función y cóncava cuando al dibujar ese segmento lo tenemos por 00:02:24
debajo de la gráfica de la función. Evidentemente las líneas rectas no van a tener curvatura 00:02:31
definida por definición y cuando hablemos de la curvatura de una recta diremos que no tiene 00:02:37
curvatura definida. Como pasaba con la monotonía y con los extremos relativos, la curvatura se va 00:02:42
a poder caracterizar de una forma más rigurosa desde un punto de vista algebraico, no con forma 00:02:48
de unión o con forma de intersección, cuando lleguemos a la unidad en la que estudiamos las 00:02:54
funciones derivadas. Los puntos de inflexión están íntimamente relacionados con la curvatura, 00:02:58
de igual manera que los extremos relativos estaban íntimamente relacionados con la monotonía. 00:03:06
Nosotros diremos que una función real tiene un punto de inflexión en un determinado punto, 00:03:11
cuando en él la función es continua y cambia la curvatura de ser cóncava a convexa 00:03:15
o bien al revés, de ser convexa a ser cóncava. 00:03:20
Esta definición, nuevamente, es muy sui generis 00:03:23
y haremos una definición rigurosa desde el punto de vista algebraico, 00:03:27
igual que en el caso de la curvatura, 00:03:31
cuando definamos las funciones derivadas en la unidad correspondiente. 00:03:33
Para ver cómo funciona, curvatura y puntos de inflexión, 00:03:38
vamos a desarrollar este ejemplo, 00:03:40
que es el que estamos utilizando a lo largo de todo este apartado, 00:03:42
Y vamos a estudiar la curvatura y los puntos de inflexión de esta función dada por esta gráfica. 00:03:45
Vamos a hacer igual que en el caso de monotonía y extremos relativos, vamos a ir siguiendo la función de izquierda a derecha a lo largo de su dominio. 00:03:51
Y lo primero que hacemos es ver un intervalo entre menos 6 y menos 4, x igual a menos 6 y x igual a menos 4, en el que la función es un segmento recto. 00:04:00
Hemos mencionado anteriormente que los tramos rectos no tienen curvatura definida, 00:04:11
así que en este intervalo, desde menos 6 hasta menos 4, la función no tiene curvatura definida. 00:04:16
Y en este caso tenemos intervalos abiertos, desde menos 6 hasta menos 4. 00:04:21
En este otro intervalo, en este otro trozo de la función, 00:04:27
desde que la x vale menos 4 hasta que la x vale menos un medio, 00:04:30
vemos que la función tiene el aspecto del símbolo de la intersección. 00:04:35
No es, pero se parece mucho a una parábola con las ramas hacia abajo. 00:04:41
Así pues, en este intervalo, desde x igual a menos 4 hasta x igual a menos 1 medio, 00:04:45
diremos que la función es cóncava. 00:04:49
Vamos al siguiente tramo y aquí vemos este primer trocito, 00:04:53
desde que comienza la función en x igual a 0 hasta aproximadamente aquí, 00:04:58
la x igual a 1, este primer tramo, 00:05:02
que tenemos la parte derecha a partir del vértice de una parábola con las ramas hacia abajo. 00:05:05
Me puedo imaginar perfectamente una parábola con esta forma. Es algo similar al símbolo de la intersección, así que nuevamente desde x igual a 0 hasta x igual a 1 lo que tengo es una función cóncava. 00:05:10
A continuación, desde x igual a 1 hasta x igual a 3, aproximadamente, en este trozo veo algo similar al símbolo de la unión, a una parábola con las ramas hacia arriba. Bueno, pues desde x igual a 1 hasta x igual a 3 lo que tengo es un trozo de función convexa. 00:05:24
Desde x igual a 3 hasta aproximadamente x igual a 5, lo que estoy viendo es este trozo de función donde tengo algo cóncavo. 00:05:40
Tiene la forma del símbolo de la intersección, una parábola con las ramas hacia abajo aproximadamente. 00:05:50
Y desde x igual a 5 hasta valores arbitrariamente grandes, x tendiendo a más infinito, lo que veo es algo deformado, pero con el símbolo de la unión. 00:05:55
Y entonces es como si fuera una parábola con las ramas hacia arriba, lo único que aquí este extremo se extendería, está x tendiendo más infinito. 00:06:07
Aquí lo que tengo es un tramo donde la función es convexa. 00:06:16
¿Dónde tenemos los puntos de inflexión? Pues en aquellos puntos donde hemos cambiado la curvatura de cóncavo a convexa o de convexa a cóncava. 00:06:20
En concreto en x igual a 1, donde cambiábamos de cóncavo a convexa. 00:06:27
En x igual a 3, donde cambiábamos de convexa a cóncava. 00:06:32
Y en x igual a 5, donde cambiábamos de cóncava a convexa. 00:06:35
Estos extremos no tienen un cambio de curvatura porque son los donde comienza o acaban cada uno de los trozos. 00:06:40
Luego no son puntos de inflexión. 00:06:46
En síntesis, intervalos donde la función es convexa, siempre abiertos. 00:06:50
Desde menos 1 hasta 3, unión de 5 a más infinito. 00:06:53
Desde 1 hasta 3, desde 5 hasta más infinito. 00:06:57
Tiene una forma como el símbolo de la unión. 00:07:00
¿Intervalos donde la función es cóncava? Bueno, pues tenemos desde menos 4 a menos 1 medio, este trozo de aquí, desde 0 hasta 1, este trozo de aquí, y desde 3 hasta 5. 00:07:05
Tiene forma aproximada al símbolo de la intersección. 00:07:17
¿Intervalos donde la función no tiene curvatura definida? Donde es recta, desde x igual a menos 6 hasta x igual a menos 4. 00:07:21
Y por último, puntos de inflexión, puntos, primera coordenada es la paréble de la coordenada x, segunda la coordenada y, serían los puntos, vemos 1, 0, 3, 0 y este de aquí, 5, 1. 00:07:27
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:07:44
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:07:53
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:07:58
Un saludo y hasta pronto. 00:08:04
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
4
Fecha:
16 de noviembre de 2025 - 13:49
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
08′ 32″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
20.93 MBytes

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