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Ejercicios de probabilidad - Contenido educativo

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Subido el 8 de noviembre de 2020 por Maria Jose G.

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En el siguiente vídeo vamos a ir realizando poco a poco varios ejercicios del tema de probabilidad. 00:00:00
Os recomiendo que cojáis lápiz y papel porque vamos a hacer los ejercicios entre todos. 00:00:07
En el primer ejercicio me dicen, en las elecciones al consejo escolar en un instituto se sabe que la probabilidad de que una madre acuda a votar es del 0,28. 00:00:13
La probabilidad de que vote un padre es 0,21 y la del voto de los dos es 0,15. Me piden la probabilidad de los siguientes casos. Lo primero que tengo que hacer es definir los sucesos. 00:00:28
vamos a poner que A es votar la madre, vota madre, B vota padre, por ejemplo, y sé que hay un último suceso, que es la de que voten los dos, 00:00:43
pero este suceso no hace falta que lo defina. Ahora vamos a ver por qué. Mirad, si pongo los datos del problema, la probabilidad de que acude a la madre es 0,28, 00:01:03
esto se traduciría a probabilidad de A 0,28, ¿verdad? Si la probabilidad de que vote el 00:01:13
padre es 0,21, pues la probabilidad de B es 0,21. Y ahora os pregunto, ¿la probabilidad 00:01:21
de qué suceso sería el 0,15? Según me dicen en el enunciado es que voten los dos. Entonces 00:01:30
ahora pensad si esto sería la unión o la intersección. Efectivamente es la probabilidad 00:01:39
de la intersección, porque me están diciendo que voten los dos, es decir, los dos a la 00:01:48
vez, que vote la madre y que vote el padre. Es por eso que es la probabilidad de la intersección. 00:01:54
Perfecto, pues vamos ya al asunto y vamos a resolver la probabilidad del apartado A. 00:02:02
Ahí lo que me piden en el apartado A es la probabilidad de que vote al menos uno de los dos. Bueno, pues este suceso nosotros también lo podemos definir con una operación de los sucesos que he definido. 00:02:08
¿Qué operación es? Pensad, probabilidad de que al menos uno de los dos vote. Pues efectivamente es la probabilidad de A unión B. ¿Por qué? Porque en este caso o sucede de A, es decir, que vota la madre, o sucede B. 00:02:27
Pero siempre al menos uno de los dos vota, ¿de acuerdo? 00:02:49
Bueno, pues en este caso, yo con todos los datos que tengo para calcular justamente la probabilidad de la unión, lo que tengo que aplicar es una de las propiedades de la probabilidad. 00:02:54
¿Sabéis cuál es? En el caso de que sepáis cuál es, os animo a que pongáis la fórmula. 00:03:07
Efectivamente la fórmula me decía que era probabilidad de A más probabilidad de B menos probabilidad de A intersección B y todas estas probabilidades las tengo. 00:03:12
Entonces, si yo sustituyo, miro a ver qué probabilidad me da. Efectivamente sería 0,28, 0,21 menos 0,15. Todo esto da 0,34. 00:03:30
Perfecto, vamos a por el apartado B 00:03:53
En el apartado B me dicen que no vote ninguno de los dos 00:03:57
No vote ninguno de los dos 00:04:03
Es decir, que no puede votar la madre y no puede votar el padre 00:04:04
¿Cuál sería este suceso? 00:04:08
Perfecto, en este caso me están pidiendo la probabilidad del suceso 00:04:14
Contrario de A porque no vota la madre 00:04:18
Y intersección contrario de B porque no vota el padre. En este caso se me tiene que encender la bombillita y recordar unas leyes. ¿Qué leyes tengo que recordar? 00:04:22
Bueno, efectivamente tengo que recordar las leyes de Morgan, en el que, bueno, según las leyes de Morgan, la intersección de los contrarios es justamente un suceso contrario, el contrario en este caso de la unión, es decir, si yo tengo los dos sucesos contrarios pero intersecados, vale, esto sería lo mismo que el suceso contrario a la operación que no es la intersección, es decir, la unión, vale. 00:04:37
Y por las propiedades de la probabilidad, yo sé que esto de aquí es justamente la probabilidad total menos la probabilidad de la unión. 00:05:06
Como esto ya lo tengo por el apartado A, esto sería 1 menos 0,34, pues exactamente 0,66. 00:05:19
Perfecto. Vamos a por el apartado C. 00:05:30
En el apartado C me piden que únicamente vote la madre. 00:05:34
Claro, todo el mundo diría, bueno, pues eso no es la probabilidad de A. Pues no, porque en la probabilidad de A, en el suceso A, puede ocurrir también que vote el padre. 00:05:38
Y por tanto, lo que tengo que hacer es justamente a este suceso quitarle la parte que tiene con B. 00:05:50
Esta probabilidad sería la probabilidad de la operación diferencia, restarle el suceso A al B, pero a hechos de probabilidad esto se traduce por efectivamente la probabilidad de A menos la probabilidad de la parte que compartan A y B. 00:05:57
No puedo quitar todo el suceso B porque todo el suceso B no tiene por qué estar contenido en A. 00:06:25
Solamente tengo que quitar la parte que tienen en común. 00:06:31
Esto también lo conozco, me lo dan desde el enunciado, sería 0,28 menos 0,15 y da exactamente 0,13. 00:06:36
Bueno, como podéis ver, este primer problema ha sido fácil. 00:06:50
Vamos a seguir con otros problemas. Por ejemplo, en este otro ejercicio vamos a utilizar y a trabajar con la probabilidad condicionada. 00:06:54
Me comentan, en una ciudad el 35% de los ciudadanos utiliza el metro al menos una vez al día, el 24% usa el autobús y un 15% ambos medios de transporte. 00:07:05
Pues lo primero que tenemos que hacer efectivamente es definir los sucesos. Por ejemplo, si yo decido que A sea el suceso, pues bueno, como estoy viendo que uno es autobús, voy a llamar utiliza el autobús a la. 00:07:19
utiliza autobús 00:07:37
sería al menos una vez al día 00:07:42
pero bueno, esto ya lo vamos a suponer 00:07:46
y M vamos a poner utiliza metro 00:07:48
y así yo creo que me aclaro mejor 00:07:53
¿de acuerdo? 00:07:55
bueno, pues como antes 00:07:57
este 35% 00:07:59
que son los ciudadanos que utilizan el metro 00:08:01
al menos una vez al día 00:08:04
supondría que la probabilidad de M 00:08:06
es 0,35, como un 24% utiliza el autobús y un 15% ambos medios de transporte, pues ya directamente la probabilidad de A es 0,24 y por último la probabilidad de E me intersecciona 0,15. 00:08:08
Claro, si utilizamos medios de transporte, lo que me están dando es la probabilidad de la intersección, como hemos visto en el ejercicio anterior. 00:08:33
¿De acuerdo? 00:08:42
Me dicen, si elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que. 00:08:43
Bueno, pues vamos a hacer exactamente lo mismo. 00:08:47
Use el autobús si se sabe que coge el metro. 00:08:51
Este, si se sabe que coge el metro, por supuesto, es una probabilidad condicionada. 00:08:55
¿Qué probabilidad condicionada es? Me están pidiendo que calcule la probabilidad de qué sabiendo qué. Efectivamente la probabilidad de A sabiendo M. Y esto por definición es muy fácil, sería la probabilidad de la intersección partido la probabilidad de la condición. 00:09:01
Vale, en este caso 0,15 partido 0,35. Vale, esto daría 0,42857. Sería esta probabilidad. La verdad es que este apartado A ha sido bastante fácil. 00:09:24
Vamos a ver qué ocurre con el apartado B. En el apartado B también me piden otra probabilidad condicionada. Me dicen que sabiendo que montan el metro no utilice el autobús. 00:09:46
A ver, ¿podríais decirme cuál es la probabilidad que me piden y cómo puedo calcularla? Efectivamente, la probabilidad sería el contrario a utilizar autobús, porque la probabilidad que me piden realmente es la de que no utilice el autobús, pero es una probabilidad condicionada, ya que sé que es una persona que monta en el metro. 00:09:59
¿Cómo lo calculo esto? 00:10:26
Efectivamente, como arriba sé justamente la probabilidad de alguien que, sabiendo que utiliza el metro, utilice también el autobús, 00:10:30
justamente la probabilidad que me piden ahora es la contraria de la de arriba. 00:10:41
Luego, por las propiedades de la probabilidad, probabilidad total 1 menos la probabilidad de que utilice el autobús sabiendo que utiliza el metro. 00:10:44
Como esta probabilidad la tengo arriba, sería justamente 1 menos este resultado que me ha dado en el apartado A y justamente es 0,57143. Esta sería la probabilidad del apartado B. 00:10:55
Vamos al apartado C. En el apartado C lo que me piden es que no utilice ni el metro ni el autobús. ¿Cuál es la probabilidad que me están pidiendo? La probabilidad de que suceso. Plantea el suceso e intenta resolverlo. 00:11:13
Efectivamente me están pidiendo que no utilice el metro y no utilice el autobús. 00:11:33
Y esto nos recuerda mucho al ejercicio que hemos hecho en primera instancia. 00:11:41
Por las leyes de Morgan esto sería la probabilidad del suceso contrario a utilizar el metro o el autobús. 00:11:46
Y, bueno, pues al ser un suceso contrario, puedo decir que es la probabilidad total menos la probabilidad de la unión, de esa unión. 00:11:53
Y esto, pues sería la probabilidad total menos, voy a utilizar la propiedad de la probabilidad que me dice cuál es la probabilidad de esta unión. 00:12:06
Pues es la probabilidad de que utilice el metro más la probabilidad de que utilice el autobús menos la probabilidad de la intersección. 00:12:17
Y todas estas probabilidades me las dan en el enunciado. 00:12:26
Sería 1 menos 0,35 más 0,24 menos la intersección 0,15. 00:12:31
El resultado final es 0,56. 00:12:41
Perfecto. Vamos a ir a un último problema en el que repasemos el teorema de Bayes. 00:12:48
Por ejemplo, el ejercicio 102. En el ejercicio 102 tenemos una partición bien clara. 00:12:55
Tres máquinas A, B y C fabrican tornillos. 00:13:02
En una hora la máquina A produce 600 tornillos, de los cuales el 1% es defectuoso. 00:13:05
La máquina B produce 300 y el 2% es defectuoso y la máquina C produce 100, de ellos el 3% es defectuoso. 00:13:12
En cada hora se juntan los tornillos producidos y se elige uno al azar. 00:13:22
Vamos a empezar primero a definir los sucesos que voy a utilizar. 00:13:29
Por supuesto, el tornillo que yo elijo, pues puede pertenecer a la máquina A, ¿vale? Vamos a poner únicamente máquina A. B, la máquina B, el tornillo pertenece a la máquina B. Y C, pues el tornillo pertenece a la máquina C. 00:13:35
Perfecto, ¿qué es lo que me van a preguntar? Pues seguramente lo que me van a preguntar es si este tornillo está defectuoso 00:14:01
Recomiendo que si estáis en un examen esto, por favor, lo desarrolléis como Dios manda 00:14:11
Vamos a hacer el diagrama de árbol que aclara bastante 00:14:20
Bueno, la partición del espacio claramente viene aquí 00:14:25
Porque este tornillo que yo he elegido sabemos que o pertenece a la máquina A o a la máquina B o a la máquina C. ¿Con qué probabilidad? Bueno, pues es muy fácil. Pensad un poquito. 00:14:28
Efectivamente, cada hora se producen 600, 300 y 100, es decir, 600 más 300 más 100, 1000 tornillos. 00:14:43
De los cuales 600 son de la máquina A, es decir, 600 de 1000 da un total de una probabilidad de 0,6 de que sea el tornillo fabricado por la máquina A. 00:14:58
0,3 vale la probabilidad de que sea fabricado por la máquina B y por último 0,1 de que sea fabricado por la máquina C. 00:15:13
Por ejemplo, ¿por qué este 0,1? Pues porque solo son, aquí lo tenemos, 100 tornillos de 1000. 00:15:26
¿De acuerdo? Perfecto. En la máquina, chicos, la probabilidad de que sea defectuoso también me la dicen porque me dicen que el 1% son defectuosos. Pues defectuosos el 1%, pues no defectuosos justamente la probabilidad contraria. 00:15:32
Es decir, total menos la inicial. Uy, acabo de ver un fallo. El 1% no es 0,1. Cuidado con esto. Es 0,01 y por tanto la probabilidad contraria sería 0,99. 00:15:53
En el caso de la máquina B, los tornillos también pueden ser defectuosos o no. Defectuosos lo son, me lo dice el enunciado, el 2%, es decir, no os confundáis como antes, 0,02 y el otro 0,98. 00:16:15
Y por último, en la máquina C, defectuosos son el 0,03 y no defectuosos 0,97. Es lógico que la probabilidad de que sean defectuosos sea baja. 00:16:36
¿De acuerdo? Vamos a ver qué es lo primero que me piden. En el apartado A me piden la probabilidad de ser defectuoso. 00:16:54
Bueno, ¿podríais decirme qué teorema voy a utilizar? Muy bien, el teorema de la probabilidad total. 00:17:02
En este caso, lo que voy a hacer es ir moviéndome por cada una de las particiones. Por ejemplo, voy a elegir el camino de la máquina A y sabiendo que es de la máquina A ser defectuosos, máquina B y sabiendo que es de un tornillo de la máquina B ser defectuosos, máquina C y lo mismo ser defectuosos. 00:17:11
Esto se traduciría, tenemos que ser capaces de poner la fórmula a la fórmula de la probabilidad total, ya lo hemos dicho, que sería probabilidad de A por probabilidad de ser un tornillo defectuoso sabiendo que es de la máquina A, más probabilidad de B por probabilidad de ser defectuoso sabiendo que es de B, 00:17:38
más por último probabilidad de ser un tornillo de la máquina C 00:18:01
por la probabilidad de ser defectuoso 00:18:06
sabiendo que provengo de la máquina C 00:18:09
y todas estas probabilidades las conozco 00:18:11
las he reflejado en el diagrama de árbol 00:18:15
esto sería 00:18:17
bueno, os animo a que lo hagáis primero vosotros 00:18:18
y a ver si os da lo mismo que me da a mí 00:18:23
0,6 por 0,01 00:18:26
más 0,3 por 0,02 más 0,1 por 0,03. El resultado total daría exactamente 0,015. 00:18:30
Perfecto. Vamos a ver qué probabilidad me piden en el apartado B. En el apartado B me pide una 00:18:54
probabilidad condicionada, ya que yo conozco la condición de que haya sido fabricado por 00:18:59
la máquina C, perdón, al revés, lo que sé es que es defectuoso. Aquí está. Lo de 00:19:05
que haya sido fabricado por la máquina C es la probabilidad que me piden. Esto lo tenemos 00:19:13
que tener muy claro. Entonces voy a borrar este apartado, por ejemplo, para poder hacer 00:19:18
sitio y seguir. A ver, en el apartado B, como hemos dicho, la probabilidad condicionada 00:19:28
que me piden es efectivamente la probabilidad de C sabiendo que es defectuoso. Aquí tengo 00:19:34
que utilizar el teorema de Bayes, aunque bueno, el teorema de Bayes no deja de ser una aplicación 00:19:48
de la definición de probabilidad condicionada. 00:19:57
Mirad, ya sabemos que por la definición de probabilidad condicionada 00:20:02
arriba tendría que dividir la probabilidad de C intersección D. 00:20:05
Lo único que en este caso, el teorema de Bayes, no lo escribo así, 00:20:13
sino que deduzco esta intersección utilizando que la probabilidad de la intersección 00:20:19
sería lo mismo que el tornillo haya sido fabricado por la máquina C y además sea defectuoso sabiendo que ha sido fabricado por la máquina C. 00:20:26
Esto sería exactamente lo mismo que la intersección. 00:20:40
Y esta intersección, esta probabilidad de la intersección que voy a desarrollar así, lo tendría que dividir entre la probabilidad de la condición, 00:20:43
que en este caso es lo que sé que es defectuoso. 00:20:51
Aquí abajo en el teorema de Bayes tendría que desarrollar toda la fórmula de la probabilidad total. No lo voy a hacer porque ya lo he hecho en el apartado A. En el apartado A he desarrollado y me había dado que era 0,015 la probabilidad. 00:20:55
Y aquí arriba, estas dos probabilidades, cuyo producto sería la probabilidad de la intersección, también las conozco, la probabilidad de ser fabricado por la máquina C es 0,1 y sabiendo que he sido fabricado por esa máquina, ser defectuoso sería 0,03. 00:21:13
Bueno, el resultado de todas estas operaciones es 0,2, así que la probabilidad de que el tornillo sea fabricado por la máquina C sabiendo que es defectuoso, bueno, pues es 0,2, que la verdad es que no es una probabilidad bastante grande. 00:21:34
También tenemos que tener en cuenta que la producción de tornillos con esa máquina es muy baja. 00:21:57
Bueno, espero que os haya aclarado este vídeo 00:22:04
todas las dudas sobre 00:22:10
probabilidad. 00:22:12
Autor/es:
MARIA JOSE GARRO CEBALLOS
Subido por:
Maria Jose G.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
76
Fecha:
8 de noviembre de 2020 - 23:29
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LAS ROZAS I
Duración:
22′ 18″
Relación de aspecto:
5:4 Es el estándar al cual pertenece la resolución 1280x1024, usado en pantallas de 17". Este estándar también es un rectángulo.
Resolución:
852x682 píxeles
Tamaño:
49.88 MBytes

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