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Ejercicio II Examen Parte Análisis MAT II - Contenido educativo

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Subido el 22 de febrero de 2026 por Roberto A.

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Vamos con el segundo ejercicio, que tampoco es complicado. 00:00:00
Nos dicen que hallemos la ecuación de la recta normal. 00:00:05
Entonces, evidentemente, si no nos sabemos la ecuación de la recta normal, pues tenemos un problema. 00:00:08
Y luego es esta función, que es una función polinómica, súper fácil, 00:00:15
y nos dice que queremos hallar la ecuación de la recta normal, pero en su punto de inflexión. 00:00:19
Entonces, evidentemente, volvemos otra vez a la teoría matemática. 00:00:25
Si yo no me sé la fórmula de la recta normal, este ejercicio no lo puedo hacer, pero es que si yo no hago el punto de inflexión, pues estamos en las mismas. 00:00:28
Entonces, recordamos, la recta tangente, la recta tangente, utilizamos de todas las ecuaciones de la recta, utilizamos la de punto pendiente, que era igual. 00:00:44
Y menos f de x sub cero es igual a f' de x sub cero por x menos x sub cero. 00:00:59
x sub cero es precisamente el punto de tangencia. 00:01:09
x sub cero es el punto de tangencia donde nosotros queremos hallar la recta tangente. 00:01:11
¿Qué es lo que ocurre? 00:01:21
Que la recta normal es perpendicular a la tangente. 00:01:22
La recta normal es perpendicular a la recta tangente y hay una premisa también en teoría matemática donde si la recta normal tiene pendiente m' y la recta tangente tiene pendiente m resulta que al ser perpendiculares pues se cumple que m por m' es igual a menos 1. 00:01:27
O lo que es mejor dicho, m' es igual a menos 1 partido de m. 00:01:53
¿Con esto qué ocurre? Que yo ya sé que la resta normal va a ser y menos f de x sub 0 igual a menos 1 partido f' de x sub 0 por x menos x sub 0. 00:01:59
¿Pero qué nos dice a nosotros el ejercicio? Lo que nos dice es que tenemos que hacerlo en su punto de inflexión y yo no sé cuál es el x0 pero sí puedo hallar el punto de inflexión de esta función polinómica. 00:02:19
Pues resulta que el punto de inflexión es aquel cuya segunda derivada es 0. Por lo tanto, si yo tengo que mi función es 4x al cubo menos 2x cuadrado menos 10, su primera derivada, muy fácil, es 12 por x al cuadrado menos 4x. 00:02:39
Pero es que su segunda derivada es más fácil todavía, ¿verdad? Porque tenemos 24x menos 4. ¿Y qué ocurre? Pues que la segunda derivada, el punto de inflexión, es aquel que realmente el punto de inflexión lo que hace es cuando cambia la curvatura, es decir, pasamos de cóncava a cónvesa o de cónvesa a cóncava, es decir, de curvatura positiva a curvatura negativa o viceversa. 00:02:58
Por lo tanto, claro, cuando la segunda derivada es mayor que 0 es una curvatura positiva hacia arriba 00:03:30
y cuando es menor que 0 una curvatura negativa hacia abajo. 00:03:37
Entonces, precisamente cuando f segunda de x es igual a 0, 00:03:42
y nosotros en este caso tenemos que 24x menos 4 es igual a 0, 00:03:46
resulta que x es igual a 4 partido de 24, o lo mismo es un sexto. 00:03:52
Entonces mi x sub cero, mi x sub cero en este caso es un sexto. 00:03:58
Si yo me voy a la fórmula, pues yo tengo que hallar, ya tengo el x sub cero, tengo que hallar f de x sub cero, tengo que hallar f' de x sub cero. 00:04:05
Y pues nada, y luego ya pues sustituimos. 00:04:14
f de x sub cero hemos dicho que es un sexto. 00:04:18
¿Cuánto vale f de x sub cero? 00:04:22
Pues nada, es 4 por un sexto. 00:04:24
Al cubo, menos 2 por un sexto al cuadrado, menos 10. 00:04:28
¿De acuerdo? 00:04:35
Vamos a sacar aquí la calculadora, un mantillo. 00:04:36
Lo hacemos en la calculadora y a ver qué es lo que nos sale. 00:04:41
4 por un sexto al cubo. 00:04:45
Ahí lo he hecho mal. 00:04:52
1 sexto al cubo 00:04:54
menos 2 por 1 sexto al cuadrado 00:04:59
menos 10, ¿verdad? 00:05:07
Esto me sale menos 271 partido de 71. 00:05:12
Un número feo, bueno, pero es un número 00:05:16
de 27, perdón. 00:05:18
271 partido de 27. 00:05:21
¿Cuánto vale f' de x sub 0? 00:05:24
Pues 12 por un sexto al cuadrado menos 4 por un sexto. 00:05:27
Lo metemos en la calculadora y averiguamos cuánto vale. 00:05:35
12 por 1 entre 6 al cuadrado menos 4 por 1 entre 6. 00:05:40
Y esto me da menos un tercio. 00:05:50
Esto me da menos un tercio. 00:05:54
Pues nada, ahora lo que nos queda únicamente es sustituir, lo que nos queda es sustituir. 00:05:57
Voy a copiar esto de aquí, me lo llevo aquí, ¿de acuerdo? 00:06:05
Lo tengo esto de aquí y me voy a copiar la fórmula, vamos a ver, vamos a copiar la fórmula y me la llevo a esta página, ¿de acuerdo? 00:06:13
Entonces, nada, yo lo que tengo que hacer únicamente es que no es complicado, es sustituir. 00:06:27
Tengo y menos menos 271 partido de 27 es igual a menos 1 partido de menos un tercio por x menos un sexto. 00:06:33
Entonces esto es y más 271 partido de 27, esto de aquí chavales da 3, esto es 3 por x menos 1 sexto, que esto es igual a 3x menos 1 medio. 00:06:49
Por lo tanto, la resta será 3x menos 1 medio menos 271 partido de 27. 00:07:11
Estoy mirando aquí la chuletilla, no la tengo aquí solucionada, pero bueno, para que veáis que no me he equivocado. 00:07:25
Sí, efectivamente, está todo bien. Y esto me da 3x menos 569 partido de 54. Esta es la recta normal a la función, esta es la recta normal a la función en su punto de inflexión. 00:07:34
pues nada, ahora tenemos que hacer esta segunda parte 00:08:02
entonces nosotros tenemos una función f de x que es igual a un cuarto de x cuadrado más 4x menos 4 00:08:10
y queremos hallar la recta tangente pero que pase por el punto 0 menos 8 00:08:22
Nosotros lo primero que vamos a hacer es comprobar si es un punto interior o exterior, entonces resulta que si fuese un punto de la función, si yo hago f de 0 me tiene que salir 8, por lo tanto yo me pregunto, entonces f de 0 resulta que es 1 cuarto por 0 al cuadrado más 4 por 0 menos 4 y esto me da menos 4 que es distinto a menos 8. 00:08:28
Esto es menos 8. Por lo tanto, es un punto exterior. Es un punto exterior. 00:08:58
De nuevo, ¿yo sé x sub 0? Pues no lo sé. No lo sé. 00:09:11
Lo que sí sé es que toda recta tangente es del tipo y menos f de x sub 0 00:09:18
igual a f' de x sub cero por x menos x sub cero 00:09:31
¿qué es lo que yo estoy forzando? 00:09:38
yo estoy forzando que esta recta de aquí pase por el punto 0 menos 8 00:09:41
eso que implica que esto de aquí sea menos 8 y que esto de aquí sea 0 00:09:47
no estoy haciendo otra cosa diferente 00:09:57
entonces, ¿qué ocurre? 00:10:02
que yo tengo que f de x es igual a 1 cuarto de x cuadrado más 4x menos 4 00:10:03
y f' de x es igual a 1 medio de x cuadrado más 4 00:10:13
Por lo tanto, yo aquí que tengo menos 8 menos un cuarto de x sub 0 al cuadrado más 4 por x sub 0 menos 4 y esto es igual a qué? A un medio de x sub 0 al cuadrado más 4. 00:10:22
Y aquí muy importante, porque algunos de ustedes habéis tenido fallos, yo pongo paréntesis porque todo esto, esto es un factor y esto es otro factor, ¿de acuerdo? 00:10:46
Lo que pasa es que son factores que están formados por sumandos y todo esto lo multiplico por 0 menos x sub 0. 00:10:59
Entonces, si os dais cuenta, yo aquí ya todo depende ya solamente de x sub cero. 00:11:07
Pues nada, vamos a quitar los paréntesis. 00:11:15
Esto es menos 8, esto es menos un cuarto de x sub cero al cuadrado, esto es menos 4x sub cero y esto es más 4. 00:11:18
Si os dais cuenta, esto da menos x sub cero. 00:11:29
Pues entonces menos x sub cero por un medio de x sub cero es menos un medio, ah y aquí me he equivocado, perdón, ya decía yo que esto es un medio de x y esto es un medio de x sub cero, perdón, vale, aquí me había equivocado y aquí tal. 00:11:33
Entonces, esto sí que me sale menos 1 medio de x sub 0 al cuadrado menos 4x sub 0. 00:11:54
Si os fijáis, este y este se me van y ¿qué es lo que me queda? 00:12:02
Y aquí tened mucho cuidado porque hay mucha gente que ha fallado en esto y es una tontería. 00:12:08
Yo tengo esto de aquí y esto de aquí. 00:12:12
¿Y qué sería? Menos un cuarto, el menos un cuarto de aquí, y este menos un medio pasa al otro miembro sumando, más un medio. 00:12:15
Y esto, chavales, tened mucho cuidado, porque esto es igual a un cuarto. 00:12:26
Hay mucha gente aquí que me ha puesto un medio. 00:12:33
Entonces aquí, ¿qué me queda? Me queda un cuarto de x sub cero al cuadrado. 00:12:35
Menos ocho más cuatro, me queda menos cuatro. 00:12:42
Y todo esto es igual a cero. Por lo tanto, un cuarto de x sub cero al cuadrado es igual a cuatro y x sub cero al cuadrado es igual a dieciséis. 00:12:46
De donde x sub cero es igual a más menos la raíz de dieciséis, que es igual a más menos cuatro. 00:13:00
Fijaros que yo lo que he hecho es, me piden las ecuaciones de las restas tangentes en dichos puntos. 00:13:07
Es decir, hay a los puntos de la curva en los que la resta tangente a esta pase por el punto 0 menos 8. 00:13:14
Yo no sé qué puntos de la resta son, pero yo sé que esas restas tangentes tienen que pasar por el punto 0 menos 8. 00:13:20
entonces lo que yo he esforzado es en la ecuación general de la recta tangente 00:13:28
yo esfuerzo que pasen por el punto 0 menos 8 00:13:33
la y vale menos 8 y la x vale 0 00:13:38
entonces ¿qué ocurre? 00:13:40
que yo sé que va a haber un punto 00:13:42
un punto o varios puntos x sub 0 00:13:44
en este caso nos salen 2 00:13:47
que resulta que van a pasar sus rectas tangentes por el 0 y por el menos 8 00:13:49
Y entonces, ¿qué es lo que hago? Pues yo dejo todo en función de x sub cero, es decir, yo pongo la función en función de x sub cero y la primera derivada igual, que dependa de x sub cero. 00:13:56
Aplico, esto es una ecuación de segundo grado, súper básica de segundo de la ESO y al final pues llego a los puntos de tangencia, es decir, x sub 0 igual a 4 y x sub 0 igual a menos 4 son los puntos de tangencia, son los puntos de tangencia, ¿vale? 00:14:09
Y entonces, ¿qué tengo que hacer? Pues ahora, como x es igual a 4 y la función y la recta tangente es y menos f de x sub 0, sabiendo ya que x sub 0 es 4, 00:14:32
igual a f' de x sub 0 por x menos x sub 0 00:14:50
vamos a recordar un poco que f de x es un cuarto de x cuadrado 00:14:56
un cuarto de x cuadrado más 4x menos 4 00:15:03
y que f' de x es igual a un medio de x más 4 00:15:12
Pues nada, teniendo esta información, pues yo qué voy a hacer. Voy a hallar f de 4. Y f de 4 es un 4, un cuarto por 4 al cuadrado, más 4 por 4, menos 4. 00:15:18
4 por 4 es 16, 16 entre 4 es 4, esto es 4 más 16 menos 4 es igual a 16. 00:15:35
Y f' de 4 que es 1 medio por 4 más 4, es decir, 2 más 4 es igual a 6. 00:15:44
Pues ya teniéndolo todo, si os fijáis, ¿qué me va a dar? 00:15:54
Pues y menos 16 es igual a 6 que multiplica a x menos 4. 00:15:57
Lo único que tengo que hacer, no tengo que hacer más nada. 00:16:08
Es menos 16 es igual a 6x menos 24 y es igual a 6x menos 8. 00:16:12
Y esto es súper importante porque hay mucha gente que se ha equivocado y no sabe realmente con lo que está haciendo. 00:16:22
¿Esta recta pasa por el punto 0 menos 8? Pues yo creo que es más que evidente, ¿no? 00:16:29
Fijaros que si yo hago la x igual a 0 y es igual a 6 por 0 menos 8, esto es menos 8, ¿vale? 00:16:39
Recordad que en una recta la m es la pendiente y n se llama la ordenada en el origen. 00:16:49
Por lo tanto, tanto para x igual a x sub 0 igual a 4, como lo que vamos a hacer ahora de x sub 0 igual a menos 4, 00:17:05
siempre la n, si pasa por el punto 0 menos 8, va a tener que ser un número por x y luego le resto 8, ¿de acuerdo? 00:17:15
para que pueda pasar por el punto 0 menos 1. 00:17:26
Pues nada, hacemos lo mismo y menos f de x sub 0 es igual a f' de x sub 0 por x menos x sub 0. 00:17:30
Ahora lo que ocurre es que x sub 0 vale menos 4. 00:17:42
¿Cuánto vale f de menos 4? 00:17:46
Pues nada, sustituimos 1 cuarto por menos 4 al cuadrado, más 4 por menos 4, menos 4. 00:17:48
Esto que es 4 menos 16 menos 4 es menos 16. 00:17:58
Y f' de menos 4 es igual a 1 medio por menos 4 más 4, es decir, menos 2 más 4 es igual a 2. 00:18:05
Pues ya teniendo esto lo que hago es sustituir y menos menos 16 es igual a 2 por x menos menos 4 y esto que es 2 por x más 4. 00:18:17
Entonces, y más 16 es igual a 2x más 8, ¿verdad? Y fijaros otra vez de nuevo que al pasar esto de aquí, el más 16, esto es 2x más 8 menos 16, por lo tanto y es igual a 2x menos 8. 00:18:36
nos tiene que salir menos 8 para que tenga que pasar por el punto 0 menos 8 00:18:58
si nos dijeran que tiene que pasar por el punto 0 menos 5 00:19:03
pues este número de aquí en vez de ser menos 8 sería menos 5 00:19:07
si tuviera que pasar por el punto 0 12 esto sería algo por x más 12 00:19:10
entonces las rectas tangentes son 2 00:19:15
son y es igual a 6x menos 8 y es igual a 2x menos 8. 00:19:22
Yo este ejercicio lo veo súper completo, no lo veo difícil, pero ¿qué tenemos que tener en cuenta? 00:19:31
Pues tenemos que tener en cuenta que además este lo hemos hecho en clase, 00:19:38
pues evidentemente saber lo que es una recta normal, saber lo que es una recta tangente, 00:19:42
saber cómo se halla la recta tangente 00:19:50
de un punto exterior 00:19:55
y esto ya os comento 00:19:58
que hemos hecho varios en clase 00:20:00
espero que os valga 00:20:02
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
7
Fecha:
22 de febrero de 2026 - 20:04
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
20′ 06″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
45.57 MBytes

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