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(02) Rango de Matrices con PARÁMETROS - Contenido educativo

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Subido el 13 de febrero de 2021 por Esteban S.

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Hola otra vez, chicas y chicos del segundo bachillerato, vamos a hacer otro problema de estudiar el rango de una matriz que depende de un parámetro, en este caso el parámetro es m, ¿por qué hacemos otro problema?, porque en este caso la matriz es rectangular, ya no es una matriz cuadrada y entonces ya sabemos que hay que hacerlo de otra manera. 00:00:02

Lo primero que me voy a poner aquí es que el rango de M será 1 o 2 o 3. 00:00:24

Esto siempre es muy importante, encuadrar bien donde puede bailar es el rango. 00:00:32

Repito, el rango no puede ser nunca 4 porque en esa matriz no podemos encontrar un determinante de 4 por 4. 00:00:38

Es imposible, no existe. 00:00:46

Luego el rango como máximo es 3. 00:00:48

Con la matriz, como la matriz era rectangular, vamos a empezar de lo pequeño a lo grande. 00:00:49

Entonces lo que vamos a hacer es buscando un menor de orden 2 que no sea 0 00:00:54

Mirad, alguien podría tener la tentación por comodidad de empezar por este de aquí 00:00:59

Pero este de aquí tiene un inconveniente que interviene la m 00:01:04

Entonces como interviene la m, pues esto lo complica 00:01:08

Luego es mejor buscar un menor de orden 2 que no tenga parámetro 00:01:11

¿Cuál vamos a coger? Pues este de aquí 00:01:16

Y que no sea 0, claro 00:01:19

Muy bien, vamos a estudiar ese menor de orden 2 00:01:23

vale menos 1, luego ya tenemos grandes cosas 00:01:26

hemos encontrado un determinante 2 por 2 00:01:35

no nulo, luego yo ya sé que el rango de esa matriz 00:01:39

como poco es 2, es decir, es mayor o igual que 2 00:01:42

es decir, el rango de M es 2 00:01:48

o es 3, esto es importante, independientemente de lo que 00:01:52

valga la M, la M minúscula, este parámetro 00:01:56

valga lo que valga, el rango va a ser 2 o 3, nunca puede ser 1. 00:02:00

Vamos a estudiar cuándo hará el rango 3, pues para el rango 3 ya sabemos lo que tenemos que hacer, 00:02:04

orlamos, orlamos, muy interesante, ¿por qué orlamos? 00:02:14

Porque ya no hay que estudiar todos los determinantes de 3 por 3, sino sólo los que contengan a nuestro menor. 00:02:18

Nuestro menor, lo voy a poner en verde, es el 1, 0, 2, menos 1. 00:02:25

Y lo puedo completar con la columna 1, columna 1, 2m1 menos 2m más 2, para lo estudiar, o lo puedo completar con la columna 4, lo pongo aquí, con la columna 4 sería el 1, 0, 2 menos 1 y completo con la columna 4, 1, 0, 8 y lo que haya debajo, menos 2, m más 2. 00:02:31

2, se ve bien que ahí pone 00:03:06

m más 2, bien 00:03:09

pues ahora hay que hallar estos determinantes 00:03:10

y estudiarlos, repito, no hace 00:03:13

falta estudiar los otros dos que quedan 00:03:15

con estos dos, es suficiente 00:03:17

bien, yo 00:03:19

los he calculado 00:03:21

y voy a poner lo que es, ahí estoy, 2 a menos 00:03:23

6, lo tengo aquí apuntado 00:03:25

muy bien, y es, ahí que 00:03:27

has dicho, ah, 2 00:03:29

hazlo bien Esteban 00:03:31

2m 00:03:32

menos 6 00:03:34

y aquí me queda menos m cuadrado más 2m más 3. 00:03:36

Este es el determinante. 00:03:45

¿Qué tenemos que estudiar ahora? 00:03:48

¿Qué valores de m hacen 0 este determinante? 00:03:50

Vamos a ver. 00:03:54

Así que ahora, este determinante igual a 0, lo voy a poner aquí. 00:03:56

No voy a caer en vuestra trampa de poner igual a 0 aquí, que es feísimo, 00:04:01

porque es mentira además, así que lo hago aquí aparte, menos m cuadrado 00:04:04

más 2m más 3 igual a 0, como esto es una ecuación 00:04:09

ya se puede multiplicar todo por menos 1, luego esto es más fácil 00:04:13

resolver esta 00:04:17

yo la resuelvo en un instante y me sale m igual a menos 1 00:04:18

y m igual a 3, ahora seguimos 00:04:26

y aquí, en esta de aquí, 2m menos 6 00:04:29

igual a cero, luego me sale m igual a tres. 00:04:33

Vamos a ver si interpretamos bien esto. 00:04:37

A ver si se interpreta bien. Pregunto. 00:04:45

¿Hay algún valor de m para el que estos 00:04:49

dos determinantes, porque ya no hace falta estudiar más, 00:04:53

porque estamos orlando, ¿hay algún valor de m para el que 00:04:58

estos dos determinantes valgan cero? 00:05:01

Pero, respuesta, sí, profesor, hay un valor de m para el que esos dos determinantes valen 0, por tanto, lo voy a poner aquí, si m es igual a 3, esos dos determinantes son 0, luego el rango, ya no puede ser 3, luego el rango de m va a ser 2, ¿de acuerdo? 00:05:03

¿Por qué? Porque si m vale 3, este determinante es 0 y este determinante es 0, pues ya el rango no puede ser 3. 00:05:31

Me queda aquí algo conflictivo. ¿Qué pasa si m es igual a menos 1? 00:05:42

Muy bien. Si m es igual a menos 1, lo hago con misterio porque seguro que algunos ya sabéis contestar y algunos sabéis lo que hay que decir. 00:05:47

Pero yo voy a ir siempre a ponerme en las dificultades, en las dudas, no en las dificultades. 00:05:57

Ahora, alguien puede pensar que cuando m vale menos 1, como este determinante vale 0, pues ya el rango es 2. Pues no, pues no, porque en este de aquí no vale 0. 00:06:02

es que esto es más fácil 00:06:21

y no decir nada porque lo entendéis 00:06:27

si m vale menos 1 00:06:28

este determinante 00:06:31

lo voy a escribir y luego lo borro 00:06:33

este determinante si valía 0 pero este es distinto de 0 00:06:34

porque este solo vale 0 cuando m es 3 00:06:37

luego cuando m vale menos 1 00:06:38

este es 0, bueno y que hay que seguir 00:06:41

este no vale 0 00:06:43

luego el rango es 3 00:06:44

y esta es la solución 00:06:45