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T11 - Ej 69 - Contenido educativo
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Hola, vamos con el problema 69. Me piden que calculemos un vector v de R3, es decir, del espacio, sabiendo que cumple las tres condiciones siguientes.
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Que la suma de sus coordenadas es 3, que el vector v es combinación lineal de otros dos vectores y que los vectores, los que nos dan junto con el que queremos calcular, son linealmente dependientes.
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¿Vale? Fijaos, nos dicen que estamos en R3, es decir, que el vector v que estamos buscando tiene tres coordenadas.
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La vamos a llamar x, y, z, ¿vale? Para que sea más fácil. Eso es lo que significa que sea de R3.
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Y son tres incógnitas, luego vamos a necesitar tres ecuaciones, por eso tenemos tres condiciones.
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La primera condición que me dicen que la suma de sus coordenadas sea 3, es decir, que x más y más z tiene que ser 3.
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Esta es la ecuación que sacamos de la primera condición.
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La segunda condición lo que me dicen es que el vector u es combinación lineal de los vectores 2, 2, 2 y menos 1, 1, 0.
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¿Eso qué quiere decir? A ver, si lo pusiéramos como combinación lineal estaríamos metiendo más incógnitas que no nos sirven.
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Lo que tenemos que entender es el concepto. ¿Qué significa que sea una combinación lineal? Pues lo que significa es que los tres vectores son linealmente dependientes, lo mismo que nos dicen en el apartado siguiente.
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Es decir, lo que me están diciendo, si son linealmente dependientes, es que el determinante formado por el vector v, bueno, lo pongo directamente, x, y, z, el vector u, 2, 2, 2, y el vector menos 1, 1, 0, si son linealmente dependientes, significa que este determinante es 0.
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eso es lo que significa también que sea combinación lineal
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esa sería mi segunda ecuación
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y mi tercera ecuación pues lo mismo que acabo de hacer
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si los tres vectores son linealmente dependientes
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es que el determinante es 0
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1, 0, 1, 0, 1, 0
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y el v que es el x, y, y z
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y aquí tenemos las tres ecuaciones que necesitamos
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para poder, o sea lo que tendríamos que resolver
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este sistema de ecuaciones
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Entonces, venga, pues a ver, vamos a ello. Esto es x más y más z igual 3. Resolvemos el segundo determinante, me queda 0, 2 por z, 2z menos 2y más 2z, 0 menos 2x.
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Esto es 0, es decir, de aquí saco la ecuación
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Podemos simplificar todo entre 2, ¿vale?
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Y me quedaría menos entre 2, vamos a simplificar
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De hecho voy a simplificar entre menos 2
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Y me quedaría x más y menos 2z igual 0, ¿vale?
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Y el último determinante resolvemos
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Esto sería 0, zeta, perdón, 0, 0, menos x, 0, 0, igual a 0, ¿vale?
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Luego ya tenemos las tres ecuaciones.
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Vamos ahora a ponerlas aquí como si fuera el sistema que hacemos normalmente, x más y más zeta igual 3, y el x menos x más zeta igual 0.
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Y ahora, ¿cómo lo resolvemos? Pues si lo queréis resolver por Gauss, pues directamente lo resolvemos por Gauss.
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O directamente podemos hacer de la última ecuación lo que yo obtengo aquí es que x es igual a z.
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Por lo tanto puedo sustituir en las de arriba y tendríamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
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Si la x y la z es la misma me quedaría, por ejemplo, sustituyo la z por x y que me quedaría 2x más y igual a 3
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Y en la segunda ecuación si sustituyo la z por x me quedaría x menos 2x, me quedaría menos x más y igual a 0
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y por ejemplo si resto
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me queda 2x menos x, 3x
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las x se me van, 3x igual a 3
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por lo tanto la x es igual a 1
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si la x es igual a 1, la z sabemos que también es 1
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y de la segunda ecuación
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que es lo que obtenemos, que la y es también igual a x
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por lo tanto la y también vale 1
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Fijaos que a veces podemos resolverlo, yo lo he hecho muy sencillo, por reducción,
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ni siquiera he aplicado Gauss ni nada.
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No tenemos por qué aplicar ninguna de las, o sea, lo podemos hacer directamente así.
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Y como lo que me estaban pidiendo es que determine las coordenadas del vector v,
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pues lo que contestamos es que v es el vector de coordenadas 1, 1, 1.
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Y ya estaría hecho.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
- Niveles educativos:
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- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Subido por:
- Francisca Beatriz P.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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- 1
- Fecha:
- 3 de abril de 2026 - 12:41
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 05′ 14″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 12.74 MBytes