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19-2-24BT1 - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

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Subido el 19 de febrero de 2024 por Francisco J. M.

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Bueno, ya he empezado a grabar, si alguien tiene algo en contra que lo diga y si no, pues ya consta que me gusta que todos estemos de acuerdo, que puedan compartir pantalla, aunque se vean algunas lágrimas de la lombra. 00:00:00
Bueno, toda esta evaluación es de funciones. Para eso necesitáis tener una base de lo que es tercero y cuarto, que hablamos el otro día, de saber dibujar una recta y una parábola. 00:00:18
No sé si os ha salido, lo habéis practicado. Y por otra parte, ejercicios de lo que es el dominio de una función. Podéis ir mirando ya ejercicios de examen porque ya hay cosas que han salido. 00:00:33
Cuando tenéis una función definida a trozos, tenéis que saber que conocen las funciones elementales. 00:00:44
Yo no voy a poner funciones raras, ni rarísimas, pero que sepáis que una función de primer grado es una recta, 00:00:59
una función constante es una recta que es horizontal, una ecuación de segundo grado nos da, por resultado, 00:01:08
como la gráfica, una parábola, ¿no? Y hoy veremos, bueno, la funcionalidad de inversa también la vimos en otro libro, ¿no? 00:01:16
que sale una hiperbola 00:01:25
que se llama la hiperbola 00:01:27
entonces, como ejemplo de 00:01:29
función a trozos 00:01:31
es muy importante 00:01:33
la función valor absoluto, para vosotros 00:01:35
los de ciencias sociales 00:01:37
no lo es 00:01:40
a ver, la función absoluta de un número 00:01:40
sabéis que consiste 00:01:44
en hacer 00:01:46
un cálculo y si el resultado es positivo 00:01:48
dejáis el número 00:01:50
tal cual, generalmente no se pone 00:01:54
el signo, ni más ni menos 00:01:56
y si el resultado es negativo 00:01:58
se le quita el signo y queda 00:01:59
un número que es positivo 00:02:01
porque es la distancia al origen 00:02:04
viene a la izquierda, viene a la derecha 00:02:06
¿no? entonces 00:02:08
¿cómo se pone 00:02:09
una función valor absoluto 00:02:12
como función definida? 00:02:14
si yo tomo la función 00:02:16
igual a valor 00:02:18
absoluto de x 00:02:19
yo creo que esto lo entendéis bastante 00:02:21
Bien, que si x es positivo cero, el valor absoluto del número es x. 00:02:24
¿No? 00:02:33
Y si el número es negativo, ¿qué tengo que hacer? 00:02:35
Cambiarlo de signo, ¿no? 00:02:40
Y sabéis que cambiar de signo es lo mismo que poner un número. 00:02:42
Esto analíticamente se tiene que escribir así. 00:02:47
No hay otra forma de analíticamente decir que cambió el signo. 00:02:50
Lo pongo menos delante y ya sé que se ha cambiado el signo, ¿no? 00:02:54
Bueno, entonces, yo tengo esta función que no es exactamente igual al valor absoluto de x, 00:02:58
sino que es el valor absoluto de x más 2. 00:03:03
Entonces, tengo que ver dónde el valor absoluto es mayor o igual que 0. 00:03:07
Y aquí volvemos a repasar esto. 00:03:14
Para la gente que le quedó la primera, vamos a repasar continuamente cuentas del curso anterior 00:03:17
que para resolver una inequación primero pongo la igualdad, la resuelvo y me queda x igual a menos 2. 00:03:22
Dibujo una recta. Hay gente que lo hace de otra forma, pero ya veréis cuando sean ecuaciones de segundo grado 00:03:35
este es el método 00:03:42
que se puede utilizar siempre 00:03:44
hay gente que dice 00:03:46
que despeja 00:03:47
manipulando inequaciones 00:03:48
como si fueran ecuaciones 00:03:51
pero yo prefiero que lo hagáis con intervalos 00:03:53
porque esto vale siempre 00:03:56
siempre 00:03:57
entonces, aquí 00:03:59
donde x es igual a menos 2 la función es 0 00:04:01
decidme un punto aquí 00:04:04
por ejemplo el 0 00:04:06
si x es igual a 0 00:04:09
me queda 0 más 2 que es positivo 00:04:11
o sea que aquí 00:04:13
es positivo 00:04:15
y si aquí por ejemplo 00:04:16
menos 3 00:04:22
menos 3 más 2 00:04:25
es menos 1 00:04:27
que es menor que 0, o sea que aquí la función 00:04:29
es negativa 00:04:31
vamos, la función, lo que hay 00:04:32
dentro del valor absoluto 00:04:35
conclusión 00:04:38
tengo la función igual a valor absoluto 00:04:39
de x más 2 00:04:43
esta función 00:04:44
como tal 00:04:48
como tal sería 00:04:50
bueno, tengo que distinguir 00:04:56
si x es mayor o igual que menos 2 00:04:59
o si x es menor que 2 00:05:03
¿qué pasa si x es mayor o igual que menos 2? 00:05:05
que esto es positivo, con lo cual esto lo dejo como está. 00:05:09
¿Qué pasa si x es menor que menos 2? 00:05:18
Que sale negativo, ¿no? 00:05:22
¿Qué tengo que hacer con esto? 00:05:24
Cambiarlo de signo, multiplicarlo por menos 1. 00:05:28
Si cambio de signo x menos 2, me queda menos x menos 2, ¿no? 00:05:31
Me salen dos rectas, que como vimos el otro día, para dar dos rectas, ¿cuántos puntos necesito? 00:05:37
Para dar una recta necesito dos puntos. 00:05:46
Pues decidme, para el primer trozo, ¿qué valor escogeríais? 00:05:50
El menos tres, el cero no, porque cero no es menor que menos dos. 00:06:00
y luego si os acordáis del otro día 00:06:05
a mí me gusta poner el menos 2 00:06:07
diciendo que es hueco 00:06:09
porque ahí es donde termina 00:06:11
la serie recta 00:06:15
entonces, si yo hago esta gráfica 00:06:16
bueno, no he sustituido 00:06:20
tengo que hacer 00:06:23
menos 3, o sea sería 00:06:24
menos menos 3 00:06:27
menos 2 00:06:29
que sale 00:06:31
sale 1 00:06:32
va a salir positivo siempre 00:06:34
porque es un valor absoluto 00:06:36
y menos 2 00:06:37
menos 2 sale 00:06:39
o sea que me saldría el 00:06:43
menos 2, 0, hueco 00:06:45
y el menos 3 00:06:47
menos 1 00:06:52
que va por aquí 00:06:53
es que pone menor que 2 00:06:54
claro, es que ahora lo voy a rellenar 00:07:04
en este caso sí 00:07:06
si te acuerdas el otro día 00:07:07
teníamos una función a trozos 00:07:09
y esa función a trozos había un sitio 00:07:11
donde se rellenaba y otro sitio 00:07:14
donde no se rellenaba 00:07:16
entonces eso depende 00:07:17
y ahora si cojo el otro trozo 00:07:18
¿qué valores tendría que tomar? 00:07:22
si pone x mayor o igual que menos 00:07:26
el 0 00:07:28
y el menos 2 también vale 00:07:31
y el menos 2 es bueno porque ahí es donde empieza a bajar 00:07:34
si x vale menos 2 sale 00:07:37
menos 2 más 2 que es 0 00:07:40
y si x vale 2 sale 00:07:44
0 más 2 que es 2 00:07:46
o sea que 00:07:49
el menos 2, 0 00:07:51
este punto ahora no es hueco 00:07:54
con lo cual se rellena 00:07:58
y luego me sale el 0,2 00:08:00
y me sale este trocito de 0, ¿sí? 00:08:02
Por entonces, que sepáis 00:08:07
que esto, sobre todo, 00:08:09
lo que más se usa 00:08:12
es esto de aquí. 00:08:13
Porque ahora, cuando os diga esto, 00:08:19
me vais a mandar a pasear. 00:08:21
Otra forma de pintar una función 00:08:23
valor absoluto es la siguiente. 00:08:25
voy a coger esta función. 00:08:28
Lo que pasa es que, a ver, a mí me interesa 00:08:33
que analíticamente sepáis describir 00:08:35
lo que es el valor absoluto. 00:08:37
Imaginaos que yo la pinto esta función 00:08:39
sin valor absoluto. 00:08:41
¿Sabéis pintarla? 00:08:44
¿Qué necesito? 00:08:46
Darle valores. 00:08:49
El dominio es r porque es una 00:08:50
función polinómica de primer grado, ¿no? 00:08:51
¿Y qué valores daríais? 00:08:53
el 0 y 1 00:08:54
si la x vale 0 00:08:59
¿cuánto vale? 00:09:01
0 más 2 que es 2 00:09:03
¿no? 00:09:05
y si la x vale 1 00:09:07
1 más 2 que sería 00:09:09
3 ¿no? 00:09:12
entonces si yo divido 00:09:15
si yo dibujo esta función 00:09:17
me sale el punto 00:09:19
0,2 00:09:23
Y me sale el punto 1, 3. 00:09:24
Me sale esta función, ¿verdad? 00:09:28
Esta es la función g. 00:09:31
Pues fijaos, ¿qué es tomar valor absoluto? 00:09:36
Que todo salga positivo, ¿no? 00:09:42
Esta función por aquí es positiva, ¿verdad? 00:09:45
¿Y qué tengo que hacer con esto? 00:09:48
Doblarlo y ponerlo para arriba. 00:09:51
y si os fijáis sale lo mismo 00:09:54
por ejemplo 00:09:57
si tuvierais que pintar 00:09:59
otro ejemplo 00:10:01
que no tiene nada que ver 00:10:02
otro ejemplo 00:10:05
si yo tuviera 00:10:09
que pintar el valor absoluto 00:10:11
de esta parábola 00:10:13
¿cómo lo haríais? 00:10:14
pues los dos cuernos los dejaríais así, ¿no? 00:10:24
¿Y qué tendréis que hacer con este gachito? 00:10:30
Darle la vuelta, ¿no? 00:10:34
Estas son cosas que os comento en cuanto a la función valor absoluto, 00:10:38
que es una función importante, pues que esto es lo que tenéis que saber para dibujarla. 00:10:44
Como os digo, podíais elegir directamente haber pintado esta función así sabiendo que es un valor absoluto, pero analíticamente es bueno que sepáis la forma. 00:10:51
Bueno, aquí viene una de las cosas que os cuesta más, que necesito explicaros para cuando hagáis la regla de la cadena, y es lo que se llama la composición de funciones. 00:11:03
A ver, yo puedo tener, por ejemplo, un producto, aplicarle un IVA y después aplicarle un descuento. Ahí estoy utilizando dos funciones. Primero le estoy haciendo una cosa y al resultado le estoy haciendo otra. 00:11:16
No se lo estoy haciendo al original, sino al resultado. Entonces, se llama composición de funciones, esto es un redondelito, el golf se dice a veces, que es g compuesto con f, cuando si se lo apliquéis a un número, 00:11:37
que al aplicarse a un número 00:11:54
tenéis primero que calcular 00:11:59
la función en ese 00:12:01
número, en ese valor, para ese 00:12:03
valor de la X y al resultado 00:12:05
le tenéis que aplicar la otra función. 00:12:07
Creo que me voy 00:12:10
a explicar mucho mejor 00:12:11
con el ejemplo. 00:12:13
A ver, vamos a pensar 00:12:16
por ejemplo. 00:12:17
Ejemplo. 00:12:20
Luego ya nos podemos acalcular. 00:12:21
A ver, si x es igual a 1, ¿sí? 00:12:24
Voy a llamar f compuesto con g de 1 a, cuidado, la de la izquierda se come a la de la derecha, ¿sí? 00:12:30
La de dentro es la primera que se hace, ¿sí? 00:12:41
Entonces, aquí tenéis que saber muy bien en cada momento que estáis aplicando. 00:12:45
Yo quiero calcular esto, ¿no? ¿Dónde lo busco? ¿En f o en g? En g, ¿no? Porque dice g de 1, ¿sí? Entonces, esto es f. ¿Y cuánto vale g de 1? 1 menos... 00:12:51
pero la X vale 1 00:13:11
¿cuánto es 1 menos 1 al cuadrado? 00:13:16
y ahora quiero calcular 00:13:21
F de 0 00:13:24
¿dónde busco F? 00:13:27
aquí en la F 00:13:31
¿y cómo calculo F de 0? 00:13:32
2 menos 00:13:38
7 por 00:13:39
y la x vale 0. 00:13:41
¿No? 00:13:44
O sea que este resultado vale 2. 00:13:45
Vamos a ver, por ejemplo, 00:13:51
cuánto vale 00:13:53
a ver si 00:13:54
lo hemos conseguido. 00:13:55
g compuesto con f 00:13:58
de 1. 00:14:00
¿Se pone dentro ahora? 00:14:02
¿g o f? 00:14:04
f dentro 00:14:07
Y al resultado, después, más adelante, le calcularé G. 00:14:08
Entonces, primero, calculo F. 00:14:17
¿Dónde lo calculo? ¿En la roja o en la naranja? 00:14:21
En la naranja, que es F, ¿no? 00:14:28
¿Sí? 00:14:30
Y entonces, ¿qué me saldría? 2 menos 7 por X. ¿Cuánto vale X? 1. ¿Lo veis? 00:14:31
Evelyn, si no lo veis, lo repito. Voy más despacio. 00:14:45
el 1 es que la x vale 1 00:14:47
este es el valor de la x 00:14:55
lo que siempre tienes dentro 00:14:57
de la f 00:15:00
es lo que tienes que sustituir 00:15:02
en la fórmula de la f 00:15:04
entonces esto si lo calculo 00:15:05
¿cuánto vale? 00:15:08
menos 5 00:15:10
ahora 00:15:11
tengo g 00:15:13
Ahora, la x vale menos 5 00:15:15
Y la g 00:15:18
¿Dónde la busco? 00:15:19
¿En la naranja o en la roja? 00:15:21
En la roja 00:15:24
¿Y qué tengo que hacer? 00:15:25
1 menos 00:15:27
Menos 5 00:15:28
Al cuadrado 00:15:31
Esto lo hacéis a mano 00:15:32
Con calculadora y salen 00:15:35
Los 24 00:15:37
Como veis no tiene nada que ver 00:15:38
F con g que es g con f 00:15:40
¿Vale? Bueno, pues ahora vamos a ver cómo se calcula. Una vez lo hemos visto con un ejemplo. Vamos a ver. F compuesto con g de x. ¿Qué pongo primero y qué pongo dentro? ¿Qué pongo fuera? 00:15:42
la f, ¿no? 00:16:05
Y aquí, la g 00:16:08
con la x, ¿sí? 00:16:10
Ahora, 00:16:13
esto, g de x, ¿cuánto 00:16:14
vale g de x? 00:16:16
¿Ya está puesto? 00:16:19
1 menos 00:16:21
x al cuadrado, ¿no? 00:16:22
Aquí no tengo que 00:16:25
sustituir en ningún valor. 00:16:26
1 menos x al cuadrado. 00:16:28
Y ahora, esto es lo que os cuesta más. 00:16:30
Tengo que hacer 00:16:33
f, ¿no? 00:16:34
¿Qué fórmula es? La primera, ¿no? 2 menos 7 por, y ahora, en vez de la x, ¿qué tienes que poner? 00:16:35
Lo que hay dentro de la f. ¿Y qué hay dentro de la f? 00:16:50
1 menos x al cuadrado 00:16:53
lo repito 00:17:00
tengo que hacer la composición de f y de g 00:17:03
la f se pone fuera y la g es la de dentro 00:17:06
que es la que se hace primero 00:17:10
la g como no tengo que sustituir 00:17:11
ya directamente tengo g de x 00:17:14
pongo 1 menos x al cuadrado 00:17:16
hasta aquí creo que es bien 00:17:17
y ahora, ¿cómo calculo f? 00:17:18
¿a qué forma me tengo que ir a la bf? 00:17:23
f es 2 menos 7 por x 00:17:27
pero es que resulta 00:17:29
que dentro de la f no tengo x 00:17:32
sino que tengo 1 menos x al cuadrado 00:17:33
entonces lo que estoy haciendo 00:17:36
es sustituir 00:17:38
esto de aquí 00:17:39
por la x 00:17:41
esto es lo que estoy 00:17:45
haciendo aquí 00:17:52
entonces, una vez hecho esto 00:17:52
se hacen las cuentas 00:17:54
¿cómo se hacen estas cuentas? 00:17:56
2 menos 00:17:59
7 por 1 que es 7 00:17:59
y menos 7 por menos x cuadrado 00:18:02
que es más 7x cuadrado 00:18:05
¿no? 00:18:07
bueno, yo como soy un maniático, pongo primero 00:18:08
el x cuadrado 00:18:10
y luego el término independiente, 2 menos 7 00:18:12
que es menos 5 00:18:14
intentamos 00:18:15
el BOF en vez del FOG? 00:18:20
BOF. 00:18:23
Bueno, pues ¿cómo hago esto? 00:18:30
Pongo primero la C 00:18:33
y dentro la F. 00:18:34
Ahora, ¿cuánto vale la F? 00:18:42
¿Estáis de acuerdo? 00:18:46
2 menos 7X. 00:18:47
Y ahora, antes de seguir, ¿cuál es la fórmula de la g? 00:18:51
1 menos x al cuadrado, ¿no? 00:18:59
Entonces yo pongo 1 menos, tendría que ser x elevado al cuadrado, ¿no? 00:19:02
Pero como no es x, ¿qué tengo que poner dentro? 00:19:10
2 menos 7x, 2 menos 7x, ¿sí? 00:19:16
Es que esto, al principio os hacéis un lío y por eso quiero ir despacio. 00:19:20
Bueno, aquí aplicáis las identidades notables o lo operáis como queráis. 00:19:26
Bueno, aquí la verdad que así es mejor usarlo así, pero voy a no operarlo porque ya lo he dicho con el ángulo. 00:19:31
Esto saldría menos 49x cuadrado más 14x menos 3. 00:19:41
¿No? Bueno, pues esto es la composición de funciones, el GOF y el FOG. Eso es especialmente útil. 00:19:50
A ver, voy a hacer 00:20:02
a ver cómo andamos el tiempo 00:20:13
voy a hacer la inversa 00:20:15
la exponencial 00:20:17
y la logaritmo 00:20:19
las simétricas 00:20:22
y tal, es bueno 00:20:24
que lo veáis pero no es 00:20:26
fundamental, voy a hacer 00:20:27
alguna más, aunque ya os digo 00:20:30
que lo más importante es la inversa, pero para la inversa hace falta que entendáis 00:20:32
esto un poquito. Vamos a ver. Tengo aquí f compuesto con g de x, ¿no? Como siempre. 00:20:36
Bueno, esto ya supongo que ya lo tenéis interiorizado. El FOX significa que primero hago la g y cuando 00:20:52
se pase el resultado se lo aplica a un f ¿no? ¿Qué pongo aquí? La g que tiene su 00:20:59
fórmula que es x cuadrado menos 2 partido por 3. Y ahora atención a esto. Tengo que 00:21:10
hacer es que es f la raíz de 3 por x más 2 no y tengo que poner aquí 00:21:19
en vez de la equis tienes que poner lo que hay dentro siempre es lo mismo 00:21:35
es que creo que te vas a ir a la inversa 00:21:39
que es lo siguiente que vamos a ver 00:21:55
bueno, aquí este ejemplo 00:21:57
está puesto con mucha intención 00:22:01
porque este 3 multiplicando y este 3 dividiendo 00:22:04
¿qué hacen? se van, ¿no? 00:22:07
¿Y cuánto es x cuadrado menos 2 más 2? 00:22:10
¿Y cuál es la raíz de x cuadrado? 00:22:15
Aquí podríais decir, es más menos x. 00:22:18
Os recuerdo que en funciones y en general en la vida, si no pone nada adelante se supone que es la positiva. 00:22:22
Atención, hemos conseguido una función que al hacer la composición me devuelve la x. 00:22:31
¿qué quiere decir eso? que lo que hace la G 00:22:37
lo deshace la F 00:22:40
¿no? 00:22:42
a mí la G me manda a un sitio 00:22:44
y esa G 00:22:46
y se le aplico la F 00:22:47
me vuelvo a donde estaba 00:22:50
pues atención, que esto es para 00:22:52
que entendáis lo que es una inversa 00:22:54
a ver, esto es 00:22:59
G de F de X 00:23:01
¿no? 00:23:03
vale 00:23:05
¿qué pongo aquí? 00:23:05
la raíz de 3x más 2 00:23:07
y ahora, esto es la parte que más nos cuesta 00:23:13
g, ¿qué fórmula tiene? 00:23:15
x al cuadrado menos 2 00:23:19
partido por 3 00:23:22
pero en vez de la x, ¿qué tengo que poner aquí? 00:23:23
raíz de 3x más 2 00:23:28
¿no? 00:23:30
atención, ¿qué pasa con el cuadrado y la raíz? 00:23:33
que se van 00:23:35
o sea que esto es 3x más 2 00:23:37
menos 2 partido por 3 00:23:40
¿qué pasa con el 2 y el menos 2? 00:23:42
que se van 00:23:45
¿y cuánto es 3x partido por 3? 00:23:46
bueno, pues esta es la definición 00:23:50
f y g 00:23:53
son inversas entre sí 00:23:55
O sea, que f es la inversa de g y g es la inversa de f. 00:23:59
Bueno, he puesto este ejemplo para que veáis lo que es la definición de función inversa. 00:24:11
Y lo que es muy habitual que os caiga es que calculéis una función inversa. 00:24:20
Bueno, como os he dicho, una función de f en la norma 1, esta es la que funcionaba antes como g. 00:24:29
g es la función de f cuando al componer las dos y aplicárselo a la x, vuelvo a la x. 00:24:38
¿Sí? Entonces, vamos a ver dos ejercicios de inversa que son muy típicos, que son los que más me gustan a mí. 00:24:45
Y si veis el examen del año pasado, se dirige el examen de este. 00:24:52
A ver, ¿cómo se calcula una función inversa? 00:24:55
¿Cómo calculo una función inversa? 00:25:09
Pues lo que voy a hacer es lo siguiente. 00:25:13
Primero, cambio x, la x por la y. 00:25:17
Y segundo, despejo Y. 00:25:25
En este ejemplo creo que se va a ver bastante claro por qué se hace esto. 00:25:32
A ver, yo tengo esta función que es Y igual a 7X más 5, ¿no? 00:25:39
Primera parte, donde está la X pongo la Y, donde pongo la Y, donde está la Y pongo la X, ¿no? 00:25:45
Y ahora, segunda parte 00:25:51
¿Cómo despejo la Y? 00:25:56
Yo como soy un maniático 00:26:01
y la Y está positiva 00:26:03
la dejo aquí 00:26:04
Entonces aquí ¿qué pondría? 00:26:05
X menos 5 00:26:09
¿Sí? 00:26:11
Y ahora, ¿cómo despejo la Y? 00:26:12
X2, X menos 5 00:26:16
partido por 7 00:26:18
¿Sí? 00:26:20
Bueno, pues la función inversa de f, de x, perdón, f-1 de x es x-5 partido por c. 00:26:21
Os dejo como ejercicio que lo comprobéis. 00:26:35
esto tiene bastante lógica 00:26:38
que es 00:26:44
lo inverso 00:26:45
de multiplicar 7 00:26:48
y al resultado sumarle 5 00:26:50
pues coger 00:26:52
ese resultado 00:26:54
restarle 5 y a lo que me queda 00:26:56
estamos haciendo lo mismo pero al revés 00:26:58
bueno, estamos haciendo 00:27:00
no lo mismo sino lo estamos haciendo 00:27:02
al revés 00:27:04
entonces, este es el ejemplo 00:27:04
habitual para que veáis 00:27:08
un ejemplo sencillo 00:27:10
yo tampoco me meto 00:27:12
en grandes 00:27:14
en grandes fregados pero 00:27:15
esto para mí 00:27:20
os sirve para 00:27:21
estudiar la primera evaluación 00:27:24
y la segunda 00:27:27
pero vais teniendo ya una 00:27:28
claridad de cómo se hacen las cuentas 00:27:30
porque es importante 00:27:32
para este año y para el próximo 00:27:34
Entonces, yo quiero hacer la inversa de esta función. 00:27:36
Esta función es y igual a 4x menos 3 partido por 7x más 5. 00:27:41
¿Qué es lo primero que tengo que hacer? 00:27:49
¿Dónde está la x? 00:27:53
Pongo la y. 00:27:57
¿Dónde está la x? Pongo la y aquí. 00:28:01
Y ahora, esto está muy bien para ir repasando. Cuando yo tengo esta ecuación, ¿qué tengo que hacer con el denominador? Quitarlo, ¿no? Lo que está dividiendo pasa a multiplicar. 00:28:05
esto os diría que lo repasaréis 00:28:21
con más de una función, hay algún ejemplo 00:28:28
porque esto es bastante indicador de que 00:28:30
denomináis muchas cosas, después de quitar los denominadores 00:28:33
se quitan los paréntesis 00:28:36
7xy más 5x 00:28:40
igual a 4y menos 3 00:28:43
y aquí no me tengo que olvidar del objetivo 00:28:46
¿qué es lo que quiero despejar? ¿la x o la y? 00:28:48
No, no es la Y. Acuérdate de lo que os he puesto antes. Cambia la X por la Y, pero luego me interesa despejar la Y. 00:28:51
Entonces, todo lo que tenga ahí lo paso al primer miembro y todo lo que no tenga ahí lo paso al segundo miembro. 00:29:01
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que tengo dos Ys. ¿Se os ocurre hacer algo? 00:29:13
no, porque 00:29:21
sí, pero entonces este 4 00:29:24
¿qué hago? 00:29:27
no, no se puede 00:29:28
para pasar dividiendo 00:29:29
tienes que sacar factor común 00:29:32
entonces 00:29:34
esto es 7x-4 00:29:36
y esto es 00:29:39
menos 3 menos 5 00:29:42
y ahora puedes pasar dividiendo 00:29:44
ahora podéis pasar dividiendo 00:29:46
es un factor 00:29:50
de todo el segundo mínimo 00:29:53
conclusión 00:29:55
la inversa 00:29:59
de la función g 00:30:01
es menos 3 00:30:03
menos 5x 00:30:05
partido por 7x 00:30:07
menos 1 00:30:09
y menos 4 00:30:10
y menos 4 00:30:12
ahora 00:30:15
¿Qué queréis comprobarlo? Yo os reto a que hagáis la comprobación. ¿Sabéis cómo se comprueba esto? Tenéis que hacer f con f-1 y os tiene que dar x. O f-1 con f también os va a salir x. 00:30:18
Si una función deshace lo que hace la otra, la otra deshace lo que no deshace la primera. 00:30:41
Bueno, como veis 00:30:49
tenéis ahí unas actividades propuestas 00:31:03
y que 00:31:05
básicamente es eso 00:31:07
cambio la X por la Y 00:31:08
y luego después voy 00:31:10
y ahora nos vamos a algo más ligerito 00:31:11
espero que sea más ligerito 00:31:15
porque 00:31:17
A mí me gusta mucho que tengáis las funciones en la cabeza cuando os diga una función que le preguntéis de qué familia es 00:31:19
y que ya la tengáis trabajada. 00:31:27
A ver, voy a hacerlo primero con números para que se vea más claro. 00:31:35
Bueno, una función exponencial no es lo mismo potencial que exponencial. 00:31:40
Por ejemplo, x elevado a 2 es una función potencial, porque es una potencia de x. 00:31:45
2 elevado a x es una función exponencial porque la x está en el exponente. 00:31:54
¿Sí? 00:31:58
Entonces, primera cosa, antes de escribir esto de aquí, tengo x e y. 00:31:59
¿Qué valores se os ocurriría darle? 00:32:08
Esto, siempre. 00:32:11
2. Vamos a dar valores negativos a ver qué es lo que pasa, ¿vale? Vamos a hacer esto. 00:32:15
Bueno, entonces, ¿cuánto es 2 elevado a 0? 00:32:24
Cualquier número elevado a 0 es 1. 2 elevado a 1. 00:32:30
2. 2 elevado a 2. 4. 2 elevado a menos 1. 00:32:35
O sea, que es 0,5. ¿Y 2 elevado a menos 2? 1 partido por 2 al cuadrado, que es un cuarto, que es 0,25. ¿Qué pasa si tomo elevado a menos 3? 00:32:40
que sale un octavo 00:32:59
cada vez sale más pequeño 00:33:04
pero sale positivo 00:33:06
¿y qué pasa si tomo 00:33:07
2 elevado, perdón 00:33:09
si la x vale 3 00:33:11
si tomo 2 elevado a 3 00:33:13
me sale 8 00:33:15
¿qué pasa con esta función? 00:33:18
a mi eso me encanta que lo digas 00:33:22
porque muchas veces cuando tenéis 00:33:31
una exponencial es muy bueno que sepáis 00:33:33
que nunca va a salir negativa 00:33:35
a ver, siempre pasa por aquí 00:33:36
porque cualquier número elevado a 0 00:33:39
es 1 00:33:43
luego tiene el punto 00:33:43
1, 2 00:33:47
2, 4 00:33:48
el 3,8 00:33:52
y a partir de aquí empieza a subir un montón. 00:33:56
Supongo que habéis oído hablar alguna vez del crecimiento exponencial. 00:34:03
Esto se dispara. 00:34:07
¿Y qué pasa por aquí? 00:34:09
Pues que está con el punto 1,5, 00:34:13
2, un cuarto, 00:34:17
3, un octavo. 00:34:19
como dices, es siempre positiva 00:34:20
pero nunca, ¿no? 00:34:23
se acerca mucho al cero, nunca llega a tocar 00:34:25
el cero, pero es así 00:34:27
¿no? 00:34:29
esta gráfica, yo creo que 00:34:30
no tiene ningún nombre técnico 00:34:33
más que la gráfica de la función exponencial 00:34:35
pero diríamos que tiene 00:34:37
como, parece un tobogán 00:34:39
¿no? 00:34:41
más o menos diríamos que es un tobogán 00:34:45
¿sí? 00:34:48
Bueno, el significado de la... 00:34:51
Voy a hacer dentro, con los mismos ejes, esta es la función igual a 2 elevado a x, ¿no? 00:34:54
Voy a coger ahora un... Bueno, ¿qué pasaría si fuera 3 elevado a x? 00:35:02
Que crecería mucho más todavía, ¿no? 00:35:06
Pero, ¿qué pasa si tomo igual a 0,5 elevado a x? 00:35:10
Voy a tomar los mismos valores. 0, 1, 2, menos 1, menos 2. ¿Cuánto es 0, 5 elevado a 0? Cualquier número elevado a 0 es 1. ¿Y 0, 5 elevado a 1? ¿Y 0, 5 elevado a 2? Sería 0, 25. 00:35:13
Y ahora, si no lo sabéis, hacerlo con la calculadora. ¿Cuánto vale 0,5 elevado a menos 1? 00:35:37
¿Cuánto vale 0,5 elevado a menos 1? 00:35:50
¿Cómo está? 00:35:53
¿Cómo puedo encontrarlo? 00:36:04
Es que no lo he utilizado con la calculadora. 0,5 le va a dar menos. 00:36:06
0,5 le va a dar menos. No, no, no, no. 00:36:11
¿Tiene algún problema esto? No creo. 00:36:14
¿Sabéis que es la flechita, no? 00:36:16
¿Os sale 2? 00:36:21
0.5 elevado a menos uno. 00:36:23
A ver qué pasa aquí. 00:36:32
1 elevado a menos uno. 00:36:34
Bueno, entonces, esto es de dos. 00:36:40
¿Sabéis por qué? 00:36:42
0.5 es un medio, ¿no? 00:36:44
Si lo eleváis a menos uno se le da la vuelta a la fracción. 00:36:46
Pues sale dos. 00:36:49
¿Y cuánto es 0.5 elevado a menos dos? 00:36:50
Pues tendrá que salir 4, ¿no? 00:36:53
Bueno, pues si veis los valores, si os fijáis, va a pasar por el mismo punto, va a pasar por el 1, 0, 5, el 1, 1 cuarto, y por aquí va por el menos 1, 2, y por aquí va por el menos 2, 4. 00:36:59
Si os fijáis, os sale la función simétrica respecto del eje de las líneas. 00:37:13
Entonces, si A es positiva, entonces es creciente 00:37:21
Y si A es negativa, la función es decreciente 00:37:28
¿Qué corte tiene con el eje de las X? 00:37:34
No tiene corte con la X 00:37:42
¿y qué corte tiene con OI? 00:37:44
efectivamente 00:37:54
con el eje OI 00:37:55
siempre tengo el punto 0,1 00:37:56
que es este 00:37:59
y luego por otra parte 00:38:01
por aquí como veis 00:38:05
va cada vez más empinada 00:38:07
pero nunca llega a ser vertical 00:38:09
pero por aquí 00:38:11
tiene una asíntota el eje o x o x os recuerdo que el eje o x tiene ecuación igual a cero porque la 00:38:13
altura es cero tiene una asíntota horizontal que de esto ya hablaremos próximamente cuando hablemos 00:38:24
de límites 5 si ya es mayor que cero la asíntota horizontal es por la izquierda y si es menor que 00:38:33
cero, la asíntota 00:38:44
horizontal es por la derecha. 00:38:46
Sí. 00:38:49
Pero con cinco es mayor que cero. 00:38:50
Porque es 00:38:54
anécdota. 00:38:54
Ay, perdón, perdón, perdón, perdón, 00:38:56
perdón, sí. Aquí es uno, 00:38:58
es uno, es uno. 00:39:00
Sí. 00:39:02
Cada vez que multiplico por algo mayor 00:39:04
que uno, va creciendo. 00:39:06
Cada vez que multiplico por algo menor que uno, 00:39:08
va decreciendo. Muchas gracias. 00:39:10
Muchas gracias. 00:39:12
Pues esta es la idea de lo que es la función exponencial, que la visualicéis. 00:39:14
Ah, y lo que me has dicho, que siempre insisto mucho, ¿no? Es que a elevado a x siempre es positivo. 00:39:19
Esto ya os lo comenté, creo, en la primera evaluación en las ecuaciones exponenciales, 00:39:36
Que si yo, por ejemplo, os digo a elevado a x, por ejemplo, si tenéis la función 2 elevado a x igual a menos 3, esto no tiene solución. 00:39:40
No sé si os acordáis de la primera evaluación, que nos podía salir esto, que si tenéis una potencia de base positiva, nunca puede el resultado ser negativo. 00:39:55
bueno, os dejo como ejercicio 00:40:05
que hagáis con la función 00:40:11
en realidad lo hemos hecho 00:40:13
porque un medio elevado a x es 0.5 elevado a x 00:40:14
pero bueno, lo podéis hacer con cualquier 00:40:17
otra función 00:40:19
y nos queda solo la función logaritmo 00:40:20
con lo cual 00:40:23
vale 00:40:25
vale 00:40:28
la función logaritmo 00:40:31
de x 00:40:33
A ver, aquí en la parte de funciones lo que me interesa es que os quedéis con la gráfica. 00:40:34
Pero, a ver, la primera cosa. 00:40:42
¿Cuándo existe el logaritmo de un número? 00:40:47
Para que exista el logaritmo. 00:40:55
de un número 00:41:04
debe ser mayor que cero. 00:41:07
¿En qué influye aquí esto? 00:41:24
Pues en que el dominio 00:41:26
de la función que tengo 00:41:28
es el intervalo 00:41:31
cero infinito 00:41:34
esto lo dije el otro día 00:41:35
cuando hablábamos de dominio 00:41:39
no sé si os acordáis 00:41:41
el dominio de una función polinómica 00:41:42
son todos los números reales 00:41:46
una racional, el denominador tiene que ser 00:41:48
distinto de cero y para una logarítmica 00:41:50
para una radical 00:41:52
el índice par tiene que ser 00:41:54
el radicando 00:41:56
positivo cero y para una logarítmica 00:41:57
lo que hay dentro del logaritmo 00:42:00
tiene que ser positivo estrictamente 00:42:01
no puede ser feo 00:42:04
entonces el dominio de la función logarítmica 00:42:05
es este 00:42:09
y ahora es importante 00:42:09
que sepáis que 00:42:12
la función logaritmo 00:42:14
en base 2 de x 00:42:16
es inversa 00:42:18
de la función 00:42:20
inversa 00:42:23
de la función 00:42:26
2 elevado a x 00:42:28
porque esa es la definición del logaritmo 00:42:29
en el fondo 00:42:34
y esto es lo fundamental 00:42:35
que sepáis que los números negativos 00:42:37
no tienen logaritmo 00:42:39
y además que sepáis esto 00:42:40
¿por qué? 00:42:43
vamos a ver 00:42:47
si yo tengo la gráfica 00:42:48
de la función exponencial 00:42:51
la gráfica de la función exponencial 00:42:52
la tabla, mejor dicho 00:42:55
Es 0, 1, 2, 1, 2, 2, 4, ¿qué más? 4, perdón, 3, 8, ¿no? 00:42:59
Bueno, pues si yo sé que esta función es inversa de esta, para hacer la tabla de la función logaritmo, ¿qué tengo que hacer? 00:43:14
Cambiar la x con la y. 00:43:23
O sea, que aquí ¿qué pondría? 00:43:27
En vez de 0, 1, 1, 0, aquí, 2, 1, 4, 2, 8, 3, así sucesivamente. 00:43:29
Si queréis repasar logaritmos, el logaritmo en base 2 de 2 es 1. 00:43:40
El logaritmo en base 2 de 4, que es 2 al cuadrado, es 2. 00:43:46
El logaritmo en base 2 de 8, que es 2 al cubo, es 3. 00:43:53
¿No? Os recuerdo un poquito de logaritmos porque esta es la definición de logaritmo. 00:44:00
Entonces, si yo dibujo 00:44:06
dibujo. La función 2 elevado a x la voy a volver a dibujar. Acordaos que pasa por aquí, 00:44:12
que pasa por aquí. 1, 2, 3 y 4 pasa por aquí. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 pasa por aquí. Esta 00:44:29
es la función exponencial. 00:44:40
Esto se me va un poquito así. 00:44:45
Vale. 00:44:48
A ver. 00:44:51
Y ahora cambio la x por la y. 00:44:59
Este es el punto 0,1. 00:45:02
Esta es la función igual a 2 elevado a x. 00:45:04
este es el punto 00:45:06
1, 0 00:45:10
este es el punto 00:45:13
si aquí tenía el punto 1, 2 00:45:15
este es el 2, 1 00:45:17
el punto 4, 2 sería este 00:45:18
el punto 8, 3 00:45:23
sería este 00:45:29
luego vendría el 16, 4 00:45:32
el 16.4 está por aquí 00:45:35
si os fijáis 00:45:42
lo que tiene el crecimiento 00:45:43
más lento del mundo es la función logarítmica 00:45:46
al revés que la exponencial 00:45:49
la exponencial es de crecimiento rápido 00:45:51
y la logarítmica es creciente 00:45:54
pero de crecimiento lentísimo 00:45:56
y si siguierais 00:46:00
seguiría por aquí 00:46:08
si le dais la tabla 00:46:10
si le dais la vuelta a la tabla 00:46:12
de la función exponencial, sale así 00:46:14
¿vale? entonces 00:46:16
ya he dicho que el dominio 00:46:18
son los números 00:46:21
reales positivos 00:46:22
¿no? 00:46:24
esta gráfica, esto es lo primero 00:46:26
Lo segundo es simétrica de f de x, que es 2 elevado a x. 00:46:28
¿Cuál sería el eje de simetría? 00:46:47
Esta recta, que si os fijáis, es y igual a x. 00:46:51
el espejo de cualquier función y su inversa 00:46:55
es igual a X, porque aquí es donde exactamente son iguales 00:47:00
y a partir de ahí cuando cambiéis una por otra 00:47:03
os haréis un complejo de una a la otra 00:47:06
y bueno 00:47:08
como pasaba antes 00:47:13
si A es mayor que 1 00:47:16
es creciente 00:47:18
y si A es menor que 1 00:47:20
es decreciente 00:47:25
ahora la voy a pintar con A menor que 1 00:47:26
¿sí? 00:47:28
bueno, pues esto es lo que tenéis que saber de la función logarítmica 00:47:32
importante, porque de esto ya hablaremos 00:47:35
el límite cuando x tiende a infinito 00:47:38
de la función exponencial es infinito 00:47:41
cuando x tiende a menos infinito es cero 00:47:43
¿sí? 00:47:48
lo veis, cuando yo me voy hacia menos infinito en la x 00:47:48
la función se acerca mucho al valor 0 00:47:53
esto ya de cara a los límites 00:47:56
el límite cuando x se acerca a 0 por la derecha es menos infinito 00:48:00
y el límite cuando x tiende a infinito de la función logarítmico es infinito 00:48:06
pero es un infinito que crece muy lentamente 00:48:12
pero esta función no tiene ningún tope 00:48:16
Bueno, pues estas son las cosas que a mí me gusta contar de las funciones porque se llaman familias de funciones y de lo que trata es que para vosotros sean como de la familia. 00:48:18
Bueno, entonces, para terminar, aunque lo dejo como ejercicio, pues la voy a esbozar nada más, que sepáis que si a es menor que 1, bueno, tiene que estar entre 0 y 1, 00:48:30
si yo dibujo la función exponencial 00:48:53
hemos dicho que si a es menor que 1 00:48:57
la función exponencial iba así 00:49:00
esto cuesta un poquito más verlo 00:49:03
os he dicho que esto tenía que ser simétrico con esto 00:49:09
el simétrico de este punto es este 00:49:18
el simétrico de este punto 00:49:21
sería este 00:49:26
el simétrico de este punto 00:49:29
pues sería este 00:49:34
es que esto es más difícil de ver 00:49:37
bueno, pues la función logaritmo 00:49:39
cuando la base es menor que 1 00:49:42
es muy clara, es así 00:49:45
tenéis que hacer un esfuerzo de imaginación 00:49:46
porque la cosa no es demasiado sencilla, pero si os fijáis, esta figura azul y la roja son simétricas con la recta igual a X. 00:49:50
Como os he dicho, como os he puesto en un ejercicio, hacedlo con una tabla de valores, repaséis logaritmos y así creo que la cosa se puede entender un poquito mejor. 00:50:02
en cuanto a 00:50:12
bueno, esto viene 00:50:16
en cuanto a lo que tenéis 00:50:18
que mirar de funciones 00:50:20
es importante 00:50:21
pero yo no suelo preguntarlo 00:50:24
lo que son las simetrías y las funciones 00:50:26
periódicas, el que pueda verlo 00:50:28
pues mucho mejor para él que también 00:50:30
pero 00:50:32
yo no suelo 00:50:33
preguntarlo y luego 00:50:35
en cuanto a lo que os digo 00:50:38
siempre 00:50:40
De preparar exámenes, pues vamos a ir viendo poco a poco, todos los días, lo que nos depara la tercera evaluación, porque esta evaluación tenéis que ser muy prácticos con el tema de asignatura, evaluación de las clases, preparación de exámenes. 00:50:41
Con la preparación de los exámenes tengo que colgaros que todavía no lo he hecho en los finales del año pasado, porque es que al final los exámenes de la tercera evaluación os sirven de referencia por repertorio de ejercicios. 00:51:07
pero 00:51:24
así como modelo de examen 00:51:26
yo creo que sirve más el final del año pasado 00:51:32
porque la tercera es un final en realidad 00:51:34
bueno, entonces, fijándonos en esto 00:51:36
¿sabréis calcular el dominio de una función con raíz 00:51:39
par o de una función racional? 00:51:43
¿sabréis calcular la inversa de esta función? 00:51:49
bueno, pues esto es lo que hemos visto hasta ahora 00:51:52
lo más importante. Bueno, sabéis representar esta gráfica 00:51:54
que hicimos en la matemática. Entonces, yo os diría 00:51:58
que ya vayáis viendo esto de aquí, para que os vayáis 00:52:02
viendo qué es lo que sabéis de lo que hemos dado, tal si 00:52:06
lo domináis o no. Como veis, dominio de una función 00:52:10
y dominio de una función racional. 00:52:13
Segunda parte, obten la función inversa. Y aquí he añadido 00:52:18
el apartado B 00:52:22
que tengo esta F 00:52:23
y una G que me he inventado 00:52:25
y que hagáis la composición 00:52:28
y que hagáis una 00:52:29
gráfica de una función 00:52:32
que como veis no pongo las más difíciles 00:52:33
del mundo, pongo una parábola 00:52:36
una recta horizontal y una recta 00:52:38
y de momento eso es lo que 00:52:39
esos son los ejercicios 00:52:41
más clave que tenéis que hacer 00:52:44
¿vale? 00:52:45
Bueno, no sé si tenéis alguna 00:52:48
pregunta o alguna cosa 00:52:50
No sé si os va a... 00:52:52
Dame directo si os sirven las grabaciones de... 00:52:54
Porque os subo. 00:52:58
No sé si las habéis visto alguna. 00:53:00
Pero sabéis entrar, ¿no? 00:53:03
Como os he explicado al principio. 00:53:05
En el aula virtual, en recursos generales... 00:53:07
Sí, sí, está grabada, sí. 00:53:11
Bueno, entonces, detenemos esta grabación. 00:53:15
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Autor/es:
Javier M.
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
12
Fecha:
19 de febrero de 2024 - 19:19
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES LOPE DE VEGA
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
61.26 MBytes

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