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Deducción de la ecuación de un dioptrio esférico - Contenido educativo

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Subido el 7 de noviembre de 2020 por Àngel Manuel G.

137 visualizaciones

En este vídeo nos basamos en la ley de Snell y la aproximación paraxial para poder deducir la ecuación del dioptrio esférico que nos indica dónde se nos van a formar las imágenes en función de dónde se sitúen los objetos.

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En este vídeo vamos a deducirnos la ecuación de un dioptrio esférico. 00:00:05
Tenemos representado aquí un dioptrio esférico en el cual tenemos un punto P en el primer medio con índice de refracción n 00:00:09
y su imagen P' en el segundo medio que tiene índice de refracción n'. 00:00:16
También hemos dibujado ya la distancia objeto, la distancia imagen, el radio de este dioptrio. 00:00:22
tenemos dibujada esta altura I, que es la altura donde inciden los puntos 00:00:28
y tenemos dibujados los ángulos que vamos a utilizar 00:00:34
En este caso, lo primero que vamos a hacer es relacionar los ángulos cita, fi y el ángulo de incidencia 00:00:38
Observamos que en valor absoluto este ángulo cita más el ángulo fi 00:00:50
más el ángulo este de aquí arriba, alfa, suman 180 grados porque están en un triángulo. 00:00:58
Y el ángulo de incidencia y el ángulo alfa en valor absoluto también suman 180 grados 00:01:10
porque con la normal forman 180 grados. 00:01:19
Combinando estas dos ecuaciones observamos que en valor absoluto i es igual a zita más fi. 00:01:23
Si recordamos los criterios de signos, el ángulo zita es un ángulo con el eje que gira en sentido horario, por lo tanto es un ángulo negativo. 00:01:34
El ángulo fi, al ser también un ángulo con el eje pero que gira en sentido antihorario, es un ángulo positivo. 00:01:46
positivo y el ángulo y es un ángulo con la normal que gira en sentido horario, por lo tanto es positivo. 00:01:52
Entonces nos queda que y y fi son positivos y cita es negativo. 00:01:59
Respetando el criterio de signos podemos escribir entonces que y es fi menos cita. 00:02:07
Le ponemos el signo menos para que nos quede positivo como en el valor absoluto. 00:02:14
A continuación vamos a relacionar los ángulos phi, zeta prima y r. 00:02:18
Para ello haremos el mismo razonamiento. 00:02:26
En valor absoluto, zeta prima más r más el ángulo beta suman 180 grados. 00:02:28
Phi más beta también suman 180 grados. 00:02:43
Los primeros porque están en un triángulo, los segundos porque están contra el eje. 00:02:51
Si relacionamos estas dos ecuaciones observaremos que zeta prima en valor absoluto más r coinciden con el ángulo phi. 00:02:59
Si ahora aplicamos los criterios de signos anteriores recordamos que r es un ángulo positivo porque gira en sentido horario hacia la normal, 00:03:13
phi ya hemos dicho antes que era positivo y zeta prima gira hacia el eje en sentido antihorario por lo tanto también es positivo 00:03:20
todos estos ángulos son positivos zeta prima r y phi y por lo tanto podemos escribir esta ecuación simplemente quitando el valor absoluto 00:03:27
y la reescribimos de esta manera porque la vamos a utilizar así a continuación despejando la r 00:03:40
muy bien, ahora que tenemos relacionados los ángulos con esta ecuación 00:03:49
y esta de aquí, podemos aplicar la ley de Snell 00:03:53
la ley de Snell, que nos dice, recordamos que 00:03:57
n por el seno del ángulo de incidencia 00:04:05
es igual a n' por el seno del ángulo de refracción 00:04:09
lo que vamos a aplicar además de la ley de Snell 00:04:14
es lo que se llama aproximación paraxial 00:04:19
aproximación paraxial 00:04:23
y esto lo vamos a hacer siempre que trabajemos en óptica geométrica 00:04:30
¿por qué? porque siempre que trabajemos en óptica geométrica 00:04:36
estamos considerando que nosotros somos los que estamos mirando 00:04:39
y al estar mirando no vamos a mirar desde un ángulo muy muy grande 00:04:41
si nos ponemos las gafas normalmente giramos la cabeza entera 00:04:45
para mirar una cosa y no miramos como de reojo 00:04:49
porque el ojo sale de la gafa entonces no lo vemos 00:04:51
si ponemos una lupa también ponemos la lupa justo entre medio 00:04:54
lo que queremos ver y nuestro ojo 00:04:57
Entonces consideraremos que todos los ángulos que existan en nuestro dibujo o que nos interesen van a ser pequeños. 00:04:58
Ángulos pequeños, recordamos que significa que x tiene que ser menor o del orden de 15 grados. 00:05:07
En este caso, la aproximación paraxial nos dice que el seno de este ángulo va a ser más o menos igual que el propio ángulo, 00:05:15
medido en radianes y va a ser más o menos igual 00:05:24
que la tangente de este ángulo 00:05:29
pues bien, podemos usar la aproximación paraxial 00:05:33
diciendo que el seno de I va a ser aproximadamente I 00:05:38
y que el seno de R va a ser aproximadamente R 00:05:42
entonces N por I será igual a N' por R 00:05:45
además podemos sustituir utilizando las ecuaciones que hemos deducido antes 00:05:53
el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción por sus valores en función de los ángulos del dibujo 00:06:00
y observamos que entonces n por phi menos zita va a ser igual a n' por phi menos zita' 00:06:08
Y ahora podemos ver que Φ es aproximadamente igual a la tangente de Φ. 00:06:19
Observamos que la tangente de Φ se puede hacer con este triángulo de aquí, en el que tiene la altura I y el cateto contiguo R. 00:06:31
Es cierto que I debería de partir del centro óptico, pero como todos los ángulos son muy pequeños, esta curva de aquí podemos considerar que es también muy poco pronunciada 00:06:41
y por lo tanto esta I es prácticamente como si estuviese en O. 00:06:50
Entonces esto de aquí es I sobre R. 00:06:56
Podemos hacer lo mismo con el ángulo cita. 00:07:02
Observamos que ahora el triángulo es S y I. 00:07:06
Entonces la tangente del ángulo cita va a ser I dividido entre S. 00:07:11
No debemos preocuparnos por el signo del ángulo cita, 00:07:19
es negativo porque S es negativa, pero ya lo hemos tenido en cuenta cuando aquí hemos 00:07:22
trabajado con valores absolutos, con lo cual esto tiene el signo adecuado. Por último 00:07:26
Z' va a ser aproximadamente igual a la tangente de Z' que si observamos el triángulo va a 00:07:31
ser I entre S'. Ahora que tenemos todas las tangentes descritas podemos ir sustituyendo 00:07:40
cada uno de estos ángulos y tendremos que n por y sobre r menos y sobre s va a ser igual a n' por y sobre r menos y sobre s'. 00:07:49
Observamos que todos los términos tienen y, por lo tanto esa y puede simplificarse y podemos reordenarlo de tal manera que s y s' queden en un lado 00:08:09
y el resto sea únicamente función del radio. Observamos que entonces nos va a quedar que n' sobre s' menos n sobre s es n' menos n dividido entre r. 00:08:18
Y esta de aquí es la ecuación de un dioptrio esférico. Podemos fijarnos que el lado derecho de la ecuación únicamente depende del dioptrio y de los índices de refracción de los medios, mientras que el lado izquierdo es el que tiene en cuenta el objeto y la imagen. 00:08:36
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Àngel M. Gómez Sicilia
Subido por:
Àngel Manuel G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
137
Fecha:
7 de noviembre de 2020 - 10:34
Visibilidad:
Público
Duración:
09′ 11″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
208.87 MBytes

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