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Ej 4.1 Mod 25-26 - Contenido educativo

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Subido el 15 de febrero de 2026 por Francisca Beatriz P.

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Hola, vamos a ver los ejercicios de la parte de álgebra del modelo de este año, de la EBAO. 00:00:00
A ver, en el apartado, bueno, me dan primeramente dos matrices de orden 2, 00:00:07
una de ellas la matriz A con un parámetro A desconocido, 00:00:11
y me piden en el apartado A que calcule los valores de A tales que la matriz A por A traspuesta sea una matriz diagonal. 00:00:15
Entonces, lo primero que tenemos que recordar es que es una matriz diagonal. 00:00:22
Una matriz diagonal es una matriz que tiene en la diagonal principal, es decir, aquí, números distintos de cero, 00:00:24
al menos alguno distinto de cero, y en todos los demás elementos tenemos que tener ceros, ¿vale? 00:00:33
Eso es una matriz diagonal. 00:00:39
Entonces vamos a empezar, lo primero que tenemos que hacer es calcular la matriz A por A traspuesta, luego por lo... 00:00:42
Empezamos calculando la traspuesta de A. 00:00:49
La matriz traspuesta es intercambiar filas por columnas o columnas por filas, ¿vale? 00:00:51
Entonces, a ver, la primera columna 2AA la ponemos en la primera fila, 2AA, 00:00:57
y la segunda columna la ponemos en la segunda fila. 00:01:03
Y ya tenemos calculada la matriz traspuesta. 00:01:07
Ahora calculamos el producto. 00:01:10
Recordad, el producto de matrices no es conmutativo, 00:01:11
luego tenemos que ponerlo en el orden que me lo piden, me piden A por A traspuesta. 00:01:15
Escribimos primero la matriz A, 2A menos 2A, 1, y lo multiplicamos por la matriz A traspuesta, que es 2A, A menos 2, 1. 00:01:21
Aunque supongo que ya lo sabéis, pero bueno, vamos a recordar un poco para multiplicar matrices, tenemos que comprobar que las columnas de la primera coincidan con las filas de la segunda, es decir, el orden de estas dos matrices es 2 por 2, porque son matrices cuadradas. 00:01:40
se pone siempre primero en la fila por la columna y en la segunda la fila por la columna 00:01:53
y lo que os he dicho, la columna de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda 00:01:59
y la matriz resultante tendrá por orden el número de filas de la primera por el número de columnas de la segunda 00:02:05
en este caso obviamente como son matrices 2x2 va a ser también una matriz 2x2 00:02:14
Bien, ¿cómo se multiplican matrices? Pues empezamos cogiendo la primera fila de la primera matriz y se la vamos a multiplicar por la primera columna de la segunda matriz, ¿vale? 00:02:18
Multiplicando primer elemento por primer elemento más segundo elemento por segundo elemento, ¿vale? 00:02:31
Por tanto sería 2a por 2a, 4a al cuadrado y menos 2 por menos 2 más 4. 00:02:36
ahora hacemos lo mismo que hemos hecho con la primera columna 00:02:43
lo multiplicamos por la segunda columna 00:02:49
2a por a, 2a al cuadrado, menos 2 por 1, menos 2 00:02:53
y ahora pasamos, si hubiera más columnas seguiríamos con más columnas 00:03:00
como no hay pasamos a la segunda fila y hacemos exactamente lo mismo 00:03:05
a por 2a, 2a cuadrado, 1 por menos 2, menos 2 00:03:10
y primera fila por segunda columna, a por a, a cuadrado 00:03:16
y 1 por 1, pues más 1, ¿vale? 00:03:21
¿Y qué es lo que queríamos? Que esta matriz sea diagonal 00:03:25
es decir, lo que queremos es que este elemento sea 0 00:03:28
y que este elemento sea 0 00:03:35
para que la matriz sea diagonal. 00:03:39
Justamente los dos elementos son iguales, por lo tanto lo único que tenemos que resolver es 00:03:46
2a cuadrado menos 2 igualamos a 0 para calcular el valor de a, 00:03:51
lo que es lo mismo que a cuadrado es igual, paso el 2 y lo divido entre 2, 00:03:57
me queda a cuadrado es igual a 1, es decir, a es igual a más menos 1. 00:04:02
Deberíamos también comprobar que efectivamente para estos valores 00:04:08
Al menos uno de los dos van a ser distintos de cero 00:04:13
Pero fijaros, como los dos son un cuadrado más un número 00:04:17
Nunca van a ser cero 00:04:20
Es decir, este va a ser siempre distinto de cero 00:04:22
Y esto va a ser siempre distinto de cero 00:04:26
Si no, de toda manera lo tendríamos que comprobar 00:04:28
Porque a lo mejor lo que obtendríamos es la matriz cero 00:04:31
Y no una matriz diagonal 00:04:35
Vale, bueno, pues entonces contestamos, a por a traspuesta, a por a traspuesta va a ser diagonal, si y solo si, a es igual a más o menos 1, ¿vale? 00:04:36
Y con esto ya sería el primer apartado. Para el apartado b, a ver, ahora ya lo que me están pidiendo es que calculemos los valores de a, nos tenemos que olvidar del apartado a, ¿vale? 00:04:53
O sea, los valores que hemos obtenido en el apartado A, ya me olvido, es como si esto fuera un ejercicio diferente, aunque sea la misma matriz, ¿de acuerdo? 00:05:04
Entonces me están pidiendo ahora calcular si existen los valores de A tales que A menos B por A más B sea igual a A cuadrado menos B cuadrado, ¿vale? 00:05:13
Y aquí seguro que me podríais decir, pero si esta es la expresión notable que sabemos que se verifica, que os la hemos estado explicando siempre, 00:05:29
sí, pero con números, ¿vale? 00:05:35
estamos con matrices, las matrices no son conmutativas 00:05:37
¿de acuerdo? 00:05:39
entonces tenemos que tener cuidado con eso 00:05:42
entonces una forma de hacerlo cuando me piden 00:05:43
un ejercicio de este estilo en el que tenemos 00:05:45
operaciones 00:05:47
la forma que siempre sale es 00:05:48
calculo la matriz a menos b, calculo la matriz a más b 00:05:51
multiplico las matrices, calculo 00:05:53
la matriz a cuadrado, calculo la matriz b cuadrado 00:05:55
la resto, igualo 00:05:57
y de ahí resuelvo el sistema 00:05:59
lo que me queda es igualando elementos a elementos 00:06:00
pero eso es bastante largo 00:06:03
A veces nos conviene operar un poco, es decir, vamos a hacer el producto de la izquierda, 00:06:05
teniendo cuidado con que no es conmutativo, es decir, lo escribimos en el orden que me lo dan. 00:06:12
A por A es A cuadrado, A por B, es decir, he hecho A por A y ahora voy a hacer A por B, más A por B. 00:06:17
Ahora multiplicamos por menos b, menos b por a es menos b a y menos b por b es menos b cuadrado, ¿vale? 00:06:28
Y esto es igual a a cuadrado menos b cuadrado, ¿vale? 00:06:40
Fijaos que con números a por b sería lo mismo que b por a y por lo tanto se me iría y me quedaría lo mismo a izquierda y a derecha, pero con matrices no 00:06:45
¿Qué ocurre? Que la matriz a cuadrado sí que la podemos restar, si pasa restando se me va con esta a cuadrado 00:06:52
Y la matriz menos b cuadrado si pasa sumando se me va con la otra 00:06:58
¿Vale? Por lo tanto, para que se verifique la propiedad que me están pidiendo 00:07:02
Es lo mismo que decir que a más b menos b por a tendría que ser cero 00:07:07
¿Vale? O lo que es lo mismo, lo que queremos demostrar es que a por b tiene que ser igual a b por a 00:07:14
Entonces, en lugar de demostrar lo primero, lo que voy a demostrar es si A por B es igual a B por A 00:07:21
Y fijaos que entonces me estoy ahorrando operar mucho con matrices 00:07:28
De la otra manera tendríamos que calcular más matrices 00:07:32
El resultado lo obtendríamos también bien pero tardaríamos más 00:07:35
Entonces lo primero vamos a calcular A por B 00:07:39
A por B es matriz A, 2A, A, menos 2, 1 00:07:42
por la matriz B, 1, menos 1, 2, 2. 00:07:48
Y esto sería como antes, son matrices cuadradas por 2, 00:07:56
pues se puede multiplicar. 00:07:59
2A por 1 sería 2A, menos 2 por menos 1, más 2. 00:08:00
Segunda, o sea, primera fila por segunda columna, 00:08:06
2A por 2 sería 4A, menos 2 por 2, menos 4. 00:08:08
A por 1, ahora paso a la segunda fila, ¿vale? 00:08:15
A por 1, A, y 1 por menos 1, menos 1, si en algún momento me confundo con filas y columnas, ya sabéis que es mi dislexia, ¿vale? 00:08:17
Y luego A por 2, 2A, y 1 por 2, 2, o sea, más 2. 00:08:25
Luego ya tenemos cuánto es la matriz AB. 00:08:31
Pues ahora vamos a calcular la matriz BA. 00:08:34
La matriz BA es poner delante 1, menos 1, 2, 2, primero la matriz B, 00:08:39
Y ahora la matriz A. 2A, menos 2, A, 1. Bien. Primera fila por primera columna, 1 por 2A, 2A, más 2 por A, 2A, 2A, más 2A, luego lo opero, ¿vale? 00:08:44
1 por menos 2, menos 2, menos 2 más 2 por 1 es 2 00:09:01
Lo podríamos operar directamente ya de cabeza, pero bueno, para que quede claro 00:09:08
Menos 1, ahora estoy en la segunda fila, ¿vale? 00:09:12
Menos 1 por 2a es menos 2a, más 2 por a, 2a 00:09:14
Y a ver, que me falta la segunda fila por segunda columna 00:09:19
Menos 1 por menos 2, menos 1 por menos 2 es 2, más 2 por 1 es 2 00:09:27
¿Vale? Si operamos, aquí me queda 2a más 2a es 4a, menos 2 más 2 es 0, menos 2a más 2a es 0 y 2 más 2 es 4. 00:09:33
¿Vale? Y ahora lo único que tenemos que hacer es igualar las dos matrices, ¿vale? 00:09:45
Uy, perdonad que esto está mal de antes. No sé qué hacía ahí. Es que he reutilizado una pizarra. 00:09:50
Venga, vale, entonces lo que queremos es que A por B sea igual a B por A, por lo tanto lo que hacemos es igualar las dos matrices, 2A más 2, 4A menos 4, A menos 1 y 2A más 2. 00:10:05
y lo que queremos es que esta matriz sea igual a la matriz 4A, 0, 0, 4. 00:10:21
Y, como sabéis, para que dos matrices sean iguales tienen que ser uno del mismo orden, son 2 por 2, eso lo cumplen. 00:10:31
Por lo tanto, lo que tiene que ocurrir es que cada elemento sea igual que el otro elemento, 00:10:38
es decir, el A11 tendría que ser el B11, ¿de acuerdo? 00:10:41
Bueno, por lo tanto lo que me queda es que el 2a más 2 es lo mismo que 4a, ¿vale? 00:10:45
Es decir, este elemento tiene que ser igual a este, ahora el otro, el elemento 1, 2 de ambos, 00:10:52
4a menos 4 tiene que ser igual a 0, el a menos 1 tiene que ser igual a 0 y el 2a más 2 tiene que ser igual a 4, ¿vale? 00:11:00
Fijaos, son cuatro ecuaciones y en las cuatro ecuaciones la única incógnita que tengo es la a 00:11:12
Para que se verifique lo que me están pidiendo, el valor de la a tiene que ser el mismo en las cuatro ecuaciones 00:11:19
Si en alguna de ellas tuvieran valores diferentes, o sea, en el momento que obtenga dos valores distintos de a 00:11:25
No existiría ningún valor para que se cumpla, ya que para que se cumpla todos tienen que ser el mismo 00:11:31
Resuelvo la primera ecuación y que me queda aquí 2 es igual a 4a menos 2a 00:11:38
es decir, 2a, por lo tanto la a es igual a 1, en esta me quedaría 4a igual a 4, por lo tanto a es igual a 1, 00:11:42
aquí me quedaría que la a es igual a 1 y por último 2a es igual a 4 menos 2 que es 2, por lo tanto a es igual a 1, ¿vale? 00:11:55
pues vemos que todos los valores de la a obtenido es la misma, por lo tanto, lo que sabemos ahora es que para que, o bueno, como tenía escrito antes, si a es igual a 1, 00:12:05
Bueno, entonces lo que ocurre es que a por b es igual a b por a, ¿verdad? 00:12:20
O lo que es lo mismo, lo que me pedían inicialmente, a menos b por a más b es igual a a cuadrado menos b cuadrado, ¿vale? 00:12:28
Pues ya lo tendríamos hecho, así el ejercicio. 00:12:42
Entonces recordad siempre que en este tipo de ejercicios, en los que me están pidiendo que calcule algo con diferentes matrices, siempre tenemos las dos opciones. 00:12:44
Bueno, hay veces que no hay más opciones que ponerme a operar con las matrices e igualar para llegar a un sistema del estilo que tenemos aquí, a este de aquí. 00:12:54
Pero hay veces que sí que es cierto que podemos operar previamente con las letritas para que todo sea más sencillo. 00:13:06
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
2
Fecha:
15 de febrero de 2026 - 13:29
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
13′ 14″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
37.57 MBytes

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