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Ecuación del plano usando determinantes - Contenido educativo

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Subido el 5 de mayo de 2025 por Carolina F.

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Bueno, siempre tenemos que tener un punto y dos vectores. 00:00:07
Si nos dan tres puntos, calculamos los dos vectores. 00:00:28
¿Te acuerdas cómo se hacía esto? 00:01:25
Casi siempre lo hemos hecho en dos dimensiones. 00:01:30
Por ejemplo, imagínate, el punto A, vamos a hacerlo en dos dimensiones nada más. 00:01:34
Tiene de coordenadas 2, menos 3, y el punto B tiene de coordenadas 1, 4. 00:01:43
Entonces, el vector que va de A a B, simplemente le restábamos las coordenadas. 00:01:55
Entonces, la primera coordenada del vector sería la primera coordenada de B menos la primera coordenada de A. 00:02:06
Y la segunda coordenada del vector es la segunda coordenada de B menos la primera de A. 00:02:13
4 menos menos 3 es 4 más 3. 00:02:20
O sea, sería menos 1, 7. 00:02:25
O sea, esto dibujado en los ejes de coordenadas, el punto A estaría en 2 menos 3. 00:02:33
Este sería mi punto A. 00:02:46
El punto B sería el 1, 4 00:02:47
Este 00:02:51
Entonces, el vector que va de A a B 00:02:59
Este vector 00:03:04
Sus coordenadas las hemos obtenido 00:03:05
La primera sería 1, menos 2 00:03:10
Y la segunda sería 4, menos 3 00:03:13
Entonces las coordenadas de este vector son menos 1, 7 00:03:16
Significa que cuando esta vaina 00:03:20
me he ido una posición a la izquierda 00:03:23
y después he subido 7 hacia arriba 00:03:26
bueno, esto lo hemos hecho en dos dimensiones 00:03:28
para poderlo ver también gráficamente 00:04:11
si fuese en tres dimensiones 00:04:13
lo único que pasa es que tenemos una coordenada más 00:04:15
para cada punto 00:04:18
y entonces para obtener el vector 00:04:19
tendríamos que restar la primera menos la primera 00:04:22
la segunda menos la segunda 00:04:25
y la tercera menos la tercera 00:04:26
pero el resto es exactamente igual 00:04:27
entonces nos pueden dar tres puntos 00:04:29
con lo cual con dos puntos calculamos un vector 00:04:34
y con otros dos puntos, cualesquiera, calculamos otro vector 00:04:37
pero siempre tenemos que tener un punto y dos vectores 00:04:40
voy a borrar todo esto 00:04:44
bueno, pues al punto le vamos a llamar 00:04:47
las coordenadas del punto P 00:04:59
las vamos a llamar de forma general 00:05:06
x0, y0 y z0. Y los vectores van a ser u, que va a tener de coordenadas u1, u2 y u3. Y el 00:05:09
vector v va a tener de coordenadas v1, v2 y v3. Entonces, con dos vectores y un punto 00:05:24
que se encuentra en el plano, vamos a calcular las ecuaciones del plano. 00:05:38
¿Qué es lo que ya sabíamos, lo que hicimos cuando resolvimos por primera vez 00:05:52
el ejercicio ese de las pruebas de acceso? 00:05:55
Pues sabíamos la forma general, las ecuaciones paramétricas, 00:05:58
que son como las de la recta, pero con una coordenada más. 00:06:02
Entonces, la ecuación paramétrica del plano, 00:06:08
como en el ejercicio de las pruebas de acceso no especificaba nada, 00:06:14
dijimos que quieren ecuaciones del plano 00:06:17
pues ponemos las paramétricas 00:06:20
que eran 00:06:21
x igual a x0 00:06:23
más 00:06:25
un coeficiente que lo podemos llamar 00:06:27
como queramos, yo lo voy a llamar a 00:06:29
por 00:06:31
la primera coordenada 00:06:32
del primer vector 00:06:35
más otro coeficiente 00:06:36
que lo vamos a llamar b 00:06:39
por la primera coordenada 00:06:40
del segundo vector 00:06:43
Y para la I, pues I0, que es la coordenada I del punto, más el mismo coeficiente A multiplicado por la segunda coordenada del vector, 00:06:45
más el mismo coeficiente B multiplicado por la segunda coordenada del otro vector. 00:07:12
El coeficiente este lo llamamos nosotros, A, B o C. Y cuando lo resolvamos, pues, aparecerá después un valor. 00:07:20
Venga, y para Z es Z0 más este coeficiente A por la tercera coordenada más el B por la tercera coordenada. 00:07:40
O sea, de aquí, de esto que estamos escribiendo, lo que se va a convertir en números son la X0, Y0, Z0, la U1, U2, U3 y la V1, V2, V3. 00:07:52
Esos van a ser números concretos. 00:08:03
Pero la A y la B son parámetros que a nosotros nos permiten obtener puntos que pertenecen al plano. 00:08:07
Entonces, no sé si tienes por ahí las soluciones de lo que habíamos hecho nosotros cuando resolvimos el ejercicio de las pruebas de acceso. 00:08:33
No sé si lo tienes por ahí a mano 00:08:41
Es hacer esto 00:08:44
Habíamos hecho solamente las ecuaciones paramétricas 00:08:45
Habíamos dicho, venga pues 00:08:48
Nuestra solución 00:08:49
X igual a 00:08:51
Y nosotros nos decían 00:08:56
El punto P es 00:09:04
Menos 3, 2, 6 00:09:05
El vector U 00:09:07
Es 2, 1 quinto 00:09:11
menos 1 00:09:16
y el vector v 00:09:18
era 0, 3, menos 5 00:09:20
¿lo encuentras? 00:09:23
da igual, te lo escribo yo 00:09:35
que no te preocupes 00:09:36
si lo hiciste en la misma hoja 00:09:37
entonces nosotros habíamos dicho 00:09:41
¿cuál es la ecuación del plano? 00:09:45
pues vamos a hacer la paramétrica 00:09:48
habíamos dicho 00:09:50
x igual a x0 00:09:50
Pues la primera coordenada del punto, menos 3, más a por la primera coordenada del vector, que es 2, más b por 0, luego ya no ponemos nada más. 00:09:54
La Y, pues, habíamos dicho, y es la segunda coordenada del punto, que es un 2, y ahora más un quinto por A, y ahora la siguiente, que era 3, por B. 00:10:09
Y así, la Z era 6 menos A menos 5B, ¿sabe? Y esta es la ecuación paramétrica del plano, perfectamente válido y si no, que no especifiquen que quieren otro tipo de ecuación del plano. 00:10:31
Bueno, pues vamos a hacerlo de otra forma, que nos permite obtener la ecuación del plano que luego es útil para seguir haciendo cálculos en geometría. 00:10:55
Entonces, ¿cómo sacamos la ecuación general del plano? 00:11:15
Pues vamos a plantear un determinante 00:11:24
A partir de la ecuación paramétrica vamos a pasar las coordenadas del punto al otro lado del igual 00:11:32
Estas de aquí las vamos a pasar a este lado 00:11:52
Es decir, aquí nos va a quedar x menos x cero y menos y cero z menos z cero, ¿vale? Y el resto lo dejamos tal cual, a por u1 más b por v1 más b por v2 y aquí tendríamos a por u3 más b por v3. 00:11:56
Y entonces, nuestro determinante va a ser este, x menos x cero, y menos y cero, z menos z cero, en la primera columna, en la segunda columna, u1, u2 y u3, y en la tercera columna, v1, v2 y v3. 00:12:27
O sea, lo que está aquí lo ponemos en la primera columna, aquí los números que forman las coordenadas del primer vector, en la segunda columna, y aquí los números que son las coordenadas del tercer vector, o sea, del segundo vector. 00:13:24
y este determinante 00:13:44
lo igualamos a 0 00:14:08
esto tiene que ver 00:14:12
con cuando resolvíamos sistemas 00:14:34
es que hace mucho tiempo que vimos eso 00:14:36
y decíamos 00:14:38
que si el rango 00:14:39
de la matriz tendría que ser igual 00:14:42
al rango de la matriz ampliada 00:14:44
cuando poníamos las soluciones 00:14:46
bueno 00:14:48
lo igualamos a 0 00:14:49
¿Vale? Que ahora no estamos con matrices. Yo creo que cuando lo repasemos la semana que viene lo acordarás. 00:14:51
Esto lo igualamos a cero porque en el fondo estamos resolviendo un sistema. ¿Vale? 00:15:03
Y entonces ahora vamos a resolver el determinante con la regla que hemos visto antes. 00:15:08
Vamos a coger este numerito y a multiplicarle por el determinante u2, v2, u3, v3. Vamos a hacer x menos x0 por u2, v2, u3, v3. 00:15:13
Claro, hay que resolver este determinante. 00:15:37
Bueno, este era positivo, pero el siguiente es negativo. 00:15:44
Y menos I0, y ahora el determinante que acompaña a este es U1, V1, y abajo U3, V3. 00:15:49
Y el último es positivo, más Z menos Z0, y aquí el determinante que queda es V1, V2, V2, y esto hay que igualarlo a 0. 00:15:58
Entonces, solo quiero que veas la estructura, que cuando escogemos este término, tachamos lo que hay en su fila y en su columna y el determinante que nos queda es lo demás. 00:16:19
y así con cada uno de los términos y acordarse de que el primero y el último van con un signo positivo 00:16:46
pero que al centrar hay que cambiarle el signo. 00:17:00
Bueno, pues resulta, esto ya no creo que salga en los problemas, 00:17:30
el resultado de este determinante va a ser un coeficiente que vamos a llamar a. 00:17:36
el resultado de este determinante va a ser un coeficiente que vamos a llamar b 00:17:40
y el de este va a ser un coeficiente que vamos a llamar c 00:17:45
y resulta que el vector a, b, c 00:17:49
el vector que tiene esas coordenadas 00:17:54
es perpendicular al plano 00:18:01
o si alguna vez nos lo preguntaran 00:18:04
vamos a hacer un ejercicio concreto 00:18:07
y luego resolvemos el de las pruebas de acceso 00:18:17
en este ejercicio 00:18:26
hallar la ecuación de un plano 00:18:55
que pasa por el punto 00:19:03
1, 1, 1 00:19:07
y tiene como 00:19:10
vectores 00:19:12
directores 00:19:13
1, menos 1, 1 00:19:15
y V 00:19:19
2, 3, menos 1 00:19:22
bueno, pues 00:19:26
El determinante que plantearíamos sería x menos la primera coordenada del punto, 00:20:21
aquí y menos la primera, la segunda, y aquí z menos la tercera, ¿vale? 00:20:35
Como son todos unos, pues fácil. 00:20:40
Ahora ponemos en la siguiente columna todas las coordenadas del vector u 00:20:42
y en la tercera columna todas las coordenadas del vector v e igualamos aquí y resolvemos. 00:20:47
a ver si me cabe aquí, haciéndolo un poco pequeñito, sería x menos 1 por el determinante, 00:21:12
menos 1, 3, 1, menos 1, menos y menos 1 por el determinante, 1, 2, 1, menos 1, z menos 1 por el determinante, 00:21:21
1, 2, menos 1, 3. Y esto igual a 0. Este determinante es menos 1 por menos 1, 1, menos 00:21:48
3, menos 2. Este determinante sería menos 1, menos 2, menos 3. Y este determinante sería 00:22:11
3 por 1 es 3, y luego menos 3 más 2 es 5. Entonces yo podría deducir ya mismo A es 00:22:21
menos 2, B es menos 3 y C es más 5. Y el vector menos 2 menos 3 es 5 sería un vector 00:22:42
perpendicular al plano, lo que pasa es que no lo quiero para nada en estos ejercicios. 00:22:53
¿Y ahora cómo hacemos esto? Pues ahora viene un problema de números enteros con el que hay que tener cuidado 00:22:58
Porque en definitiva tengo menos 2 por x menos 1 00:23:04
Como b es menos 3 y aquí había un menos, pues es menos por menos más y menos 1 por 3 00:23:14
Repito, esto es un menos pero vale menos 3 00:23:28
Entonces menos por menos pongo más 3 por y menos 1 00:23:32
Y ahora este es 5, pues más 5 por z menos 1 00:23:35
Igual a 0 00:23:41
Y ahora quitamos los paréntesis aplicando cada vez la propiedad distributiva 00:23:43
Menos 2 por x, menos 2x 00:23:51
Menos 2 por menos 1, más 2 00:23:54
Más 3 por i, más 3i 00:23:57
Más 3 por menos 1, menos 3 00:24:03
Más 5 por z, más 5z 00:24:06
Más 5 por menos 1, menos 5 00:24:11
Igual a c 00:24:15
Y ahora si agrupamos todos los números 00:24:18
Más 2, menos 3 y menos 5 00:24:28
Es menos 8, más 2, menos 6 00:24:32
Y ya tengo la ecuación del plano que busco, que es menos 2X, más 3Y, más 5Z, menos 6, igual a 0. 00:24:35
¿Te animas a hacer tú el de la prueba de acceso? 00:25:36
Venga, de este sistema, de esta forma. 00:25:40
Es el apartado C. 00:25:47
¿el determinante bien? 00:25:49
¿está ahí planteado? 00:27:31
vale, entonces sería 00:27:34
x más 3 00:27:36
por 00:27:37
y el resultado del determinante planteado 00:27:39
te da más 2 00:27:42
luego vendría menos 00:27:43
y menos 2 00:27:47
y el resultado de ese determinante 00:27:48
menos 10 00:27:51
beta menos 6 00:27:52
y el resultado de ese determinante 00:27:59
y esto igual a c 00:28:02
entonces resolviendo todo esto 00:28:04
saldría 2x 00:28:07
más 10y 00:28:11
más 6z 00:28:13
menos 50 00:28:15
igual a c 00:28:19
porque no os quería meter todo esto 00:28:21
porque solo piden la ecuación del plano 00:28:40
no especifican 00:28:42
entonces si piden una ecuación del plano 00:28:45
lo más fácil es poner las paramétricas 00:28:48
entonces no os quería 00:28:51
hablar de esta forma 00:28:52
otra vez de terminantes 00:28:54
todo este jaleo 00:28:55
si te acuerdas de hacerlo así 00:28:57
mejor así 00:29:02
¿cuál es la ventaja de hacerlo así? 00:29:03
fíjate que 00:29:09
esto responde a una forma 00:29:10
general del plano que es 00:29:12
ax más bi 00:29:14
I más C, Z más D igual a cero, que se parece mucho a la ecuación de la recta donde trabajamos habitualmente y a la hora de plantear sistemas y todo eso. 00:29:16
Entonces, por ejemplo, hay una ecuación muy sencillita que también nos podría pedir la distancia de un punto a un plano. 00:29:29
Imagínate que ahora te digo, esto ya es más ampliación todavía. 00:29:39
La fórmula sí la habíamos visto, incluso hemos hecho algún ejercicio, pero dándonos ya esta ecuación del plano y un punto. Por ejemplo, no sé si tienes a mano la hoja 3. La hoja 3, el ejercicio 9. 00:29:43
La hoja 3 de geometría, el ejercicio 9, decía, calcula la distancia del punto P0-3-2 al plano pi igual a tal. 00:29:59
Sí, la hoja 3, el ejercicio 9. Lo habíamos hecho en su día. 00:30:29
La fórmula es muy más fácil. 00:30:35
Distancia de un punto P con coordenadas X0, Y0, Z0. 00:30:52
A un plano y, escrito de esta forma general, era el valor absoluto, porque claro, puede salir positivo o negativo, pero la distancia es un valor absoluto. 00:31:03
Esto no es un determinante, es el valor absoluto del resultado de sustituir la x, la y y la z del punto en la ecuación del plano. 00:31:21
A por X0 más B por Y0 más B por Z0 más D. Esto en el numerador. Y en el denominador es la raíz cuadrada de A al cuadrado más B al cuadrado más C al cuadrado. 00:31:30
¿Vale? El de no, el término independiente. ¿De acuerdo? Entonces en ese ejercicio concretamente nos daban el punto 0, menos 3, menos 2 al plano y ya lo habíamos resuelto y habíamos aplicado esta ecuación. 00:31:50
Entonces, por ejemplo, si tenemos ahora esta ecuación de plano y te digo, calcula la distancia del punto 0, menos 3, menos 2 a este plano. 00:32:19
¿Cómo lo haríamos? Pues pondríamos arriba el resultado de sustituir x, y, y, z por estas coordenadas, 0, menos 3 y menos 2. 00:32:40
Con lo cual en el numerador de esto a lo que luego le tengo que hacer el valor absoluto tendría a mi plano es este, 2x más 10y más 6z menos 50, 2 por 0 más 10 por menos 3 más 6 por menos 2 menos 50. 00:32:53
Y en el denominador tendría que hacer la raíz cuadrada de 2 al cuadrado más 10 al cuadrado más 6 al cuadrado. 00:33:23
Se opera todo esto y de positivo o negativo me queda la distancia. 00:33:42
Me queda positivo porque estas dos rayas recuerda que es un valor absoluto no un determinado. 00:33:49
A lo mejor nos preguntan la distancia de un punto a una recta. 00:33:57
Fíjate, la distancia de un punto a una recta, también la habíamos visto en su día, 00:34:05
una recta tiene esta misma expresión, pero con un coeficiente menos. 00:34:11
Una recta tiene ax más bi más un posible término independiente. 00:34:16
entonces, en su día habíamos apuntado 00:34:22
que para calcular la distancia 00:34:26
de un punto a una recta se usaba 00:34:28
la expresión 00:34:29
ax0 más bi0 más 00:34:30
el término independiente 00:34:33
y aquí había uno menos 00:34:35
esta también la tenéis apuntada 00:34:37
bueno, pues vamos a hacer 00:34:39
hacemos ahora una pequeña pausa 00:34:56
y hacemos unos pocos ejercicios de todo esto 00:34:58
nos vamos a mover 00:35:00
con la hoja 3 y la hoja 4 00:35:09
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Educación de personas adultas
    • Bachillerato adultos y distancia
      • Primer Curso
      • Segundo Curso
Subido por:
Carolina F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
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Fecha:
5 de mayo de 2025 - 19:42
Visibilidad:
Clave
Centro:
CEPAPUB SIERRA DE GUADARRAMA
Descripción ampliada:
×
Duración:
35′ 20″
Relación de aspecto:
1.79:1
Resolución:
890x496 píxeles
Tamaño:
517.18 MBytes

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