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Derivabilidad y funciones a trozos - Contenido educativo

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Subido el 13 de abril de 2026 por Francisco J. M.

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Cómo estudiar la derivabilidad de u a función a trozos y por qué lo hacemos así

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Hola chicos, hola chicas. Vamos a estudiar en este vídeo la derivabilidad de una función a trozos. 00:00:00
Vamos a ver cómo se estudia y por qué lo hacemos así. 00:00:07
Entonces, en este caso, vamos a estudiar la derivabilidad de esta función que tenéis ahí escrita, 00:00:11
que es una función a trozos, con dos trozos. 00:00:17
Veis que cada uno de los trozos es un polinomio de segundo grado. 00:00:19
Su representación gráfica será entonces un trozo de parábola. 00:00:24
La representación gráfica de la función es lo que tenéis a la derecha. 00:00:28
Entonces, como cada trozo es un polinomio de segundo grado, sabemos que los polinomios son funciones que son continuas y derivables en todos sus puntos, 00:00:34
entonces la función va a ser continua y derivable en todos sus puntos, excepto quizá en el punto 2, que es donde estoy cambiando de una función a otra, en el punto de ruptura, en x igual a 2. 00:00:44
Ese es el punto que tenemos que estudiar porque es el punto que puede ser un poco problemático. 00:00:55
En el resto de puntos la función seguro que va a ser continua y derivable. 00:01:00
Entonces lo primero que tenemos que averiguar es si la función es continua en x igual a 2 00:01:06
porque si en ese punto la función no fuera continua pues seguro que no va a ser derivable 00:01:11
y yo no habría que seguir haciendo nada más. 00:01:17
En la gráfica veis que efectivamente en x igual a 2 la función es continua, ¿cómo se haría esto sin representar la gráfica? 00:01:19
Bueno, yo voy a dar por supuesto que esto ya lo sabéis hacer, lo que tendríamos que hacer es calcular el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha y por la izquierda 00:01:27
y comprobar que esos dos límites son iguales. Entiendo que ya si estamos estudiando la derivabilidad, ya hemos estudiado previamente cómo determinar la continuidad en un punto y que esto ya lo sabemos hacer. 00:01:36
Entonces, ya hemos determinado que la función es continua en 2, ¿cómo veríamos si la función es derivable? 00:01:50
Porque fijaros que en el 2 es un punto raro, ¿no? La función, la gráfica de la función tiene ahí como una especie de pico, ¿no? 00:01:55
Vamos a ver si la función es derivable. 00:02:01
Para hacer esto, en principio, ¿estrictamente qué habría que hacer? 00:02:03
Pues habría que aplicar la definición de derivada, ¿vale? 00:02:06
Es decir, tendríamos que ver si el límite cuando h tiende a 0 de f de 2 más h menos f de 2 partido por h, que sería la definición de la derivada en 2, si este límite existe y da un número, ¿vale? 00:02:09
Y fijaros, para ver si este límite existe, en este caso tendríamos que hacer ese límite por la derecha y por la izquierda, calcular los dos límites laterales, ¿vale? 00:02:26
Porque la función por la derecha y por la izquierda del 2, pues son distintas, ¿vale? 00:02:35
Entonces tendríamos que calcular esos dos límites laterales. 00:02:39
En principio, esto es un límite que suele ser engorroso, ¿vale? 00:02:42
Entonces lo que vamos a ver es cómo hacemos esto de otra manera para no tener que calcular todo el rato este límite 00:02:47
y vamos a ver por qué lo podemos hacer así. 00:02:53
Entonces, para ello vamos a recordar brevemente qué significa la derivada de una función en un punto, ¿vale? 00:02:56
La derivada de una función en un punto es la pendiente que tiene la recta tangente a la función en ese punto, ¿vale? 00:03:02
Y esta definición sí que es importante. 00:03:10
Entonces, por ejemplo, si yo quisiera ver la derivada de esta función en el 1, 00:03:13
fijaros que aquí ya tengo el punto marcado en x igual a 1, 00:03:17
pues fijaros que tendría que hacer, dibujar su tangente, ¿vale? 00:03:21
La tangente en x igual a 1 y ver cuál es la pendiente de esa tangente. 00:03:25
Aquí vemos que el número que multiplica la x es 0,5 o aquí que lo tenemos representado en este triangulito la pendiente también vemos que la pendiente es 0,5 y eso significa que la derivada de esta función en x igual a 1 sería 0,5. 00:03:29
Si hiciéramos eso analíticamente, tendríamos que calcular la derivada de la función en el 1, entonces para eso voy a derivar el tramo que le corresponde al 1, que sería el primero, tendríamos que hacer la derivada de esta función y evaluarla en x igual a 1, si la derivamos, esto nos daría un cuarto por 2x y la derivada de 1 sería 0, un cuarto por 2 es un medio, nos daría un medio de x, 00:03:47
Todo esto evaluado en x igual a 1, ¿vale? Y si yo un medio por x sustituyo x igual a 1, pues me queda un medio. 00:04:16
¿Veis que es lo que nos sale? Nos sale que la derivada es un medio, 0,5, que es lo mismo, ¿vale? 00:04:25
Entonces, lo importante es que la derivada de la función en ese punto viene dado por la pendiente de esta recta. 00:04:32
Vale, ¿qué pasa si yo intento dibujar la tangente en el punto x igual a 2? 00:04:40
Pues veis que es difícil porque es un punto raro, ¿no? 00:04:46
Pero mirad, fijad, lo que ocurriría si yo cojo el punto A, ¿vale? 00:04:49
Y lo voy moviendo hacia el 2, hacia x igual a 2, ¿vale? 00:04:53
Fijaros, ahora x vale 1,47, lo voy acercando poco a poco. 00:04:57
Fijaros que en este caso la pendiente de la tangente va aumentando, ¿vale? 00:05:01
Aquí valdría ya 8,9, ¿vale? 00:05:05
Si lo voy acercando más, pues fijaros, aquí ya vale 0,94 cuando x vale 1,89, ¿vale? 00:05:08
Fijaros, entonces, si yo lo voy acercando al 2, al 2, al 2, pues la pendiente de la tangente, es decir, la derivada en ese punto, se iría acercando a la derivada en 2. 00:05:17
Cuanto más cerca esté la x del 2, más se parecerá esta pendiente a lo que valdría la derivada en 2. 00:05:30
pero fijaros, me estoy acercando por la izquierda, ¿vale? Entonces, esto sería la derivada por la izquierda, es decir, la que me daría ese límite 00:05:38
que hemos dicho que no íbamos a calcular cuando h tendría cero por la izquierda, ¿vale? Esto sería la derivada por la izquierda. 00:05:45
Fijaros, si yo este trozo de la función por la izquierda, ¿vale? Este trozo de x igual a 2 lo dibujara del todo, es decir, 00:05:53
Como si la función no fuera una función a trozos, sino que la función fuera sólo el primer trozo, fijaros, lo que me quedaría es la gráfica continuaría por aquí y si yo calcular ahora la pendiente en el 2, que es lo que está dibujado con una línea verde, lo que está dibujado con una línea verde es la tangente de esta gráfica, de esta parábola en x igual a 2. 00:06:02
Pues fijaros, lo que me sale es que la tangente es y igual a x, ¿vale? 00:06:27
Y por tanto, la pendiente en ese punto es 1, ¿vale? 00:06:33
Fijaros, esto es a lo que entendería si yo dibujo las dos cosas. 00:06:37
Fijaros que cuando el punto se acerca al 2, ¿vale? 00:06:41
La recta roja se acerca a la verde, ¿vale? 00:06:45
Cuanto más cerca está la x del 2, ¿vale? 00:06:48
Ahora vale 1,95 más la recta roja se acerca a la verde, ¿vale? 00:06:53
Eso quiere decir que la recta verde me da el límite de la recta roja cuando x tiende a 2 por la izquierda, ¿vale? 00:06:58
Entonces, esto sería la derivada por la izquierda. 00:07:07
Vale, ¿qué ocurriría por la derecha? 00:07:13
Mirad, ¿qué ocurriría si yo pongo el punto ahora a la derecha del 2 en vez de la izquierda? 00:07:15
Pues veis que la recta tangente ha cambiado. 00:07:19
Fijaros, y si yo me acerco ahora al 2 pero por la derecha, ¿vale? 00:07:22
Veis que la pendiente de la tangente, en este caso me sale negativa, ¿vale? 00:07:28
Y se va acercando, parece a 0,5 00:07:32
Fijaros que si yo pongo justo el punto en el 2, la recta tangente desaparece 00:07:34
Ahora veremos por qué 00:07:38
¿Vale? Entonces, fijaros, ¿a quién se parece cada vez más esta tangente cuando yo me acerco al 2? 00:07:39
Pues, fijaros, si yo dibujara toda la parábola correspondiente a ese trozo, ¿vale? 00:07:46
Pues la recta tangente, si yo la voy moviendo, se parece más a la verde, que es exactamente la pendiente de la recta tangente en x igual a 2 de la parábola completa, ¿vale? 00:07:52
Ahora es que cada vez se parece más. ¿Y esto qué sería? Pues esta recta tangente, la pendiente de esta recta tangente, la verde, sería la derivada de esa función en x igual a 2, porque sería la tangente de esa parábola en x igual a 2. 00:08:05
Vale, entonces, en definitiva, a efectos prácticos, ¿qué es lo que hago para calcular si la función es derivable en ese punto? 00:08:26
Pues, mirad, yo voy a calcular la derivada de cada trozo, ¿vale? De cada trozo de esa función 00:08:34
Que ya hemos visto que es un medio de x si x es menor que 2, ¿vale? 00:08:42
Y en este caso, fijaros, me quedaría menos un octavo por dos la derivada, que sería menos un cuarto de x, más la derivada de una constante, que es cero, ¿no? 00:08:51
Si x es mayor que dos, ¿vale? ¿Por qué pongo mayor y no pongo el igual? Porque en dos todavía no sé si la función es derivable o no, ¿vale? 00:09:02
Hasta que no sepa si es derivable no voy a poner el igual. 00:09:10
Fijaros, esta función, ¿qué me da? Pues me da lo que vale la derivada de esta función a trozos en puntos regulares. 00:09:14
Por ejemplo, si yo pusiera aquí el x igual a 3, ¿vale? Pues me daría la pendiente de la recta en 3, ¿vale? Sustituyendo esta función en 3, ¿vale? 00:09:20
Es decir, me está dando la recta, la pendiente de todas estas rectas que estoy dibujando aquí, ¿vale? Sustituyendo la x correspondiente. 00:09:30
Esta función me da la pendiente de todas estas rectas, ¿vale? Entonces, para calcular la derivada justo en el 2, ¿qué tengo que hacer? 00:09:39
Pues mirad, tengo que tomar, es decir, es como si yo esta recta la estuviera acercando cada vez más a 2, ¿vale? 00:09:47
Y veo la pendiente a que tiende. 00:09:55
Entonces, lo que tengo que hacer es el límite, es decir, perdón, antes voy a calcular la derivada por la derecha, ¿vale? 00:09:57
Como si fuera, perdón, por la izquierda, y lo voy a escribir así, la derivada por la izquierda en el 2, ¿vale? 00:10:07
Y lo voy a hacer como el límite cuando x tiende a 2 de esta función que acabo de calcular, ¿vale? 00:10:14
De la derivada de la función a trozos, ¿vale? 00:10:22
Entonces fijaros, como los trozos son funciones continuas, lo único que tengo que hacer es sustituir, ¿no? 00:10:27
Me quedaría un medio por 2 y esto sale 1, ¿vale? 00:10:34
Y esto sería la derivada por la izquierda, que fijaros que es lo que nos sale cuando yo dibujo esta recta verde, ¿vale? 00:10:42
Voy a quitar esto para... esta sería, veis que la tangente aquí en 2 me sale que tiene pendiente 1, es la recta igual a x, esa recta tiene pendiente 1, ¿vale? 00:10:49
Y ahora voy a hacer la derivada por la derecha, ¿vale? Entonces aquí calculo el límite cuando x tiende a 2 de la función derivada que acabo de calcular. 00:10:59
En este caso me saldría un cuarto por dos, que sale menos un medio. 00:11:12
Y fijaros que eso es lo mismo que me da la pendiente de la recta tangente, 00:11:18
si yo dibujara la curva entera y calculara la pendiente de la tangente en dos, ¿vale? 00:11:24
Esta recta no está puesto, pero vamos, se puede ver fácilmente que tiene pendiente un medio. 00:11:30
Mirad, aquí cuando la x aumenta dos, la y disminuye uno, ¿no? 00:11:37
Entonces esa recta tiene pendiente un medio, menos un medio, perdón, es decreciente, tiene pendiente negativa, ¿no? 00:11:41
La x aumenta 2, la y disminuye 1, tiene pendiente menos un medio. 00:11:49
Entonces, en definitiva, en este caso para calcular las derivadas laterales no hace falta que calculeis los límites usando la definición de derivada que hemos visto al principio, 00:11:53
sino que podemos calcular los límites laterales simplemente derivando cada uno de los trozos de la función, ¿vale? 00:12:04
Nos imaginamos que tenemos la función entera y vemos cuánto vale la derivada de esa función en el punto de cada uno de los trozos en el punto correspondiente, ¿vale? 00:12:14
Para que sea formalmente mejor, fijaros, como no sabemos si la derivada en 2 existe, pues escribimos el límite. 00:12:24
En este caso, fijaros, como las derivadas laterales no coinciden, estos números me saldría lo mismo que si hubiera utilizado la definición de derivada y hubiera calculado límites laterales. 00:12:32
En este caso, las derivadas laterales no coinciden, pues la función no es derivable en ese punto, ¿vale? 00:12:43
Para que la función sea derivable en ese punto, lo que tiene que ocurrir en este caso en x igual a 2, lo que tiene que ocurrir es que estas dos derivadas laterales me salgan el mismo número, ¿vale? 00:12:49
Es decir, que las dos tangentes laterales, ¿vale? Fijaros, cuando yo me acerco, a ver, cuando yo me acerco por aquí por la derecha y por aquí por la izquierda, 00:13:01
que esas dos tangentes rojas tendieran a ser la misma, ¿vale? Y las dos tuvieran la misma pendiente. 00:13:12
Aquí está claro que por un lado me sale una y por otro lado me sale otra distinta, de hecho por un lado es creciente y por otro es creciente, ¿vale? 00:13:17
Con lo cual los límites laterales, las derivadas laterales no van a poder ser las mismas, ¿vale? 00:13:25
Cuando este punto en vez de ser un pico es un punto suave, ¿vale? 00:13:32
Donde las dos tangentes tienden a ser la misma, entonces en ese caso es cuando la función es derivable. 00:13:36
Bueno, espero que hayáis entendido algo y el vídeo os haya servido un poco para saber para qué, 00:13:43
por qué calculamos así la derivabilidad de una función a trozos en el punto de ruptura. 00:13:49
¡Hasta luego! 00:13:56
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Francisco Javier Majadas Garcia
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
3
Fecha:
13 de abril de 2026 - 12:57
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
https://www.geogebra.org/m/fhusm9c2
Centro:
IES SAN ISIDRO
Duración:
13′ 58″
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
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Tamaño:
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