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División de polinomios - Contenido educativo

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Subido el 23 de noviembre de 2022 por Pablo L.

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Explicación de la división de polinomios para matemáticas de 3º de la ESO.

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¡Hola a todos! Hoy vamos a explicar la división de polinomios. Voy a contar los pasos teóricos 00:00:00
y a la misma vez, en paralelo, haremos un ejemplo. Después haremos otros ejemplos para 00:00:07
que quede bien claro, pero empezamos por aquí. Lo primero que tenemos que hacer es dividir 00:00:13
los monomios de mayor grado del dividendo, que es el polinomio que tenemos a la izquierda, 00:00:19
y el divisor, que es el que tenemos a la derecha, en la cajita. ¿Cuáles serían? Pues del dividendo 00:00:24
el polinomio de mayor grado es 10x³, y del divisor 2x². Si dividimos eso tendremos 00:00:31
menos 5x, y ese justamente va a ser el primer término del cociente, el primer término 00:00:38
que pongamos aquí, que es donde escribiremos el cociente. 00:00:44
El segundo paso, quizá el más complicado de todos, aunque veréis que tampoco es tanto. 00:00:48
Hay que multiplicar el término del cociente, el menos 5x, por cada uno de los términos 00:00:55
del divisor, y lo vamos a colocar cambiándole el signo, importante cambiar el signo, después 00:01:01
explicaré el por qué, lo escribimos debajo del dividendo. Entonces, si yo multiplico 00:01:07
el 5x por más 6, tengo menos 30x, y voy a escribir el menos 30x cambiándole el signo 00:01:14
debajo del dividendo. ¿De dónde? Pues del término que tenga x, es decir, que escribiré 00:01:22
30x y poniéndolo en positivo, sumándole un más. Multiplicaré ahora por menos 3x, 00:01:28
y obtendré más 15x², y lo vamos a escribir debajo de las x², pero ojo que 00:01:36
tenemos que cambiar el signo, menos 15x², y multiplicaré por último por el 2x², 00:01:44
para obtener un menos 10x², pero lo escribiremos con signo positivo debajo del 10, perdón, 00:01:52
aquí tendremos 10x³, lo escribiremos con signo positivo debajo del 10x³. Cambiar el 00:01:59
signo no es un capricho, la cuestión es que nosotros tenemos que restar, y al restar polinomios 00:02:05
lo que hacemos es cambiar el signo de todos los monomios. Si os dais cuenta, este proceso 00:02:13
es un proceso exactamente igual que el que hacemos con unas divisiones, pues con números 00:02:18
normales de toda la vida. ¿Qué hacíamos aquí? Pues decíamos 7 entre 2 a 3, y hacíamos 00:02:25
3x2, 6. No lo poníamos aquí porque lo hacíamos de cabeza, pero hacíamos del 6 al 7, 1. 00:02:32
¿Qué es hacer eso? Pues eso es poner el 6, cambiándole el signo, y operar ahí 7-6, 1, 00:02:40
y justamente ese paso de esa operación es el siguiente paso que vamos a tener. Después 00:02:47
de hacer estas cuentas, lo que tenemos que hacer es operar y bajar el siguiente término 00:02:54
de los siguientes términos del dividendo. ¿Qué quiero decir con eso? Pues que vamos 00:03:03
a hacer menos 36x más 30x para tener un menos 6x. 19x cuadrado menos 15x cuadrado 00:03:08
obtendremos 4x cuadrado, y fijaos que menos 10x al cubo más 10x al cubo se cancelan. 00:03:17
Bajamos el término 6, el que nos quedaba del dividendo, y repetiremos el proceso. Si 00:03:25
os dais cuenta, tenemos el primer caso, el dividendo, tenía grado 3. Ahora tiene grado 00:03:32
2. Pues vamos a ver que en cada pasito estamos bajando un grado, y vamos a parar cuando el 00:03:41
grado del divisor sea mayor que el grado de los restos que nos están saliendo. Ahora 00:03:51
tienen grado 2 y grado 2, así que todavía hacemos un paso más. Vuelta a empezar, 4x 00:03:58
cuadrado dividido entre 2x cuadrado, que será simplemente más 2, y repetimos otra vez 2 00:04:05
por 6, 2 por menos 3x, y 2 por 2x cuadrado. El segundo paso lo hacemos en este caso más 00:04:13
despacio para que se entienda bien, y tendremos 2 por 6, sale 12, pero cambiamos el signo, recordad, 00:04:24
menos 12. 2 por menos 3x nos sale menos 6x, pero cambiamos el signo, y 2 por 2x cuadrado que sale 00:04:31
4x cuadrado, pero cambiamos el signo a menos x cuadrado, y obtendremos, operando, ya el 00:04:43
final del polinomio. Tendríamos aquí un 0 aquí, un 0 aquí, esos dos se me van, y simplemente menos 6. 00:04:54
Ese es el resto de la división. Yo tengo que el cociente de mi división es menos 5x más 2, 00:05:03
y tengo que el resto es igual a menos 6. Si nosotros llamamos a este polinomio PDX al 00:05:14
dividendo PDX al divisor QDX, resulta que obtenemos igual que teníamos en los números esa prueba de 00:05:23
la división que nos dice que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. Eso, 00:05:31
en polinomios, también va a funcionar. Vamos con un ejemplo más. Este voy a hacerlo viendo 00:05:39
todos los pasos, y después haremos un par de ejemplos un poquito más rápido. Primer paso, 00:05:51
menos 6x al cubo dividido entre menos 2x. Lo dividimos. Si necesitamos escribirlo, 00:05:58
pues nos lo escribimos. Ahí tendríamos 3x cuadrado. Pues ponemos un 3x cuadrado. 3x cuadrado 00:06:05
por 1, pues más 3x cuadrado, pero cambio el signo, recordad. 3x cuadrado por menos 2x, 00:06:15
menos 6x cuadrado, pero cambio el signo. X al cubo, no x cuadrado, perdón. Operamos. Bueno, 00:06:23
realmente esto, antes lo he puesto con otro color, pero bueno, realmente lo de los colores no es lo 00:06:32
más importante. Operamos y repetimos. Menos 8x cuadrado, 2x y más 1. Fijaos que siempre estamos 00:06:38
bajando un grado. Si acaso saliera otra vez x al cubo, pues es que habéis hecho algo mal. 00:06:47
Vuelta a operar. Menos 8x cuadrado dividido entre menos 2x. Pues sale más 4x. Este es el 00:06:55
paso 1 de nuevo y vamos a hacer el paso 2. Ahora sí que lo pongo en naranjita. 4x por 1, 4x, 00:07:08
pero cambio el signo. Aquí lo estoy haciendo ya un poquito más rápido. Si necesitáis escribirlo, 00:07:17
pues os lo escribí sin problemas. 4x por menos 2x más 8x cuadrado. Realmente es menos 8x cuadrado, 00:07:22
pero tengo que cambiar el signo. Opero una vez más. Menos 2x más 1. Y si os dais cuenta, 00:07:30
como el grado todavía es 1, grado del resto igual al grado del divisor, los grados son iguales, 00:07:38
tengo que hacer el paso una vez más. Menos 2x entre menos 2x, sale 1. Igual ya habéis visto 00:07:43
que tengo el resto exactamente igual que el divisor. Entonces, ¿qué me va a pasar? Pues que 00:07:52
al final me queda un resto cero. Si vosotros multiplicáis el divisor por el cociente, 00:07:59
os tiene que dar el dividendo, la prueba de la división. 00:08:06
Vamos a hacer ahora un par de ejemplos más, ya sin los pasos, y lo voy a hacer un poquito 00:08:14
más rápido. Como veréis, cuanto más práctica se tenga, pues más rápido se puede hacer. ¿Qué 00:08:20
es lo que recomiendo? Pues justamente que pares el vídeo y hagas estos ejemplos por tu cuenta. 00:08:25
Puedes parar el vídeo, hacer el primer paso y ver lo que hago yo. Y así, si cometes errores, 00:08:30
pues puedes ir corrigiéndolos antes de acabar el ejercicio. Así que, o lo paras todo y lo 00:08:37
haces del tirón, o lo vas parando poco a poco y lo haces conmigo. ¿Estamos listos? Vamos a ello. 00:08:44
2x a la cuarta entre x cuadrado me queda x 2x cuadrado. Lo estoy poniendo ahí directamente. 00:08:51
Ahora voy a multiplicar. Antes he multiplicado empezando por el final, pero tampoco pasa nada. 00:08:58
Si queréis empezar por aquí, también valdría eso, un poco a vuestro gusto. 2x cuadrado por x cuadrado, 00:09:04
2x a la cuarta, pero cambio el signo. Aquí me saldría en lo siguiente, me saldría menos 6x al 00:09:10
cubo y cambio el signo, más 6x al cubo. Y ahora, al multiplicar por 2, me saldría más 2x cuadrado, 00:09:16
pero cambio el signo, importante, menos 4x al cuadrado. O pero, los dos primeros se me van, 00:09:23
suerte que he tenido, menos x cuadrado menos 1. Tenemos grado 2, grado 2, así que seguimos una 00:09:33
vez más. Menos x cuadrado entre x cuadrado. Menos x cuadrado entre x cuadrado es menos 1. 00:09:43
Y aquí una nota de aviso. Fijaos que en este polinomio, yo lo puedo solucionar bastante fácil, 00:09:49
me está faltando un término. Aquí me está faltando el término de x. Entonces, lo que vamos a hacer es 00:09:58
dejar un poquito de hueco, y a la hora de bajar, también vamos a dejar un poquito de hueco, 00:10:06
porque cuando yo opero, pues es posible que necesite poner algo debajo que sólo tenga x, 00:10:12
y si no he dejado hueco, no tengo lugar donde ponerlo. ¿A qué me refiero? Algo como esto, 00:10:19
vais a ver. Menos 1 por x cuadrado, menos x cuadrado, pero cambio el signo a x cuadrado. 00:10:24
Menos 1 por menos 3x, sería más 3x, pero cambio el signo a menos 3x. Eso es lo que os quería decir. 00:10:30
Yo tengo que dejar el hueco para las x, porque si no, no tengo lugar donde poner el 3x. Y por 00:10:36
último, menos 1 por 2, menos 2, y pongo más 2 porque cambio el signo. Una vez que opere, 00:10:43
menos 3x más 1, y con eso ya lo tenéis todo, porque el grado del resto es 1, 00:10:51
y el grado del divisor es 2. Con eso ya paramos. Fijaos que no paramos cuando los grados son 00:10:57
iguales. Ahí seguimos un pasito más. Espero que os haya salido este bien, si no, todavía tenéis 00:11:03
una última oportunidad. Este polinomio no está ordenado. Podemos ordenarlo, si nos gusta más. 00:11:10
Espero que el talk funcione, o no funcione y no tengáis tampoco mucho problema, o lo 00:11:17
podemos dejar de este modo. Si lo dejamos de este modo, pues veréis que vamos a hacerlo igual. Lo 00:11:24
que pasa es que no vamos a dividir entre 1. Ese no es el término de mayor grado. Vamos a dividir 00:11:31
entre menos x cuadrado. Si tenéis un poco de talk o preferís aseguraros, lo podéis poner de este modo. 00:11:36
Yo lo voy a hacer sin cambiarlo, para que veáis que también se puede hacer. Pero ya os digo, 00:11:43
ante la duda, aseguráis y lo hacéis ordenado y sin ningún problema. Bueno, menos 4x al cubo. Recuerda 00:11:49
parar el vídeo antes de que lo haga yo. Menos 4x al cubo dividido entre menos x cuadrado me queda más, 00:12:01
este más no es imprescindible, más 4x. Pero es importante que tengáis en cuenta bien los signos 00:12:07
a la hora de dividir, porque si no, no lo haréis bien. Más 4x por menos x cuadrado será más 4x al 00:12:14
cubo. Más 4x por más 1 será 4x, pero lo ponemos restando, menos 4x. Fijaos que si hubiera empezado 00:12:24
multiplicando por el más 1, no pasa nada, es igual. Lo que pasa es que tengo que ponerlo pues en el 00:12:36
sitio correspondiente, x debajo de x, x cuadrado debajo de x cuadrado, y así sucesivamente. O pero, 00:12:42
se me cancelan los x al cubo, como tiene que ocurrir siempre, tengo que ir bajando de grado, 00:12:49
y se me cancelan también las x, así que sólo tendría 3x cuadrado. Pero tengo que seguir. 00:12:56
Divido 3x cuadrado entre menos x cuadrado, y lo que obtendré será menos 3. Un inciso, 00:13:03
si tuviera algo como esto x cuadrado, y aquí tuviera que dividir entre 2 o más 2, lo que 00:13:12
fuera x cuadrado, fijaos que me está saliendo una fracción, tres medios. Pues dejamos la fracción, 00:13:19
y operamos, multiplicamos, restamos, etcétera, con fracciones, y con eso ya estaría. 00:13:26
Vuelvo al ejercicio, tengo menos 3, y será menos 3 por x cuadrado menos, a ver, perdón, 00:13:33
menos 3 por menos x cuadrado más 3 x cuadrado, pero paso al otro lado restando. Ahora, 00:13:42
menos 3 por menos 1 menos 3, pero paso con signo cambiado. No lo pongo, aquí lo puedo poner este 00:13:50
debajo de donde quiera, lo podría haber puesto más para acá, pero bueno, el caso es que como no hay 00:13:58
nada más, pues con eso ya me vale. La resta, me queda solamente un 3. El 3 es el resto, 00:14:01
el 4x menos 3 es el cociente. Espero que con esto ya sepáis hacerlo todos bien, 00:14:07
y no tengáis ningún problema con la división de polinomios. Es un proceso muy mecánico, 00:14:15
y si practicáis un poco veréis que lo conseguiréis sin ninguna dificultad. 00:14:20
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Autor/es:
Pablo Linares
Subido por:
Pablo L.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
40
Fecha:
23 de noviembre de 2022 - 18:12
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
https://www.youtube.com/watch?v=lXEK1QLCYcY&t
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
14′ 28″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
44.77 MBytes

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