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Modelo A Ejercicio 1 Análisis de Matemáticas II - Contenido educativo

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Subido el 19 de enero de 2021 por Manuel D.

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Modelo A Ejercicio 1 Análisis de Matemáticas II

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Bueno, pues vamos con este ejercicio de BAU que va a ser el primero de los ejercicios de un examen de análisis global 00:00:00
y el primero de una lista de ejercicios resueltos de análisis de matemáticas 2. 00:00:07
Comenzamos con este en el que nos dan una función de grado 6, es el ejercicio propuesto del BAU de Madrid, el ejercicio orientativo. 00:00:14
Entonces nos piden primero estudiar el crecimiento de crecimiento máximos y mínimos relativos y determinar si son estos absolutos o no. 00:00:22
Es decir, vamos a hacer un estudio de la primera derivada, luego una integral en el área de la región acotada y luego una recta tangente. 00:00:27
Así que vamos allá. Para ello, lo primero es estudiar la derivada, así que vamos acá a derivar, calculamos la derivada. 00:00:36
La derivada de nuestra función va a ser 6x a la quinta menos 16x al cubo. Vamos a igualar a cero para encontrar los posibles máximos y mínimos relativos. 00:00:45
Entonces igualando a 0 sacamos factor común al x al cubo y bueno pues nos queda lo siguiente. 6x, bueno podría haber sacado factor común al 2 ¿verdad? 6x al cuadrado menos 16 y eso es 0. 00:00:57
Sí, primero, la x puede ser 0, segundo, la x puede ser más menos, dividiendo esto entre 2, 16 sextos, raíz cuadrada de 16 sextos, o lo que es lo mismo, más menos raíz cuadrada de 8 tercios. 00:01:16
Bueno, tenemos ahí dos posibles máximos y mínimos y otro posible eventual máximo y mínimo. 00:01:32
Para ver si son, y como nos piden estudiar el crecimiento, el crecimiento lo suyo es estudiar los signos de la derivada. 00:01:38
Así que vamos con ello. Los signos de la derivada pueden cambiar en los ceros de la derivada, es decir, vamos a delimitar la recta real, podemos dibujar la recta real si queremos, y aquí pongo el menos raíz de 8 tercios, aquí vamos a poner el cero y aquí, por cierto, la raíz de 8 tercios. 00:01:43
Si os fijáis, la función es par, así que va a ser simétrica. Nos tiene que quedar algo completamente simétrico porque, si os dais cuenta, f de menos x es igual a f de x. 00:02:03
La función es par, es decir, simétrica respecto del eje y. Va a ser, pues de hecho, algo, si luego lo vemos, tal que así. Simétrica completamente, como una w. 00:02:14
Con lo cual, eso se tiene que reflejar aquí en la tabla de signos. Vamos a estudiar los signos de la derivada y por ejemplo, para un número gigante negativo, esto va a acabar siendo negativo porque va a ganar el exponente quinto, que va a ser como es impar, negativo. 00:02:25
así que la función, voy a poner un otro color para que se vea bien claro, la derivada es negativa ahí, aquí va a ser 0, en el 1 si sustituyo en el 1, pues en el menos 1, perdón, aquí por ejemplo tengo el menos 1, verdad, por aquí tendría el menos 1, 00:02:43
Si sustituimos va a dar positivo. En el 0 hemos creado que es 0. En el 1 sustituyendo queda 6 menos 16 menos 10, negativo. Y aquí va a quedar 0. Y aquí, pues, como la función tiene infinito, pues va a ser positivo, cogiendo números suficientemente grandes como para que esta potencia quinta gane a esta potencia cúbica. 00:02:59
Y bueno, pues entonces concluimos lo siguiente. La función f es creciente en los intervalos donde la derivada es positiva, es decir, aquí y aquí, es decir, en el intervalo de menos 8 tercios hasta 0 unión desde raíz de 8 tercios en adelante. 00:03:20
Y va a ser decreciente en, pues desde menos infinito a menos raíz de 8 tercios y desde 0 a más raíz de 8 tercios. 00:03:54
Y tendríamos completado el apartado A. 00:04:10
Respecto al apartado B nos piden estudiar los máximos y mínimos. 00:04:12
Fijaos que ya tenemos claro que aquí la función baja y luego sube, con lo que esto es un mínimo, ¿verdad? 00:04:18
porque la función pasa de decrecer a crecer 00:04:23
aquí vamos a tener que pasa de crecer a decrecer 00:04:27
luego aquí esto va a ser un máximo 00:04:30
y aquí vamos a tener un mínimo 00:04:31
por la tabla de signos la función pasa de decrecer a crecer 00:04:33
es decir, en x igual a menos y a más raíz de 8 tercios 00:04:39
recordad que es simétrica, tiene que ser simétrica 00:04:45
f tiene un mínimo 00:04:48
que en principio pueden ser relativos 00:04:55
y en x igual a 0 hay un máximo que en principio es relativo 00:04:57
pero fijaos, como la función es simétrica 00:05:08
el valor de este mínimo y de este mínimo tienen que ser el mismo 00:05:25
de hecho los podemos calcular 00:05:29
el valor de la función en más menos raíz de 8 tercios 00:05:30
vale, pues como hay que calcular elevado a la sexta menos 4 veces 00:05:37
Esto sería 8 partido 3 al cubo menos 4 veces 8 partido por 3 al cuadrado, sacando factor común a 64 novenos, esto nos quedaría 64 novenos de 8 tercios menos 4, que es negativo, ¿verdad? Esto es menor que 0. 00:05:41
luego el dibujo va a quedar algo tal que así 00:06:05
vamos a tener por aquí ese valor 00:06:08
por aquí este valor completamente simétrico 00:06:11
f de 0 que es 0 00:06:13
y la función necesariamente tiene que hacer esto 00:06:14
subir, luego bajar y luego volver a subir 00:06:21
aquí va a haber un punto de corte y otro punto de corte 00:06:25
que luego nos calcularemos 00:06:27
y bueno pues del dibujo se deduce que 00:06:28
F tiene dos mínimos absolutos. En X igual a más menos raíz de 8 tercios. En el menos raíz de 8 tercios y en el más raíz de 8 tercios. Son absolutos. 00:06:33
Bueno, vamos con el apartado C. En el apartado C nos piden que integremos, que calculemos un área. Que nos están pidiendo que calculemos el área de ese recinto plano, es decir, el área, este área de aquí más este área de aquí. 00:07:00
Entonces por simetría podemos calcular esta y multiplicarla por 2. El área pedida es el doble de la integral entre 0 y este valor que tenemos que calcular, este valor A, que no sé cuál es, D, y como la función es negativa pues tendré que integrar menos la función. 00:07:20
Eso es lo que me están pidiendo. 00:07:37
Ahora, ¿cuál es ese valor a? 00:07:38
Pues hay que resolver la ecuación x a la sexta menos 4x a la cuarta igualada a cero 00:07:40
para ver dónde están los puntos de corte, que evidentemente van a ser tres, 00:07:45
uno en el cero y uno en el, un cierto valor a y otro en el menos a. 00:07:49
x a la cuarta por x cuadrado menos 4 igual a cero al factorizar, 00:07:54
luego x es igual a más menos raíz de 4 que es 2. 00:07:59
Estos son los dos valores. 00:08:03
Así que ese valor de ahí, el a, era 2. Tenemos que integrar hasta el 2. Y ahora la cuenta es súper sencilla porque esta función se integra muy bien y en la integral valdrá el doble de 4x a la cuarta menos 6 menos x a la sexta. 00:08:04
Fijaos que ya le he dado la vuelta por este sino menos 00:08:25
Y e integramos entre 0 y 2 00:08:29
Y eso es el doble 00:08:35
Pues nada, integramos, sustituimos por el 2 y se acabó 00:08:37
4x a la quinta partido por 5 menos x a la séptima partido por 7 00:08:41
Entre 0 y 2 00:08:46
Es decir, 2 que multiplica 4 por 2 a la quinta partido por 5 00:08:48
Menos 2 a la séptima partido por 7 00:08:53
y haciendo la cuenta se acabó, ese es el área 00:08:56
y bueno, pues vamos con el D, en el D nos están pidiendo 00:09:00
que la recta en un momento dado va a tener 00:09:07
una derivada, o sea, una recta tangente que va a ser 00:09:10
paralela a esta recta, es decir, yo voy a tener esa recta 00:09:14
que va a ser, yo voy a tener esta función 00:09:18
y en algún momento dado la recta tangente 00:09:21
que no está, pero bueno, vaya dibujo que estamos haciendo. En un momento dado, por aquí, la recta va a ser paralela a esta recta que tenéis, que tiene pendiente y igual a menos 6x, 00:09:26
pues la pendiente ahí también será menos 6. Si estas dos rectas son paralelas en el dibujo, cuesta verlo. Bueno, y eso, ¿qué quiere decir? Pues que en un determinado valor de la derivada de f, 00:09:40
de la derivada va a valer menos 6, este es el valor de la derivada 00:09:53
de manera que yo la recta la voy a poner de la siguiente 00:09:57
forma, y menos f de x sub 0 00:10:01
igual a f' de x sub 0 por x menos x sub 0 00:10:04
donde este f' de x sub 0 vale menos 6 porque me están dando el valor 00:10:09
de la derivada, es decir, quedaría algo así. Bueno, y 00:10:13
creo que hasta ahí podríamos llegar porque si intentamos resolver la ecuación, fijaos 00:10:20
que pasa la derivada de esta función es 6x a la quinta menos 16x al cubo y esto lo tenemos que igualar a menos 6 con lo cual pues si dividimos entre 3 00:10:24
nos va a quedar entre 2, nos va a quedar 3x a la quinta menos 8x al cubo más 3 igual a 0 y esto habría que resolver la ecuación y yo lo he comprobado con el ordenador 00:10:45
y las soluciones no son nada sencillas, no dan soluciones que se puedan calcular así, así que complicado terminarlo. 00:10:59
¿Con qué lo dejaríamos por aquí? X tendría que ser una solución de esta ecuación que no podemos resolver. 00:11:05
O sea que algo han debido poner mal los que han planteado este ejercicio. 00:11:17
Bueno, pues lo dejamos aquí. Este ha sido el primero de los ejercicios de esta serie. 00:11:21
Vamos a continuar con ejercicios como el siguiente, un límite, pero eso ya es en el siguiente vídeo. 00:11:27
¡Hasta luego! 00:11:32
Autor/es:
MAnuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
109
Fecha:
19 de enero de 2021 - 23:08
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
11′ 34″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
41.35 MBytes

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