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PR5. 3. Ejercicio 4 resuelto - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad PR5 dedicada a la teoría de muestras y las distribuciones en el muestreo.
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En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 4.
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En este ejercicio se nos dice que la duración de las baterías de un cierto modelo de teléfono
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móvil tiene distribución normal con media 34,5 horas y desviación típica 6,9 horas. Estas son
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la media y la desviación típica ambas poblacionales. Se toma una muestra aleatoria simple de 36
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teléfonos móviles y se nos pide calcular la probabilidad de que la duración media, aquí
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tenemos la media, de las baterías de esta muestra esté comprendida entre 32 y 33,5 horas y la
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probabilidad de que esa media muestral sea mayor que 38 horas. Consideramos que la variable
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aleatoria x que mide esas horas de duración de la batería sigue una distribución normal con media
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34,5, desviación típica 6,9 horas. Estos son los datos del enunciado. De aquí deducimos que la
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variable aleatoria media aritmética de una muestra de tamaño n igual a 36 va a seguir una distribución
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también normal, perdón, con media la misma que la de x, 34,5 horas, y desviación típica la de x, aquí tenemos 6,9 horas,
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dividido entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, que es 36. Operando, deducimos que x, la media muestral, va a seguir una distribución normal
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con media 34,5 horas y desviación típica 1,15 horas.
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Puesto que vamos a trabajar con la tabla de la distribución normal estándar,
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vamos a escribir también la tipificación de esta variable media amostral.
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Vamos a definir una variable de la teoría Z, que será la media amostral menos su media,
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dividido entre su desviación típica.
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Y esta variable de la teoría Z sabemos que va a tener una distribución normal estándar,
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Media cero, desviación típica 1.
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Lo primero que se nos pide es calcular la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 32 y 33,5 horas.
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Se corresponde a esta probabilidad que tenemos aquí.
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Lo primero que vamos a hacer es tipificar en el interior del suceso.
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En todos los miembros vamos a restar la media aritmética y a dividir entre la desviación típica.
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En el primer y en el tercer términos, numéricamente, puesto que tenemos valores numéricos.
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En el término central, algebraicamente, x barra menos muy dividido entre esta desviación típica va a ser z, la variable normal estándar. Operando, la probabilidad que tenemos que calcular es la de que z, variable normal estándar, esté comprendida entre menos 2,17 y menos 0,87.
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Por ser la probabilidad de un intervalo, lo que vamos a hacer es calcular la probabilidad de que z sea menor o igual que el límite superior, menos 0,87,
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menos la probabilidad de que z sea menor o igual que el límite inferior, menos 2,17.
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En ambos casos tenemos la cola de la izquierda, pero de una abstisa negativa. Esto no lo tenemos en la tabla de la distribución normal.
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Así que vamos a usar la propiedad de que la distribución normal es simétrica.
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Y estas propiedades, z menor o igual que una abstisa negativa, por simetría son las probabilidades de que z sea mayor o igual que la correspondiente abstisa, pero con signo positivo.
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Aquí tengo z mayor o igual que 0,87, z mayor o igual que 2,17.
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En ambos casos tengo ahora colas de la derecha, z mayor o igual, pero yo únicamente tengo las colas de la izquierda, z menor o igual.
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Así que en ambos casos utilizo el suceso contrario.
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Cada una de estas probabilidades es 1 menos la probabilidad del suceso contrario,
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que será que z sea menor o igual que cada una de las correspondientes abstizas.
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Y eso es lo que tengo aquí.
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En el primer caso, en el primer término, entre estos corchetes, menos,
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y el segundo término, este que tiene aquí, también con sus respectivos corchetes.
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Operando este 1 menos 1 se simplifica, menos por menos es más,
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podría expresarlo de esta manera,
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La probabilidad de que z sea menor o igual que 2,17 menos la probabilidad de que z sea menor o igual que 0,87.
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Estos valores que voy a sustituir aquí, o bien los que habría sustituido en la expresión anterior si no hubiera querido simplificar,
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se leen directamente en la tabla de la distribución normal.
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Son respectivamente 0,9850 y 0,8078 y entonces la probabilidad pedida resulta ser 0,1772.
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En el segundo apartado se nos pide calcular la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 38 horas.
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Se trata de este suceso y vamos a verlo de forma análoga.
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Primero hemos de tipificar en el suceso, puesto que nosotros vamos a leer en la tabla de distribución normal.
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Tipificamos, restándole a la variable su media y dividiendo su desviación típica.
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Aquí tendríamos z y aquí tenemos este valor numérico que resulta ser 3,04.
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Probabilidad de que z sea mayor o igual que 3,04 es una cola de la derecha.
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Necesitamos colas de la izquierda, así que vamos a utilizar el suceso contrario.
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Esta probabilidad es 1 menos la probabilidad del suceso contrario.
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Contrario de z mayor o igual que 3,04 es z menor o igual que 3,04.
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Esta probabilidad se puede leer directamente en la tabla de la distribución normal.
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es 0,9988 y, operando, llegamos a la conclusión de que la probabilidad pedida resulta ser 0,0012.
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En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
00:06:14
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
00:06:21
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
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Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Flipped Classroom
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 9
- Fecha:
- 14 de febrero de 2025 - 16:58
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 06′ 59″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
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