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Teorema de rouche Frobenius - Contenido educativo

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Subido el 14 de abril de 2021 por Jose S.

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El teorema de Roche-Frobenius, ¿vale? 00:00:00
Teorema de Roche-Frobenius. 00:00:02
Bien, estábamos diciendo que 00:00:04
de un sistema de este tipo, por ejemplo, 00:00:06
del apartado A, 00:00:10
estudiar el sistema 00:00:12
consiste en determinar si el sistema es 00:00:15
compatible 00:00:18
o incompatible. 00:00:19
O sea, es incompatible 00:00:22
si no tiene solución. 00:00:24
Es compatible si tiene solución. 00:00:26
Y será compatible determinado si tiene solución única. Y será compatible indeterminado si tiene solución, pero varias soluciones. ¿De acuerdo? Bien. Y os recuerdo que, si tiene varias soluciones, teníamos que, para resolverlo, parametrizar la solución. 00:00:29
Y el número de parámetros que utilizábamos era justamente los grados de libertad que nos dejaba el sistema. ¿De acuerdo? Esta idea está clara, ¿no? Pues mirad, el teorema de Rochefrovenius viene a relacionar la característica de los sistemas, es decir, si son determinados, indeterminados, compatibles, incompatibles, etc., 00:00:50
Viene a relacionarlos con un concepto que ya hemos estudiado, que es el concepto de rango. ¿De acuerdo? Y vamos a ver el teorema. Pero me voy a reservar un momentín. Bien, he cogido el apartado al, me lo reservo aquí, ¿lo veis? Para trabajar con él. ¿De acuerdo? Vamos a ver el teorema Rochefrovenius. ¿De acuerdo? Vamos a leerlo y a interpretarlo a partir de este ejemplo que tenemos aquí. 00:01:15
¿Vale? Bien, dice, dado un sistema de ecuaciones, dice, dado un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas, por ejemplo, en mi caso, en el apartado A, como este sistema, tendría tres ecuaciones y tres incógnitas, ¿no? 00:01:41
¿De acuerdo? Bien. Y dice, pues un sistema con m ecuaciones y n incógnitas, sabemos que los podemos escribir simbólicamente mediante estos coeficientes a sub 1, 1, a sub 1, 2, a sub 1, 3, ¿sí o no? 00:02:07
¿Qué hacen referencia? El primer numerito, el primer subíndice hace referencia al número de ecuación. A1 está indicando que se refiere a los coeficientes de la primera ecuación. 00:02:25
Y el segundo subíndice está haciendo referencia a la incógnita. ¿De acuerdo? Por ejemplo, en mi sistema de ecuaciones, ¿cuánto valdría a sub 2 2? En el ejemplo que estamos usando. Pues valdría 2, porque se está hablando del coeficiente. ¿Sí o no? ¿Me seguís? 00:02:42
Bien, ¿cuánto valdría a sub 2 1? Pues es el coeficiente de la primera incógnita de la segunda ecuación. ¿Sí o no? ¿Y es cuánto? Menos 1. ¿Se ve? Bien, pues, mirad, dice, dado este sistema, 00:03:06
llamamos matriz del sistema a la matriz A formada por los coeficientes de las incógnitas. 00:03:32
Es decir, un sistema de ecuaciones tiene una matriz asociada, ¿sí o no? 00:03:43
Lo que voy a hacer es leer el enunciado del teorema. 00:03:51
Luego pasamos a una comprensión más profunda, pero vamos primero a interpretar qué dice, ¿de acuerdo? 00:03:55
Pues bien, ¿cómo sería la matriz? Es que, mirad, en el teorema de Rochefrobenius entran en juego dos matrices. La matriz de coeficientes y la matriz ampliada. Esto es lo primero que quiero que entendáis que es cada cosa. ¿De acuerdo? Bien. 00:04:01
Bien, mirad, la matriz de coeficientes, pues es la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas, ¿sí o no? Se le llama matriz A. 00:04:21
En mi caso concreto, ¿cuál sería esa matriz? Pues es 1, 1, menos 1, menos 1, 2, menos 1, 2, menos 1 y 1, ¿sí o no? 00:04:35
Bueno, esta es la matriz de coeficientes de este sistema con el que estoy trabajando, donde deseo aplicar el teorema de Roche-Frobenius. Porque el teorema de Roche-Frobenius se aplica en sistemas. Es un teorema que, lo que he dicho, relaciona la característica del sistema, si es compatible o incompatible, etc., con el rango. 00:04:52
¿Vale? Y eso es lo que vamos a ver. Bien, decía, la matriz de coeficientes, en mi caso concreto, es este. Luego vamos a trabajar con otra matriz que se llama la matriz ampliada. ¿Vale? Que se le puede designar con un asterisco encima o con una raya, depende. Aquí no recuerdo, luego lo miramos. 00:05:17
Voy a poner un asterisco, que es la matriz ampliada. Esta matriz ampliada es la matriz de coeficientes, pero se le añade la columna de los términos independientes del sistema. ¿Sabéis cuáles son los términos independientes? 00:05:38
los que los los coeficientes que no acompañan a los números que no acompañan a ninguna variable 00:05:57
de acuerdo bien por la matriz ampliada será este está 1 menos 12 12 menos 1 menos 1 menos 00:06:04
11 se le suele poner así una línea para separar vale para que quede claro cuál es la matriz la 00:06:16
la columna de términos independientes. Y los ponemos. ¿Se ve? Bien. Esta sería la matriz ampliada. 00:06:24
Estas dos matrices, como veis, es fácil de obtener a partir del sistema de ecuaciones. 00:06:36
Bien, estas dos matrices son esenciales en lo que se refiere al teorema de Roche-Frobenius. 00:06:42
¿Vale? Bien. Vamos a ver esto. ¿Ha quedado clara la idea? ¿Es clara? Bien. Sabemos obtener entonces la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones y la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones. 00:06:48
Bien, pues vamos a leer el teorema. Dice, llamamos matriz del sistema a la matriz A formada por coeficientes de las incógnitas, esto es claro. Después, dice, y matriz ampliada, veis que han incorporado la columna de los términos independientes. ¿Se ve? Bien. 00:07:05
Bien, leamos, y aquí está la clave. Dice, aquí está la almendra del teorema de Rochefrobenius. Aquí está. Dice, si el rango de A es igual al rango de A', es decir, si el rango de los coeficientes, de la matriz de coeficientes, perdona, 00:07:31
Si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, entonces el sistema es compatible. Es decir, que tiene solución. Esto se entiende, ¿no? 00:08:01
¿Qué pasa si es diferente? Si el rango de A, mirad la tercera fila, si el rango de A es diferente al rango de la matriz ampliada, entonces el sistema es incompatible. 00:08:14
Es decir, este teorema nos está dando, nos está relacionando el rango de las matrices de coeficientes y ampliada con el hecho de si el sistema tiene o no soluciones. Esto es muy potente. ¿De acuerdo? 00:08:30
Bien, entonces digo, repito, si el rango de A es diferente al rango de la matriz ampliada, entonces el sistema es incompatible. Si el rango de la matriz de coeficientes, el de A, es igual al de la matriz ampliada, es compatible. 00:08:49
Pero fijaros en un detalle. ¿Qué pasa? Esto sí que lo vais a entender. ¿Qué pasa si ese rango es igual al número de incógnitas? 00:09:09
Es decir, que tengo el mismo número de ecuaciones linealmente independientes que de incógnitas. 00:09:24
¿Sí o no? ¿Me seguís? 00:09:37
Bien, cada ecuación linealmente independiente, ¿qué hace a las posibilidades de la solución? 00:09:39
Un sistema como el que tenemos aquí. 00:09:48
Vamos al ejemplo. 00:09:52
¿Qué pasa si el rango de las matrices fuera 3? 00:09:55
Tanto el del coeficiente como el ampliado. 00:10:01
Está diciendo que las tres ecuaciones son linealmente independientes. 00:10:03
¿Sí o no? ¿Me seguís o no? 00:10:09
Levantad la mano. ¿Me estáis entendiendo? 00:10:12
No. Bueno, luego insisto. 00:10:14
Mirad, ¿cómo es una solución? 00:10:17
Vamos a explicar esto. 00:10:21
La relación entre el rango de la matriz y el número de ecuaciones, ¿vale? Digo, si estoy pensando en tres números cualesquiera, lo estoy pensando con tres grados de libertad. 00:10:22
Esto quiere decir que por cada número de la variable x, y o z le puedo otorgar el número que a mí se me antoje. ¿Sí o no? Eso sería dar 3 grados de libertad a esta terna numérica. ¿Se entiende o no? ¿Esto se entiende? Bien. 00:10:39
¿Qué pasa? Que al introducir una ecuación como esta primera, x más y menos z igual a 3, ¿qué estoy haciendo en realidad? Estoy dando una condición que me está reduciendo, me está imponiendo que una de las variables esté sujeta a las otras dos. 00:10:58
¿Esto se entiende o no? 00:11:26
¿Sí? Vale, genial 00:11:29
Quiere decir que esta ecuación me está reduciendo 00:11:30
Las posibilidades a cuántos grados de libertad 00:11:34
La primera ecuación que señalo aquí 00:11:37
Si aquí hay tres grados, pues a dos grados 00:11:42
Porque esto quiere decir que puedo otorgar 00:11:46
El valor que me dé la gana a dos incógnitas 00:11:49
Pero la tercera queda esclavizada mediante esta 00:11:52
afirmación, imposición. ¿Se está entendiendo hasta aquí o no? Levantad la mano si entendéis, 00:11:57
que no veo las caras. Vale, muy bien. ¿Qué pasa? Que si introduzco otra ecuación más, 00:12:06
o sea, la primera ecuación me reduce a dos posibilidades, porque la tercera incógnita 00:12:15
quedaría supeditada. ¿Sí o no? Bien. La siguiente ecuación, ¿qué va a hacer? Caso de no ser una 00:12:22
ecuación equivalente a la anterior, esto se ve, ¿no? Caso de no ser equivalente, me va a reducir 00:12:37
las posibilidades a otro grado de libertad menos. Es decir, a 1. ¿Sí o no? ¿Por qué? Porque la primera 00:12:45
La primera ecuación me está diciendo, venga, si X vale tanto e Y vale no sé cuántos, la Z ya no puede valer lo que quieras. ¿Sí o no? ¿Es claro? Después, así que puedo dar valores a X y a Y, por ejemplo. Solo le puedo otorgar libertad a dos de las incógnitas. 00:12:56
La tercera ya no. Sea cual sea que tú decidas cuáles son libres. ¿Me seguís o no? Después, la segunda ecuación me está diciendo, bueno, si me quedan dos libres, la segunda ecuación, fijado, la segunda, la primera queda determinada. 00:13:17
Por lo tanto, solo puedo otorgar un grado de libertad a una de las variables. ¿Me entendéis o no? ¿Me seguís con esto? Pero lo que pasa es que a veces veremos que la segunda ecuación es una imposición redundante. 00:13:42
Es decir, os voy a poner un ejemplo. Imaginemos que metemos a todos los de la población del barrio Simancas, de vuestro barrio, aquí. Esto se hace en matemáticas. Aquí tenemos a un matemático. 00:14:05
Lo que se hace en matemáticas es, nos interesa mucho la caracterización. Si tú metes aquí a todo el barrio de Simancas, aquí en el patio, y yo, es como, habéis estado algunas en el parque y dices, mira, mira esa estrella, ¿no? 00:14:22
Y entonces tú dices, ¿cuál? Y entonces dices, qué cabrón, ¿no? Es decir, ¿no se ha pasado eso? Y estando de botellón ya ni lo cuento. O sea, está señalando a alguien y dice, mira la estrella. Y claro, con el dedito a ver quién atina para comunicarse con otro, ¿no? 00:14:42
Hay millones de estrellas y dice, pues esa que parpadea más deprisa, ¡ah, vale! Enseguida necesitamos caracterizar, ¿me explico o no? Si, por ejemplo, metemos a todo el barrio de Simancas ahí en el patio y digo, mira, la familia Pérez, y dices, ¿quiénes son la familia Pérez? 00:14:58
Ahí tenemos un conjunto inmenso, ¿sí o no? Pues uno empieza a dar características para poder decirle a otro quiénes son los miembros de la familia Pérez. Y uno empieza a decir, pues mira, son rubios. Ya estamos pensando en los que son rubios. 00:15:21
Pero eso, digamos que es una característica floja, ¿sí o no? 00:15:44
Dice, hay otra característica más fuerte, son rubios y además miden más de 2 metros 50. 00:15:50
Hostia, ya está, ahí están los Pérez, no hay duda. 00:16:01
¿Sí o no? Esto se hace en matemáticas. 00:16:05
Es decir, se buscan características. En conjuntos se trata de buscar características que nos permitan hablar de los elementos. ¿Entendéis o no? Y fijaos que con esto estoy reduciendo esas posibilidades. ¿Me seguís o no? 00:16:07
Pero imaginaos que hoy os hubiera dicho, mira, la familia Pérez son los que son más altos de todos. Primera condición. Uno va anotando los más altos de todos. 00:16:24
Y luego digo, son esos que miden más de 2 metros 50. Es una información redundante. ¿Os dais cuenta o no? Es dependiente de la anterior información. No aporta. Con una era suficiente. O mejor, más claro, los que son rubios. 00:16:42
Ah, vale, vale. Y uno anota y dice, la familia Pérez son los que son rubios. Y luego dice, además te digo que tienen el pelo amarillo. 00:17:01
Y dicen, pues, nada, mierda, eso no me dice nada después de lo anterior. Es información redundante. ¿Me seguís o no? 00:17:10
Bien, pues lo que pasa aquí es que hay ecuaciones que son redundantes respecto de las anteriores. 00:17:16
Por ejemplo, si yo hubiera añadido aquí una ecuación proporcional a esta anterior, 2x más 2y menos 2z igual a 6, 00:17:31
Esta información, esta restricción que estoy haciendo al conjunto de soluciones es redundante, ¿entendéis o no? Y, por lo tanto, no me restringe el campo de soluciones, no me quita libertad respecto de lo que me quitó el anterior. 00:17:42
¿Estáis entendiendo? Bien, a que el rango tiene relación con esta idea. ¿Qué es el rango? En el fondo es el número de ecuaciones mínimo que no son redundantes respecto de las anteriores. 00:18:03
¿Se entiende o no? 00:18:24
Que restringen realmente algo. 00:18:27
¿Habéis pillado la idea? 00:18:29
Este es el corazón del teorema de Rochefrobenius. 00:18:30
Porque mirad, ahora digo, 00:18:35
¿qué pasa si el rango fuera 3? 00:18:38
Vamos a ponernos en un caso concreto. 00:18:43
Imaginad que el rango fuera 3 de este sistema. 00:18:45
¿Esto qué está diciendo? 00:18:49
Que cada una de las ecuaciones está restringiendo un grado de libertad. 00:18:50
¿Sí o no? ¿Lo entendéis por ahí? Pues bien. Entonces, mira, la primera ecuación de 3 me reduce a 2, a 2 grados de libertad. La siguiente me reduce a 1 grado de libertad, porque es linealmente independiente. 00:18:54
Y la siguiente me reduce a cero grados de libertad. Es decir, que X, Y y Z están sujetas a unos valores concretos. ¿Se entiende o no? En ese caso el rango es tres. ¿Y cuántas incógnitas hay? Tres. 00:19:11
Por eso en el teorema de Rochefrobenius dice, si el rango de la matriz, dado por supuesto que es un sistema compatible, 00:19:30
o sea, que el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. 00:19:41
Si el rango es igual a 3, perdona, si es igual al número de incógnitas, entonces el sistema es compatible y determinado. 00:19:45
¿Se ve? 00:19:54
Y mirad una cuestión que dice el teorema. Dice, si rango, aquí voy a añadir algo yo, voy a añadir algo. Dice, si rango de A es igual al rango de A asterisco, o sea, entonces es compatible, pero dice, si además es distinto del número de incógnitas, entonces es compatible e indeterminado. 00:19:54
Y diríamos, ¿cuántos grados de libertad va a haber? Esto lo pregunto. En este caso, imagínate que tienes un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, como este. 00:20:31
Imaginemos que rango de A fuera igual a rango de A asterisco igual a 2 y tuviera tres incógnitas. ¿Cuántos grados de libertad tiene el sistema? 00:20:47
Pues, mirad, cuando el grado de libertad sería el número de parámetros que necesito para resolver el sistema, ¿sí o no? 00:21:08
Bien, esta idea está clara, ¿no? Vale. 00:21:14
Pues, mirad, pensad en esto, en que si tiene tres incógnitas, inicialmente, sin imponer ninguna ecuación, 00:21:16
X y Z es una terna numérica y tiene tres grados de libertad para elegir cualquiera de los tres. 00:21:28
Bien, como el rango es 2, significa que hay dos ecuaciones que están restringiendo el grado de libertad. Y, por tanto, la primera ecuación lo restringe a 2 y la siguiente a 1. Ya no hay más porque el rango es 2. ¿Entendéis o no? 00:21:34
Entonces, ¿qué va a pasar? 00:21:56
Que tiene un grado de libertad la solución. 00:21:58
¿Entendéis o no? 00:22:03
Esto traducido con el método de Gauss, ¿qué haríamos? 00:22:04
Escalonas y hay una ecuación que te va a desaparecer. 00:22:09
¿Es clara la idea o no? 00:22:13
¿Se ve? 00:22:15
Pero voy a añadir entonces aquí a la grabación, ¿vale? 00:22:16
Dice, si es compatible e indeterminado, el teorema además añade con n menos r grados de libertad. 00:22:20
¿Y quién es n? El número de incógnitas. ¿Y quién es r? El rango de la matriz. 00:22:40
Subido por:
Jose S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
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Fecha:
14 de abril de 2021 - 16:10
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
22′ 51″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
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