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Teorema de Gauss II - Contenido educativo

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Subido el 4 de noviembre de 2024 por Laura B.

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Pues, sigo donde me había quedado. Vale, decíamos que este es el teorema de Gauss, entonces que decimos que sería la carga encerrada en la superficie, ¿vale? Lo que tenía aquí el más y el menos, pues esta carga es, pues si son cuatro colombios y esto es un colombio, la carga total sería tres colombios, ¿vale? Esa es la carga encerrada. 00:00:00
Entonces, bueno, pues que es la, el teorema de Gauss dice que el flujo es la carga encerrada en la superficie que cojamos partido del óxido en su cero. 00:00:30
Vale, y el flujo lo calculamos con integral como habíamos visto. 00:00:44
Entonces, este teorema resulta muy útil para determinar el campo eléctrico producido por distribuciones de carga con mucha simetría. 00:00:51
¿Qué quiere decir esto? Pues geométricamente simétricas. Luego lo vemos. 00:00:58
Nosotros vamos a ver tres casos. Vamos a ver la esfera, el plano y la línea cargada. 00:01:04
Para cada caso vamos a seguir estos pasos. 00:01:10
Primero, elegir la superficie adecuada de simetría de la distribución de carga. 00:01:12
Porque lo que queremos es que el coseno sea o 0 o 1. ¿Por qué? Pues para quitárnoslo. 00:01:19
¿Vale? Porque si yo tengo E por DDS por el coseno de 0, perdón, el coseno de alfa, ¿vale? Y el coseno de alfa es 0, pues se me va a hacer 1 y me va a quedar solo esto. 00:01:23
Fenomenal. Pero si el coseno de alfa es de 90 grados, pues se me va a hacer 0 y me voy a cargar el flujo. 00:01:39
Cualquier cosa entre medias va a ser 0,1, 0,3, 0,7, 0,8, que no me interesa, porque ya es multiplicar por una cantidad que no me interesa. 00:01:47
Yo quiero o que se me queden exactamente los módulos o que se me vaya, ¿vale? 00:01:54
Y como la superficie, veíamos en la transparencia anterior, no depende, ¿vale? 00:01:58
Veíamos en el caso anterior que el flujo solo depende de la carga, ¿vale? 00:02:02
Solo depende de la carga, lo veíamos aquí. 00:02:08
solo depende de la carga, no depende de la forma de la superficie, entonces pues me da igual, yo puedo coger cualquier superficie y voy a coger la superficie que me venga bien, 00:02:10
eso es lo que se llama una superficie gaussiana, una superficie que me viene bien para que se haga o 0 o 1, luego calcularemos el flujo con la definición esta 00:02:22
y luego igualaremos a esto para despejar la E, ¿vale? Eso es en lo que consiste el teorema de Gauss, estos son los tres pasos, ¿vale? Pues vamos a ello. 00:02:36
Empezamos con una esfera cargada, una esfera cargada uniformemente. ¿Qué quiere decir una esfera cargada uniformemente? 00:02:51
Pues que la densidad de carga, o sea, está cargada siempre igual, que su densidad de carga es la misma. 00:03:00
La densidad de carga sería igual que la densidad en masa, es la masa partido del volumen, pues la densidad sería la carga partido del volumen es constante. 00:03:06
Quiere decir que yo coja la cantidad que coja en este cachito va a ser la misma densidad que si cojo un cachito más grande pero entonces cojo dos. 00:03:16
O sea, la densidad siempre es la misma porque el volumen se va a compensar con la cantidad de carga que cogemos. 00:03:22
eso es lo que quiere decir cargada uniformemente 00:03:26
que la densidad de carga es la misma 00:03:30
y voy a calcular el campo en el interior 00:03:31
voy a hacer los dos casos 00:03:36
voy a calcularla en el interior y en el exterior 00:03:40
¿qué quiere decir en el interior? 00:03:42
pues bueno 00:03:44
voy a borrarme esto para que se pueda leer todo bien 00:03:44
y voy a poner aquí que esto quiere decir 00:03:51
que la densidad de carga 00:03:54
es constante. Vale, para comenzar debemos dividir el problema en dos partes, según 00:03:55
el punto donde lo queremos calcular. Uno, lo voy a calcular, o sea, si esta es mi esfera 00:04:01
cargada, la misma esfera, pues voy a calcular en un punto en el interior y otro en un punto 00:04:06
en el exterior. ¿Vale? Fácil. Calcular el campo dentro, calcular el campo fuera. Vale, 00:04:13
Voy con el primer caso, que es calcular el campo dentro. Punto en el interior de la esfera uniformemente cargada. Siguiendo los pasos de antes, elegimos una superficie adecuada a la distribución de carga. 00:04:20
Yo tengo una esfera, ¿vale? Que es esta esfera mía, esta esfera que es la que está cargada, ¿vale? Como he dicho antes, está cargada uniformemente, quiere decir que en cada cachito tengo la misma cantidad de carga, la misma densidad de carga, ¿vale? Esa es mi esfera. 00:04:33
Pero quiero calcularlo en un punto en el interior, o sea, en este punto quiero calcularlo, ¿vale? 00:04:55
En este punto que está a una distancia r del centro. 00:05:00
La esfera, su propio, o sea, la esfera de verdad es esta esfera grande, ¿vale? 00:05:03
Esa es la esfera de verdad. 00:05:08
El radio es r, como hacemos con los planetas. 00:05:10
En los planetas yo digo, vale, pues el radio del planeta es r y luego siempre quería calcular, por ejemplo, la g aquí. 00:05:13
Y esto decía que era una distancia r orbital, ¿vale? 00:05:19
¿Cuál es la diferencia? Que ahora lo quiero calcular dentro. 00:05:21
Por lo tanto, R pequeña, que es donde calculo yo las cosas, está dentro. 00:05:24
Y la R grande sigue siendo la R del planeta, ¿vale? 00:05:28
En este caso, la R de la carga, de la superficie, de la esfera cargada, ¿vale? 00:05:31
Vale, quiero calcular entonces, lo primero que hago es que elijo una superficie. 00:05:38
Y aquí, para no pensarlo mucho, lo que hago es elegir una superficie esférica. 00:05:42
Ahora vamos a ver por qué. 00:05:48
Elijo esta superficie esférica. 00:05:49
Podría elegir una superficie cúbica, podría elegir, porque el flujo sería lo mismo, pero yo lo que quiero es conseguir que el coseno entre E y DDS sea o 0 o 1, ¿vale? 00:05:50
Yo quiero que el coseno entre estas dos cosas sea o 0 o 1. Por eso elijo la esfera, ¿por qué? Porque fijaos, la esfera hace que el campo a través de esta esfera, ¿vale? 00:06:05
El campo sea saliente hacia afuera, lo sabemos porque el campo es saliente y hacia afuera en una carga positiva, pero la superficie que va a ser perpendicular a este punto, el vector superficie que va a ser, o sea, en este punto sería perpendicular, va a ser también así, ¿vale? 00:06:18
Si nos damos cuenta, en ese punto el perpendicular también es radial, por lo tanto el dds que cojo también es radial, ¿vale? 00:06:36
Y esto que consigo, pues que e, si os fijáis, e es paralelo a dds, o sea que el ángulo que forman es 0, o sea que el coseno va a ser 1, que es una de las cosas que yo quiero, o sea que sea 0 o que sea 1. 00:06:49
Coger una superficie que en todos los puntos sea paralelo, para que sea perpendicular, pues es imposible. 00:07:03
Porque en una esfera, fijaos aquí, si cogiera, este sería el DDS aquí, aquí el DDS también sería así, sería así, aquí el DDS sería en el punto, aquí sería así. 00:07:10
Y entonces, pues no tiene que ver aquí entre este campo y este hay un ángulo, aquí no tendría ángulo, aquí sí que tendría otra vez ángulo. 00:07:22
entonces es un lío, por eso cojo la esfera, porque la esfera cumple que en todos los puntos, la superficie esférica cumple que en todos los puntos E y D de S son paralelos, 00:07:32
y como he visto que me da lo mismo como sea la superficie, porque el flujo va a ser lo mismo, pues cojo una superficie que me venga bien, eso es una superficie gaussiana, 00:07:43
La superficie que en cada punto me viene bien. Vale. Bueno, pues entonces, cogiendo esto, calculo el flujo, sabiendo la definición de flujo. 00:07:52
Yo sé que la definición de flujo me dice que es la integral de superficie. Hay que ponerle el circulito. Matemáticamente esto a vosotros os da igual, pero hay que ponérselo para que se escriban las cosas bien, ¿vale? 00:08:04
y hay que poner que es de superficie, y la S de superficie, entonces esto matemáticamente hay que ponerlo así, DE por DDS, vale, pues para hacer esto lo que hago es hacer la integral, vale, yo digo que en el campo, en todos los puntos a este R, bueno, el campo en este R en concreto, 00:08:15
en cualquier punto de este r, va a ser, va a depender de la r, claro, o sea, si el campo sería k por q partido por r al cuadrado, 00:08:44
pues en la misma r al cuadrado en todos estos puntos será el mismo campo, porque mide la r igual, ¿vale? 00:08:54
Así que puedo decir que en esa superficie la r es constante. 00:09:00
Vale, ¿para qué quiero esto? Pues bueno, lo primero que yo voy a pasar a la definición del coseno. 00:09:05
que esto va a ser el módulo del primero 00:09:09
porque es un producto escalar 00:09:12
módulo del segundo por el coseno del ángulo 00:09:13
que forman los dos 00:09:16
y el coseno del ángulo que forman 00:09:17
es uno, ¿vale? 00:09:20
o sea que es el coseno de cero 00:09:21
el coseno de cero 00:09:22
que yo sé que esto es uno 00:09:25
y así, pues mira, ¿qué se me va a quedar aquí? 00:09:26
pues directamente 00:09:29
E por DDS 00:09:30
vale, pero como yo sé que he dicho que 00:09:32
en esta superficie 00:09:34
siempre tengo el mismo campo 00:09:36
porque es la misma r y la k no cambia y la carga que tengo no cambia y tal, siempre es la misma r, pues es constante, así que lo puedo sacar fuera de la integral. 00:09:38
Así que esto sería e por la integral de superficie de ds. 00:09:47
Y la integral y el diferencial son opuestos, es como la multiplicación y la división, si yo hago 3 entre 3, pues me van, ¿no? 00:09:55
Si hago 3 menos 3, se me van, son operaciones opuestas, pues la integral y la derivada son la misma, así que integral con diferencial se va. 00:10:03
Esto a los matemáticos les espanta, pero es una cosa que hacemos los físicos para simplificarnos un poco la vida, 00:10:16
pero si lo decís a alguien de verdad que sabe matemáticas va a decir, no, pero esto es mucho más complicado. 00:10:22
Sí es verdad, pero en la práctica te llevan la misma conclusión y nos ahorramos mucho tiempo. 00:10:28
Así que en la práctica esto se nos va y nos queda E por S, o sea, el campo por la superficie. 00:10:33
¿Qué superficie? Pues la de la esfera de aquí, esta superficie de la esfera. 00:10:41
La superficie de la esfera es 4 pi r cuadrado. 00:10:45
Ojo, esta es la superficie de la esfera, el volumen era lo que era 4 pi tercios de r al cubo, 00:10:48
Pero estamos con la superficie, por lo tanto esto sería e por 4pi por r al cuadrado, ¿vale? Este es el segundo paso, ¿vale? El tercer paso es igualar esto a, o sea, igualar el flujo a la segunda parte del teorema. 00:10:54
decíamos que el teorema de Gauss 00:11:14
lo pongo aquí arriba 00:11:18
el teorema de Gauss dice que la integral 00:11:19
de E 00:11:23
por D de S 00:11:24
es igual a la carga encerrada 00:11:26
por epsilon sub cero 00:11:30
ya me he hecho esta parte 00:11:32
pues ahora lo que tengo que hacer es igualar a esto y despejar 00:11:34
que es el paso 3 00:11:37
entonces el flujo 00:11:39
que yo he dicho que es 4 00:11:41
perdón, E 00:11:42
por 4pi por r al cuadrado lo igualo a la carga encerrada, pero ¿qué carga es? 00:11:43
¿Es la carga total de la esfera? No, porque la carga será la que está aquí, 00:11:53
esta carga, que es la que yo voy a llamar q pequeña, 00:11:57
porque la carga total sería contando todo, todo, todo, todo. 00:12:01
Esta carga es la carga q, la carga total de la esfera es la carga q, 00:12:05
pero yo no tengo la carga total de la esfera, es la carga encerrada adentro. 00:12:09
Entonces vuelvo a repetir, la carga encerrada adentro es Q y la carga de fuera es Q mayúscula, ¿vale? 00:12:13
O sea, la carga total, no la de fuera, la carga total. 00:12:20
O sea que yo, encerrada en esa superficie, tengo una carga pequeñita Q, la que he llamado Q en verde, 00:12:24
partido por el signo sucero, porque el teorema no dice que sea la carga total de la esfera, 00:12:29
dice que es la carga encerrada en la superficie. 00:12:33
Y la carga encerrada en esta superficie es la carga Q, pequeñita, esa. 00:12:36
¿Pero cuánto vale? Pues no lo sé, no sé cuánto vale, pero lo puedo sacar sabiendo que la densidad es constante. 00:12:42
¿Qué quiere decir que la densidad es constante? 00:12:49
Pues que para cualquier volumen, la carga total entre el volumen total va a ser igual a una carga más pequeñita entre un volumen más pequeñito. 00:12:50
Porque como es constante, se va a mantener siempre la densidad de carga. 00:13:00
Si yo cojo menos volumen, pues tendré menos carga encerrada, pero la densidad va a ser la misma. 00:13:03
¿Para qué me sirve esto? Pues bueno, pues para sacarme lo que vale esta Q de aquí 00:13:07
¿Cómo lo saco? Pues sustituyendo aquí diría que Q es 00:13:12
La Q grande sería partido por el volumen grande, el volumen de la esfera grande 00:13:17
El volumen de todo esto es, según la fórmula del volumen 00:13:22
4 pi tercios de R grande al cubo 00:13:26
Tiene que ser igual a Q partido por el volumen pequeñito 00:13:32
que es este, ¿vale? Entonces esto sería 4pi tercios de r pequeñita al cubo y entonces fijaos que de aquí ya me puedo despejar lo que vale la q, el 4pi tercios con el 4pi tercios se va y me quedaría que la q pequeñita sería q grande partido de r cubo por r cubo pequeñito que pasa multiplicando. 00:13:37
Entonces ahora yo puedo venir aquí y decir, vale, pues sustituyo ahí, esto sería la e por 4pi por r cuadrado, es igual a la carga pequeñita, q grande partido por r cubo por r cubo pequeñita. 00:14:02
Y partido por epsilon sub cero. Bien, pues esto lo hago así para que no se me junte con otras fórmulas. Ahora, ¿qué tengo que hacer? Simplificar y pasar todo al mismo lado. 00:14:32
Entonces, voy a pasar esto al otro lado y voy a colocar, para que no me queden dos fracciones, lo voy a colocar en una. 00:14:45
¿Qué me va a quedar esto? Pues va a ser que E es igual a Q partido por 4pi, que pasa dividiendo R cuadrado, con R cuadrado se va y solo me queda esta R. 00:14:52
El R cubo se pasaría aquí abajo, ¿vale? Con el signo sub cero por R, por esta R de aquí que me queda, ¿vale? Este es el campo y como yo sé que el campo es radial, ¿vale? Que el campo es radial hacia afuera, pues si lo quiero hacer vector le añado el unitario radial, ¿vale? Esto sería Q, el signo sub cero por R cubo por R por el unitario radial, ¿vale? 00:15:07
Con esto ya lo hago vector. Entonces aquí yo tengo mis fórmulas del campo, que esto es lo que me piden ahí al campo en esto. 00:15:37
¿Qué quiere decir esto? Fijaos que esto quiere decir que aumenta, va aumentando con la r porque estos son constantes. 00:15:49
Estos son constantes. La q es una constante, el radio es una constante, 4pi es 1 sub 0, todo eso son constantes y lo que va variando es r. 00:15:57
Quiere decir que si yo empiezo a medir aquí una esfera pequeñita, pues tendré una e pequeñita. 00:16:06
O sea, en el centro centro no tengo campo. 00:16:12
Aquí tendré una r pequeñita, va creciendo según r, si r es 1, pues será 1 por esto, 2 por esto, 3 por esto, 4 por esto. 00:16:15
4 por una constante, imaginaos que la constante es 2. 00:16:23
Pues sería 2 por 1, 2 por 3, 2 por 4, 2 por 5, 2 por 6, ¿vale? 00:16:25
Es lineal, eso quiere decir que dentro de la esfera el campo crece de forma lineal con la r, según vas aumentando, que es una diferencia, antes cuando estábamos fuera del planeta el campo va disminuyendo con la r, cuando más distancia, acordaos que disminuía con r cuadrado, y dentro va aumentando de forma lineal, por esto que os digo, va aumentando de forma lineal. 00:16:29
luego lo vemos más cuando haga el otro ejercicio 00:16:56
sigo con el siguiente ejemplo 00:16:59
porque este lo hemos hallado ya 00:17:04
ahora cuando tenga los dos 00:17:05
digo lo que pasa con todo 00:17:06
vale, pues ahora voy a hacer el punto 00:17:09
en el exterior de una esfera uniformemente cargada 00:17:12
vale, siguiendo los mismos pasos 00:17:16
elegimos la superficie adecuada 00:17:17
que en el caso de una esfera 00:17:19
ahora lo que tengo es una esfera 00:17:21
vale, y quiero hallarlo en un punto en el exterior de la esfera 00:17:22
En un punto en el exterior de la esfera. Antes estaba adentro, ahora estoy fuera. Quiero hallarlo en un punto en el exterior de la esfera. Hago lo mismo. Voy a ver si hago, pues bueno, en un punto el campo será saliente y radial y la superficie también. 00:17:26
en la superficie, a esta superficie, o sea, el vector superficie que es perpendicular a cada punto de la superficie, pues será paralelo a E, ¿vale? 00:17:46
Porque tiene que ser perpendicular en cada punto a la superficie esta que me he cogido, en el punto donde yo lo quiero calcular. 00:17:54
Y entonces vuelven a ser paralelos, porque claro, yo lo vuelvo a coger así, no me interesa coger una cosa que sea así y que el ángulo me haga historias. 00:18:03
Yo lo que quiero es que el ángulo sea fácil, por eso cojo la esfera. Vale, hago igual lo mismo, sería el flujo, sería E por DDS, vuelvo a llegar a lo mismo, ¿vale? Porque volvería a decir que E por DDS, esto es la integral de superficie de E por DDS por el coseno del ángulo que forman, el ángulo que forman es 0, así que el coseno de 0 es 1, 00:18:11
y esto me queda que sería la integral de E por D de S, el módulo, como E es constante porque lo estoy calculando siempre al mismo radio, 00:18:36
sale de fuera de la integral y la integral con el diferencial se van y me queda que E por S, lo mismo que antes, ¿vale? 00:18:48
E y la superficie, que es la superficie de la esfera, que es 4pi por R0, o sea que hasta aquí igual que antes. 00:18:55
¿Cuál es la diferencia? Bueno, pues la carga, ¿vale? El segundo punto es exactamente igual, porque es una esfera, entonces, como es calcular el flujo a través de la esfera, igual. 00:19:03
Pero ahora, claro, aplicamos la ley de Gauss, entonces decimos que el flujo, que es lo que he calculado en el paso 2, va a ser igual a la carga encerrada partido por la superficie. 00:19:14
pero ¿qué carga hay encerrada en esta superficie? Toda la carga, porque aquí está la esfera entera, entonces está toda la carga Q, o sea, encerrado aquí está toda la carga Q, ¿vale? Por lo tanto, aquí no tengo que hacer historias de densidades ni nada, porque esa carga la sé, es la que me da el problema, lo que sea, lo que vale la esfera, pues eso, ¿vale? 00:19:28
¿Qué quiere decir esto? Pues muy facilito, que yo aquí directamente despejo, porque no tengo que hallar lo que vale la carga, porque lo sé, es el total de la carga, 00:19:48
y esto me queda 1 partido por 4pi, pongo las constantes todas juntas, por q partido de r al cuadrado. 00:19:57
Y esta es la razón por la que esto, para no tener tantas historias, se ha llamado k, y por eso nosotros hemos aprendido que el campo es k, 00:20:06
por Q partido por R2 00:20:17
y si lo quiero poner en vector 00:20:22
pues le añado el unitario en la dirección radial 00:20:26
y ya estaría 00:20:30
esta es la razón, lo vimos como que era dependiendo de la fuerza 00:20:32
y dependiendo de F partido por Q 00:20:37
pero esta es la razón deducida de por qué esto es así 00:20:42
¿Vale? Por lo del flujo. ¿Vale? O sea que la carga de una esfera se comporta como una carga puntual. ¿Vale? Se comporta como una carga puntual. Voy a borrar porque necesito escribir lo que viene escrito que está mejor y más limpito y si no, no se ve. 00:20:46
Vale, entonces, bueno, ahora toda la carga está ahí encerrada, despejando del campo nos queda esto y el vector pues sería añadiendo el unitario, ¿vale? ¿Qué quiere decir esto? Pues que fijaos aquí en el, donde se marca en el radio justo, ¿vale? 00:21:00
donde está el radio 00:21:18
antes de llegar al radio 00:21:20
si yo voy midiendo por aquí el campo 00:21:22
el campo va a aumentar linealmente 00:21:23
porque veíamos que era una constante por R 00:21:27
y cuando salgamos del radio 00:21:30
y midamos fuera 00:21:34
va a ir descendiendo con R cuadrado 00:21:35
entonces el campo no es siempre lo mismo 00:21:38
ya lo sabíamos 00:21:42
pero es que se comporta muy diferentemente 00:21:43
dentro del campo que va creciendo con la distancia 00:21:45
dentro del radio que va creciendo con la distancia 00:21:48
afuera que va decreciendo con la distancia 00:21:51
esto nos lo van a pedir 00:21:53
lo que nos van a pedir es esto en los dos casos 00:21:55
vale, me quedan 00:21:57
dos casos 00:22:01
el campo eléctrico creado por un hilo 00:22:03
indefinido cargado uniformemente 00:22:05
siguiendo los pasos anteriores 00:22:07
vale, un hilo, un hilo cargado indefinidamente 00:22:08
este es el hilo 00:22:11
que es un hilo cargado como un cable 00:22:12
es un cable de cobre, imaginaos 00:22:15
que está cargado, ¿vale? Bueno, cable de correo no puede estar cargado, pero bueno, un cable que está cargado. 00:22:17
Ahora voy a suponer que no tiene volumen, que es un hilo perfectamente, que solo tiene una dimensión, ¿vale? 00:22:26
Que solo tiene la dimensión de donde está en el eje X, pero no tiene volumen, ¿vale? Y eso es que es en una línea. 00:22:35
Eso es lo que se llama la densidad lineal de carga. La densidad lineal. Esta es la densidad lineal. Yo tengo la densidad de volumen, que es la carga partido por el volumen, y tengo la densidad en línea, que sería la carga partido por la línea, lo que vale L. 00:22:43
Y entonces aquí la superficie que me interesa es un cilindro. ¿Por qué? Porque fijaos, si yo me pongo aquí a sacar cuánto vale, pues aquí el campo sería este por arriba, por abajo, iría saliendo radial al hilo. 00:23:02
claro, yo quiero una superficie que sea también radial 00:23:23
entonces ¿qué necesito? 00:23:27
pues una esfera no puede ser 00:23:29
porque una esfera vendría por aquí 00:23:30
y ya no me coge todo con el mismo ángulo 00:23:32
pero un cilindro sí 00:23:36
porque un cilindro justo en todos los puntos 00:23:36
en todos los puntos la superficie esta 00:23:39
va a ser perpendicular 00:23:41
o sea, perpendicular al vector superficie 00:23:42
y por tanto los vectores superficie 00:23:45
y del campo van a ser paralelos 00:23:48
que es lo que yo quiero 00:23:52
Y luego tengo otras dos superficies, las que cierran el cilindro, esta y esta por las que no atraviesa ninguna línea, porque no hay ninguna línea que vaya así del campo, porque todas salen radialmente del campo, ¿vale? 00:23:53
Entonces consigo lo que quiero, que es que el coseno sea 0 o 1. Vamos a verlo despacito. 00:24:09
Determinamos utilizando la definición el flujo que atraviesa dicha superficie, vale, pues cogemos el flujo que atraviesa, lo puedo expresar como la superficie total del cilindro, sabéis que cuando se hace la superficie total del cilindro lo que se hace es que se suma esta superficie y las de los dos círculos, vale, o sea que la superficie del cilindro será la superficie lateral más dos veces la superficie de los círculos, 00:24:17
Así es como se halla en primaria o en la ESO o donde sea que se aprende las superficies, la superficie total del cilindro es la suma de las superficies, ¿no? Pues voy a hacer lo mismo. La superficie total va a ser la superficie lateral más la de los círculos, ¿vale? 00:24:44
¿Qué pasa? Que a través de los círculos no hay, o sea, a través de este círculo no hay porque el campo no sale así, sale radial, entonces ahí el campo es cero y como el campo es cero, todo el flujo a través de los círculos es cero, ¿vale? Se me va, se me va. 00:25:00
También podéis verlo porque aquí en las superficies, el vector superficie en esta superficie va a ser un vector así. 00:25:20
Y entonces esto con cualquiera de los puntos en este punto, que sería este, este y este, forman 90 grados. 00:25:32
Estos dos vectores forman 90 grados. 00:25:44
entonces porque están en planos diferentes 00:25:48
entonces se me va a ir también por lo del coseno 00:25:50
como lo veáis de cualquier forma está bien 00:25:54
con lo cual solo me quedo con la parte de la superficie lateral 00:25:56
y en la superficie lateral me vuelvo a pasar lo de antes 00:25:59
que como son paralelos 00:26:01
puedo hacer el truco de que 00:26:05
e por dds por el coseno del ángulo que forman 00:26:06
el coseno del ángulo que forman es 0 00:26:12
por tanto el coseno será 1 00:26:14
y esto me va a quedar que es E por D de S y como en estos puntos de aquí la R es la misma, 00:26:16
puedo sacar el campo de la integral y me quedaría que esto es E por S, ¿vale? 00:26:24
Que es lo que pone aquí. 00:26:32
Toda esta deducción, como ya la he hecho dos veces, pues no la hago más, 00:26:34
pero bueno, sí la he hecho, pero que no está aquí puesta en la letra escrita con ordenador. 00:26:37
Y ahora, ¿cuál es el área de la superficie lateral? Si nos acordamos, es base por altura, ¿vale? Es la base por la altura. ¿Cuánto vale la base? Pues L, ¿vale? No, perdón, L es esta base. 00:26:44
¿Y cuánto vale la altura? Y esto de aquí es lo mismo que lo que mide la circunferencia, porque va a ir pegado aquí. Entonces esto sería 2 por pi por r. Total, que el área de la superficie será base por altura, o sea, 2 pi r por l. 00:27:04
¿Vale? 2πr por L 00:27:27
Bueno, aplicamos la siguiente parte 00:27:29
Que es decir que el flujo es igual a la carga encerrada partido por ε sub 0 00:27:32
Y despejamos de ahí 00:27:36
¿Qué pasa? Que yo no sé cuál es la carga encerrada 00:27:39
Yo no sé cuál es la carga que está justo encerrada en este cilindro 00:27:42
¿Vale? Porque aquí hay carga que sale y tal 00:27:46
La carga Q aquí en este cilindro no sé cuál es 00:27:48
¿Cuál es esa carga? No lo sé 00:27:51
Pero puedo usar otra vez lo de que la densidad de carga es esto, entonces la carga encerrada aquí Q será lambda, bueno, la he puesto aquí en mayúscula porque aquí no hay radio pequeño y radio grande, será, despejando de aquí, lambda por L, ¿vale? 00:27:52
La anda por L, así que me despejo el campo pasando esto al otro lado y como el, bueno sigo yo porque es que al final lo estoy haciendo un poquito diferente de ahí, 00:28:16
Si yo despejo de aquí, E sería Q partido de 2pi epsilon sub 0 por R por L, ¿vale? 00:28:35
Y como yo sé que Q partido por L es lambda, pues lo pongo aquí, porque eso suele dar el dato de la densidad, no el dato de la carga. 00:28:47
Porque no sabes cuánta L vas a coger, cuánta longitud vas a coger. 00:28:55
Entonces esto sería 2pi epsilon sub 0 por R, ¿vale? 00:29:00
Esto es el módulo del campo, o sea que va con 1 partido por r, 1 partido por r al cuadrado, cambia, ¿vale? 00:29:04
Para hacerlo vector, pues simplemente añadimos el unitario en el vector radial. 00:29:16
Entonces esto sería por el unitario radial, ¿vale? 00:29:23
Porque sabemos que el campo sale radial, entonces por unitario radial y ya lo hacemos vector con eso. 00:29:27
Muy bien, pues último, último, que es el campo eléctrico creado por una carga infinita, perdón, indefinida, una placa indefinida cargada uniformemente. 00:29:31
¿Cuál es este caso? Pues, seguimos los mismos pasos. Elegimos una superficie adecuada a la simetría de la distribución de carga, que va a ser un cilindro, o sea, yo ahora tengo una superficie cargada, tengo que parar otra vez un poco, 00:29:45
Materias:
Física
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
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Laura B.
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Fecha:
4 de noviembre de 2024 - 11:44
Visibilidad:
Público
Centro:
IES N.15 BARRIO LORANCA
Duración:
30′ 02″
Relación de aspecto:
0.75:1
Resolución:
1440x1920 píxeles
Tamaño:
293.08 MBytes

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