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Ejemplo de factorización de un polinomio - Contenido educativo

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Subido el 7 de marzo de 2021 por Andrés B.

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Ejemplo de factorización de un polinomio cuyas raíces son todas enteras.

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Vamos a hacer una serie de ejemplos de factorización de polinomios, entonces vamos a empezar con este, x a la quinta menos 9x a la cubo más 4x al cuadrado más 12x. 00:00:01
En este caso, como veis, es un polinomio que no tiene término independiente, entonces eso nos da una ventaja, que es que ya para empezar podemos decir que p de x es, y lo que podemos hacer es sacar factor común a la x, porque como está en todos los términos, ¿vale? 00:00:16
En todos los términos hay alguna x, podemos decir que el polinomio es x por x a la cuarta menos 9x al cuadrado más 4x más 12, ¿vale? 00:00:35
Porque la x, como está multiplicando todo, pues x por x a la cuarta es x a la quinta, x por menos 9x al cuadrado es menos 9x al cubo, 00:00:53
x por 4x es 4x al cuadrado y x por 12 es 12x 00:01:02
de manera que ya tenemos la primera factorización y la primera raíz 00:01:07
puesto que en este caso si x vale 0, 0 por este otro polinomio va a dar 0 00:01:12
entonces el polinomio p de x es 0 si x es igual a 0 00:01:19
con lo cual ya tenemos la primera raíz 00:01:21
la voy a poner aquí en color rojo 00:01:22
la primera raíz sería x igual a 0 00:01:26
Puesto que p de x es 0 si x vale 0 00:01:29
Bien, ahora para sacar las demás raíces ya sí que podemos empezar a hacer Ruffini 00:01:36
Entonces nos fijamos en que el término independiente es 12 00:01:43
Con lo cual las posibles raíces que va a tener ese polinomio van a ser los valores de los divisores de 12 00:01:47
Es decir, más menos 1, más menos 2, más menos 3, más menos 4, y, bueno, más menos 6 y más menos 12, ¿vale? 00:01:56
Es decir, podríamos probar hasta con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12 valores distintos, ¿vale? 00:02:13
bien, pues vamos a empezar con el más pequeño 00:02:22
siempre el consejo es que empecéis siempre con el más pequeño 00:02:26
es decir, primero vamos a empezar con el 1 00:02:29
y si no es el 1, pues el menos 1 00:02:32
pero siempre empezando por el más pequeño 00:02:34
puesto que así será más fácil, vale 00:02:36
a ver si puedo mover esto, sí, perfecto 00:02:39
vale, pues tenemos el polinomio que queremos factorizar 00:02:43
ahora mismo, recordemos, es este, vale 00:02:46
De manera que escribo ese polinomio, este polinomio está ordenado pero está incompleto, le falta el término, como podemos ver aquí, tendríamos x a la cuarta más 0x al cubo, falta el término de x al cubo, por lo tanto, menos 9x al cuadrado más 4x más 12. 00:02:48
¿Vale? Es lo mismo lo que he escrito aquí que lo que he escrito aquí 00:03:18
Solo que tengo que completarlo, entonces aquí tengo que poner 00:03:21
Cuidado con eso 00:03:24
1, 0, que no se nos olvide esto 00:03:25
Menos 9, 4 y 12 00:03:28
Y aquí pongo el valor de a 00:03:32
El primer valor de a que voy a probar es a igual a 1 00:03:34
Es decir, voy a probar a dividir este polinomio 00:03:36
¿Vale? Entre x menos 1 00:03:39
De manera que si a igual a 1 es 00:03:43
definitivamente una raíz del polinomio, el polinomio será divisible entre x menos 1. 00:03:46
Vamos a ver si es cierto. Entonces, primero bajo este 1, 1 por 1 es 1, 0 más 1 es 1, 1 por 1 es 1, 00:03:53
menos 9 más 1 es menos 8, menos 8 por 1 es menos 8, 4 menos 8 es menos 4 y menos 4 por 1 es menos 4. 00:04:03
12 menos 4 son 8, 8 es el resto de la división, como el resto no es 0 00:04:13
x menos 1 no es un factor 00:04:19
y x igual a 1 por lo tanto no es una raíz 00:04:23
así que vamos a probar con la siguiente que sería x igual a menos 1 00:04:27
es decir, el factor x más 1 00:04:32
coloco de nuevo los coeficientes del dividendo 00:04:35
el polinomio este que he puesto aquí en color azul 00:04:39
Bajo el 1, 1 por menos 1, menos 1, 0, menos 1, menos 1, menos 1 por menos 1, 1, menos 9 más 1, menos 8, menos 8 por menos 1, perdón, 8, 4 más 8, 12, 12 por menos 1, menos 12 y ahora sí, 12 más menos 12, este. 00:04:43
El resto es 0, con lo cual x igual a menos 1 sí que es una raíz, ¿vale? Aquí tendría la segunda raíz, x igual a menos 1. 00:05:07
Y por lo tanto, x más 1 sería un factor. Es decir, que aquí la división de momento me queda lo siguiente. 00:05:18
Me queda que x a la cuarta menos 9x al cuadrado más 4x más 12 es igual a x más 1, que es el primer factor que he sacado, aparte del que ya tenía de la x esta, x más 1 por x, esto de aquí, x al cubo menos x al cuadrado menos 8x más 12. 00:05:25
¿Vale? Recuerdo que como el polinomio es de grado 4 que tenía en el dividendo 00:05:52
El cociente va a ser de grado 3, puesto que va a ser de grado 4 menos 1 00:05:58
Porque estoy dividiendo entre un polinomio de grado 1 00:06:02
¿Vale? Entonces ahora ya tengo un polinomio de grado 3 00:06:05
Como es de grado 3, sigue siendo grado menor que 2 00:06:09
Todavía no puedo resolverlo con la ecuación de segundo grado 00:06:12
Es decir, ahora de momento tengo que volver a hacer Ruffini 00:06:14
Pero a ver Ruffini con ese segundo divisor 00:06:17
perdón, dividendo 00:06:22
el dividendo de la siguiente división 00:06:23
será este polinomio 00:06:27
entonces pues nada, vuelvo a 00:06:28
a escribir 00:06:31
vuelvo a hacer Ruffini 00:06:32
pero ahora lo hago con este polinomio 00:06:34
que sería 1, menos 1 00:06:36
8 y 12 00:06:38
de nuevo 00:06:40
como tenemos el mismo término independiente 12 00:06:42
pues de nuevo podemos tener otra vez 00:06:44
para que lo veáis 00:06:46
podemos tener las mismas raíces que antes 00:06:47
solo que ya sabemos que 00:06:50
Si el anterior polinomio no tenía como raíz x igual a 1, tampoco lo va a tener este. Lo que sí que puede tener otra vez es repetir una raíz, es decir, podemos volver a probar con x igual a menos 1 porque puede que vuelva a estar. 00:06:52
Entonces vamos a probar empezando con esa, x igual a menos 1 00:07:05
Por lo tanto aquí pongo menos 1, que sería dividir este polinomio entre x más 1 00:07:09
Bajo el 1, 1 por menos 1, menos 1, menos 1 más menos 1, menos 2, menos 2 por menos 1, 2 00:07:16
8 más 2, 10, 10 por menos 1, menos 10 y 12, menos 10, 2 00:07:24
el resto es distinto de 0, así que este número, x igual a menos 1, no es una raíz del polinomio 00:07:32
y por lo tanto x más 1 no es un factor del polinomio, con lo cual vamos a probar con el siguiente número 00:07:41
entonces el siguiente número en mi lista de raíces es el 2, vamos a probar con el 2 00:07:47
Por lo tanto, voy a dividir el polinomio entre x menos 2, que sería colocar aquí a igual a 2. 00:07:54
1, menos 1, 8 y 12. Recuerda, estos son los coeficientes de este polinomio, que es el que quiero factorizar ahora. 00:08:04
Entonces, bajo el 1, 1 por 2, 2. Menos 1 más 2, 1 por 2, 2. 8 más 2, 10. 10 por 2, 20. 20 más 12, 32. Tampoco es igual a 0 el resto, con lo cual tampoco me vale este factor. 00:08:13
Vamos a probar el siguiente, que sería menos 2, 1, menos 1, 8, 12, bajo el 1, 1 por menos 2, menos 2, menos 1, menos 2, menos 3, menos 3 por menos 2, 6, ¿lo he hecho bien? 00:08:35
o que me he tirado un error 00:08:57
menos 2 00:08:59
ah, que he puesto aquí fallo 00:09:00
fallo que tenía de antes, vale 00:09:03
que me acabo de dar cuenta ahora 00:09:05
aquí pone menos 8, no 8, vale 00:09:06
esto está mal, esto es, voy a corregirlo 00:09:08
voy a ponerlo en rojo para que veáis que estaba mal 00:09:11
aquí tenía menos 8, entonces esto sería 00:09:13
menos 8, voy a borrarlo 00:09:15
voy a borrarlo porque 00:09:17
porque ya estaría todo el resto 00:09:19
de operaciones mal, vale 00:09:21
entonces 00:09:23
me he equivocado a partir de aquí 00:09:24
Vamos a ver, aquí sería menos 8 00:09:27
Entonces vamos a ver, estamos aquí 00:09:32
Menos 2 por menos 1 sería 2 00:09:35
Menos 8 más 2 son menos 6 00:09:38
Por menos 1 son 6 00:09:41
Bueno, igualmente tampoco era raíz 00:09:43
Bajo el 1, 1 por 2, 2 00:09:46
Menos 1 más 2, 1 00:09:49
Por 2, 2 00:09:51
Menos 8 más 2, menos 6 00:09:53
menos 6, no perdón 00:09:57
sería más 6 00:10:01
no, no, menos 6 00:10:01
menos 6 00:10:04
entonces si, menos 6 por 00:10:06
2 son menos 12 00:10:11
entonces si que era raíz 00:10:13
entonces ya de momento 00:10:15
nos olvidamos de esta 00:10:17
cuidado con eso 00:10:18
ya veis que es fácil equivocarse con los signos 00:10:23
comprobadlo 00:10:26
yo me he dado cuenta a tiempo de que estaba mal 00:10:28
pero 00:10:31
bueno, pues que hay que tener 00:10:32
cuidado con eso, porque lo mismo, probáis y probáis y no sacáis ninguna y es porque 00:10:35
realmente os habéis equivocado en esto. Vale. Bueno, pues entonces ya tendríamos otra raíz 00:10:39
más, que es x igual a 2, ¿vale? Es decir, x menos 2 sería un factor, de manera que 00:10:46
yo puedo escribir este polinomio, ¿vale? x al cubo menos x cuadrado menos 8x más 12, 00:10:58
con la regla de la división, sería el polinomio x menos 2 por el polinomio que nos ha salido 00:11:08
en el cociente, que es x cuadrado más x menos 6. Es decir, que el polinomio este otro de 00:11:14
aquí, vale, x cuarta menos 9x cuadrado más 4x más 12 sería x más 1, vale, es esto 00:11:22
de aquí, por esto de aquí que ahora lo podemos poner como x menos 2 por x cuadrado más x 00:11:34
menos 6. Y ahora tenemos dos opciones, volver a hacer Ruffini con este y volver a probar 00:11:42
posibles raíces o directamente 00:11:47
nos puede resultar 00:11:50
más sencillo 00:11:51
porque así no lo hacemos por tanteo 00:11:54
por decirlo de alguna manera, resolviendo la ecuación 00:11:55
de segundo grado, que es el método que 00:11:57
nos va a dar 00:11:59
las dos soluciones, es decir, las dos raíces 00:12:01
que quedan, si es que las hay 00:12:03
además este método 00:12:05
lo bueno es que si no las hay, enseguida lo 00:12:07
vamos a ver, o si no son racionales 00:12:09
que también puede ser que no sean racionales y que por lo tanto 00:12:12
no estén en la lista que hemos puesto, que puede que sean 00:12:14
alguna raíz cuadrada, esas raíces 00:12:16
son casos raros 00:12:18
pero pueden ocurrir 00:12:19
puede ocurrir que la ecuación de segundo grado 00:12:21
x cuadrado 00:12:24
más x menos 6 igual a 0 00:12:26
no tenga soluciones 00:12:28
reales, que sería un caso 00:12:29
extremo, en el cual ya no se podría factorizar más 00:12:32
o puede ocurrir que no tenga 00:12:34
raíces enteras 00:12:36
o incluso que no sean 00:12:37
racionales, que por lo tanto no está en la 00:12:42
lista que tenemos ahí, es decir, que sean raíces cuadradas de números primos, por ejemplo, 00:12:44
¿vale? Que es algo que puede pasar cuando resolvamos una ecuación de segundo grado. 00:12:50
Entonces vamos a resolverla, a ver cuáles son las raíces de esta ecuación y por lo 00:12:54
tanto podremos, de este polinomio, perdón, y por lo tanto podremos sacar los factores 00:12:58
que nos quedan. Entonces x es igual a menos b, es decir, en este caso, vamos a escribirlo 00:13:04
aquí, tendríamos a igual a 1, b igual a 1 y c igual a menos 6. Cuidado, fallo típico 00:13:11
y es algo importante saber hacerlo. El 0 tiene que estar aquí, al lado derecho, el solo, 00:13:19
¿vale? Todo lo demás a este lado, para que podamos llamar a a lo que es a, b a lo que 00:13:26
es b y c a lo que es c, ¿vale? No nos equivoquemos. Entonces, tendríamos menos b, es decir, menos 00:13:34
1 más menos raíz cuadrada de b al cuadrado, es decir, 1 al cuadrado. 1 al cuadrado es 00:13:39
1, ¿vale? Menos 4 por a y por c, ¿vale? Cuidado con el signo menos. Partido 2 por a. El 2 00:13:45
por a está dividiendo a todo, ojo, ¿vale? Si todo ello es una fracción, no está dividiendo 00:13:57
solamente a la raíz, sino está dividiendo a todo, al menos 1 más menos la raíz. Bien, 00:14:02
Bien, entonces, esto sería 1 más menos raíz cuadrada de 1 menos 24, perdón, menos 4 por menos 6 son más 24, luego sería 1 más 24, que son 25, partido por 2, y bueno, tiene buena pinta, ¿no? 00:14:08
porque la raíz de 25 00:14:25
va a ser algo racional 00:14:27
porque la raíz de 25 es más menos 5 00:14:29
entonces ahí lo tenemos 00:14:32
1 más menos 5 partido por 2 00:14:33
y esto nos va a dar lugar a dos soluciones 00:14:35
una de ellas va a ser 00:14:37
1 más 5 partido por 2 00:14:38
que sería 6 partido por 2 00:14:42
que es 3 00:14:44
y la otra va a ser 00:14:45
1 menos 5 partido por 2 00:14:47
que sería menos 4 partido por 2 00:14:50
que son menos 2 00:14:52
¿Vale? Y ahora ya con esas dos soluciones tenemos las dos raíces que nos faltaban de ese polinomio. Es decir, x igual a 3 y x igual a menos 2. ¿Vale? 00:14:53
Si no me he equivocado, esto sería así, ¿sí? Bien, entonces, una vez que tenemos esto, por lo tanto, los factores que me quedan serían x menos 3 y x más 2. 00:15:06
voy a subir para ver el polinomio 00:15:31
el polinomio es este 00:15:33
el último que teníamos 00:15:36
es decir, podemos escribir 00:15:37
que x cuadrado más x 00:15:38
menos 6 00:15:42
es igual a 00:15:43
x menos 3 00:15:45
por x más 2 00:15:46
¿vale? 00:15:50
está claro, ¿no? 00:15:54
ah, perdonad, otro fallo he tenido 00:15:55
bor 00:15:57
aquí tenía un menos 00:15:58
y se me ha ido aquí 00:16:01
Así que no son esas las raíces. Cuidado. Tenéis cuidado con los signos menos. Si tenéis un día como el que tengo yo hoy, que estáis un poquito espesos, os podéis equivocar con los signos, así que tenéis cuidado, ¿vale? 00:16:02
¿Vale? Seguro que alguno os habéis dado cuenta cuando lo estaba haciendo de que faltaba eso. ¿Vale? Entonces eso lo cambia todo. Porque entonces las soluciones serían menos 1 más menos 5 partido por 2. Es decir, menos 1 más 5 partido por 2 y menos 1 menos 5 partido por 2. 00:16:13
Esta sería menos 6 partido por 2, que es menos 3, y esta sería más 4 partido por 2, que sería más 2, ¿vale? O sea, justo al revés de como los tenía antes. La negativa la tenía positiva y la positiva negativa, tened cuidado con eso, ¿vale? 00:16:36
Entonces, si esas son las raíces, ya podemos escribirlas aquí, x igual a 2 y x igual a menos 3, estas serían las raíces, ¿vale? 00:16:54
Luego, los factores serían x menos 2 y x más 3, es decir, nuestro polinomio, el último que teníamos, que es este de aquí, x cuadrado más x menos 6, sería x menos 2 por x más 3. 00:17:06
Y por lo tanto, el polinomio original, que es este de aquí, bueno, este es el original después del primer factor que quitamos, que ahora lo recuerdo. 00:17:23
Entonces este polinomio, x cuarta menos 9x cuadrado más 4x más 12, sería, a ver si me cae aquí, x cuarta, ¿cómo era? 00:17:33
x cuarta menos 9x cuadrado 00:17:48
menos 9x cuadrado 00:17:51
más 4x más 12 00:17:55
más 4x más 12 00:18:01
es igual a 00:18:05
x más 1 por x más 2 00:18:08
y por x menos 2 por x más 3 00:18:10
¿vale? porque esto de aquí es esto 00:18:13
entonces sería por x más 1 por x menos 2 00:18:16
por x menos 2 otra vez 00:18:19
de esta, ¿vale? 00:18:28
y por x más 3 00:18:29
que sería esta 00:18:31
bien 00:18:33
en consecuencia, el polinomio original 00:18:34
que no era este, sino 00:18:38
este otro 00:18:39
que voy a escribir aquí, x quinta 00:18:41
menos 9x al cubo 00:18:43
más 4x cuadrado 00:18:46
más 12x 00:18:47
lo podemos escribir como 00:18:49
x más 1 00:18:51
por 00:18:52
fijaos, este está dos veces 00:18:53
luego podemos poner x menos 2 al cuadrado 00:18:56
por x más 3 00:18:58
y por la x que habíamos sacado al principio 00:19:00
que habíamos hecho al principio 00:19:02
¿vale? 00:19:04
entonces tiene 00:19:06
2, 3 00:19:09
3 factores simples 00:19:11
y un factor doble 00:19:14
1, 2, 3, 4 00:19:15
5 factores 00:19:18
Solo que uno de ellos está repetido, ¿vale? 00:19:20
Entonces la factorización terminaría aquí, ¿vale? 00:19:23
El resultado de nuestro ejercicio sería esto. 00:19:27
Y podríamos decir también que las soluciones de la ecuación, ¿vale? 00:19:31
La solución a la pregunta de las raíces sería que el polinomio x quinta menos 9x cubo más 4x cuadrado más 12x 00:19:39
es 0 si y solo si se cumple alguna de estas condiciones, que serían las raíces del polinomio, 00:19:51
que son las que hemos ido sacando, que hemos ido poniendo en color rojo. 00:20:01
Es decir, x igual a menos 1, y fijaos, si x es igual a menos 1 se anularía este factor y por lo tanto multiplicar por 0 todos los demás varía a 0. 00:20:04
x igual a 2, porque en el caso de x igual a 2 se anularía este otro, y entonces sería multiplicar por 0 cada uno de estos. 00:20:14
me va a dar 0, x igual a menos 3, que sería el que anula este factor, y por supuesto x igual a 0, ya veis que 0 menos 0 más 0 más 0 es 0, ¿vale? 00:20:21
Entonces, todas esas condiciones me sirven para que se cumpla esa igualdad, de manera que estas son las soluciones de la ecuación de quinto grado, 00:20:36
porque esta ecuación es de quinto grado, ¿vale? x quinta menos 9x cubo más 4x cuadrado más 2x igual a cero. 00:20:45
Es una ecuación de quinto grado y tiene cuatro soluciones. Ya sabéis que las ecuaciones de grado n tienen como mucho n soluciones. 00:20:53
Es decir, una ecuación de quinto grado como mucho tiene cinco soluciones. En este caso, tiene cuatro soluciones. 00:21:01
O lo que es lo mismo, tiene 5, pero una de ellas, o bueno, tiene 4, ¿vale? En realidad, como he dicho, solo que esta es solución doble. 00:21:07
Entonces, esto lo indicamos también, ¿vale? Decimos que esta es una solución doble. ¿Por qué? Porque realmente está dos veces, ¿vale? 00:21:15
Porque esta solución anula dos factores, anula x-2 y x-2, porque esto en realidad son dos factores, ¿vale? Por eso se llama solución doble. 00:21:29
Y bueno, pues eso sería un problema típico, un ejercicio típico de resolución de ecuación de quinto grado y factorización de un polinomio de quinto grado. 00:21:37
Entonces esto se parece un poco a los que os he puesto de tarea adicional, ¿vale? Con lo cual todo se resuelve de esta manera, ¿vale? 00:21:51
Lo primero que tenéis que mirar es si se puede factorizar multiplicando por, sacando factor común alguna x, es decir, en caso de que no tenga término independiente siempre vais a poder hacer esto, sacar algún factor común, bien sea x o x elevado a algún número, ¿vale? 00:22:01
Porque aquí está multiplicada la x, pero el último término podría ser en x al cuadrado y entonces podría sacar igual quizás x al cuadrado, ¿vale? 00:22:18
Entonces, eso es lo primero que tenéis que mirar. 00:22:29
Luego lo que tenéis que mirar es hacer Ruffini para los primeros valores, siempre empezad por los pequeños, ese es mi consejo, ¿vale? 00:22:33
Porque luego los grandes, de salir, ya saldrán en la ecuación de segundo grado, ¿vale? 00:22:41
Imaginad que los primeros factores son esto, x igual a menos 1 y x igual a menos 2, que era el segundo, ¿no? 00:22:45
No, x igual a 2, que era el segundo. 00:22:54
Pues, imaginad que son x igual a 1 y x igual a 2, pero luego el siguiente ya es x igual a 12. 00:22:56
Pues mucho más cómodo será con la ecuación de segundo grado que haciendo Ruffini, 00:23:02
que tenéis que probar con todos estos números hasta llegar al 12, que es el último, ¿vale? 00:23:06
Entonces, siempre mi consejo es que empecéis por los más pequeños, ¿vale? 00:23:10
Y siempre primero positivo y luego negativo, porque es más fácil hacerlo fin y cuando aquí el número es positivo. 00:23:14
E incluso si os sale alguna raíz, digo, alguna fracción, ¿vale? 00:23:19
Es decir, en caso de que aquí tengáis un coeficiente principal distinto de 1, que tenéis que probar fracciones también, las fracciones probadlas al final. 00:23:23
Porque lo mismo digo, la fracción puede salir como resultado de la ecuación de segundo grado. 00:23:34
Será más cómodo que probar a poner aquí fracciones. 00:23:38
Pero bueno, tened en cuenta que podría ser también que tuvierais que hacer Ruffini con algún número fraccionario. 00:23:44
No es lo típico y yo no voy a preguntar esto, pero quizás en cursos posteriores sí que lo tengáis, entonces que lo sepáis, que puedo poneros. 00:23:53
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Andrés Benito Platón
Subido por:
Andrés B.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
114
Fecha:
7 de marzo de 2021 - 17:20
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LUIS DE GONGORA
Duración:
24′ 08″
Relación de aspecto:
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