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Explicación de la resolución de ecuaciones racionales y resolución del ejercicio 1 apartado q del tema - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2021 por Jose S.

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En este vídeo vamos a ver, voy a explicar cómo resolver y aprender a identificar las ecuaciones racionales, ¿vale? 00:00:00
En primer lugar, ¿cuáles son las ecuaciones racionales? Pues mirad, tiene que haber una expresión racional. 00:00:11
Eso es una fracción con polinomios en el numerador y en el denominador. 00:00:19
O sea, cuando hay X en el denominador, dicho así muy malamente. ¿Se entiende la idea? Vamos a ver ejemplos. Por ejemplo, la F, la ecuación F. ¿Veis que tiene una X en el denominador? 00:00:23
Tenemos también la ecuación H 00:00:38
¿Se ve la H? 00:00:41
Por ejemplo 00:00:46
Bien, pues decía, por ejemplo 00:00:48
La decía que la ecuación H es una ecuación racional 00:00:51
¿Veis que tiene en el denominador X? 00:00:56
También es ecuación racional la K 00:00:59
La M es una ecuación con denominadores, con fracciones 00:01:02
pero veis que no hay incógnitas en los denominadores, no es estrictamente racional, ¿de acuerdo? Pero, por ejemplo, la ñ es racional, la q también lo es, r, la x y la 1, esta última también es racional, ¿de acuerdo? 00:01:11
¿Cuál es la que más rabia os da? Y lo voy a explicar resolviendo en particular una. Por ejemplo, la Q. ¿De acuerdo? La Q. Bien, vamos a ver cómo resolver este tipo de ecuaciones. 00:01:32
En primer lugar, la identificamos como ecuación racional. Es racional porque tiene expresiones racionales que son fracciones donde aparece polinomio arriba y abajo. 00:01:54
Primera pregunta. ¿Recordáis que vimos en el tema anterior que era el mínimo común múltiplo de polinomios? 00:02:06
¿Polinomios? Mínimo común múltiplo de polinomios. Estuvimos... Esa parte es importante ahora rescatar lo que vimos en el tema anterior de álgebra. 00:02:14
¿Recordáis que yo os daba una serie de polinomios y teníais que calcular el mínimo común múltiplo? 00:02:25
Desempolvar aquellos... Iros al tema anterior, mirad los vídeos o recordadlos simplemente, ¿vale? 00:02:31
¿Por qué? Porque cuando la ecuación es, por ejemplo, así, donde los denominadores son numéricos, ¿cómo se trabaja con una ecuación de este tipo? Pues vimos, es diferente, esta no es racional porque los denominadores son numéricos, ¿se ve la diferencia? 00:02:37
Pero ¿cómo se trabaja? Pues hacíamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. ¿Sí o no? Que es 12. Y luego hacíamos 12 entre 4 a 3, 3 por lo del numerador. Así es como sumamos fracciones también. 00:03:14
O sea, obteníamos fracciones equivalentes, pero donde el denominador es el mínimo común múltiplo. Y cuando lográbamos que todos los denominadores fueran iguales, tachábamos. ¿Recordáis o no? ¿Se recuerda esto o no? 00:03:28
Se tachaba porque se podía tachar, porque era equivalente, ¿no? ¿Se ve la idea? Pues bien. Ahora vamos a hacer algo similar, pero claro, con la peculiaridad de que mi ecuación no tiene denominadores numéricos. 00:03:44
Son denominadores polinómicos, pero se va a operar, se va a trabajar de la misma manera. 00:04:07
Lo que vamos a hacer es obtener una fracción equivalente de manera que las expresiones fraccionarias que aparecen tengan todas el mismo denominador. 00:04:16
¿Vale? Entonces, buscamos fracciones equivalentes o fracción equivalente a esta, que es la primera que aparece, por otro lado a esta y por otro lado a esta. Equivalentes a estas tres con el mismo denominador. ¿Se entiende la idea? 00:04:30
Entonces, ¿cuál es el denominador común? El mínimo común múltiplo de x más 1, x menos 1 y 4. ¿Se entiende? ¿Se entiende o no? Bien. 00:04:50
¿Y cómo calculábamos el mínimo común múltiplo de polinomios? 00:05:08
Pues factorizando los polinomios 00:05:13
Igual que cuando calculamos el mínimo común múltiplo de números 00:05:15
Factorizamos los números 00:05:19
Y tomábamos los comunes y no comunes al mayor exponente 00:05:20
¿Sí o no? 00:05:24
¿Se recuerda? 00:05:25
Pues aquí lo mismo 00:05:26
Para calcular este mínimo común múltiplo 00:05:27
Factorizamos x más 1 00:05:30
x menos 1 00:05:33
Y 4 00:05:37
Lo que pasa es que esto ya está factorizado 00:05:38
La factorización de x más 1 00:05:41
¿Recordáis que se haría por Ruffini, etcétera? 00:05:44
¿Sí o no? 00:05:47
Repasa el tema anterior, por favor 00:05:54
¿Vale? 00:05:56
Sí 00:05:57
Un momento 00:05:57
Y, bueno, pues 00:05:59
x menos 1 00:06:02
Ya está factorizado también 00:06:03
Y el 4 lo podemos ver como 2 cuadrados 00:06:06
¿Sí o no? 00:06:09
Entonces, ¿cuál va a ser el mínimo común múltiplo? 00:06:09
Como todos son divisores diferentes, pues es el producto de todos. ¿Se entiende o no? Pues ahora te lo explico. 00:06:13
Lo pongo primero. 00:06:22
4 por x más 1 por x menos 1. 00:06:24
Paro la grabación. 00:06:29
Bueno, sigo grabando. 00:06:30
Mira, ¿tú has entendido el tema de la factorización polinómica? 00:06:31
Bien. 00:06:39
Entonces, imagínate que yo quiero calcular el mínimo común múltiplo de estos números. 00:06:40
Atenta. 00:06:45
De 2, 3 y 5. 00:06:46
¿Tú qué haces? 00:06:50
Pues factorizas el 2. 00:06:52
ya está factorizado 00:06:53
factorizas el 3, ya está factorizado 00:06:54
es que son primos 00:06:57
y factorizas el 5 que también está factorizado 00:06:58
¿cuál es el mínimo común múltiplo de todos? 00:07:01
2 por 3 por 5 00:07:04
¿sí o no? 00:07:07
¿me sigues o no? 00:07:08
se cogen los comunes y no comunes 00:07:09
al mayor exponente y se multiplican todos 00:07:11
bien, aquí 00:07:13
es una situación completamente 00:07:15
análoga, x más 1 00:07:17
x menos 1 y 2 al cuadrado 00:07:19
son divisores que son diferentes 00:07:21
entre sí 00:07:24
¿me comprendes? entonces 00:07:24
como son no comunes, se cogen todos y se multiplican 00:07:26
por eso he puesto aquí 00:07:30
4 por x más 1 por x menos 1 00:07:32
¿pones el 4 porque es número, no? 00:07:34
porque es el 2 al cuadrado 00:07:36
exactamente, son los divisores 00:07:37
que han resultado, mira 00:07:44
luego voy a hacer otro ejemplo, un poquito más complicado 00:07:46
es que 00:07:48
este está preparadísimo, demasiado preparado 00:07:49
está demasiado preparado 00:07:52
porque lo que nos han metido son 00:07:54
polinomios primos. 00:07:56
¿Entiendes? 00:07:59
Pero imagínate que hubiera aparecido 00:08:01
en lugar de x menos 1, 00:08:02
x cuadrado menos 1. 00:08:04
Este sí hay que factorizarlo. 00:08:07
¿Entiendes? 00:08:09
Ya veremos otro ejemplo un poco más complejo. 00:08:10
¿Vale? Pero, de momento, 00:08:13
¿está claro que el mínimo común 00:08:14
múltiplo de estos polinomios 00:08:16
es este? 00:08:18
¿Esto está claro? 00:08:21
En consecuencia, ¿este quién 00:08:23
va a ser el divisor común de todas esas fracciones. En definitiva, quiero transformar mi ecuación 00:08:24
en otra equivalente donde en el denominador aparece 4 por x menos 1, x más 1, por x menos 00:08:35
1. ¿Se entiende o no? ¿Se ve? Luego, más otra fracción que va a ser equivalente a 00:08:47
esta segunda, ¿vale? Que ha de tener el mismo denominador y finalmente igual a otra fracción 00:09:00
que ha de tener el mismo denominador. ¿Esto se ve, no? Bien. Esto es un 1, no parece un 00:09:08
2. Bien. ¿Cómo hacemos para hacer esto? Pues lo de siempre. Dividimos el denominador entre este denominador y lo multiplicamos por el numerador. Esto con cada fracción. ¿De acuerdo? 00:09:15
Bien, una cosa. ¿Os dais cuenta de que yo no he operado esto? ¿Que lo podía haber operado? Esto es lo mismo que si operas te da esto, ¿eh? 4x cuadrado menos 4. 00:09:35
Pero, ¿os dais cuenta de que no he dejado indicada la multiplicación? ¿Sabéis por qué? Imaginemos que hubiéramos puesto aquí esto multiplicado. 00:09:51
Esto es importante desde el punto de vista práctico 00:10:00
O sea, ya digo que este mínimo común múltiplo 00:10:04
Este polinomio es igual a 4x cuadrado menos 4 00:10:09
Si lo hubiera multiplicado te da eso 00:10:13
Y podía haber puesto aquí esta expresión 00:10:16
Operando, habiendo operado 00:10:20
Bien, pues ahora tendrías que hacer la división 00:10:23
de 4x al cuadrado menos 4 entre x más 1. ¿Sí o no? Y el resultado multiplicarlo por 00:10:27
el numerador, que es x. ¿Se entiende o no? Y tendrías que hacer esta división. ¿Se 00:10:36
ve o no? Bien. ¿Qué pasa si yo no opero? Dejo la multiplicación indicada, como estoy 00:10:42
haciendo. Pues tengo que hacer lo mismo, dividir esta expresión entre el denominador primero, 00:10:51
que es x más 1. ¿Sí o no? 00:11:00
Se va. Y me queda esto. 00:11:04
Quiero decir, facilita 00:11:07
el cálculo enormemente 00:11:08
dejar la operación indicada. 00:11:10
Porque me 00:11:13
evita tener que hacer la división 00:11:14
polinómica. ¿Os dais cuenta o no? 00:11:16
¿Se entiende? 00:11:18
Bien. Entonces... 00:11:20
¿Y ahora cómo? 00:11:23
Y ahora se multiplica 00:11:25
por la x de arriba. O sea... 00:11:26
Muy bien. 00:11:28
Sería 00:11:31
4x menos 1 00:11:31
por x 00:11:35
¿se ve? 00:11:37
ahora hacemos lo mismo con esta otra fracción 00:11:38
insisto 00:11:40
lo dejamos indicado 00:11:41
y dividimos entre x menos 1 00:11:45
con lo cual ahora me queda aquí 00:11:46
x más 1 00:11:48
porque se va este con este 00:11:51
¿se ve o no? 00:11:52
por 2x 00:11:55
o sea, 4 por x más 1 00:11:57
por 2x 00:12:00
Y lo mismo aquí. Fijaos, aquí es esto entre 4, ¿verdad? Que es, pues, x más 1 por x menos 1. ¿Sí o no? Que por 15 aquí lo tenemos. ¿Vale? 00:12:02
Pues bien, esta ecuación primera es equivalente a esta otra, que aparentemente es gigantesca y mucho más fea, pero tiene una peculiaridad. Todos los denominadores son iguales. ¿Se entiende? 00:12:24
Claro, esto me va a resolver, me va a eliminar las fracciones algebraicas. 00:12:46
¿Se entiende o no? 00:12:51
Es decir, ahora ya no voy a entrar en demasiado detalle, me interesa ahora lo que es una grabación. 00:12:52
Pero, sencillamente, al tener el mismo denominador, pues yo puedo agrupar estos dos en una sola fracción. 00:12:58
¿Sí o no? 00:13:08
Por ejemplo, y digo, venga, pues voy operando. 00:13:09
También voy operando los numeradores, ¿vale? 00:13:13
Venga, aquí va a quedar 4 por x menos 1 es 4x cuadrado menos 4x. ¿De acuerdo? Primera fracción. Más, aquí me queda 4 por 2, 8x cuadrado más 8x. ¿Se ve o no? 00:13:15
Y ahora el denominador es el mismo. ¿Vale? ¿Se ve? Y aquí sí que se va esto con esto. ¿Se entiende o no? Primero, porque lo puedes ver de varias maneras. Una, pues, por ejemplo, que todo este grupo pase a multiplicar, con lo cual al dividirse por esto se va. 00:13:42
O también un principio más de lógica, y es que si A entre B es igual a C entre B, entonces es que A es igual a B, a C, perdón. ¿Se entiende? Viene a ser lo mismo. 00:14:13
¿De acuerdo? En definitiva, aquí lo que se suele hacer es que se eliminan aquí antes, cuando ya tienen el mismo denominador. Lo que pasa es que esto tiene un peligro. Tiene el peligro de que si aparece, si aquí hubiera un signo menos en lugar de una suma, eliminar eso y dejarlo tal cual, tienes que ser consciente de que el signo menos afectará a todo el numerador. 00:14:27
¿Entendéis o no? 00:14:51
Esto es importante 00:14:54
Yo por eso a mí me gusta enseñarlo 00:14:54
Como que es en este momento del proceso 00:14:57
Cuando realmente tacho 00:15:00
Los denominadores 00:15:01
¿Vale? 00:15:03
¿De acuerdo? 00:15:04
Además está justificado 00:15:06
Bien, entonces, fijaros 00:15:08
La ecuación inicial 00:15:11
Me ha quedado del siguiente modo 00:15:13
Me ha quedado 00:15:15
La ecuación finalmente 00:15:18
quitando denominadores y operando, esta parte me queda esto, ¿de acuerdo? Y ahora, pues, es una ecuación de grado 2, elemental, que simplifico, 00:15:22
Bien, decía que agrupando, veo que es una ecuación completa de grado 2, que resolvemos. Bien, indicar que a es igual a menos 3, b es igual a 4 y c es igual a 15. Sustituyendo en la fórmula menos b más menos raíz cuadrada b cuadrado menos 4 a c partido 2a, que ya sabéis, pues obtienes esto. 00:15:40
Quiero que tengáis especial cuidado, decía que sustituyendo, pero quiero que tengáis especial cuidado en esta parte de aquí, que es donde suele haber errores, ¿vale? Porque la fórmula es menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado menos 4ac partido 2a. Esto de aquí suele llevar errores a la hora de operar por los signos. 00:16:01
Entonces, a mí me gusta, primero, determinar quién es A, B y C aparte, 00:16:27
o sea, que lo hagáis vosotros, escribirlo como he hecho aquí 00:16:32
y que sustituyas de manera literal en la fórmula, ¿entendéis? 00:16:37
Y luego, determinar qué signo va a quedar. 00:16:41
Pero claro, si hay un signo negativo, como aquí, se pondrá entre paréntesis. 00:16:45
Lo escribes. Aquí cuanto más escribas, menos te equivocas. 00:16:50
no lo hagáis de cabeza 00:16:55
¿se entiende lo que digo? 00:16:57
y ahora, ¿esto cómo va a quedar? 00:16:58
pues va a quedar 00:17:01
como 00:17:02
acostumbrados a usar la calculadora, venga 00:17:07
menos 4 más menos raíz de 00:17:16
196, ¿qué raíz es esa? 00:17:19
es una más o menos 00:17:24
conocida, ¿no? 00:17:25
¿eh? 00:17:26
14 exacta 00:17:28
4 de 16, sí, ¿no? 00:17:31
¿Sí o no? 00:17:42
Catorce. 00:17:44
Catorce. 00:17:45
No sé yo. 00:17:46
Me salen dos posibilidades. 00:17:47
Primera, menos cuatro más catorce entre menos seis, y menos cuatro menos catorce entre menos seis. 00:17:49
¿Vale? 00:18:00
¿Se ve o no? 00:18:01
Y aquí es menos cuatro más catorce. 00:18:10
¿Vale? 00:18:17
Esto es 10 entre menos 6, que es equivalente a menos 5 tercios, simplificando la fracción. 00:18:18
¿Vale? Y aquí haríamos lo mismo. 00:18:26
Menos 18 entre menos 6. 00:18:28
El resultado positivo, en este caso, y da como resultado 3. 00:18:30
¿Vale? 00:18:37
Y no sé, ¿qué ha pasado ahí? 00:18:39
Ay, qué curioso. 00:18:43
Si se puede manejar la tablet también desde aquí. 00:18:44
Uy, qué curioso. 00:18:47
Uy, yo flipo con esto, de verdad. Bueno, ¿se entiende la idea o no? Bien, no es tan largo cuando uno coge práctica en ello, ¿vale? Repasemos. 00:18:48
Tengo una ecuación racional, calculo el mínimo común múltiplo de los denominadores, tal y como aprendimos en el tema anterior, y esto nos va a llevar a una ecuación equivalente con igual denominadores. 00:19:01
Una vez que ya tengo el mismo denominador, puedo tachar. 00:19:19
¿Se entiende o no? 00:19:22
Aquí en este tachar estoy cometiendo un pequeño... 00:19:23
Pero bueno, estoy retirando las soluciones que hacen cero el denominador. 00:19:28
Pero bueno, no vamos a entrar en eso ahora. 00:19:36
Las cosas son delicadas a veces en matemáticas. 00:19:40
No pasa nada. Déjalo así. 00:19:43
Quedaos con el procedimiento de momento, ¿vale? 00:19:46
Bien, comprobamos que aquí da la misma solución, ¿vale? 00:19:48
Subido por:
Jose S.
Licencia:
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Fecha:
8 de febrero de 2021 - 13:58
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
19′ 53″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
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Tamaño:
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