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Características de las funciones - Contenido educativo

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Subido el 20 de octubre de 2023 por Elias M.

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Empezamos un tema nuevo que se llama Funciones. Es también una parte nueva de las MATES. 00:00:00
Hemos estado viendo hasta ahora temas que trataban sobre geometría y pasamos ahora a otra parte de las matemáticas que se llama Análisis. 00:00:09
Y es una parte de las matemáticas que habla de las funciones. 00:00:18
Lo primero que te convendría es saber qué es una función. 00:00:22
Y os lo he apuntado aquí. Ahora os voy a ir explicando lo que os he apuntado. 00:00:27
Y en esta página básicamente os explico lo que es una función. 00:00:32
Fijaos que la definición de función sería esta. Es una correspondencia entre dos conjuntos. 00:00:41
Y no solo basta con eso. Además se tiene que cumplir esta condición. 00:00:48
Y eso es muy importante porque simplemente porque haya una correspondencia entre dos conjuntos eso no tiene por qué ser una función. 00:00:59
Salvo que se cumpla también esta segunda condición que dice que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde como máximo un valor del conjunto final. 00:01:06
A cada elemento del conjunto inicial le corresponde como máximo un valor del conjunto final. 00:01:17
Esto así de primeras es difícil de entender pero con un ejemplo quizá se vea más fácil. 00:01:25
He inventado dos conjuntos. Lo primero que me ha venido a la cabeza. 00:01:35
En un conjunto he puesto animales y en otro conjunto he puesto colores. 00:01:41
Entonces nosotros podemos hacer una correspondencia entre dos conjuntos que quiere decir que vamos a relacionar los elementos del primer conjunto con los elementos del segundo conjunto. 00:01:48
Por ejemplo veo ballena. La relación puede ser la que tú quieras. 00:01:58
Yo les voy a relacionar con los colores que más me suenan. 00:02:03
Veo ballena y la relaciono con azul. Estoy estableciendo una correspondencia entre los dos conjuntos. 00:02:10
Porque estoy relacionando los elementos de cada conjunto. 00:02:18
Gato, pues negro. 00:02:22
Perro, verde. 00:02:25
Paloma, blanco. 00:02:32
Esto es una correspondencia entre dos conjuntos. 00:02:36
Estamos relacionando los elementos del conjunto inicial con los elementos del conjunto final. 00:02:40
¿Será además de una correspondencia una función? ¿Se cumplirá la condición que decíamos que se tenía que cumplir? 00:02:46
¿A cada elemento del conjunto inicial le corresponde como máximo uno del conjunto final? 00:02:55
Pues sí, porque si a mí me preguntan ¿qué color está relacionado con perro? 00:03:02
Pues veo que está relacionado al verde, según lo que yo me he inventado, que podría haber decidido otro color. 00:03:08
Pero cada elemento del conjunto inicial como máximo está relacionado con otro conjunto final. 00:03:15
Si yo perro, además de verde, lo hubiera relacionado con blanco, ya no sería una función, 00:03:24
porque no se cumpliría la segunda condición, que es que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde como máximo un valor del conjunto final. 00:03:32
Si yo perro lo relaciono con dos colores, ya no es una función. 00:03:39
Será una correspondencia, seguirá siendo una correspondencia entre dos conjuntos, 00:03:43
pero es una correspondencia que tendrá otro nombre, no el nombre de función. 00:03:47
Entonces se tiene que cumplir que cada elemento del conjunto inicial como mucho está relacionado con otro conjunto final. 00:03:51
Sin embargo, yo podría, a lo mejor... 00:04:05
...haber decidido que la ballena en vez de azul, también me suena que hay un libro que habla de una ballena blanca. 00:04:12
Pues la ballena voy a relacionarla con blanco, y la paloma también con blanco, porque la paloma me suena blanco. 00:04:29
¿Qué pensáis? ¿Que esto sería una función o no? 00:04:37
El azul se ha quedado solo, sin ninguna relación, pero de eso no nos hablan. 00:04:46
A lo mejor hay elementos que se pueden quedar sin relacionar con nada. 00:04:49
El perro sigue siendo verde, la ballena es blanca, el gato es negro, y la paloma es blanca. 00:04:55
¿Esto será función o no será función? 00:05:06
Vamos a leer otra vez con atención la condición que tiene que cumplirse. 00:05:09
A cada elemento del conjunto inicial le corresponde como máximo un valor del conjunto final. 00:05:13
¿Cada elemento del conjunto inicial está relacionado como mucho con uno del final? 00:05:20
Sí, esto sigue siendo una función, porque cada elemento del conjunto inicial solo tiene una respuesta en el conjunto final. 00:05:26
Esto a lo mejor lo entendéis más fácil como diciéndome. 00:05:35
Si a mí me preguntan por un animal del conjunto inicial, sé qué color le corresponde, 00:05:38
y yo sí sé qué color le corresponde a cada animal. 00:05:44
A perro sé que le corresponde verde, a ballena sé que le corresponde blanco, 00:05:48
a gato sé que le corresponde negro, y a paloma le corresponde también blanco. 00:05:52
Pero solo le corresponde un color a cada animal. 00:05:58
Eso sí que es función, porque a cada elemento del conjunto inicial le corresponde uno del conjunto final. 00:06:02
Yo siempre sé el color que le corresponde a cada animal. 00:06:11
En cambio, en el ejemplo que os he puesto antes, si perro lo pongo como verde y también como blanco, 00:06:16
entonces no sería función, porque yo perro no sabría decidir cuál de los dos colores es el que le toca. 00:06:23
O, mejor dicho, le tocarían dos colores, y eso no es función. 00:06:30
Como mucho le tiene que tocar un color a cada animal. 00:06:34
Espero que quede clara la diferencia. 00:06:38
Ya que estamos con estas diferencias, os voy a explicar esto de aquí abajo. 00:06:41
Función inyectiva es un tipo especial de función. 00:06:49
Vamos a ver qué condición tiene que cumplir una función para que además sea función inyectiva. 00:06:52
Una función inyectiva es una función en la que se cumple que elementos distintos del conjunto inicial 00:06:58
se corresponden con elementos distintos del conjunto final. 00:07:08
Es decir, si yo cojo dos animales diferentes, dos elementos distintos del conjunto inicial, 00:07:11
le tienen que corresponder dos colores distintos, dos elementos distintos del conjunto inicial. 00:07:17
¿Qué pensáis? ¿Que esta que hay ahora mismo aquí dibujada sería función inyectiva o no? 00:07:22
Pues no, no es inyectiva. ¿Por qué? 00:07:27
Porque hay dos elementos distintos del conjunto inicial que tienen el mismo elemento en el conjunto final. 00:07:32
¿Vale? Para que sea inyectiva no puede haber dos animales que tengan el mismo color. 00:07:42
No puede haber dos elementos del conjunto inicial que tengan el mismo elemento en el conjunto final. 00:07:50
Las funciones inyectivas, si es distinto animal, tiene que tener distinto color. 00:07:56
Y eso es muy importante por algo que veremos un poco más adelante, 00:08:01
porque las funciones inyectivas son las únicas que tienen inversa, 00:08:04
que se les puede dar la vuelta, que podemos darle la vuelta al conjunto inicial y al conjunto final, 00:08:09
y también siguen siendo función. ¿Vale? 00:08:13
Si ahora le diéramos la vuelta a esta función que no es inyectiva, ya no sería función. 00:08:17
Es decir, si empezamos viendo los colores y queremos saber qué animal le corresponde, 00:08:23
tendríamos un problema, porque a blanco le corresponden dos animales distintos. 00:08:32
Y eso no sería función si le damos la vuelta. 00:08:37
Si este fuera el conjunto inicial y este el conjunto final. ¿Vale? 00:08:40
Entonces, para que fuera función inyectiva, tendríamos que volver a la correspondencia que he hecho al principio del todo, 00:08:43
en la que cada animal diferente tenía un color diferente. 00:08:52
Esto sí que es una función inyectiva. 00:08:59
Porque si lo miro de aquí a aquí, pregunto por cada animal, sé qué color le corresponde. 00:09:01
Pregunto por cada color, sé qué animal le corresponde, porque están relacionados uno a uno. 00:09:07
Esas son funciones inyectivas. 00:09:13
Son las únicas que tienen inversa, que eso lo estudiaremos más adelante en el tema. 00:09:15
Una función inversa es como dar la vuelta a la función. 00:09:19
Lo que era el conjunto final pasa a ser el conjunto inicial y viceversa, 00:09:22
y entonces podemos deshacer la función. 00:09:25
Muy bien, ya os he explicado lo que es una función, las condiciones que se tienen que cumplir, 00:09:29
lo que es una función inyectiva, 00:09:34
y vamos a ver la nomenclatura, cómo se expresa esto. 00:09:38
¿Cuál es la nomenclatura esto? 00:09:42
Las funciones se representan con una letra minúscula, 00:09:49
y entre paréntesis ponemos lo que llamamos variable independiente. 00:09:54
¿Qué es la variable independiente? 00:10:01
La variable independiente es el dato que conocemos de partida, 00:10:02
la cosa por la que preguntamos, o sea, un elemento del conjunto inicial. 00:10:07
En este caso, la variable independiente serían los animales. 00:10:14
Este sería el conjunto que contiene la x, la variable independiente de los animales. 00:10:19
Es la que conocemos de partida, y la variable dependiente depende del anterior, 00:10:24
por eso se llama dependiente. 00:10:29
Una vez conocido el animal, tenemos que averiguar el color. 00:10:31
Es decir, el color es la respuesta al animal que nosotros estamos preguntando. 00:10:37
Es decir, si yo pregunto ¿qué color se corresponde con ballena? 00:10:45
Vosotros contestaríais azul, porque conocéis la correspondencia. 00:10:50
La primera siempre, el punto de partida, es la variable independiente, 00:10:56
y la otra la dependiente, porque depende de la primera. 00:11:01
Así que la variable dependiente es la que averiguamos, 00:11:10
la variable independiente es la que conocemos. 00:11:13
La variable dependiente está en el conjunto final, 00:11:17
mientras que la independiente está en el conjunto inicial. 00:11:20
Es simplemente eso. 00:11:22
Formas de representar funciones. 00:11:25
Vamos a estudiar tres. 00:11:27
Bueno, la representación de un conjunto sería una, pero no la vamos a utilizar mucho. 00:11:29
La he puesto como ejemplo para que lo entendáis, 00:11:34
y para eso es para lo que más sirve la representación de conjuntos. 00:11:36
Pero habitualmente nosotros manejamos tres formas de representar funciones. 00:11:39
Mediante fórmulas, veis aquí un ejemplo conocido del tema anterior, 00:11:43
una ecuación de una recta, y es igual a 2x más 3x. 00:11:47
La variable independiente a la que vamos dando valores 00:11:52
para encontrar la variable dependiente, la y en este caso. 00:11:56
También lo veréis representado así. 00:12:00
f de x es igual a 2x menos 3. 00:12:03
Esta y esta son dos formas de representar exactamente lo mismo. 00:12:06
Si veis f de x, tenéis que comprender que se refiere a la y 00:12:10
a la hora de realizar una gráfica, 00:12:15
a la hora de representar la función mediante una gráfica. 00:12:18
Otra manera de representar funciones es a partir de una tabla. 00:12:22
Aquí también hay una relación entre las dos variables. 00:12:27
Cuando la x es menos uno, la y es menos cinco. 00:12:31
Cuando la x es cero, la y estamos representando lo mismo que los conjuntos, 00:12:36
simplemente cada valor lo ponemos enfrente del otro y sabemos que están relacionados. 00:12:41
Son dos maneras de expresar lo mismo, porque si aquí tú pones en vez de la x menos uno, 00:12:47
obtienes menos cinco. 00:12:52
Esto y esto están representando lo mismo. 00:12:55
Con esta podemos averiguar todos los valores que queramos de la tabla. 00:12:58
Y a partir de la tabla, a lo mejor, con imaginación, 00:13:02
podríamos obtener la fórmula que se corresponde con esta tabla. 00:13:07
Y del mismo modo tenemos la gráfica. 00:13:13
Vosotros sabéis que la gráfica de una línea recta la podemos obtener a partir de la tabla. 00:13:17
Cada pareja de valores representan un punto en el plano, los unimos, 00:13:22
y tenemos la gráfica de esa función. 00:13:26
Y a partir de la gráfica también podemos hacer una tabla. 00:13:30
Yo cogería aquí, cuando la x es dos, ¿cuánto vale la y? 00:13:34
Uno, que es lo mismo que tengo aquí. 00:13:38
Cuando la x es cero, ¿cuánto vale la y? 00:13:42
Me voy aquí, menos tres. 00:13:47
¿Veis? Yo podría sacar la tabla a partir de la gráfica. 00:13:50
A ver, cuando la x... 00:13:55
Imaginaos que me preguntan, ¿cuánto vale la y cuando la x es cuatro? 00:13:58
Me lo dirían así, f de cuatro. 00:14:03
En lugar de la x pongo un cuatro. 00:14:06
Me están preguntando cuánto vale la y si la x es cuatro. 00:14:11
Pues me vengo aquí a la gráfica. 00:14:15
Si la x es cuatro, me voy hasta cortar con la función. 00:14:20
Y vería que es uno, dos, tres, cuatro y cinco. 00:14:26
Si la x es cuatro, la y vale cinco. 00:14:31
Cuatro por dos, ocho, menos tres, cinco. 00:14:37
¿Veis que esta línea representa lo mismo que la función y que la tabla? 00:14:41
Son tres maneras de expresar lo mismo. 00:14:49
Muy bien. 00:14:53
Os voy a poner un pequeño ejercicio para que hagáis ahora mismo. 00:14:56
Cuando veáis el enunciado, pausáis el vídeo. 00:15:00
E intentéis responder a lo que os voy a decir ahora. 00:15:03
Fijaos, he preparado aquí varios ejemplos de funciones. 00:15:07
Y a cada una le he dado un nombre diferente. 00:15:10
Una letra minúscula, ¿verdad? 00:15:13
Esta es la función a, la función b, la función c, la función d, la función m, la función n, la función f, g y h. 00:15:16
Estas cuatro están representadas mediante gráficas. 00:15:25
Estas dos están representadas mediante una tabla. 00:15:28
Y estas tres están representadas mediante una fórmula. 00:15:32
Mi pregunta es la siguiente. 00:15:36
Aquí hay algunas infiltradas. 00:15:38
Tanto en las que son gráficas, como en las que son tablas, como en las que son fórmulas. 00:15:41
Hay algunas que son función y otras que no son función. 00:15:47
Aunque todo esto son gráficas, hay algunas que no es una función. 00:15:52
Es una gráfica que no se corresponde con una función. 00:15:58
Lo mismo las tablas y lo mismo las fórmulas. 00:16:01
Hay algunas que son funciones y otras que no. 00:16:05
Pues ahora quiero que pauséis el vídeo y que intentéis adivinar cuáles son funciones y cuáles no. 00:16:08
Y cuando reanudéis el vídeo os voy a dar la solución. 00:16:18
A ver si habéis acertado. 00:16:21
Entonces intentad tener una solución para todos ellos. 00:16:22
Si decís esta sí que es función, esta yo creo que sí que es función. 00:16:28
Y también pensad por qué, porque si no es como si estuvieras tirando los dados. 00:16:31
Si decís que sí que es una función, me tendríais que saber decir por qué. 00:16:36
Eso significaría que lo entendéis. 00:16:40
Si no sabéis decir por qué es que realmente estáis haciendo una apuesta pero sin entender nada. 00:16:42
Y la clave, os la digo, la clave es que cumpla la condición esta. 00:16:49
A cada elemento del conjunto inicial le corresponde como máximo un valor del conjunto final. 00:16:56
Recordad que en las gráficas la X la ponemos en el eje horizontal y la Y en el vertical. 00:17:01
Las fórmulas aquí serían las Ys, griegas, en el nombre. 00:17:09
Y aquí está indicado en las tablas. 00:17:15
Entonces, 1, 2, 3 y paráis el vídeo ahora. 00:17:18
Vale, yo no lo he parado. 00:17:22
Pero os voy a decir ya la solución. 00:17:25
Se supone que habéis recapacitado, habéis puesto vuestras suposiciones. 00:17:27
Y voy a empezar por las gráficas. 00:17:32
En las gráficas es muy fácil saber si una gráfica es función o no es función. 00:17:35
¿Vale? 00:17:41
Como habíamos dicho que la condición que se tiene que cumplir es que a cada valor de la X solo haya uno de la Y. 00:17:42
Pues fijaos. 00:17:50
Si me dijeran, imaginaos que aquí está el 1. 00:17:51
¿Vale? 00:17:54
¿Cuánto vale f de 1? 00:17:55
¿Cuánto vale la Y? 00:17:58
Tendría que hacer así hasta tocar la gráfica y miraría a qué altura he cortado. 00:17:59
¿Vale? 00:18:06
Pues supongamos que esto es 1 también. 00:18:07
f de 1 es 1. 00:18:09
Y así con cualquiera de los valores. 00:18:10
Para cada X que me preguntaran, yo sabría contestar cuánto vale la Y y solo habría un valor. 00:18:13
Vamos a ver si puedo hacer lo mismo aquí. 00:18:19
Si la X es 1, ¿cuánto vale la Y? 00:18:21
Pues que vale 2 o menos 1 y medio. 00:18:26
¿Veis? 00:18:38
Para esta X hay dos Ys diferentes. 00:18:39
No sabría decir cuál es la respuesta. 00:18:42
Ya habíamos dicho que para cada X solo tiene que haber una Y. 00:18:44
Fijaos en el ejemplo que os puse. 00:18:49
Para cada X solo tenía que haber una Y. 00:18:51
Entonces esta no es función. 00:18:54
Esta sí que es función. 00:18:57
Esta también va a ser función. 00:18:59
Y esta también va a ser función. 00:19:03
¿Vale? 00:19:06
Un truco. 00:19:07
Un truco muy fácil. 00:19:08
Para saber si es función o no, lo único que tenemos que hacer es trazar líneas verticales. 00:19:09
Y si alguna de ellas, todas las que hagamos, corta en más de un sitio, como sucede en esta, 00:19:15
eso no es función. 00:19:22
En todas las demás solo va a cortar, las líneas verticales solo cortarán en un punto. 00:19:24
Luego para cada X solo habrá una Y. 00:19:30
¿Veis? 00:19:33
Además, os puedo hacer otra pregunta. 00:19:35
De todas estas gráficas, mejor dicho, porque esta no es función, 00:19:38
o mejor, vamos a restringirnos ya a las que sí que sabemos que son funciones, 00:19:43
de estas tres funciones, ¿cuál, además de ser función, sería inyectiva? 00:19:48
¿Qué quiere decir? 00:19:53
Que sea inyectiva que si tú coges una X diferente, también te dará una Y diferente. 00:19:55
¿Vale? 00:20:02
Que no habrá dos X con la misma Y. 00:20:03
Pues fijaos que aquí ya tenemos otra X que tendrá... 00:20:05
Bueno, perdón. 00:20:09
Esta X va a tener la misma Y. 00:20:11
Así que esta sí funcion, pero no inyectiva. 00:20:15
Esta tiene varias X. 00:20:25
Todas estas X tienen la misma altura. 00:20:28
Así que sí función, no inyectiva. 00:20:32
Y esta es la única que es función, y además inyectiva, porque fijaos, 00:20:39
no hay ninguna X que tenga la misma Y. 00:20:45
¿Vale? 00:20:48
Sí función inyectiva. 00:20:49
¿Vale? 00:20:54
Vamos a las tablas. 00:20:55
Cada X tenemos que saber con qué Y se corresponde. 00:20:57
¿Vale? 00:21:02
La X-2 se corresponde con 0. 00:21:03
La X-1 con menos 5. 00:21:06
La X-3 con 4. 00:21:08
La X-5 con 6. 00:21:10
La X-0 con 1. 00:21:13
La X-3 con 2. 00:21:15
¡Un momento! 00:21:17
¿No habíamos dicho que la X-3 era 4? 00:21:18
Y aquí dice que la X-3 vale 2. 00:21:21
Una misma X tiene dos valores diferentes. 00:21:25
Esta no es función. 00:21:28
Aquí en cambio sí que es función porque cada X tiene solo una respuesta en la Y. 00:21:30
¿Vale? 00:21:39
¿Sería inyectiva? 00:21:41
No, no sería inyectiva. 00:21:43
¿Por qué? 00:21:45
Porque hay dos X que tienen la misma Y. 00:21:46
El menos 3 vale 2 y el 6 también vale 2. 00:21:49
Así que es sin función, no inyectiva. 00:21:54
Para que fuera inyectiva todas las X que hay aquí tendrían que tener distintas Y. 00:22:00
¿Vale? 00:22:09
¡Esta! 00:22:11
Para cada X que pongamos aquí obtendremos una... 00:22:12
Sabremos cuál es la Y, sin duda alguna. 00:22:18
Pues yo sustituyo aquí, hago cuentas y sé cuál es la Y. 00:22:22
¿Vale? 00:22:27
O sea que sí que es función. 00:22:28
¡Esta! 00:22:31
Pongo la X. 00:22:33
Por ejemplo X es igual a 2. 00:22:34
2 al cuadrado, 4. 00:22:36
Sí que es función. 00:22:38
¿Siempre voy a poder responder? 00:22:39
Pues sí. 00:22:41
¿Qué pasa con esta? 00:22:43
A ver. 00:22:47
Si la X es menos 1 no sé responder, pero eso no quiere decir que no sea función. 00:22:48
¿Vale? 00:22:55
Significa que hay algunos valores que no están dentro del dominio. 00:22:56
Eso lo voy a explicar ahora en un momento. 00:23:03
¿Vale? 00:23:05
El problema con esta en realidad no son los números negativos. 00:23:06
El problema con esta en realidad son los números, de hecho, positivos. 00:23:09
Vamos a poner un ejemplo fácil. 00:23:14
Que X fuera 4. 00:23:16
HD4. 00:23:19
Si la X es 4, ¿cuál es la respuesta? 00:23:22
¿2 o menos 2? 00:23:25
Habíamos quedado que para cada X solo podía haber una Y. 00:23:29
Y eso con la raíz cuadrada no sucede. 00:23:32
O sea que la raíz cuadrada no es función, salvo que digamos que solo van a valer, por ejemplo, los positivos. 00:23:34
Pero es que eso pasaría con cualquier número positivo. 00:23:40
Por ejemplo, la raíz cuadrada de 8. 00:23:42
La raíz HD8 es aproximadamente 2,83 y también menos 2,83. 00:23:46
O sea que esto no es función. 00:23:57
No es función porque tiene dos respuestas para cada una de las X. 00:24:00
Y habíamos quedado que esa era una condición que tenía que cumplir. 00:24:05
Una correspondencia para que fuera función es que para cada X solo podía haber una Y. 00:24:09
¿Vale? 00:24:15
Pues esa es la respuesta del ejercicio que os había propuesto. 00:24:16
Espero que lo hayáis entendido. 00:24:21
¿Vale? 00:24:24
Está claro que muchos os habréis equivocado, pero lo importante es que lo entendáis ahora 00:24:25
y que si os lo vuelvo a preguntar sí que lo sepáis hacer. 00:24:31
Bueno, ¿y qué os he puesto aquí ahora? 00:24:34
Os he puesto una gráfica de una función. 00:24:38
Una parte de este tema va a consistir en describir gráficas de funciones. 00:24:40
¿Vale? 00:24:47
Esto se llaman las características generales de las funciones. 00:24:48
¿Vale? 00:25:04
¿Qué es esto? 00:25:06
Pues esto es tratar de describir, igual que hacíamos en el tema anterior, 00:25:08
describir a otra persona que no esté viendo esta gráfica 00:25:15
las cosas más importantes que aparecen en ella para que se pueda hacer una idea. 00:25:20
¿Vale? 00:25:25
De los puntos más importantes de esta gráfica. 00:25:26
¿Vale? 00:25:28
Entonces hay que conocer cuáles son... 00:25:29
Bueno, el año que viene se estudia con más profundidad, 00:25:33
pero por lo menos lo básico sí que tenemos que estudiarlo este año. 00:25:36
¿Vale? 00:25:39
Y empezamos por un par de características fundamentales que son el dominio y el recorrido. 00:25:40
Esto ya lo sabéis de otros años. 00:25:44
Así que simplemente vamos a recordarlo y sobre todo, aunque lo entendáis, 00:25:46
porque la mayoría de la gente esto lo entiende bien, 00:25:49
no es suficiente que lo entendáis bien, sino que sepáis expresarlo correctamente. 00:25:53
¿Vale? 00:25:58
En lenguaje matemático. 00:25:59
Entonces, ¿cómo se pone el dominio de una función? 00:26:01
Pues si esta función tiene el nombre f de x, el dominio se pone así, 00:26:04
dominio de f de x. 00:26:09
¿Qué es el dominio? 00:26:11
El dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. 00:26:12
¿Vale? 00:26:19
La x. 00:26:20
Todos los valores que puede tomar la x. 00:26:21
¿Vale? 00:26:26
La x, sabéis que se mira en el eje horizontal. 00:26:27
¿Vale? 00:26:30
Y es todos los números que nosotros, para los que nosotros podríamos averiguarla ahí, 00:26:32
todos los números que puede tomar la x. 00:26:42
¿Vale? 00:26:46
¿Recordáis antes que os he dicho que la raíz cuadrada, dentro de la raíz cuadrada, 00:26:47
no podíamos poner números negativos porque no sabíamos resolverlo? 00:26:52
Pues eso es porque los números negativos no formarían parte del dominio de la raíz cuadrada. 00:26:55
¿Vale? 00:27:01
Son las x para las que no sabemos averiguar la y. 00:27:06
Entonces, en una raíz cuadrada, los números negativos no forman parte del dominio 00:27:11
porque ningún número negativo, cuando lo metes dentro de una raíz cuadrada, sabes averiguar la y. 00:27:17
Pues en la gráfica esto se ve fácil. 00:27:23
Una manera fácil de verlo es imaginándonos líneas verticales 00:27:26
y siempre que corte, esa x estará dentro del dominio. 00:27:33
Por ejemplo, si yo empiezo a hacer líneas verticales, lo más a la izquierda posible. 00:27:37
Aquí no corta porque todavía no hemos llegado a la función. 00:27:40
Todavía no estamos dentro del dominio de la función. 00:27:44
¿Vale? 00:27:47
¿Cuándo empezaría a cortar? 00:27:48
Pues a partir del menos tres. 00:27:50
Empieza el dibujo, ¿verdad? 00:27:52
Desde dónde, lo que estamos viendo es desde dónde por la izquierda hasta dónde por la derecha 00:27:55
va el dibujo, siempre de izquierda a derecha. 00:28:01
¿Vale? 00:28:03
Pues esta función está dibujada desde menos tres hasta cinco. 00:28:04
Desde menos tres hasta cinco hay dibujo. 00:28:11
Y hay que fijarse si alguna vez se interrumpe. 00:28:14
¿Vale? 00:28:16
Aquí se interrumpe pero luego continúa. 00:28:17
O sea que en realidad no está partido el dominio. 00:28:21
¿Vale? 00:28:24
No haría falta partirlo. 00:28:25
¿Vale? 00:28:27
Entonces la respuesta sería desde menos tres en notación de intervalos hasta cinco. 00:28:28
Y ahora hay que fijarse si hay que poner paréntesis o corchetes. 00:28:36
Fijaos, como aquí hay un circulito vacío, eso significa que el menos tres no está incluido en el dominio. 00:28:38
Paréntesis. 00:28:45
Cuando el círculo está relleno, ponemos corchete porque el cinco sí que está incluido. 00:28:46
¿Qué significa esto de que el cinco esté incluido y el menos tres no? 00:28:51
Pues que si nos preguntan cuál es el valor de la función en menos tres, tenemos que decir que no existe. 00:28:55
Porque yo hago la línea vertical y veo que no corta porque este círculo está vacío. 00:29:02
Y es como si ahí no hubiera nada. 00:29:07
En cambio, si me preguntan cuánto vale la función en cinco, hago la línea hasta cortar y veo que sí, que toco la gráfica 00:29:09
y sé el valor de la y que se corresponde con x igual a cinco y es menos dos. 00:29:20
¿Vale? Estos son preguntas habituales y yo os pregunto cuánto vale la función en x igual a uno, por ejemplo. 00:29:27
Pues nos vamos a la x igual a uno, aquí, y vemos a qué altura está representada la gráfica. 00:29:38
Dos. ¿Vale? 00:29:44
¿Cuánto vale la función en dos? 00:29:45
Pues vale uno. 00:29:49
Como veis, no es la parte de abajo porque el círculo está sin rellenar, sino la parte de arriba, no hay duda. 00:29:51
Si estuvieran los dos círculos rellenos tendríamos un problema porque no sería en realidad una función. 00:29:57
Habíamos quedado que para cada x solo puede haber una y. 00:30:02
Os había puesto algunos ejemplos más. 00:30:05
Cuando la x es cero, la y es cero. 00:30:08
Y cuando la x es cuatro, como veis, la y sería uno, por lo que la función vemos que no es inyectiva, 00:30:11
ya que hay dos valores distintos de x que no tienen dos valores distintos de y. 00:30:19
¿Vale? 00:30:26
Para que fuera inyectiva, todos los valores diferentes de la x tendrían que tener valores diferentes de la y. 00:30:27
Bueno, el recorrido de la función, que también se le llama imagen, es parecido. 00:30:35
Lo que pasa es que tenemos que mirarlo en las is. 00:30:44
En lugar de mirar las x, miramos las is. 00:30:48
El recorrido se puede poner de dos formas. 00:30:53
O rdf o, como también tiene otro nombre que es imagen, le podemos llamar infdx. 00:30:56
¿Vale? 00:31:06
Pues ahora en vez de mirar de izquierda a derecha, tenemos que mirar de abajo a arriba. 00:31:07
Siempre en sentido creciente de los números, de los más negativos a los más positivos. 00:31:14
¿Vale? 00:31:19
Vamos a ver. 00:31:20
En el recorrido, lo más abajo que llega la función es desde menos dos, 00:31:21
y lo más arriba que lleva la función es hasta dos. 00:31:28
¿Qué hay que poner, corchetes o paréntesis? 00:31:33
Pues abajo el punto está relleno, o sea que al menos dos tienen corchete. 00:31:35
Y arriba es un punto también completo, aunque no haya punto, pero es línea también corchete. 00:31:39
Esa es la imagen, ¿vale? 00:31:47
O el recorrido de la función. 00:31:48
Muy bien. 00:31:50
Pues esos son dos parámetros muy importantes. 00:31:51
El dominio y los recorridos. 00:31:53
Decirle a alguien desde donde está donde va la función, tanto de izquierda a derecha como de abajo a arriba. 00:31:54
Muy bien. 00:31:59
Vamos a ver ahora el... 00:32:00
Vamos a ver, por ejemplo, los puntos de corte con los ejes, ¿vale? 00:32:04
Puntos de corte con los ejes. 00:32:12
Es muy fácil. 00:32:20
Si veis la gráfica, enseguida se ve donde corta con el eje, ¿vale? 00:32:22
Eje de las X. 00:32:28
Eje OX. 00:32:31
¿Vale? 00:32:32
¿Qué puntos? 00:32:33
Los puntos ya sabéis que se dan con dos coordenadas entre paréntesis, ¿vale? 00:32:34
Aquí lo importante no es tanto entenderlo, que yo creo que lo entenderéis enseguida, 00:32:39
todos los conceptos que voy a explicar, sino que os fijéis muy bien en la forma de representarlo, ¿vale? 00:32:43
Como tenéis que expresarlo matemáticamente. 00:32:51
¿Vale? 00:32:52
Puntos de corte con los ejes. 00:32:53
Si empezamos por el eje de las X, vamos viendo el eje de las X y vamos viendo en qué lugares la gráfica atraviesa el eje. 00:32:55
¿Vale? 00:33:02
El primero es aquí, en menos dos. 00:33:03
Entonces, en X menos dos, Y cero. 00:33:06
El siguiente, en el origen de coordenadas, en el punto cero cero, también corta el eje de las X. 00:33:12
Continuamos en el punto tres cero. 00:33:18
Y hay otro más que no se ve claro, pero tampoco hace falta... 00:33:23
Lo ponemos aproximadamente. 00:33:28
Sería, pues bueno, cuatro coma veinticinco. 00:33:30
Cuatro coma veinticinco. 00:33:38
Voy a poner aquí la coma. 00:33:41
Cuatro coma veinticinco cero. 00:33:42
Fijaos que tienen en común todos los puntos de corte con el eje. 00:33:47
La coordenada Y es cero, claro. 00:33:50
Si estamos hablando de puntos que están en el eje de las X, la altura es cero, porque todos están en el eje de las X. 00:33:53
O sea que los puntos de corte con el eje de las X, todos tienen Y cero. 00:33:58
Vamos a ver ahora los que cortan el eje de las X. 00:34:05
Empezamos de abajo arriba, en el eje de las X. 00:34:10
Y solo uno, que es el punto cero cero. 00:34:14
Los puntos de corte con el eje de las X siempre tendrán la X cero. 00:34:19
¿Vale? Porque si estás en el eje de las X, la X tiene que ser cero. 00:34:24
Y otra cosa pasará con los puntos de corte con el eje de las X. 00:34:28
Solo puede haber uno. 00:34:31
Solo puede haber uno porque si hubiera más de uno, no sería función. 00:34:33
¿Vale? Imaginaos que hubiera otra. 00:34:37
Para la X cero habría dos valores. 00:34:39
Eso no es posible. 00:34:41
¿Vale? O sea que puntos de corte con el eje de las X, si es una función, solo habrá una. 00:34:43
Vamos a ver ahora lo que se llamaría... 00:34:47
Bueno, voy a llamarlo de la forma que la entendáis más fácil. 00:34:52
Crecimiento de la función. 00:35:02
Esto es fácil de ver. 00:35:14
Pero soléis equivocaros a la hora de expresarlo. 00:35:17
¿Vale? 00:35:22
Vamos. Crecimiento, decrecimiento de la función, monotonía... 00:35:24
Se llama también... 00:35:29
A ver, lo primero, muy importante. 00:35:31
Hay que ir siempre de izquierda a derecha. 00:35:33
Y vosotros, no sé por qué, a la hora del examen no lo hacéis. 00:35:35
Siempre empezamos por el punto más a la izquierda de la función. 00:35:39
Que lo podemos ver en el dominio también. 00:35:42
En este caso, menos tres. 00:35:44
Empezamos en menos tres. 00:35:46
Nos ponemos en la gráfica de la función. 00:35:48
Y empezamos a avanzar. 00:35:51
¿Qué hace la función? 00:35:53
¿Crece según avanzamos o decrece? 00:35:55
¿Vale? Pues está claro, y todos lo veis, que la función decrece. 00:35:59
¿Hasta dónde? 00:36:05
Pues hasta aquí. 00:36:07
¿Vale? Y aquí es donde os equivocáis vosotros. 00:36:09
La función decrece hasta aquí. 00:36:12
El crecimiento y decrecimiento de la función 00:36:15
hay que darlo sólo como intervalos en el eje de las X. 00:36:18
¿Qué significa esto? 00:36:24
Es que ahora me he coincidido aquí, pero lo veréis en el siguiente tramo. 00:36:26
Que es como si partiéramos el eje de las X 00:36:30
en cachos donde la función o crece o decrece, 00:36:35
o se mantiene constante, porque pueden pasar tres cosas. 00:36:41
Entonces, a ver, ¿crece, decrece o es constante? 00:36:44
Hemos dicho que empieza decreciendo. 00:36:52
¿Desde dónde hasta dónde? 00:36:54
Pues desde menos tres, desde que la X vale menos tres, 00:36:56
hasta que la X, y ojo, que sólo estoy diciendo las X, vale menos uno. 00:36:59
Esto siempre entre paréntesis, ¿vale? 00:37:03
De menos tres a menos uno, aquí no hay corchetes. 00:37:05
De menos tres a menos uno, decrece. 00:37:09
Ojo, repito, ya lo he dicho tres o cuatro veces, 00:37:12
sólo miramos el eje de las X, 00:37:15
porque hay gente que luego en el examen me dice, 00:37:17
desde uno se mira el eje de las X, 00:37:19
hasta menos uno, mira el eje de las X también, decrece. 00:37:22
Si os va la vista a la Y, claro, 00:37:28
porque estamos hablando de subir y bajar, 00:37:30
y vosotros miráis subir y bajar en las X, no. 00:37:32
Hay que darlo en el trozo de las X, ¿vale? 00:37:34
Intervalos en el eje de las X. 00:37:38
Vale, estábamos aquí. 00:37:40
Ahora empieza a subir, a crecer la función, 00:37:41
crece, crece, crece, crece, hasta aquí. 00:37:44
Pues la mayoría de la gente en el examen me dice, 00:37:47
¡crece hasta el dos! 00:37:49
Mal, porque hay que decir el eje de las X. 00:37:50
Lo que hay que mirar son los trozos 00:37:54
en los que estamos partiendo el eje de las X. 00:37:56
Lo hemos partido desde menos uno hasta uno. 00:37:58
Ojo, esto lo he puesto mal. 00:38:01
Decrece desde menos tres hasta menos uno, 00:38:04
y crece desde menos uno hasta uno. 00:38:07
¿Veis? Desde menos uno hasta uno, 00:38:12
empieza a crecer, crece, crece, crece, y hasta aquí. 00:38:14
Quitaos la vista de aquí, estamos mirando esto. 00:38:17
Luego empieza a bajar otra vez, 00:38:20
desde el uno hasta el dos. 00:38:23
O sea, aquí ponemos que desde el uno, 00:38:27
siempre paréntesis, ¿vale? 00:38:30
Desde el uno hasta el dos. 00:38:32
Bajo otra vez. 00:38:34
Estamos partiendo el eje de las X en trocitos, 00:38:35
según crezca o decrezca. 00:38:38
Desde aquí hasta aquí, vuelve a crecer. 00:38:41
Habrá gente que me diga, 00:38:44
¡crece hasta el uno! 00:38:45
No, eso está mal. 00:38:46
Desde el dos hasta el cuatro, 00:38:47
vuelve a crecer. 00:38:51
Y desde el cuatro hasta el cinco, decrece. 00:38:54
No hay ningún trozo en el que sea constante. 00:38:59
Constante sería que ni crece ni decrece, ¿vale? 00:39:01
Se mantiene constante. 00:39:05
Pero en este dibujo no ha habido ningún trozo en horizontal. 00:39:06
O sea que eso lo dejamos en blanco. 00:39:10
Muy importante la manera de expresarlo. 00:39:12
¡Ojo! 00:39:14
No tenéis que mirarla así, solo las X. 00:39:15
Ya veréis, como más de uno en el examen me lo hace mal, 00:39:18
y es fácil y lo entendéis, 00:39:21
pero tenéis que acordaros, 00:39:23
y eso es lo que tenéis que estudiar y memorizar, 00:39:25
tenéis que recordar, 00:39:27
cómo se tiene que expresar, 00:39:29
cuál es la manera correcta de expresarlo matemáticamente, ¿vale? 00:39:31
Crecimiento. 00:39:34
Vamos ahora a los máximos y mínimos, 00:39:35
que también se les llama extremos, 00:39:40
y hay de dos tipos. 00:39:44
Vamos a empezar con los relativos. 00:39:46
Máximo relativo, 00:39:51
para que lo entendáis y para que lo recordéis, 00:39:56
es forma de montaña. 00:39:58
Esto no es muy técnico, ¿eh? 00:40:01
Forma de montaña. 00:40:03
Forma de montaña, así. 00:40:08
O así. 00:40:11
¿Vale? Cuando veáis esto en el dibujo, 00:40:13
ahí tenéis un máximo relativo. 00:40:15
Tiene que subir y bajar, ¿vale? 00:40:17
Hay maneras mucho más técnicas de expresarlo, ¿vale? 00:40:21
Un entorno que es más... 00:40:25
Un punto que es más alto que cualquiera los de su entorno, ¿vale? 00:40:29
Esto es un máximo relativo, 00:40:35
y aquí tenemos otro, si lo veis, ¿vale? 00:40:38
Es como el pico de una montaña. 00:40:41
Aquí no, porque sube, pero luego no baja. 00:40:43
Tiene que ser el punto más alto de todos los que hay a su alrededor, ¿vale? 00:40:47
De todos los que están cerca de él. 00:40:51
Y aquí, como no baja, solo sube, pues no es máximo relativo. 00:40:53
Entonces tenemos dos, y hay que dar sus coordenadas, las coordenadas del pico. 00:40:56
El pico, este es en el punto 1, 2. 00:41:00
1, 2, y otro aquí, que es el 4, 1. 00:41:04
Y los mínimos relativos, si los máximos relativos eran forma de montaña, 00:41:10
esto es forma de valle. 00:41:18
Al revés. 00:41:25
¿Vale? ¿Hay alguno aquí? Pues yo veo uno, aquí. 00:41:27
Ese es en el punto menos uno, menos uno. 00:41:32
Fácil, ¿no? 00:41:39
Pero también están los máximos absolutos. 00:41:41
Máximo absoluto es el punto, ya no miramos forma de montaña, 00:41:47
ahora lo que miramos es el punto más alto de todos. 00:41:51
¿Vale? Pues en este caso ha coincidido. 00:41:55
Y es 1, 2. 00:41:58
Y el mínimo absoluto sería el punto más bajo de todos, 00:42:01
que en este caso no coincide porque hay otro. 00:42:05
Como ahora ya no miramos que tenga forma de valle, 00:42:08
sino simplemente que sea el más bajo de todos, 00:42:10
es en el punto 5, menos 2. 00:42:12
¿Vale? Así que absoluto es el más alto o el más bajo de todos. 00:42:16
¿Qué más cosas? Ah, sí, la continuidad de la función. 00:42:23
Como sólo quiero que entendáis lo que es la continuidad de una función, 00:42:31
no os voy a explicar la forma técnica, 00:42:35
sino la primera que se utilizó cuando se definió este concepto, 00:42:38
que es muy sencilla. 00:42:44
Una función no es continua o es discontinua cuando para dibujarla 00:42:45
tenemos que levantar el lápiz del papel. 00:42:50
Si tú empiezas a repasarla y en algún momento tienes que levantar 00:42:52
el lápiz del papel, pues ahí hay una discontinuidad. 00:42:57
Ahí la función no es continua y ahí damos sólo el valor de la x 00:43:01
donde sucede eso. 00:43:04
Y además el tipo de discontinuidad que os voy a explicar ahora. 00:43:06
Fijaos, he tenido que levantar aquí el lápiz del papel. 00:43:11
¿En qué x me ha sucedido? Pues en 2. 00:43:16
Cuando la x vale a 2 he tenido que levantar el lápiz del papel 00:43:19
para continuar en otro sitio. 00:43:22
Entonces, discontinuidad de salto finito en x igual a 2. 00:43:23
¿Qué significa esto de salto finito? 00:43:40
Salto finito es lo contrario a infinito. 00:43:43
Es decir, es un salto que podríamos medir. 00:43:49
En este caso hemos saltado dos unidades. 00:43:53
Si es un salto en el que conocemos el punto de origen 00:43:56
y el punto de destino, le llamamos discontinuidad de salto finito 00:44:00
y decimos en qué punto está y ya está. 00:44:06
Hay otras discontinuidades, hay funciones que van hasta el infinito. 00:44:08
Luego veremos alguna. 00:44:12
Imaginaos que esta línea... 00:44:15
Vamos a ver, os voy a poner un ejemplo. 00:44:18
Imaginaos una función que fuera así. 00:44:25
Que las hay. Luego veremos algún ejemplo. 00:44:31
Y esto sigue subiendo, subiendo, subiendo. 00:44:34
Y luego aterriza aquí y continúa. 00:44:37
Esta función, lo primero, no tiene máximo absoluto 00:44:42
porque esto sigue subiendo, subiendo, subiendo 00:44:46
y no sabemos cuándo va a parar. 00:44:48
Pero en algún momento determinado vuelve a bajar y continúa. 00:44:50
Esto sería discontinuidad porque nosotros tenemos que levantar 00:44:54
el lápiz del papel para dibujarla. 00:44:59
Pero esto se llama discontinuidad. 00:45:01
Imaginaos que esto fuera 3 en x igual a 3. 00:45:04
Pondríamos discontinuidad de salto infinito en x igual a 3. 00:45:10
Ya está. 00:45:21
Siempre que alguno de los dos extremos, 00:45:23
alguno de los sitios desde donde saltamos o hasta donde lleguemos 00:45:26
sea un punto desconocido, sea este en el infinito. 00:45:30
No sepamos ni de dónde venimos 00:45:34
o a veces no sabemos ni de dónde venimos ni a dónde vamos 00:45:37
porque podría ser por aquí abajo también igual, 00:45:40
más infinito o menos infinito. 00:45:43
Y luego hay otra tercera discontinuidad 00:45:45
que son discontinuidades evitables. 00:45:48
Imaginaos que tenemos una curva así 00:45:50
y hay un sitio donde no hay, un punto nada más, 00:45:53
donde ahí no hay línea, por lo que sea. 00:45:56
Aquí no existe la función. 00:46:00
Esto se llama discontinuidad. 00:46:03
Imaginaos que esto es 3, 1, 2, 3. 00:46:05
Discontinuidad evitable en x igual a 3, 00:46:09
cuando solo sea un punto, el que falta. 00:46:18
También podría ser que el punto no lo hubieran cambiado de sitio. 00:46:22
En vez de estar aquí, está aquí arriba. 00:46:27
Pues eso también se llama discontinuidad evitable. 00:46:30
¿Vale? Esos son los tres tipos que quiero que me sepáis identificar. 00:46:33
¿Y qué más cosas? 00:46:38
¿Qué más cosas? 00:46:43
Bueno, asíntotas. 00:46:48
Asíntotas son unas líneas 00:46:52
hacia las que se acerca la función 00:46:58
pero nunca va a atravesarlas. 00:47:01
Voy a poneros un ejemplo fácil. 00:47:11
f de x es igual a 1 partido de x. 00:47:20
La función inversa. 00:47:24
Vamos a representarla. 00:47:26
Si hiciéramos una tabla 00:47:30
y le voy dando valores, 00:47:35
imaginaos que yo le pongo... 00:47:37
Bueno, voy a representar solo los valores positivos. 00:47:40
Si x es igual a 0,01, 00:47:44
1 entre 0,01, lo hacéis con la reguladora, da 100. 00:47:49
¿Vale? 00:47:53
0,1, 10. 00:47:54
1, 1. 00:47:57
2, 0,5. 00:47:59
4, 0,25. 00:48:02
10, 0,1. 00:48:06
¿Vale? 00:48:10
¿Qué dibujo tiene esto? 00:48:12
Solo he dibujado la parte positiva. 00:48:16
Esto es una hipérbola. 00:48:18
Por la parte negativa quedaría algo parecido. 00:48:20
Pero esto... 00:48:22
Vamos a ver. 00:48:24
Es que esto va a ser difícil. 00:48:25
Si lo pongamos... 00:48:28
Claro, es que esto... 00:48:30
Bueno, esto va a tener una forma así. 00:48:35
A ver, cuando es 1 es 1. 00:48:48
Cuando es 2 es 0,5. 00:48:51
Cuando es 0,1 es 10. 00:48:55
El caso es que tiene una forma así. 00:49:08
¿Qué son las asíntotas? 00:49:11
Las asíntotas son líneas a las que se acerca la gráfica de la función, 00:49:13
pero nunca las van a atravesar. 00:49:17
Pero cada vez se va acercando más a ellas, 00:49:19
pero nunca lo van a atravesar. 00:49:21
Por ejemplo, si yo le voy dando a esta función valores cada vez más grandes en la X, 00:49:24
obtendré cada vez valores más pequeños en la Y. 00:49:29
¿Vale? 00:49:34
Si la X es 100, pues será 0,01. 00:49:35
¿Vale? 00:49:38
Se va acercando al 0, pero nunca llega. 00:49:39
¿Vale? 00:49:43
Y si le doy cada vez más pequeños a X, 00:49:44
da cada vez valores más grandes a la Y, 00:49:48
pero nunca llega. 00:49:51
Entonces, tanto el eje de las Y como el eje de las X 00:49:52
decimos que son asíntotas de esta gráfica, 00:49:57
porque esta gráfica se va a ir acercando cada vez más, 00:50:00
pero nunca nunca atravesará. 00:50:03
Y por aquí lo mismo. 00:50:05
¿Vale? 00:50:06
Eso se llaman asíntotas. 00:50:07
Nos sirven para hacernos una idea de hacia dónde va la gráfica de la función. 00:50:08
¿Vale? 00:50:14
Bueno, es lo único que tenéis que saber. 00:50:15
Luego veréis funciones en donde son importantes las asíntotas. 00:50:20
Os he puesto aquí debajo dos ejemplos para que sepáis 00:50:28
cómo se tienen que expresar las asíntotas. 00:50:31
Hay tres tipos de asíntotas, 00:50:34
que serían horizontales, verticales y luego oblicuas. 00:50:38
Las oblicuas no os las voy a explicar, 00:50:41
pero sí que quiero que sepáis cómo se tienen que... 00:50:43
Bueno, las asíntotas son líneas rectas. 00:50:46
Entonces, ¿cómo se tienen que expresar? 00:50:48
Pues con las ecuaciones de las líneas rectas. 00:50:49
Sin embargo, hay alguna que a lo mejor no sabríais, 00:50:51
por eso os explico. 00:50:56
Fijaos, las líneas horizontales, las asíntotas horizontales, 00:50:58
imaginaos este ejemplo, ¿vale? 00:51:03
Veis, esta gráfica hace así, esta es la curva que hace, 00:51:06
y aquí tiene una asíntota, ¿vale? 00:51:10
Porque aquí se va frenando el crecimiento 00:51:12
y ya se quedaría atascada aquí, 00:51:14
y nunca llegaría a rebasar la línea esta, 00:51:16
que pasa por el 3, ¿no? 00:51:19
Entonces las asíntotas horizontales se ponen igual a 3, 00:51:22
porque es una recta horizontal. 00:51:27
La pendiente sería 0, ¿vale? 00:51:29
Si os acordáis de la ecuación explícita de la recta, 00:51:31
sería mx más n, ¿vale? 00:51:35
La m es la pendiente, como es una línea horizontal, 00:51:37
la pendiente es 0, 00:51:40
al multiplicarla por la x, la x desaparece, 00:51:41
más n, n es la ordenada en el origen, 00:51:43
o sea que es donde cortaría esta línea horizontal 00:51:49
al eje de las is. 00:51:52
Entonces lo único que hay que poner para las asíntotas horizontales 00:51:53
es i igual al número por el que cortan al eje de las is, 00:51:58
i igual a 3 en este caso. 00:52:02
Y de forma parecida, las asíntotas verticales, 00:52:04
que eso no lo hemos estudiado, ¿vale? 00:52:07
Su ecuación no son funciones, 00:52:10
porque al ser verticales pues no son funciones, 00:52:12
pero sí que tienen una ecuación que sería x igual 00:52:15
y al punto donde corten al eje de las x, ¿vale? 00:52:18
x igual a 2, ¿vale? 00:52:27
Si veis una asíntota vertical, 00:52:29
lo único que tenéis que poner es x igual 00:52:31
y el punto donde corten al eje de las x, 00:52:33
x igual a 2. 00:52:36
Pues eso es lo único que tenéis que saber de las asíntotas. 00:52:38
Si alguna vez veis alguna tendréis que poner su ecuación, ¿vale? 00:52:40
Esta gráfica tiene una asíntota horizontal en i igual a 3, 00:52:43
o tiene una asíntota vertical en x igual a 2. 00:52:49
Me lo ponéis y ya estáis describiendo la gráfica. 00:52:52
Bueno, con los ejemplos que hagamos lo entendréis mejor. 00:52:57
Hay otras características de las funciones, 00:52:59
pero esas las veremos más adelante. 00:53:03
De momento vamos a trabajar con estas, 00:53:05
y vamos a ver qué tal lo habéis entendido. 00:53:07
¿De acuerdo? 00:53:09
Idioma/s:
es
Autor/es:
Elías Martí Borredà
Subido por:
Elias M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
5
Fecha:
20 de octubre de 2023 - 14:00
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLA DE VALLECAS
Duración:
53′ 13″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
640x480 píxeles
Tamaño:
149.00 MBytes

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