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Campo creado por un cilindro infinito - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2021 por Àngel Manuel G.

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En este vídeo usamos la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico generado por un cilindro muy largo (infinito).

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En este vídeo vamos a utilizar la ley de Gauss para calcular el campo generado por un cilindro infinito que tiene una densidad de carga ρ. 00:00:04
Esta figura que vemos aquí es una sección diametral del cilindro, es decir, hemos cogido el cilindro y lo hemos cortado justamente por el centro. 00:00:14
Tenemos un radio del cilindro R y pues esa densidad de carga ρ. 00:00:24
¿Qué significa esta densidad de carga? Recordamos que esto es la carga total del cilindro entre el volumen. 00:00:30
Como estamos diciendo que esto es un cilindro infinito, pues su volumen será infinito, pero su carga también. 00:00:37
Por lo tanto, este cociente, esta Q entre esta V, será una constante. 00:00:43
Pues bien, nosotros en este problema vamos a fijarnos, primero vamos a escribirnos la ley de Gauss, 00:00:50
que es lo que vamos a utilizar, ley de Gauss, que recordamos que lo que dice es que el flujo a través de una superficie cerrada 00:00:56
es la carga que encierra esta superficie entre epsilon sub cero. 00:01:08
Muy bien, entonces vamos a calcular primero la primera integral y la compararemos con esta carga interior, 00:01:17
pero esto lo vamos a hacer en dos casos. Fijémonos que este problema tiene simetría cilíndrica. 00:01:24
Vamos a apuntar aquí, simetría cilíndrica, simetría cilíndrica. ¿Por qué tiene simetría cilíndrica? 00:01:31
Pues tiene simetría cilíndrica porque si nos movemos en esta dirección no nos cambia el problema 00:01:41
porque como el cilindro es infinito, pues aunque esté más arriba o más abajo, 00:01:47
sigo teniendo infinito hacia arriba infinito hacia abajo y si nos movemos en esta dirección 00:01:52
tampoco la única dirección que nos afecta es la dirección radial si cambia el problema si giro 00:01:56
así por eso no tenemos simetría esférica también cambia el problema si me muevo en esta o en esta 00:02:04
por lo tanto cartesiana tampoco sin embargo si tenemos simetría cilíndrica por eso vamos a elegir 00:02:12
superficies que sean cilíndricas pero no puedo elegir una superficie que encierre todo el 00:02:18
cilindro porque esto es un cilindro infinito por lo tanto no lo puedo encerrar en una superficie 00:02:24
cerrada entonces lo que voy a hacer es coger un cilindro que no sea infinito vamos a fijarnos 00:02:28
en dos casos al igual que con la esfera vamos a suponer que tenemos un cilindro como este de 00:02:35
color verde, que sería un cilindro con un radio mayor que el del cilindro inicial, con 00:02:41
un radio R, y como es un cilindro que está cerrado, tiene una tapa por encima, una tapa 00:02:53
por debajo, tiene el lateral y tenemos que establecer una cierta altura que le vamos 00:02:59
a llamar Y. 00:03:06
Por otro lado, vamos a considerar el caso en el que tengamos un cilindro chiquitito con un radio más pequeño, va a tener la misma altura Y, podría tener otra realmente, veremos que eso nos da igual, y va a tener una R minúscula que en el caso rojo va a ser más pequeña que el radio del cilindro que consideramos. 00:03:07
Fijémonos que en el caso verde estamos considerando, si cierro por aquí y cierro por aquí, la carga interior será la que corresponda a este trozo de aquí. 00:03:31
Mientras que en el caso rojo no será todo el cilindro, sino que será la misma altura, pero solo esta parte de dentro del cilindro rojo. 00:03:50
Muy bien, ya tenemos nuestras superficies cilíndricas. Vamos a hablar sobre el campo. El campo que puede generar este cilindro tiene que ser obligatoriamente de dirección radial. 00:03:59
cojamos por ejemplo este punto de aquí 00:04:11
si yo cojo este punto de aquí el campo tiene que ser 00:04:13
como este, no podría ser así 00:04:17
porque eso significaría que tenemos más carga en un lado 00:04:20
que en el otro, si es así 00:04:23
pues tendremos más carga positiva abajo o más carga negativa arriba 00:04:26
para que sea de esta manera 00:04:29
tampoco puede ser hacia acá 00:04:31
porque eso nos daría una asimetría angular 00:04:35
Debido a la simetría cilíndrica el campo sólo puede ser en dirección radial, podría ser también hacia adentro si la carga del cilindro fuese negativa, pero nosotros vamos a suponer que es positiva y si es negativa con ponerle un signo menos nos cambiará esta dirección, perdón, este sentido del campo. 00:04:39
por lo tanto ahora que tenemos nuestro campo 00:04:55
aquí vamos a pensar en este diferencial de superficie 00:04:59
y es que ahora tenemos tres diferenciales de superficie distintos 00:05:03
tendremos uno para la tapa superior 00:05:07
uno para la tapa inferior 00:05:09
y uno para el lateral 00:05:11
entonces vamos a dividir esta integral cerrada 00:05:13
en tres integrales que no son cerradas 00:05:17
pero como esta integral no deja de ser una suma 00:05:19
vamos a dividirlas y las vamos a sumar 00:05:21
y tendremos la misma integral. Esta integral cerrada para la superficie 00:05:24
completa del cilindro del campo producto escalar 00:05:28
con diferencial de s va a ser igual 00:05:32
a la integral en el lateral 00:05:36
ya no le pongo el circulito porque el lateral no es una superficie 00:05:39
cerrada porque ya no tiene las tapas. Producto diferencial 00:05:44
de s va a ser 00:05:48
Perdón, más la integral en la etapa superior del campo producto escalar con diferencial de S, en esta parte de aquí, más la integral en la etapa inferior del campo producto escalar con diferencial de S, que sería en esta etapa de debajo. 00:05:51
vamos a ver cada uno de estos casos 00:06:17
en la parte del lateral el vector diferencial de superficie 00:06:20
es un vector que ya sabemos que es 00:06:25
perpendicular a esta cara y hacia afuera 00:06:29
observamos que es paralelo al campo 00:06:33
este campo daría la vuelta junto con el cilindro 00:06:36
y este diferencial de S también 00:06:39
por lo tanto a lo largo de todo el lateral 00:06:41
esto de aquí siempre van a ser paralelos 00:06:44
por lo tanto lo podremos escribir como el producto de los módulos 00:06:48
sin embargo en la etapa superior y en la etapa inferior 00:06:51
el campo es el mismo, el campo será también así 00:06:55
campo, en la etapa inferior así 00:06:58
campo, mientras que el vector diferencial de superficie 00:07:03
en la etapa superior será así 00:07:08
diferencial de superficie y en la etapa inferior será así 00:07:10
diferencial de superficie. Observamos que son vectores 00:07:15
perpendiculares, forman 90 grados 00:07:19
ambos. Por lo tanto el producto escalar que lleva un coseno 00:07:22
de 90 grados será 0. En este caso esto es 0 00:07:28
y esto es 0. Por lo tanto esta integral 00:07:31
en la superficie cerrada del cilindro se nos ha convertido en un 00:07:36
en una integral en la superficie lateral. Además, como el campo solamente puede depender 00:07:39
de la distancia al eje por la simetría, por la simetría cilíndrica, y a lo largo de 00:07:47
la superficie lateral, en las tapas no, pero las tapas nos dan igual, a lo largo de las 00:07:53
superficies lateral el campo solo depende de r y r es constante, podremos sacar este 00:07:57
campo fuera de la integral y obtendremos que esta integral es este campo que depende de 00:08:05
r por ds pero puede salir fuera la integral sobre la superficie lateral del cilindro y 00:08:14
esta integral de diferencial de superficie es la integral sobre la superficie lateral es decir es 00:08:28
la superficie lateral de este cilindro la superficie lateral es la longitud de la 00:08:33
circunferencia que es 2 pi r por la altura y es decir este resultado es el campo por 2 pi r 00:08:38
y es esta superficie lateral del cilindro en el caso rojo es exactamente lo mismo porque 00:08:51
fijémonos que aquí en ningún momento hemos hablado de que r fuese mayor o menor que la 00:08:59
R del cilindro. Por lo tanto este resultado para la parte izquierda nos vale tanto para el caso verde 00:09:05
en un campo exterior como para el caso rojo en un caso interior. Vamos a hacer entonces ahora la 00:09:13
parte derecha, la carga interior en el caso verde. La carga interior en el caso verde cuando R es 00:09:22
mayor que el radio del cilindro 00:09:29
esta carga interior será 00:09:32
la densidad de carga por el volumen interior 00:09:38
¿vale? despejando de aquí, este volumen interior 00:09:44
hemos dicho que sería esto de aquí, esta superficie 00:09:47
que es la superficie del cilindro por la altura 00:09:51
que nosotros estamos considerando por esta Y, por lo tanto 00:09:55
esto será la densidad de carga por pi r grande al cuadrado que es el radio del cilindro por y 00:09:58
si ahora esto lo sustituimos donde dice carga interior y lo igualamos con esta parte izquierda 00:10:08
obtendremos que el campo en módulo la dirección ya la hemos asumido como esta de aquí que es una 00:10:16
dirección radial, el campo en módulo multiplicado por 2 pi r y será esta 00:10:23
densidad de carga por pi r al cuadrado y por y, tal como nos dice aquí. 00:10:33
Podemos simplificar y se nos va pi y se nos va y. Es muy importante que se nos 00:10:42
vaya y porque fijémonos que y es de la superficie que nosotros hemos elegido y 00:10:47
Y si nosotros estamos eligiendo esta superficie, esta superficie no debe de afectar porque si ahora elijo otra no puede cambiar el resultado. 00:10:51
Finalmente el campo nos queda, este 2 y esta r pasan dividiendo, pues nos queda ρr al cuadrado, me falta un ε0 que divide aquí que me lo he olvidado, 00:11:00
que es este épsilon sub cero, rho r al cuadrado, dividido entre 2 épsilon sub cero r. 00:11:15
Fijémonos que todo esto es constante y lo único que cambia es la distancia a la que nos encontramos del cilindro, del centro del cilindro, del eje. 00:11:24
Vamos al caso rojo. En el caso rojo, el radio de nuestro cilindro que nos hemos imaginado es más pequeño que el radio del cilindro. 00:11:36
Eso significaría que yo le he hecho un agujero pequeñito al cilindro, he entrado hasta aquí y ¿qué campo estoy sintiendo aquí dentro? 00:11:45
Pues bien, ahora la carga interior no va a ser el mismo caso que antes que habíamos cogido toda la superficie del cilindro, 00:11:52
sino que voy a coger solo esta superficie de aquí, que es primero la densidad por el volumen interior, 00:11:59
que hemos dicho que va a ser pi, ahora es r pequeña al cuadrado, por la altura i. 00:12:07
La altura y vuelve a ser esta de aquí, pero como hemos cogido solo esta superficie, por eso ponemos la r pequeña. 00:12:13
En este caso, si despejamos de la misma manera, el campo en función de r por 2pi r griega va a ser r por pi por r cuadrado y por y. 00:12:23
Ahora puedo simplificar este pi, puedo simplificar una r y puedo simplificar esta i de tal manera que ahora el campo va a ser, me he vuelto a dejar el epsilon sub cero, va a ser rho dividido entre 2 epsilon sub cero por r. 00:12:41
En este caso, todo esto de aquí es constante y tenemos proporcional a R. 00:13:02
Si ahora quisiésemos el vector campo eléctrico, simplemente deberíamos multiplicar el vector campo eléctrico, será el módulo, que usaremos el verde o el rojo en función de donde estemos, por este vector radial que iría alejándose del eje del cilindro. 00:13:10
Podemos analizar estos resultados y lo que veremos es que si pintamos el módulo del campo en función de la distancia al eje tendremos aquí el cilindro 00:13:30
y lo que vamos a observar es que 00:13:48
este es una constante por R, es decir, crece linealmente 00:13:52
y cuando R vale 0, el campo vale 0, por lo tanto partimos de aquí 00:13:56
y alcanzaremos un valor máximo 00:14:01
y lo haremos linealmente, mientras que 00:14:03
cuando alcancemos ese valor máximo, si nos seguimos alejando, vamos a decaer 00:14:10
como 1 sobre R 00:14:15
que es este valor de aquí. Podemos observar que es diferente del caso de la esfera. En el caso de la esfera teníamos uno sobre r cuadrado, 00:14:20
le caíamos un poco más rápido, era como así. ¿Por qué? Pues bien, porque esto es infinito. Si esto es infinito, aunque yo me vaya muy lejos, 00:14:31
voy a seguir viendo mucho cilindro tanto por arriba como por abajo. ¿Cómo puedo tener un cilindro infinito? 00:14:41
A lo mejor no tengo un cilindro infinito, sino que tengo un cilindro muy muy largo, muy muy largo, muy muy largo, sí, y yo estoy a unas distancias más o menos pequeñas, esta r, es pequeña en comparación con esta altura que tiene el cilindro. 00:14:47
y por lo tanto yo lo que veo es que es muy muy largo hacia arriba y muy muy largo hacia abajo 00:15:10
en este tipo de casos podremos utilizar estas aproximaciones y será mucho más sencillo el cálculo del campo generado 00:15:14
porque lo podremos utilizar, podremos utilizar el teorema de Gauss 00:15:22
y así es como calculamos el campo creado por un cilindro infinito 00:15:25
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Àngel M. Gómez Sicilia
Subido por:
Àngel Manuel G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
339
Fecha:
8 de febrero de 2021 - 20:14
Visibilidad:
Público
Duración:
15′ 35″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
528.89 MBytes

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