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Continuidad con Parámetros - Contenido educativo

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Subido el 15 de marzo de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a hacer este ejercicio que es el típico de calcular, o sea, que nos piden estudiar la continuidad de una función dependiendo de un parámetro, ¿vale? 00:00:00
En este caso nos están pidiendo calcular el valor de k. 00:00:09
Bien, a ver, observamos que es una función definida a trozos y que en cada uno de los trozos la función que tenemos, 00:00:12
tanto 3 menos kx cuadrado como x más 1 son polinomios, por lo tanto van a ser continuas. 00:00:18
¿Cuál es el único posible punto de discontinuidad? Pues donde tenemos el cambio de un trozo a otro. 00:00:25
en el x igual a menos 1. 00:00:30
Vamos a poner la definición, que significa a nosotros que lo que queremos que f de x, 00:00:33
uy, a ver, que f de x es continua, es continua en x igual menos 1, 00:00:38
si, solo si, es decir, que tiene que verificar, pues tiene que verificar que el límite, 00:00:53
cuando x tiende a menos 1 por la izquierda de mi función f de x 00:00:58
tiene que ser igual al límite cuando x tiende a menos 1 por la derecha de mi función 00:01:04
y además tiene que coincidir con el valor de la función en el menos 1, ¿vale? 00:01:11
Recordad que siempre, normalmente, salvo que la función definida a trozos 00:01:18
sea una función específica para el igual, 00:01:22
Si no, siempre va a estar con el menor o igual con el mayor o igual 00:01:24
En este caso es x menor o igual que menos 1 00:01:28
Luego eso significa que el f de menos 1 coincide con el límite 00:01:31
Cuando x tiende a menos 1 por la izquierda, porque es menor o igual 00:01:36
Y mi función es x más 1 00:01:42
Sustituye, me queda menos 1 más 1, 0 00:01:44
Vale, pues ya está 00:01:47
Y ahora, a ver, este es lo primero que tenemos que ver 00:01:49
y ahora lo segundo que tenemos que ver es el límite cuando x tiende a menos 1 por la derecha, ahora es de menos 3kx cuadrado. 00:01:52
¿Y esto cuánto es? Pues si sustituyo la x por menos 1, me queda aquí 3, menos 1 al cuadrado es 1, por lo tanto me queda 3 menos k. 00:02:04
Para que sean continuas, estos dos valores tienen que ser iguales, por lo tanto los igualo 00:02:12
Y que me queda 3 menos k igual a 0 00:02:20
A ver si aquí en lugar de 0 me hubiera dado menos 7, aquí pondríamos el menos 7, ¿vale? 00:02:23
Que sé que siempre tendéis a igualarlo todo a 0, pero no tiene por qué 00:02:29
Y ahora si resolvemos la ecuación, paso el k al otro miembro y que me queda que 3 es igual a k 00:02:33
¿Vale? Por lo tanto, respondemos, si k es igual a 3, entonces f de x es continua 00:02:39
Y va a ser continua en todo su dominio, va a ser continua en todo r, ¿vale? 00:02:52
Este sería uno, así muy sencillito, por aquí abajo creo que he cogido algún otro 00:02:57
vale, vamos a ir haciendo primero este, en este tenemos, me piden dos valores 00:03:03
vamos a bajar este un poquito aquí para que hagamos dos casos 00:03:09
vale, ahora me piden valores de a y b para que las siguientes funciones sean continuas 00:03:15
vale, está un poquito apelotonada pero yo creo que se ve 00:03:20
ahora que ocurre, lo que tenemos aquí, tenemos la función 3x menos a 00:03:23
2x cuadrado más bx más a y 3x más 1 00:03:28
las tres funciones son polinómicas, luego las tres funciones son continuas 00:03:32
como yo lo que quiero es calcular dos parámetros a y b 00:03:36
voy a tener que tener dos puntos, dos valores para poderlo hacer 00:03:39
¿qué valores son? pues justamente donde saltan el 1 y el 2 00:03:45
pues vamos estudiando cada uno de los casos por separado 00:03:49
empezamos, vamos a coger con el 1 00:03:53
entonces f de x continua nx igual 1, la misma definición 00:03:56
Si y solo si, el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de f de x es igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de f de x y es igual a f de 1. 00:04:03
¿Dónde tenemos el igual? Pues tenemos en la parte de aquí, cuando 1 menor o igual que x, es decir, cuando x es mayor o igual que 1, cuando me acerco por la derecha. 00:04:22
Luego ahora tenemos f de 1 es igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha, mi función es 2x cuadrado más bx más a, sustituyo por 1 la x y que me queda 2 más b más a. 00:04:31
Ahora calculamos el otro límite, ¿cuánto será el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda? 00:04:53
Mi función es 3x menos a, sustituyo la x por 1 y me queda 3 menos a 00:05:01
Como lo que queremos es que estos dos valores sean exactamente igual 00:05:07
De aquí obtenemos una ecuación que es 2 más b más a igual a 3 menos a 00:05:12
vamos a dejar las incógnitas en un miembro y los números en otro 00:05:21
y me quedaría, si paso el menos a al otro miembro 00:05:25
me queda a más a, sumo y me quedan 2a más b 00:05:29
y a la derecha paso el 2 a mi derecha y me queda 3 menos 2, 1 00:05:33
vale, pues esta va a ser la primera ecuación 00:05:38
que voy a necesitar para poder resolver 00:05:42
ahora, ¿qué me dan también en el 2? 00:05:45
pues hago exactamente lo mismo que acabo de hacer 00:05:48
pero ahora en el 2f de x continua se me ha ido un poquito eso, vale, en x igual 2, si y solo si, que es lo que tiene que verificarse, 00:05:50
que el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de la función sea igual al límite cuando x tiende a 2 por la derecha de la función y que sea igual a f de 2, 00:06:03
vale, pues vamos a subir un poquito 00:06:17
hacemos lo mismo 00:06:20
nos fijamos 00:06:23
el f de 2 00:06:24
¿con quién coincide ahora? 00:06:25
es para, tenemos aquí mayor o igual que 2 00:06:30
luego también es por la derecha 00:06:32
f de 2 va a ser igual al límite 00:06:33
cuando x tiende 00:06:37
a 2 por la derecha 00:06:39
¿de qué función? 00:06:40
de 3x más 1 00:06:42
sustituyo la x por 2 00:06:43
y me queda 2 por 3, 6 más 1, 7 00:06:45
Calculamos el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda, ahora la función es 2x cuadrado más bx más a, sustituimos, esto me queda 2 por 2 es 4, por 2 es 8, 8 más 2b más a. 00:06:48
igual que antes, estos dos valores tienen que ser iguales 00:07:09
por lo tanto, igualo y obtengo la ecuación 00:07:14
8 más 2B más A 00:07:17
igual 7, operamos 00:07:20
y que me queda 2B 00:07:24
bueno, vamos a ponerlo, igual, 2B más A es que el otro ha puesto primero la A 00:07:28
igual a el 8, lo paso al otro miembro y me queda 7 menos 8 00:07:33
menos 1. Y esta es la segunda ecuación que necesito para resolver, o sea, para calcular 00:07:37
los valores de a y b. Pues nada, tenemos que resolver ese sistema. Voy para abajo, ¿vale? 00:07:44
Es decir, el sistema que me queda es 2a más b igual 1, y ahora le coloco en orden a más 00:07:50
2b igual a menos 1. Este es el sistema que tenemos que resolver. Bien, pues aquí, por 00:08:00
ejemplo, hacemos reducción para eliminarla. Multiplico la segunda ecuación por 2. Si 00:08:10
multiplico la segunda por 2 o la multiplico por menos 2 y sumo, me quedaría 2a menos 00:08:20
2a se me van, y arriba me queda b menos 4b menos 3b, y aquí sería 1 menos menos es más, 00:08:27
o sea, 1 más 2, 3. Por lo tanto, queda que la b es 3 partido de menos 3, es decir, menos 00:08:40
1, ¿vale? Y ahora ya tenemos, bueno, vamos a ponerlo más claro, b es menos 1. Y ahora 00:08:51
para calcular el valor de a, pues por ejemplo utilizo la primera ecuación y que tengo que 00:09:04
a más 2b es igual a menos 1. Sustituyo la b por el valor que he obtenido y me queda 00:09:10
a menos 2b, menos 2b no, menos 2, porque b vale menos 1, es igual a menos 1, luego a es 00:09:17
igual, paso el menos 2 a la derecha, me queda menos 1 más 2, a es igual a 1. Vale, pues 00:09:27
ahora ya contestamos. Si a es igual a 1 y b es igual a menos 1, entonces f de x es 00:09:34
continua. Hemos visto que era continuo en cada uno de los cachitos de los intervalos 00:09:46
y ya hemos visto que es también continua en los puntos en los que se separa luego la 00:09:51
función es continua. ¿Vale? Venga, pues vamos con el último ejemplo que tengo aquí, que 00:09:57
es hacer exactamente lo mismo que el ejercicio anterior. A ver qué sé. Tengo una función 00:10:03
definida en tres trozos, cada uno de los trozos, aquí tengo un polinomio de grado 2, otro 00:10:13
polinomio de grado 2 y un polinomio de grado 1, es decir, todas son funciones polinómicas, 00:10:20
todas son continuas. ¿Problemas de continuidad? ¿En dónde se separa? En el menos 1 y en 00:10:25
el 1. Pues vamos viendo las cosas por separado, vamos a ir poniendo primero. ¿Qué significa 00:10:32
que f de x, vamos a imponer que f de x sea continua, queremos que sea continua en x igual 00:10:36
a menos 1, menos 1. ¿Esto qué quiere decir? Pues que el límite cuando x tiende a menos 00:10:46
1 por la izquierda de mi función tiene que ser igual al límite cuando x tiende a menos 00:10:55
1 por la derecha de mi función y tiene que ser igual a f de menos 1. Como antes, miramos 00:11:03
dónde está el igual. Pues en el igual ahora mismo está en el mayor igual, luego está 00:11:12
por la derecha. Por lo tanto, f de menos 1 va a ser igual al límite cuando x tiende 00:11:17
a menos 1 por la derecha y la función en este caso es 4x cuadrado más ax más b. Sustituimos 00:11:24
por menos 1 y me queda 4 menos a más b. Calculamos el límite por la izquierda, cuando x tiende 00:11:35
a menos 1 por la izquierda, de ax cuadrado menos 2x. Sustituimos la x por menos 1 y me 00:11:44
queda a más 2. Y ahora, como antes, queremos que estos dos valores sean iguales, por lo 00:11:54
tanto de aquí sacamos la ecuación 4 menos a más b igual a a más 2, pasamos las letras 00:12:03
al primer miembro y me quedarían menos 2a más b igual a, paso el 4 a la derecha y me 00:12:12
queda 2 menos 4 menos 2, ¿vale? Bien, pues ya tenemos la imposición de que sea continua 00:12:21
en el menos 1. Pues ahora lo mismo, queremos imponer que f de x sea continua en x igual 00:12:29
1. ¿Esto qué quiere decir? A ver, me ha hecho la flecha, ¿no? Esto lo que quiere decir 00:12:40
es que el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de mi función tiene que ser 00:12:47
igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de mi función y tiene que coincidir 00:12:53
con el valor de f de 1. Pues vemos donde está el igual, el igual ahora está con el x mayor 00:13:01
igual que 1 como pasaba antes, por lo tanto f de 1 va a ser igual al límite cuando x 00:13:09
tiende a 1 por la derecha ya que están los mayores y el valor de la función es 3x más 00:13:16
b. Sustituyo en el 1 y me da 3 más b. Calculamos el otro límite, límite, cuando x tiende 00:13:21
a 1 por la izquierda, por la izquierda es menor que 1 y el valor de la función es 4x 00:13:31
cuadrado más ax más b, sustituyo en el 1 y esto es 4 más a, a ver que no me escribe, 00:13:37
más b. Queremos que estos dos valores sean iguales. Bueno, no lo he marcado aquí, esta 00:13:49
era mi primera ecuación, ¿vale? Que quede claro. Igualamos aquí y me queda que 3 más 00:13:55
b es igual a 4 más a más b, y aquí vamos a tener más suerte que en el primero, va 00:14:02
a ser mucho más sencillo, porque las b se me van, si paso la b al otro miembro, más 00:14:13
b y más b, se me va a quedar b menos b es 0, luego me queda 3 menos 4 igual a a, por 00:14:19
lo tanto a es igual a menos uno. Nos queda mucho más sencillito y ahora lo único que 00:14:26
tengo que hacer es resolver, bueno ya tengo cuánto vale a igual a menos uno, pues voy 00:14:38
a esta ecuación, sustituyo la a por menos uno y me quedaría dos más b igual a menos 00:14:42
dos, por lo tanto b, paso el dos al otro miembro y me quedaría que b es igual a menos cuatro. 00:14:50
En este caso no tenemos que resolver el sistema porque con el segundo valor, con el valor x igual a 1, 00:14:56
ya hemos obtenido un valor de la a. 00:15:03
Bien, y ahora lo único que me queda es contestar a lo que me preguntaban. 00:15:06
Pues, a ver que se me ha quedado eso marcado. 00:15:11
Si a es igual a menos 1 y b es igual a menos 4, entonces ¿qué ocurre? 00:15:17
ocurre que f de x es continua en todo su dominio, en todo R, ¿vale? 00:15:25
Y ya estaría el ejercicio, veis que siempre hacemos lo mismo. 00:15:33
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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18
Fecha:
15 de marzo de 2025 - 17:08
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
15′ 37″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
40.51 MBytes

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