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L'Hôpital (caso directo) - Contenido educativo

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Subido el 14 de octubre de 2023 por Maria Isabel P.

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Bueno, este va a ser más cortito, es sobre los límites para hacer por lo pital que hay en vuestro libro. 00:00:01
Os recuerdo que de momento solamente los casos que llamamos directos, que es de aplicación directa de la regla, 00:00:12
sin hacer ningún tipo de transformación para convertir otra indeterminación en una de estas. 00:00:18
O sea, los casos que directamente al sustituir sale una de estas dos. 00:00:23
Pues acordaos que se podrá aplicar lo pital cuando tengamos funciones que cuando x tiende al número que ponga aquí, que puede ser finito o infinito, salga cero en ambos casos, arriba o abajo, o bien infinito en numerador y denominador. 00:00:27
es decir, una de estas dos indeterminaciones 00:00:45
entonces el resultado de este límite será igual al límite del cociente de las derivadas 00:00:47
insisto en esto, cociente de derivadas, no derivada del cociente 00:00:55
o sea, no es aplicar a esto la regla del cociente 00:00:58
es derivar al numerador y a su sitio, derivar al denominador y a su sitio 00:01:01
entonces hay veces que hay que aplicarlo más de una vez 00:01:05
lo que se llama aplicarlo reiteradamente 00:01:08
¿vale? bien, entonces por eso en este tipo de límites 00:01:10
¿por qué se aplica esta regla y no las técnicas que conocemos de antes? 00:01:15
pues porque generalmente es porque son funciones que no son cocientes de polinomios 00:01:21
no son funciones con raíces cuadradas 00:01:25
con lo cual las técnicas que conocemos hasta ahora no nos valen 00:01:27
bien, entonces aquí esto he repetido los que hice en clase esta semana pasada 00:01:30
Pues para que este nos tengáis un poquito así 00:01:35
Otra vez escritos 00:01:39
Entonces este por ejemplo era muy sencillo 00:01:41
Primero sustituyo, me sale 0 partido por 0 00:01:44
Pues aplico el hospital 00:01:46
Entonces desde aquí el límite será 00:01:47
¿Veis? La derivada de esto es esta cosita que hay aquí arriba 00:01:51
La derivada de lo de abajo es esto de aquí 00:01:54
Aquí lo único que he hecho es efectuar este cociente 00:01:56
El 1 más x pasa multiplicando 00:02:00
¿Vale? Y este menos y menos es este más 00:02:02
al sustituir aquí 00:02:05
ya sale uno por uno 00:02:06
que es uno y se acabó 00:02:08
ya no hay más, solamente una vez 00:02:09
en este símbolo hay que aplicar el hospital 00:02:11
dos veces 00:02:14
una primera sustitución, fijaos que mezcla 00:02:15
polinomio, logaritmo y trigonométrica 00:02:18
entonces 00:02:19
se aplica el hospital porque tengo cero entre cero 00:02:22
entonces al derivar esto 00:02:24
sale esta cosita aquí arriba 00:02:26
queda así 00:02:28
al derivarlo de abajo 00:02:29
de coseno paso a seno 00:02:31
Lo que comentaba en otro vídeo, que con este tipo de cuestiones 00:02:33
hay que fijarse en las funciones trigonométricas de las exponenciales 00:02:36
porque, como comenté un día en clase, son funciones que se reproducen al derivar. 00:02:41
Va saliendo una del mismo tipo todo el rato. 00:02:46
Entonces, en estos casos que buscamos si va a salir un cero o no, 00:02:52
siempre que tengamos abajo algún seno, va a salir cero. 00:02:55
Pero si sale coseno, ya no. 00:02:59
Con lo cual, a ver, aquí en principio, vale, teníamos coseno 00:03:01
¿Qué problema había? Que como esto es 1 por 2 es 2 00:03:05
Y se lo estábamos restando a 2, de ahí nos salía el 0 00:03:09
Al derivar una primera vez, esto desaparece 00:03:12
Pero claro, parece seno, sigo teniendo 0 abajo 00:03:15
Aquí, como el logaritmo de 1, que es lo que va a quedar al cambiar la x por 0 00:03:18
Sigue siendo 0 más 0 entre 1 00:03:23
Pues sigo teniendo 0 arriba, 0 abajo 00:03:27
Se vuelve a aplicar L'Hôpital 00:03:29
Al derivar esto sale este cocientito de aquí 00:03:30
Al derivar este cociente sale este cachito de aquí 00:03:33
Bien, al derivar el seno de abajo ya volvemos a coseno y se acaba nuestro problema 00:03:37
Porque el coseno de 0 ya no es 0, es 1 00:03:42
Entonces este término sale 0, aquí está simplificado 00:03:45
Esto sale 0 porque es 0 entre 1, pero este ya no 00:03:50
Entonces 1, a ver si saliera 0 00:03:52
Solo arriba no es problema porque sería 0 entre 2 que sería 0 00:03:56
no pasa nada, el problema son los dos 00:03:59
y ya, en este caso ya 00:04:02
acaba saliendo este 1 medio y listo 00:04:05
bien, a ver, aquí lo que he hecho 00:04:08
es que antes de derivar 00:04:12
como la secante no deja de ser 00:04:15
una cosa que depende del coseno, es 1 partido por coseno 00:04:18
entonces 00:04:21
fijaos lo que ocurre, me sale esto 00:04:23
0 partido por 0, efectivamente voy a usarlo pital 00:04:29
Pero lo que he hecho es que antes de derivar, ¿vale? 00:04:32
He operado, ¿por qué? Pues porque me va a ser más sencillo simplificar esto un poquitín 00:04:36
Daos cuenta que lo de abajo es un polinomio 00:04:41
Que al derivarlo dos veces ya el 0 desaparecerá 00:04:43
Pero tenemos que tener claro que en una primera derivada vamos a seguir teniendo 0 abajo 00:04:47
O sea que va a haber que usarlo pital otra vez al menos 00:04:51
Bien, entonces al efectuar esta resta llego aquí 00:04:53
Y es que ahora 1 menos coseno cuadrado es seno cuadrado 00:04:57
¿Vale? 00:05:02
Entonces es desde aquí 00:05:03
Donde al sustituir desde aquí a pico lo pitalo 00:05:05
Por eso os lo he señalado así 00:05:09
¿Vale? 00:05:10
Aquí todavía no había hecho nada 00:05:11
Y ahora cuando voy a derivar 3x cuadrado es 6x 00:05:13
Al derivar este cociente sale esta cosa 00:05:16
Este menos con este menos va a salir más 00:05:20
Esta cosita de aquí 00:05:22
¿Vale? 00:05:24
Y esto lo he señalado aquí aparte, ¿vale? 00:05:25
Porque aquí lo que he hecho es sacar factor común, ¿vale? 00:05:30
Seno, a ver si lo veis. 00:05:37
Bueno, aquí lo que he hecho es... 00:05:41
Sí. 00:05:43
Ah, no, miento. 00:05:46
Lo que he hecho es cambiar el coseno cuadrado... 00:05:47
Ahora me acuerdo por qué era. 00:05:48
Cambiar el coseno cuadrado por 1 menos seno cuadrado, ¿vale? 00:05:50
entonces claro, ahora tendré 2 por seno por 1, 2 veces el seno 00:05:54
seno cuadrado por seno, seno cubo, que con este se me compensa 00:05:59
y me queda esto que va a ser más sencillo de derivar, es una opción 00:06:03
pero si lo hacéis directamente desde aquí no pasa nada, acaba saliendo igual 00:06:06
pero es más pesado, yo lo he convertido en una resta de funciones trigonométricas 00:06:11
mientras que aquí tenía un producto, pero un poco rollo 00:06:15
y por eso lo he hecho, bien, entonces nada 00:06:19
me voy a hacerlo pitar otra vez 00:06:23
al hacer este cambio 00:06:24
y poner esto en vez de esto de aquí 00:06:28
aquí es cuando ya derivo 00:06:30
que sí que sale esta cosa 00:06:32
es mucha paciencia 00:06:34
y aquí os he puesto 00:06:35
una vez ya 00:06:38
elimino estos paréntesis 00:06:39
este coseno por este coseno cuadrado 00:06:41
sale este coseno cubo 00:06:43
todo esto de aquí por este coseno cuadrado 00:06:44
sale esto 00:06:46
al final salen cuatro términos 00:06:47
y lo que he hecho es ir indicando 00:06:49
Como veis, menos el primero 00:06:51
Que depende solo de coseno 00:06:54
En todos los demás hay seno 00:06:55
Aquí hay seno, aquí hay seno 00:06:56
Y aquí hay seno 00:06:58
Bueno, de hecho, también multiplicado por un seno aquí los dos 00:07:01
Entonces los que llevan seno 00:07:03
Cuando x es cero van a salir cero 00:07:05
El único que sobrevive, digamos, es el que lleva coseno 00:07:06
Y abajo 00:07:09
Este denominador 00:07:10
Este denominador, perdón, me lo he llevado con el 6 00:07:13
No hay problema porque también es coseno 00:07:15
Nada más 00:07:17
¿Vale? 00:07:18
Y ya está, pues queda este que es 2 por 1 que es 2 y 6 por 1 que es 6 00:07:19
Pues un tercio, pues arreando, ya está, ala 00:07:24
A ver, este de aquí, infinito partido por infinito 00:07:27
Vamos a ver, este, realmente comparando grados entre comillas 00:07:31
Se ve que es 3 desde el principio 00:07:36
¿Por qué? 00:07:41
Porque, a ver, cuando os explicamos el año pasado 00:07:43
Que no todos los infinitos eran igual de grandes 00:07:46
os hablamos de las potencias de x, de los polinomios 00:07:48
os hablamos de que cuando una polinomio está dentro de una raíz cuadrada 00:07:52
su grado se divide entre 2 00:07:55
luego esta cosa es de grado 1 00:07:57
y esto es de grado 1 00:07:59
dices, ¿y el logaritmo que pinta? 00:08:00
pues en su momento también 00:08:03
yo hasta luego me acuerdo de haberlo dicho, que lo digo siempre 00:08:04
es que cualquier exponencial de base mayor que 1 00:08:07
por ejemplo la del número e 00:08:11
es más potente que cualquier polinomio del grado que sea 00:08:13
¿Vale? O sea, que es decir que la exponencial de base mayor de 1 está por encima de todos los polinomios 00:08:16
Pero a su vez el logaritmo está por debajo de todas las potencias de x 00:08:22
De exponente natural 00:08:28
Con lo cual esto es más flojo que esto 00:08:30
Así que aquí arriba manda el 3x 00:08:34
Y aquí abajo manda esto 00:08:37
Entonces, grados iguales, 3 entre 1, 3 00:08:38
Pero eso vosotros, se supone, no lo podéis usar como tal 00:08:41
De momento. Habría que explicarlo muy bien. 00:08:46
Entonces nos queda el hospital. 00:08:50
Pues se deriva, al derivar esta cosita sale esto, al derivar esta raíz sale esto, 00:08:52
se simplifica los dos, esto es una casa de cuatro pisos, 00:08:57
uno, dos, tres, cuatro, se hace el cociente, este por este arriba, este por este abajo, ¿lo veis? 00:09:01
Se vuelve a sustituir y ahora sí. 00:09:07
en el logaritmo es toda base 00:09:09
de polinomios 00:09:12
grado 1 y 1 00:09:14
2 arriba, os recuerdo que es 2 entre 2 00:09:16
es 1 00:09:19
1 y 1, 2, 1 y 1, 2, grados iguales 00:09:19
3 por 1, 3, 1 por 1, 1 00:09:22
aquí lo he puesto, perdón, 3 por 1 00:09:24
3, si lo he dicho bien 00:09:26
y sale 3 00:09:27
vale, bien 00:09:29
pues está 00:09:32
ah, tengo aquí 00:09:34
comentario en el vídeo, bien, a ver 00:09:36
Con la tangente hay un problema. Y es que si miráis la tabla de fórmulas, hay tres expresiones para su derivada. 00:09:38
Y recuerdo que esta en clase me puse a derivarla utilizando la de 1 más tangente al cuadrado. 00:09:45
¿Qué problema tiene eso? Pues que la tangente de pi medios va a estar saliendo infinito todo el rato. 00:09:50
Y entonces, si cojo la derivada de la tangente, que es 1 más tangente al cuadrado, 00:10:00
al derivarla me va a volver a salir tangente 00:10:06
me va a volver a salir tangente y es un vídeo 00:10:08
entonces 00:10:09
esa me acuerdo que nos quedamos en clase sin terminarla 00:10:11
porque esa deriva se complicaba 00:10:14
entonces esta vez 00:10:16
he cogido, pues voy a coger la otra expresión 00:10:18
a lo que voy con este comentario es 00:10:20
cuando ves 00:10:22
que tienes varias opciones 00:10:24
para 00:10:26
una derivada y eso suele pasar 00:10:28
ya os digo con la tangente y con la cotangente 00:10:30
pero es todo con la tangente 00:10:33
y ese camino 00:10:34
Se te va complicando en vez de ser cada vez más sencillo 00:10:35
Déjalo y prueba el otro 00:10:39
¿Vale? Cuando hay más de una forma de hacer algo 00:10:41
Si has elegido el camino que te va a llevar a un berenjenal 00:10:45
Se ve rápido que se va complicando en vez de ser más sencillo cada vez 00:10:51
¿Vale? 00:10:56
Fijaos que es sencillo, sale de esta manera 00:10:57
Uno partido por, uno partido por 00:10:59
Al efecto de este cociente 00:11:01
Esto va arriba, la X va abajo 00:11:03
Me queda esto 00:11:04
ahora, en vez de ser infinito partido por infinito 00:11:06
es cero partido por cero, pero sigue siendo 00:11:08
lo pita el directo, y al derivar esto 00:11:10
al derivar x 00:11:12
ya, se va a ir 00:11:13
y de esto que ha quedado 00:11:15
esto es coseno en pi medios 00:11:18
porque daos cuenta que al cambiarle x por cero 00:11:20
cero más pi medios es pi medios 00:11:22
el coseno es cero, pero el seno es uno 00:11:24
uno entre uno 00:11:26
perdón, uno por cero 00:11:28
cero arriba, uno abajo 00:11:30
lo que os decía antes, no pasa nada porque salga 00:11:33
0 arriba y abajo 00:11:35
ya está, sale 0 y fin 00:11:37
y nada 00:11:39
luego en el ejercicio 46 00:11:41
hay otros poquitos 00:11:42
de hecho son los 4 primeros 00:11:44
porque en los demás las indeterminaciones 00:11:46
todavía se salen de lo que necesitamos 00:11:48
y aquí los tenéis 00:11:50
hechos pasito a paso 00:11:53
aquí también os he ido marcando 00:11:54
lo que va valiendo cada término 00:11:56
que por eso sale 0 00:11:58
y yo creo que aquí no había nada así de particular 00:11:59
de fuera 00:12:02
Bueno, en este por ejemplo, al hacer la derivada en el hospital de lo arriba y lo de abajo, 00:12:04
cuando hago x a infinito, esto es un logaritmo que tiende a infinito, 00:12:11
esto es un cociente de polinomios del mismo grado, que tiende a 1 entre 1 que es 1, 00:12:15
luego infinito más 1, infinito arriba, y esto infinito abajo. 00:12:19
Al hacerlo en el hospital una segunda vez, ya llegamos al resultado. 00:12:24
Y ya está 00:12:28
Espero que os sirva 00:12:30
Y que lo veáis unos cuantos al menos 00:12:31
Subido por:
Maria Isabel P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
17
Fecha:
14 de octubre de 2023 - 22:44
Visibilidad:
Público
Centro:
IES GUSTAVO ADOLFO BÉCQUER
Duración:
12′ 36″
Relación de aspecto:
17:9 Es más ancho pero igual de alto que 16:9 (1.77:1). Se utiliza en algunas resoluciones, como por ejemplo: 2K, 4K y 8K.
Resolución:
1920x1008 píxeles
Tamaño:
165.70 MBytes

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