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Función a Trozos: Continuidad y Asíntotas - Contenido educativo

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Subido el 16 de marzo de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a ver este ejercicio que es de la EVAU, de la convocatoria ordinaria 22-23. 00:00:00
Me dan una función definida a trozos y en el apartado A me piden indicar el dominio 00:00:07
y analizar la continuidad y señalar el tipo de discontinuidad, si es que la presenta. 00:00:12
Y en el apartado B, determinar las asíntotas. 00:00:17
Es un buen ejercicio porque es una función definida a trozos y nos piden bastantes cosillas. 00:00:20
Pero es un ejercicio que no es difícil. 00:00:25
Pero sé que son los típicos ejercicios que según los veis vosotros, como que ya decís, paro, ¿vale? 00:00:27
Bueno, he dejado aquí marcado, cuando lo he copiado, esto no tendría que estar ahí, simplemente este es el ejercicio, ¿vale? 00:00:35
Me salió una rayita antes. 00:00:47
¿Vale? ¿Qué significa? 00:00:49
Lo primero, vamos a intentar entender cómo es esta función, ¿vale? 00:00:50
Para poder calcular, o sea, decir fácilmente quién es el dominio y poder entender la continuidad. 00:00:54
Si yo me hago mi recta real, aquí tengo el menos infinito, el punto en el que me cambia de función es el cero y aquí tengo el más infinito. 00:00:59
A la izquierda del cero, es decir, para los menores o iguales que cero, la función que tengo que estudiar es menos x cuarta partido por x cuadrado más uno. 00:01:09
y a la derecha del cero, es decir, los valores mayores que cero, mi función es x cuadrado más uno entre x más uno. 00:01:19
Vale, para estudiar el dominio lo primero, lo primero que me están pidiendo, el dominio, son las dos funciones racionales. 00:01:32
Las funciones racionales existen en todos los puntos excepto en los ceros del denominador, ¿vale? 00:01:41
Luego, ¿qué es lo que tendríamos que hacer? Pues en la primera función, a la de la parte de la izquierda, 00:01:47
Vamos a calcular los ceros del denominador 00:01:50
Cuando x cuadrado más 1 es igual a 0 00:01:54
Bueno, esto se ve, ojo, que no tiene solución 00:01:56
Porque x cuadrado nunca puede ser menos 1 00:01:59
¿Vale? Esto no tiene solución 00:02:01
Eso significa que esta función va a estar definida en todo este dominio 00:02:03
De menos infinito a 0 00:02:08
¿Vale? Y por lo tanto también va a ser continua en todo este dominio 00:02:09
En su dominio de menos infinito a 0 00:02:14
Vamos con la parte de la derecha 00:02:17
La función también es racional, el denominador en este caso es x más 1 y lo igual a 0 00:02:19
En este caso sí que tengo una solución, es x igual a menos 1 00:02:26
Pero ¿qué ocurre? Que el menos 1 está en el lado, aquí estaría el menos 1 00:02:29
El menos 1 está en el lado que no, en la que no tengo definido esta función 00:02:33
Esta función solo está definida en el trozo 0 infinito 00:02:38
Por lo tanto que x sea menos 1 no me implica nada, no me importa en este trazo 00:02:41
¿Vale? En este trozo. Entonces, ¿eso qué significa? Esto lo que significa es que mi función f de x va a estar definida en todos los reales. 00:02:48
En todos los puntos va a existir. Fijaos que en el 0, donde está también definida, el denominador no se anula. ¿Vale? 00:02:57
Por lo tanto, en mi apartado a, yo sé que el dominio, por todo lo que os acabo de decir, el dominio de f de x va a ser los números reales. 00:03:04
todo esto que yo estoy diciendo de palabra 00:03:14
deberéis intentar escribirlo 00:03:17
va a ser el dominio son todos los números reales 00:03:19
ya que las funciones son funciones racionales 00:03:21
que no se anulan en su trozo 00:03:23
y lo mismo ocurre con la continuidad 00:03:26
al ser funciones racionales 00:03:29
que están definidas en 00:03:31
o sea, son continuas en su dominio 00:03:33
¿cuál es el único problema que tenemos aquí ahora 00:03:35
para estudiar la continuidad? 00:03:39
pues que yo sé que a la izquierda del cero 00:03:40
la función va a ser continua 00:03:42
a la derecha del 0 la función va a ser continua, pero el único posible punto de discontinuidad es justamente el 0, ¿vale? 00:03:44
Es decir, lo que nosotros sabemos hasta ahora es que el dominio es r, por lo que acabamos de ver, 00:03:51
y además sabemos que f de x va a ser continua, por ser funciones racionales, en menos infinito 0 y 0 infinito, ¿vale? 00:03:56
Por lo que os acabo de decir, porque los trozos son funciones racionales en los que están bien definidos en ese trozo. 00:04:09
Posible punto de discontinuidad, ¿qué es lo que tenemos que estudiar? 00:04:17
Lo que tengo que ver es si f de x es continua en x igual 0. 00:04:20
Eso es lo que yo tengo que ver, eso es lo que yo no sé seguro. 00:04:27
¿Qué significa que f de x sea continua en x igual 0? 00:04:31
Pues lo que tenemos que ver es si el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de f de x es igual al límite cuando x tiende a 0 por la derecha de f de x y además coincide con el valor de la función. 00:04:34
Esto es lo que nosotros tenemos que comprobar. 00:04:53
¿Vale? ¿Dónde tenemos el igual? Arriba, ¿no? En el x menor o igual que 0 00:04:55
Por lo tanto, yo puedo juntar el f de 0, vaya, f de 0 es lo mismo que el límite por la izquierda 00:05:01
Cuando x tiende a 0 por la izquierda, mi función es menos x cuarta partido por x cuadrado más 1 00:05:12
Sustituimos y esto es 0 partido de 1, es decir, 0 00:05:21
Ahora calculamos el otro valor del límite 00:05:28
Cuando me acerco por la derecha 00:05:32
Mi función ahora es x cuadrado más 1 entre x más 1 00:05:34
Sustituimos y esto es 1 entre 1, que es 1 00:05:40
¿Qué ocurre? Que estos dos valores que nosotros acabamos de encontrar son distintos 00:05:43
Por lo tanto, ¿eso qué significa? Significa que f de x no es continua en x igual 0. 00:05:48
Me piden que diga el tipo de discontinuidad, ¿vale? Pues f de x en x igual 0 es discontinua, ¿de qué tipo? 00:06:07
A ver, pensar. Pues existe el valor de la función, existen los dos límites, pero son distintos, por lo tanto es discontinuo de primera especie o de salto. 00:06:19
Y en este caso el salto es un salto finito, ¿verdad? Porque ninguno de los dos límites da infinito. 00:06:38
¿Cuánto es ese salto? Pues si por la izquierda vale cero y por la derecha es uno, el salto es de una unidad. 00:06:44
Pero con poner simplemente salto finito no serviría 00:06:51
Pues este sería el apartado A 00:06:56
Que es más complicado escribirlo que verlo 00:06:59
Vamos ahora con el apartado B 00:07:02
Voy a borrar para tener todo el tiempo el enunciado 00:07:04
Voy a borrar todo esto que acabamos de hacer 00:07:08
Se me acaba de ir 00:07:11
Bueno, ya sabéis que yo no es que sea muy hábil con estas cosas 00:07:12
Pero no pasa nada 00:07:17
Lo vamos borrando todo 00:07:19
Lo borro 00:07:22
Vale, lo de arriba lo podemos dejar 00:07:24
Bueno, voy a intentar borrar también solamente lo rojo 00:07:29
Para que nos hagamos una idea de cómo va 00:07:32
Ahora, queremos calcular las asíntotas 00:07:36
Voy a empezar como siempre 00:07:38
Con las asíntotas horizontales 00:07:40
Ojo 00:07:43
Estamos en una función definida a trozos 00:07:44
En el menos infinito tengo una función 00:07:48
Esta 00:07:51
y cuando me voy al más infinito tengo esta otra función. 00:07:51
Por lo tanto, tengo que calcular los límites de menos infinito más infinito con las funciones diferentes. 00:07:57
Empezamos, por ejemplo, límite cuando x tiende a menos infinito. 00:08:04
Hemos dicho que la función que tengo que coger es menos x cuarta partido por x cuadrado más 1. 00:08:08
Esto es un infinito entre infinito 00:08:15
Si sé que me vais a decir el de arriba es menos 00:08:20
Sí, tenéis toda la razón 00:08:21
Pero lo que me interesa es la indeterminación 00:08:23
Y ahora, ¿qué tengo que hacer? 00:08:26
Mirar los grados 00:08:27
Numerador, grado 4 00:08:28
Denominador, grado 2 00:08:30
Que significa que el grado del numerador 00:08:32
Es mayor que el grado del denominador 00:08:35
Por lo tanto, el que más puede es el numerador 00:08:38
Y esto se miraría a menos infinito 00:08:40
¿Esto qué significa? Que no existe asíntota horizontal cuando x tiende a menos infinito. 00:08:43
Y como siempre se me va eso. Vamos a hacer lo mismo en el más infinito. ¿Cuánto es el límite cuando x tiende a más infinito? 00:08:56
Ahora mi función es x cuadrado más 1 entre x más 1, esto vuelve a ser un infinito entre infinito, miramos los grados, numerador, grado 2, denominador, grado 1, que ya sabéis que nunca se pone, por lo tanto nos pasa como antes, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, luego puede más el numerador, esto se va a ir a más infinito. 00:09:04
En definitiva, no existen asíntotas horizontales cuando x tiende a más infinito, ¿vale? 00:09:33
Por lo tanto, no existe horizontal. 00:09:45
Eso significa que vamos a tener que calcular porque pudiera ser que existieran oblicuas, ¿vale? 00:09:49
Antes de las oblicuas, vamos a las verticales. 00:09:55
Vale, para las asíntotas verticales, fijaos, tengo que calcular las asíntotas verticales en los dos trozos 00:09:57
Lo acabo, lo he borrado lo que habíamos hecho en rojo, lo vuelvo a poner 00:10:04
Las asíntotas verticales lo tenemos que calcular donde el denominador es 0, ¿no? 00:10:09
Que habíamos puesto aquí x cuadrado más 1 igual 0, esto no tenía solución 00:10:13
Y en la parte de la derecha, el x más 1 igual 0, obteníamos que x es igual a menos 1 00:10:18
eso que significa que en la parte menor que 0 no va a poder haber ninguna asíntota vertical 00:10:25
porque no hay ningún punto que el denominador sea 0 00:10:33
en la parte de la derecha hay algún punto en el que el denominador sea 0 00:10:35
tampoco porque habíamos visto que el x igual a menos 1 no pertenece a este punto 00:10:40
a este trozo, está fuera 00:10:46
por lo tanto eso que quiere decir con las asíntotas verticales 00:10:47
pues que no van a existir asíntotas vertical 00:10:51
Porque no hay ningún punto en el que se anule el denominador 00:10:53
¿Vale? Queda claro 00:10:58
Con esto simplemente así lo podríamos ver 00:11:00
No tiene asíntotas verticales porque no existe ningún punto en el que se anule el denominador 00:11:05
Vale, vamos con las oblicuas 00:11:10
Para las asíntotas oblicuas 00:11:12
A ver, voy a borrar también esto 00:11:14
Porque quiero dejar todo el tiempo el enunciado, ¿vale? 00:11:17
Que se vea 00:11:20
Que lo malo de borrar es que luego no me queda el archivo, pero no pasa nada. 00:11:26
Para las asíntotas oblicuas, a ver. 00:11:30
Las asíntotas oblicuas sabemos que son de la forma y igual a mx más n. 00:11:33
Ojo, las oblicuas se ven en el más y en el menos infinito, aunque normalmente siempre es la misma recta. 00:11:41
Pero como es una función definida a trozos, es decir, ¿qué quiero decir con que siempre es la misma recta? 00:11:47
que si hay una asíntota oblicua y es una única función 00:11:52
con calcularlo en el más infinito es suficiente 00:11:56
porque en el menos infinito va a ser si existe la misma recta 00:11:59
pero aquí como son funciones definidas a trozos 00:12:03
puede ser asíntotas oblicuas diferentes 00:12:06
tanto en el más como en el menos infinito 00:12:08
así que vamos a empezar primero calculando 00:12:11
por ejemplo para el menos infinito 00:12:14
para cuando la x tiende al menos infinito 00:12:17
Entonces vamos a ver cuánto será el límite 00:12:19
O sea, queremos calcular el valor de m, ¿vale? 00:12:22
M es igual al límite cuando x tiende a menos infinito 00:12:25
De f de x partido de x 00:12:29
Esto es igual al límite cuando x tiende a menos infinito 00:12:34
De menos x cuarta partido por x cuadrado más 1 00:12:41
Y todo ello partido por x 00:12:47
operamos, ya sabéis, producto de extremos entre producto de medios 00:12:51
y esto me queda arriba menos x cuarta 00:12:56
y abajo es multiplicar x cuadrado más 1 por x 00:13:01
que es x cubo más x 00:13:04
estoy multiplicando estos dos 00:13:06
que son los medios, ya que la x es como si fuera partido de 1 00:13:09
bien, sustituimos en el menos infinito 00:13:13
y esto cuánto me va a dar 00:13:16
menos infinito entre menos infinito 00:13:17
es decir, infinito entre infinito 00:13:19
y tengo que mirar los grados. Numerador, grado 4. Denominador, grado 3. ¿Qué significa? Que el 00:13:21
grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Por lo tanto, ¿esto a dónde se me 00:13:30
va a ir? Se me va a ir a menos infinito. Para que sea asíntota oblicua, la m tiene que ser un valor. 00:13:35
Por lo tanto, esto significa que en este punto no existe asíntota oblicua. En este punto me refiero 00:13:43
en la parte de la izquierda, ¿vale? 00:13:49
Pues fenomenal, no tengo que calcular nada más. 00:13:52
Y ahora tendremos que calcular lo mismo, 00:13:55
pero en el más infinito. 00:13:57
Sabemos que cuando me acerco al menos, 00:13:59
no hay oblicua. 00:14:00
En el más infinito, mi m, 00:14:01
la fórmula es la misma. 00:14:04
Límite cuando x tiende a más infinito 00:14:06
de f de x entre x. 00:14:09
Límite cuando x tiende a más infinito de m. 00:14:14
Ahora f de x es x cuadrado más 1 entre x más 1 partido de x 00:14:18
Luego esto es límite cuando x tiende a infinito de quien 00:14:26
Igual que antes producto de extremos x cuadrado más 1 entre producto de desmedios 00:14:32
Que es x más 1 por x, x cuadrado más x 00:14:37
Esto vuelve a ser infinito entre infinito 00:14:40
miramos los grados, numerador, grado 2, denominador, grado 2 00:14:44
por lo tanto tienen el mismo grado 00:14:49
tienen el mismo grado, por lo tanto el límite es el cociente de coeficientes 00:14:53
en este caso es 1 entre 1, es decir, 1 00:15:00
luego sí que vamos a tener asíntota oblicua 00:15:03
y ya sabemos que la m vale 1 00:15:06
pero solo va a haber oblicua en mi parte derecha 00:15:09
Ahora para calcular el valor de n, voy a subir un poquito, para calcular el valor de n, sabemos que n es el límite cuando x tiende a más infinito de f de x menos mx. 00:15:14
Es decir, límite cuando x tiende a infinito, infinito, no me lo cambies, de f de x que es x cuadrado más 1 entre x más 1 menos mx, m es 1, es decir, menos x. 00:15:32
Operamos esas fracciones, límite cuando x tiende a infinito, denominador me queda x más 1, numerador x cuadrado más 1 por 1 00:15:50
Y ahora menos x por x más 1, es decir, menos x cuadrado, que sería el menos x por x, y ahora menos x por 1, menos x 00:16:02
Entonces operamos las x cuadrado, se me van y me queda que esto es el límite cuando x tiende a infinito de 1 menos x entre x más 1. 00:16:12
Esto es cociente de polinomios, es decir infinito entre infinito, miramos grados. 00:16:29
Grado del numerador, 1, grado del denominador, 1 00:16:34
Es decir, tienen el mismo grado como ocurría antes, luego cociente de coeficientes 00:16:38
Coeficiente del numerador, ojo, menos 1 del denominador, 1 00:16:45
Luego esto es menos 1 00:16:50
Por lo tanto n es menos 1 00:16:52
Luego ahora sí que existe la asíntota 00:16:57
Existe asíntota oblicua 00:17:01
¿Y cuál va a ser la ecuación? 00:17:03
Pues I igual MX 00:17:05
M es 1 00:17:07
X menos 1 00:17:08
¿Vale? 00:17:10
Pues este sería el ejercicio 00:17:15
No es difícil 00:17:17
Es un poquito largo 00:17:19
Pero son cosas bastante sencillas 00:17:21
¿Vale? 00:17:23
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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13
Fecha:
16 de marzo de 2025 - 13:58
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
17′ 25″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
45.73 MBytes

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