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Problema 5 Gravitación - Contenido educativo

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Subido el 6 de abril de 2026 por Mario T.

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Pues vamos con el problema número 5, que, bueno, vamos a ver que tiene una peculiaridad, es un poquitín diferente, pero vamos, no complicado. 00:00:00
Nos dice que el planeta Urano posee una densidad de 1,27 gramos por centímetro cúbico y un radio de 2,54, porque está elevado a 7 metros. 00:00:09
El radio del planeta y la densidad del planeta. Y una sonda espacial de 250 kilos gira en una órbita circular alrededor del planeta con una velocidad de 9,5 kilómetros por segundo. 00:00:19
Vale, pues vamos a ver aquí todo esto. 00:00:34
Nos dan aquí la densidad del planeta, que la he expresado en kilogramos, 00:00:40
va hecho factor de conversión, si no necesitéis hacerlo, pues no hay ningún problema. 00:00:43
Voy a apuntar también el radio del planeta de Urano, que es 2,54 por 10 elevado a 7 metros. 00:00:47
vale, la masa de la sonda 00:01:01
250 kilos y la velocidad 9,5 kilómetros por segundo 00:01:05
pues 9,5 por 10 elevado a 3 metros por segundo, vale, tenemos que tener todo en sistema internacional 00:01:09
la densidad, mucho cuidado, tiene que estar en kilogramos 00:01:13
por metro cúbico, no nos sirve otra unidad 00:01:17
ni gramos por litro, ni kilogramos por litro, ni centímetros cúbicos 00:01:21
ni decímetros cúbicos, ni mililitros, nada, kilogramo partido metro cúbico 00:01:24
Es lo único que nos sirve, porque todo lo demás va a estar en kilogramos, en metros, metros por aquí, todo sistema internacional. 00:01:28
Vamos a ver, el apartado A, lo que nos dice que es calculemos, calcule la masa de urano y la aceleración centrípeta de la sonda en su movimiento orbital. 00:01:37
Pues vamos a ello. 00:01:48
Bueno, la masa del planeta. Para calcular la masa del planeta no vamos a utilizar ninguna de las ecuaciones de gravitación, vamos a usar la densidad. ¿Por qué? Porque la densidad es masa partido por volumen, como conocemos la densidad y conocemos el radio del planeta, podemos conocer, cuando lo suponemos esférico, obviamente, pues podemos suponer o podemos obtener de ahí la masa por la definición de densidad. 00:01:50
Así que aquí no vamos a utilizar ninguna fórmula del tema de gravitación, ¿vale? 00:02:19
Entonces obtenemos m por la densidad. 00:02:25
Por definición, la densidad es masa partido por volumen, 00:02:38
así que la masa será igual a la densidad por el volumen. 00:02:42
¿Y cuál es el volumen de urano después de una esfera? 00:02:47
Pues utilizamos la definición, pues lo que es el volumen de una esfera. 00:02:49
El volumen de la esfera es igual a 4 tercios de pi por, voy a poner R mayúscula, por el radio al cubo. 00:02:52
Esto es como decir que la superficie de un círculo es pi R cuadrado. 00:03:05
Es una fórmula que, vamos, no sabemos si la usamos, sin dudar, pero no hay que demostrarla de ningún lado. 00:03:10
Entonces la masa va a quedar que es la densidad por 4 tercios de pi por r al cubo, pues ya sustituimos los datos, la densidad, 1,27 por 10 elevado a 3 por 4 tercios por pi y por el radio 2,54 por 10 elevado a 7 al cubo. 00:03:17
Y operando esto nos queda que la masa de urano es 1,27 por 3 por 4 tercios por pi y por el radio 2,54 por 10 elevado a 7 elevado a todo ello al cubo. 00:03:43
Y nos queda que la masa de urano es 8,72 por 10 elevado a 25 kilogramos. 00:04:04
Pues ya tenemos la masa de Urano, que es lo que se nos pedía. 00:04:12
Y ahora nos pide la aceleración centrípeta. 00:04:17
La aceleración centrípeta, como esto es un movimiento circular, pues la podemos obtener de F igual a menos masa por aceleración. 00:04:19
Pero claro, tenemos la masa, sí, 250 kilogramos. 00:04:31
¿Y la fuerza? ¿Qué fuerza es la que actúa sobre esto? 00:04:35
pues la fuerza de la gravedad, la gravitación universal, ¿vale? Pues F será menos GMM partido por R al cuadrado, UR, 00:04:38
Vamos a usar módulos e igualamos. Y nos queda que gm partido de r al cuadrado es igual a m por a aceleración. 00:04:54
Las masas se nos van y nos queda que la aceleración centrípeta es igual a gm partido de r al cuadrado. 00:05:23
Que si nos fijamos, esto es lo mismo que la fórmula de intensidad del campo gravitatorio, 00:05:35
de la aceleración del campo gravitatorio, y tiene todo el sentido del mundo, 00:05:48
porque la aceleración del campo gravitatorio es la aceleración centrípeta que está sufriendo un objeto que orbita. 00:05:51
Es decir, este satélite aquí dando vueltas, pues hay una aceleración que tira hacia el centro, 00:05:58
que es la de la intensidad del campo gravitatorio. 00:06:03
Pero aquí tenemos un pequeño problema. 00:06:07
Y es que no conocemos el radio, no sabemos cuál es el radio de la órbita, no nos lo dan, pero sí nos dan la velocidad. 00:06:09
Entonces vamos a tener que dar un paso para luego deshacerlo para poder obtener la aceleración. 00:06:17
¿Cuál? Pues que en mcu la aceleración centrípeta es igual a v cuadrado partido r. 00:06:23
Entonces vamos a sustituir esto para poder sacar el radio, y luego una vez tenemos el radio, sustituiremos aquí para poder sacar la aceleración. 00:06:33
Vamos a ello. 00:06:42
v cuadrado partido r tendrá que ser igual a gm partido de r cuadrado. 00:06:44
Este r se nos va con este cuadrado y nos queda que r es igual a gm partido de v cuadrado. 00:06:53
Entonces, aquí ahora no vamos a calcular, vamos a sustituir esto aquí dentro. 00:07:05
Tenemos r, lo leemos al cuadrado y lo ponemos aquí. 00:07:11
Y nos queda que la aceleración centrípeta va a ser igual a gm y abajo r al cuadrado, que es g al cuadrado, m al cuadrado, y la velocidad que vendría abajo, pues te toca ir arriba, elevado a 4, porque v al cuadrado, v a la cuarta. 00:07:15
Esto se nos va con esto y ya podemos obtener la aceleración centípeta. 00:07:40
Nos queda que la aceleración centípeta será v4 partido de g y m. 00:07:45
Y ahora ya tenemos todo. ¿Por qué la velocidad a la cuarta? Pues la velocidad la conocemos. 00:07:54
Que son los 9,5 por el cero a 3 metros por segundo. 00:07:58
La g es la constante de gravitación universal, que aunque no la he escrito, aquí la tenemos como dato. 00:08:01
y la masa del planeta pues la acabamos de calcular 00:08:08
aquí un poquitín más arriba, es esta de aquí que vamos a utilizar 00:08:12
pues tenemos ya todo para hacer el cálculo 00:08:15
aceleración centrípeta pues va a ser igual a 00:08:19
9,5 por s elevado a 3 y todo ello 00:08:23
a la cuarta y partido de 00:08:28
6,67 por s elevado a menos 11 00:08:32
y por 8,72 00:08:36
por 10 elevado a 25 00:08:42
y vemos el resultado 00:08:45
9,5 por 10 elevado a 3 00:08:48
y esto elevado a 4 00:08:53
partido de 6,67 por 10 elevado a menos 11 00:08:58
por 8,72 por 10 elevado a 25 00:09:01
Y esto nos queda 1,4 metros partido por segundo al cuadrado. 00:09:05
Pues esta es la aceleración centrípeta, el valor de la aceleración centrípeta. 00:09:14
Y lo tenemos realmente, como dice la aceleración centrípeta y no nos dicen nada de módulos, tendremos que expresarlo en vectores. 00:09:20
¿Y cómo es esta aceleración centrípeta? Pues, como apunta hacia el centro, va a ser menos 1,4 ur metro partido por segundo al cuadrado, ¿vale? 00:09:30
Pero bueno, esto es lo más correcto, aunque si se llegara a esto, no creo que nadie os dijera nada, ¿vale? 00:09:42
Pero como no dice nada de módulos, pues bueno, sería más correcto ponerlo en forma de vector, ¿vale? 00:09:52
Y como aquí tenemos el signo menos, pues por eso hay que ponerlo aquí. 00:09:57
Bueno, pues este es el apartado A que nos pedían. 00:10:02
La masa y la aceleración centripeta. 00:10:04
Vamos a ver qué es lo que nos piden en el apartado B. 00:10:08
Dice, si la sonda aumenta su velocidad orbital en 2 km por segundo, 00:10:13
es decir, que aumenta de 9,5 a 11,5 en dirección tangencial, 00:10:17
Bueno, esto básicamente aumenta de 9 a 11, ya está, porque la tangencia, hay que decir que toda la velocidad o todo lo que gana se dedica a aumentar la velocidad en la órbita. 00:10:24
Pero vamos, ¿qué pasa de 9 a 11? Porque no hay otra forma, no habría otra forma de hacerlo. 00:10:37
Obtenga la nueva energía mecánica que alcanzará y razone si la sonda especial con esa energía mecánica escapará del campo gravitatorio del planeta. 00:10:42
Vale, pues vamos a ver qué es lo que tenemos que hacer. Nos dicen que ahora tiene una nueva velocidad de 11,5 por 10 elevado a 3 metros partido por segundo. Como la distancia no cambia, sigue estando a esta R aquí, G, M, V, que no hemos calculado, pero bueno, sigue estando a la misma distancia. 00:10:51
y nos piden si con esta velocidad escaparía o no. 00:11:17
Es decir, lo que nos están preguntando es, ¿es la energía mecánica menor que cero? 00:11:21
Si la respuesta es que sí, que la energía mecánica es más pequeña que cero, 00:11:28
pues entonces no escapa de la gravedad. 00:11:31
Y si la energía mecánica es mayor o igual a cero, entonces sí escapa de la gravedad. 00:11:34
Pues vamos a plantearlo. 00:11:38
Entonces, obtenemos la energía mecánica. 00:11:40
es energía mecánica, es energía cinética 00:11:46
más energía potencial. 00:11:59
Pues sustituimos, esto es un medio, 00:12:03
la masa de la sonda por la velocidad al cuadrado nueva, 00:12:08
la prima esta, voy a poner aquí la prima para identificar 00:12:11
que es esa nueva velocidad, menos 00:12:14
GMM partido 00:12:18
de R, la R la vamos a sacar de aquí, ya que la tenemos, ¿vale? Y se nos va a poder 00:12:23
sustituir todo esto. Pues vamos al lío. La energía 00:12:27
mecánica será igual a un medio 00:12:31
mv' al cuadrado menos 00:12:34
la g, la m, 00:12:39
la m, y aquí volvemos 00:12:44
con la g, la m y la velocidad al cuadrado que estaría dividiendo, que va arriba. 00:12:47
Y esta es la velocidad anterior, porque el radio no ha cambiado, el radio sigue siendo el mismo que tenía antes y como aquí íbamos a calcular con la velocidad que tuviera antes, el 9,5, pues tenemos que seguir usando eso porque el radio no ha cambiado. 00:12:50
La g y la g se nos van, la m y la m se nos van. 00:13:07
Entonces ya nos queda todo esto mucho más sencillo. 00:13:14
La energía mecánica será igual a un medio de m por v' al cuadrado menos la masa por v cuadrado. 00:13:17
Y ahora ya vamos sustituyendo. 00:13:34
Nos queda un medio, la masa queda 250 kilogramos por la nueva velocidad, 11,5 por 10 elevado a 3 al cuadrado, menos 250 por 9,5 por 10 elevado a 3 al cuadrado. 00:13:37
Y esto, pues vamos a ver cuánto nos queda. 00:14:00
11,5 por 10 a la 3 y todo ello al cuadrado, menos 250 por 9,5 por 10 a la 3 y todo ello al cuadrado. 00:14:06
Y esto sale menos 6,03 por 10 elevado a 9 julios. 00:14:18
Por lo tanto, la respuesta es que no escapa de la órbita terrestre, perdón, de la órbita de Urano, como la energía mecánica es menor que cero, entonces no escapa de la órbita, o mejor dicho, no escapa del campo gravitatorio, de la gravedad de Urano. 00:14:27
Y ya está. Esto era lo que nos piden en el apartado B, simplemente comprobar que esta energía mecánica fuese menor que cero o no. 00:15:06
Aquí, si hubiésemos calculado el radio directamente, pues este valor lo habríamos puesto aquí. 00:15:19
Pero bueno, siempre podemos reutilizar expresiones y ecuaciones de apartados anteriores. 00:15:24
Esto si queremos podemos poner aquí algún comentario que es del apartado anterior o lo que sea. 00:15:32
Pero bueno, estas cositas siempre, bueno, aquí hubiera estado bien haberlo puesto, ¿vale? 00:15:38
Haber puesto que del apartado A, R es Gm partido de v cuadrado. 00:15:45
Esto, sí, esto habría que haberlo puesto para dejar, para que este paso sea más claro, ¿vale? 00:15:56
Estas cosas sí que recomiendo que las pongáis. 00:16:03
Pues bueno, este sería el problema 5, que lo único así un poquitín más raro que tenía o especialito 00:16:05
era el cálculo de esta masa usando la densidad, pero una vez hemos hecho esto ya, 00:16:12
pues volvemos otra vez a nuestras ecuaciones de gravitación. 00:16:17
Pues este era el problema 5, nos vemos en el problema número 6. 00:16:22
Materias:
Física
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Mario Torralba
Subido por:
Mario T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
6 de abril de 2026 - 16:44
Visibilidad:
Público
Centro:
IES HUMANES
Duración:
16′ 27″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
26.60 MBytes

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