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Rectas perpendiculares a dos rectas dadas - Contenido educativo

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Subido el 14 de noviembre de 2025 por Roberto A.

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Buenos días, chavales. Hoy es 14 de noviembre del 25, ¿vale? 00:00:00
Entonces, chavales, importante, de cara al examen, importante, ¿sabéis? 00:00:04
Las posiciones relativas entre dos rectas, posiciones relativas entre plano y recta, 00:00:12
y posiciones relativas entre plano. 00:00:17
A lo mejor no os voy a preguntar directamente, por ejemplo, 00:00:19
que me estudiéis la posición relativa de una recta y un plano, ¿vale? 00:00:23
Que os lo puedo preguntar, evidentemente, pero lo que quiero que veáis es, si hacemos mención a la última parte, que es lo que me gustaría ver con ustedes, es hallar restas simétricas, restas simétricas de una resta a un plano, ¿vale? 00:00:28
esta simétrica 00:00:49
de una recta a un plano 00:00:51
lo que tenemos que saber, chavales 00:00:52
es una cosilla 00:00:54
es que yo tengo que hacer 00:00:56
primero 00:00:59
es que no encuentro aquí donde está 00:01:00
¿no? 00:01:02
aquí 00:01:05
vaya 00:01:05
a ver 00:01:07
no, pero aquí también está 00:01:10
aquí, vale, la 37 00:01:13
¿vale? entonces, chavales 00:01:16
si yo os quiero hallar 00:01:17
yo quiero hallar una recta simétrica 00:01:19
respecto a un plano 00:01:21
yo lo primero que tengo que hacer 00:01:22
es estudiar la posición relativa 00:01:24
entre esa recta y ese plano 00:01:27
porque vamos a tener tres casos 00:01:29
vamos a tener tres casos 00:01:31
en los cuales las rectas se crucen 00:01:33
una recta esté contenida en el plano 00:01:35
o una recta que sea secante al plano 00:01:38
y os acordáis como hacíamos eso 00:01:41
yo tengo las ecuaciones paramétricas 00:01:43
las sustituyo en el plano 00:01:45
Y si me da, yo qué sé, 0 igual a 4 o 0 igual a 6, entonces es que no tiene solución, son rectas, una recta que se cruza con el plano, es decir, yo tengo el plano, por ejemplo, esta pared y la recta va de allí a allí, no están en el mismo plano, o mejor, yo tengo el plano, el suelo y la recta va, pues por ejemplo, por el techo, ¿de acuerdo? 00:01:47
Entonces, eso cuando yo sustituyo las ecuaciones paramétricas de la recta sobre el plano, lo que me da es el tipo 0 igual a 4, 0 igual a una incongruencia. ¿De acuerdo? ¿Por qué? Porque no tiene solución. Ese sistema es un sistema incompatible sin solución. 00:02:09
Sin embargo, si a mí lo que me sale cuando yo sustituyo es del tipo 0 igual a 0 00:02:25
Significa que yo tengo infinitas soluciones 00:02:31
¿De acuerdo? Y es eso que significa que la resta está contenida en el plano 00:02:34
¿Vale? Está contenida en el plano 00:02:38
Y si yo, por ejemplo, cuando yo sustituyo las paramétricas en el plano 00:02:41
Me sale, yo que sé, 3t igual a 5 00:02:44
De tal forma que t es igual a 5 tercios 00:02:47
Pues entonces yo sé que esas restas son secantes 00:02:50
¿De acuerdo? 00:02:53
y entonces puedo hallar del tirón el punto de intersección 00:02:53
sustituyendo esa T en las ecuaciones paramétricas de la recta, ¿vale? 00:02:57
Entonces, ¿qué ocurre? 00:03:02
Lo mejor que nos puede pasar es que la recta, 00:03:03
si yo te pido, hállame la recta simétrica de R respecto al plano pi, 00:03:07
pues, ¿qué ocurre? 00:03:11
Si una recta está contenida en el plano, 00:03:12
es decir, cuando yo hago la sustitución me sale 0 igual a 0, 00:03:15
la recta está contenida en el plano, 00:03:18
la recta simétrica es esa misma recta, ¿lo veis? 00:03:20
Bueno, entonces eso es lo mejor que nos puede pasar. 00:03:23
¿Qué es, digamos, lo más coñazo, entre comillas, que nos puede pasar? 00:03:26
Que se cruce, ¿vale? 00:03:30
Si la recta se cruza con el plano, pues la recta simétrica es ella misma, 00:03:31
pero por el otro lado del plano. 00:03:37
Es como si tuviéramos el techo, yo tengo la recta que va, yo que sé, 00:03:40
de día a sendón, y entonces en el subsuelo, en la planta baja, 00:03:44
pues está la misma simétrica por debajo, ¿de acuerdo? 00:03:49
Entonces, ¿cómo se hace esto de aquí? Pues yo, ¿os acordáis cómo se hallaba un punto simétrico a otro respecto a la recta? Pues yo cojo un punto de la recta, ¿de acuerdo? Hago una recta perpendicular al plano, ¿de acuerdo? Creo que está aquí explicado. 00:03:51
en vez de aquí 00:04:08
lo diré 00:04:12
cojo un punto de la recta 00:04:15
hallo una recta que sea 00:04:17
perpendicular al plano, que es súper fácil 00:04:19
porque una recta perpendicular a un plano comparte 00:04:21
su vector directo con el vector normal del plano 00:04:23
y yo esfuerzo que esa recta pase 00:04:25
por este punto y hallo el punto 00:04:27
de intersección entre el plano y la recta 00:04:29
que es este de aquí 00:04:31
y este de aquí es el punto medio 00:04:32
entre el punto simétrico a este 00:04:35
Entonces, ese proceso lo tengo que hacer dos veces. Uno para un punto de la recta y otro para otro punto de la recta. Entonces, hallando los dos puntos simétricos, yo ya estoy definiendo cuál es esta recta porque por dos puntos pasa una única recta. ¿Habéis entendido lo que hay que hacer o no? 00:04:37
es decir, yo hallo el punto simétrico 00:04:54
a este respecto al plano 00:04:57
¿de acuerdo? hallo otro 00:04:59
punto de la recta, como si yo tengo la recta 00:05:01
en paramétrica, como hallo 00:05:03
un punto, dándole 00:05:05
valores a la T, ¿no? a la lambda 00:05:07
lo más fácil, le doy 00:05:09
a la lambda cero, pero luego le puedo dar 00:05:11
la lambda igual a uno, ya tengo otro punto, la lambda igual a dos 00:05:13
ya tengo otro punto, entonces yo cojo 00:05:15
dos puntos cualesquiera, este es el más 00:05:17
coñazo, sobre todo por largo, lo que pasa es que el 00:05:19
proceso es muy repetido, porque hace el mismo 00:05:21
proceso dos veces, hallo una recta 00:05:23
perpendicular al plano que pase por este punto 00:05:25
hallo el punto de intersección 00:05:27
este punto de intersección es el punto medio 00:05:29
entre este punto y su simétrico 00:05:31
hago exactamente lo mismo y además fijaros 00:05:33
una cosa, esta recta y esta 00:05:35
son paralelas 00:05:37
¿vale? las perpendiculares 00:05:39
pues igual hallo este punto de intersección 00:05:41
hallo el punto simétrico 00:05:43
uno de esos dos puntos ya tengo un vector 00:05:45
teniendo un vector director y uno de los 00:05:47
puntos ya tengo la recta ¿vale? 00:05:49
Es tedioso porque es largo. 00:05:51
Y entonces, ¿qué es lo que ocurre si a nosotros, chavales, 00:05:53
nos dan una recta y un plano? 00:05:57
Y encima son secantes. 00:06:00
Pues primero, como yo tengo que hallar precisamente 00:06:01
la posición relativa entre plano y recta, ¿verdad? 00:06:03
Yo voy a hallar aquí que T vale, yo que sé, que T vale 2. 00:06:06
Sustituyo en la recta ST igual a 2. 00:06:10
¿Y qué voy a hallar? 00:06:15
Voy a hallar este punto Q, 00:06:16
que es la intersección entre la recta y el plano. 00:06:17
¿Lo veis? 00:06:19
¿Sí o no? 00:06:20
Si yo tengo que ver la posición relativa entre la recta R y el plano pi, 00:06:21
yo cuando sustituye las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano, 00:06:27
al final voy a obtener que T vale un número. 00:06:32
Bueno, yo sustituyo ST en las ecuaciones paramétricas de la recta y ¿qué voy a hallar? 00:06:34
Voy a hallar precisamente ese punto Q. ¿Lo veis? 00:06:40
Yo sé que se cortan y se cortan en ese punto Q. 00:06:43
Entonces, la recta simétrica R, que es esta que está en verde, 00:06:47
este plano es la resta esta r prima en azul vale esto está dibujado pero más o menos hacéis una 00:06:50
idea no resulta que todos los puntos simétricos a esta recta están contenidas en este aquí que 00:06:58
ocurre con el punto q que es común tanto al plano como a la resta r como a la resta de reprimas 00:07:05
entonces cómo voy a hallar la resta simétrica pues fijaros yo tengo aquí el punto r de la resta 00:07:10
Hayo su punto simétrico respecto al plano 00:07:17
¿Cómo se hace? 00:07:23
Pues hayo una recta perpendicular al plano que pase por este punto R 00:07:24
Voy a hallar este punto de intersección B 00:07:29
Este punto de intersección B es el punto medio entre PR y PR', ¿verdad? 00:07:32
Y entonces yo ya tengo el punto simétrico de PR respecto al plano que es PR' 00:07:38
Como PR' pasa por la recta que estoy buscando y también la recta va a pasar por el punto de intersección entre mi recta y el plano, yo ya tengo dos puntos de la recta R'. ¿Os habéis perdido? 00:07:43
¿No? ¿Bien? 00:07:59
¿Sí? Es decir, el proceso 00:08:01
igual, voy a preguntar 00:08:03
realmente, hállame el 00:08:05
punto simétrico 00:08:07
de una resta respecto 00:08:08
a un plano, ese ejercicio como tal 00:08:10
no te lo voy a preguntar porque aquí lo 00:08:13
estamos haciendo. Este ejercicio para 00:08:15
mí es uno de los más completos. 00:08:17
¿Vale? A mí me pone este ejercicio. 00:08:19
¿Vale? Entonces, 00:08:21
¿qué es lo que ocurre? Que yo 00:08:23
este ejercicio lo miraría bien, pero es que 00:08:24
es muy fácil, es muy fácil, parece 00:08:26
más follón de lo que es. Lo primero tengo que ver la posición relativa 00:08:28
entre planos y rectas. ¿Vale? Sustituyo las paramétricas de la recta en el plano. 00:08:32
Me va a dar una T en concreto. Sustituyo esa T en la recta 00:08:36
paramétrica y me va a dar precisamente las coordenadas de este punto Q. 00:08:40
Este punto Q que es la intersección entre la recta y el plano. ¿De acuerdo? 00:08:44
Este punto Q, fijaros que es un puntazo porque pertenece al plano, pertenece 00:08:48
a la recta R y pertenece a la recta R' que yo estoy buscando. 00:08:52
entonces ahora lo único que me queda es hacer 00:08:56
teniendo un punto de la recta, el que quieras 00:09:00
normalmente se hace con lambda igual a 0 00:09:02
que lo tienes ahí, ¿de acuerdo? 00:09:04
lo tienes directamente en paramétrica 00:09:06
yo lo que hago es hallar 00:09:07
este punto simétrico respecto al plano 00:09:10
que es PR' y ¿cómo se hacía 00:09:12
eso? hago una recta 00:09:14
perpendicular al plano, ¿qué es lo bueno? 00:09:16
que es súper rápido, como yo 00:09:18
tengo la ecuación del plano, tengo 00:09:20
su vector normal y su vector 00:09:22
normal coincide con el vector 00:09:24
director de esta recta de aquí. ¿Lo veis? De esta recta de aquí. Entonces, yo ya tengo 00:09:26
el vector director de esta recta que une PR con lo que voy a hallar yo de PR prima. Tengo 00:09:32
un punto aquí que es PR. Yo la recta la tengo en menos de un minuto. ¿Cuál es el siguiente 00:09:39
proceso? Es decir, yo tengo esta recta de aquí. Ahora, mi siguiente proceso es hallar 00:09:44
la intersección de esta red con el plano vale para hallar el punto b que el punto b es el punto medio 00:09:49
entre pr y pr prima que es mi objetivo entonces como hay una intersección de una red está con 00:09:57
el plano pues como siempre yo las ecuaciones paramétricas de la resta en el plano voy a 00:10:03
obtener un valor de t del alma de muy parámetro que yo haya utilizado los sustituyó y voy a 00:10:08
obtener este punto igual que he hecho aquí con el punto q de acuerdo aquí voy a hallar el punto p 00:10:14
ese punto p ese punto p de betty vale es el medio entre este que yo lo conozco y es que yo voy allá 00:10:19
vale entonces qué ocurre daros cuenta que cuando yo ya hay el pr prima yo ya tengo dos puntos de 00:10:30
mi recta R', que es el Q que es común a los tres, y el PR' que es simétrico de PR respecto a este plano. 00:10:37
Teniendo dos puntos, yo lo que hago es, hallo el vector que va de PR' a Q o de Q a PR', 00:10:45
ya tengo el vector director de la recta. Y como tengo el Q y tengo el PR', pues yo ya tengo un punto 00:10:52
y el vector director. Yo ya tengo definida mi recta R'. ¿De acuerdo? 00:10:58
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que aquí lo suyo es hallar siempre y trabajar con ecuaciones paramétricas. Otra cosa es que yo luego te pida, hállame la ecuación continua de la recta simétrica a R respecto al plano tal. Tú lo hallas todo en paramétrica y luego pasas a continua. 00:11:02
Es muy importante que sepáis pasar de un tipo de ecuación a otra de la recta. ¿De acuerdo? Digo, la ecuación implícita. Pues, igual, pasáis de paramétrica continua y de continua es fácil pasar a implícita de la recta. ¿Vale? Easy, easy, easy. 00:11:26
sí. Aquí he hecho varios ejercicios, ¿vale? Aquí lo único, pasar de esto, ¿vale? Pasar de esto y 00:11:45
hacéis la comprobación paramétrica que os enseñé, ¿vale? Porque esto de aquí no me convence, ¿vale? 00:11:54
No me convence, ¿vale? Seguramente sí, pero a mí no me convence. Entonces, lo suyo es, hagáis siempre, 00:12:00
coged las paramétricas de la recta, lo sustituís en el plano, que me da cero igual a cero, pues se 00:12:05
cruzan, perdona, está contenida 00:12:11
que sale 00:12:13
cero igual a ocho, es que se cruzan 00:12:15
y si sale un valor de t 00:12:17
es que son secantes, ¿de acuerdo? 00:12:18
eso de aquí mejor, lo voy a 00:12:21
intentar borrar, lo que pasa es que ya lo he subido 00:12:23
a ver si hay algo 00:12:25
con este de aquí, a ver, realmente 00:12:25
esto funciona, realmente 00:12:29
esto funciona, pero 00:12:30
date cuenta que yo 00:12:32
si además quiero que se corten 00:12:34
si quiero que se corten, ya lo voy a 00:12:37
obtener. Si hago de la otra 00:12:39
forma, es que ya tengo test. 00:12:41
Es mucho más rápido. Dime. 00:12:42
No, no, no. 00:12:46
Está bien, pero a mí me gusta más la 00:12:47
otra forma, porque es más fácil de ver. 00:12:48
¿Por qué ocurre? ¿Qué pasa 00:12:50
si es igual a cero? ¿Qué puedes decir tú? 00:12:52
Pero si esto es igual a 00:12:57
cero, ¿qué me puedes decir? 00:12:59
Que se corta. 00:13:01
Claro, que son paralelas o coincidentes. 00:13:03
Entonces, ahora que tienes 00:13:05
que hacer otra vez todo el proceso, 00:13:06
me refiero, a ver, esto de aquí 00:13:08
si me sale esto de la operación 00:13:10
no es el producto escalar, ¿vale? 00:13:12
del vector directo y el 00:13:14
vector normal, ¿vale? 00:13:16
si me sale distinto de cero yo sé que se corta 00:13:18
pero es que ahora yo tengo que hallar el punto de corte 00:13:20
¿vale? si me sale igual a cero 00:13:22
yo la única posibilidad que puedo 00:13:24
decir es que o son, o está 00:13:26
contenida la resta del plano o 00:13:28
se cruzan, entonces 00:13:30
haz el proceso que no 00:13:32
se tarda nada porque si se 00:13:34
cortan, encima es que ya tienes el punto 00:13:36
de corte, ¿vale? 00:13:38
No te he convencido 00:13:41
para nada, ¿no, Rufo? Es que lo vas a tener que hacer 00:13:42
tú haces esto, muy bien 00:13:44
pero es que ahora tienes que hallar el punto de corte 00:13:46
y es que ya en el otro lado lo tienes 00:13:48
ya hecho, es que vas a hacer 00:13:50
esto más lo otro 00:13:52
no te he convencido absolutamente 00:13:53
nada, te daré cuenta, vale 00:13:56
se corta, te doy la enhorabuena por venir 00:13:58
se corta, ¿no? Muy bien, estupendo 00:14:00
y ahora, ¿cómo hallas el punto de corte? 00:14:02
Pues precisamente haces, coges 00:14:04
las paramétricas, lo sustituyes 00:14:06
en el plano, vas a hallar una 00:14:08
T y esa T lo vas a sustituir 00:14:10
en la X y Z 00:14:12
de... Pues si ya lo 00:14:14
tienes hecho, para precisamente ver 00:14:16
si se cortan, se cruzan o 00:14:18
están contenidas. 00:14:19
¡Qué falsa es la tía, Guillo! 00:14:22
No, entiéndeme 00:14:25
me refiero, que esto sí 00:14:26
lo que pasa es que lo otro 00:14:28
te va 00:14:29
a dar ya directamente, porque 00:14:32
luego es lo que te digo, te sale cero 00:14:34
¿Y ahora qué? ¿Se cortan o se cruzan? 00:14:36
¿Cómo lo haces? Vas a tener que hacer 00:14:38
el mismo proceso 00:14:40
¿Sí? No os he convencido 00:14:41
¿No? Sí, sí, sí. Qué falso 00:14:46
¿Eh? 00:14:48
Claro, claro, claro 00:14:50
Entonces, chavales 00:14:51
Bueno, aquí tenéis hecho uno 00:14:54
A ver, esto suele ser 00:14:56
cuando se cortan 00:14:57
cuando se cortan al final 00:15:00
Mira, lo vemos aquí, ¿no? 00:15:02
Estas dos rectas se cortan 00:15:04
Yo entiendo que ya todo el mundo sabe pasar 00:15:05
de continua a paramétrica, ¿vale? 00:15:07
Entonces, vale, yo he hecho esto muy bien, se cortan, 00:15:11
pero ahora tengo que hallar el punto de corte. 00:15:13
¿Y cómo hallo ese punto de corte? 00:15:14
Sustituyendo precisamente Rufo, que fíjate lo que hago aquí. 00:15:17
Hallo mis ecuaciones paramétricas, las sustituyo en el plano. 00:15:20
¿Y para qué? Para precisamente hallar ese lambda. 00:15:24
Ese lambda es igual a 3. 00:15:26
Si me hubiese salido aquí 0 igual a 0, 00:15:28
es que la recta está contenida. 00:15:31
Si me hubiese salido 0 igual a 3, es que se cruzan. 00:15:33
Y aquí lo único que me sale es precisamente el valor de lambda igual a un valor que yo ahora sustituyo aquí, ¿lo veis? La x es 0, 2 menos 3, ¿cuánto es? Menos 1. Y ahora 2 por 3 es 6, menos 1, pues es 5. Este es el punto de corte. 00:15:36
Este punto de corte, precisamente, que es el punto Q, es común a la recta R, al plano, y a la recta R' que es simétrica R respecto al plano. Dime, hija. 00:15:52
Es lo que te digo. Si tú lo haces así, sustituyendo esto aquí, ¿vale? 00:16:10
Si cuando tú llegas aquí, Rufo, tú sales, te sale 0 por lambda, 0 por lambda, ¿vale? Igual a 4, tú que tienes ahí, por ejemplo, ¿vale? Aquí date cuenta que, mira, aquí es que no lo he hecho, pero aquí que me saldría 3 lambda igual a 9, ¿verdad? 00:16:14
Si a mí me sale, cuando yo llego aquí, me sale, por favor, 0 lambda igual a 4, entonces ocurre que yo tengo que 0 es igual a 4. Eso es una incongruencia, ¿no? ¿Y eso qué significa? Que es un sistema incompatible. Y un sistema incompatible que no tiene solución, ¿no? No tiene solución. Entonces, yo tengo mi plano que es el suelo y mi recta va por aquí, por el aire. No se corta, ¿vale? 00:16:31
Claro, son paralelas, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre, Guilla? Que si yo, por ejemplo, me sale cero lambda igual a cero, ¿vale? Cero lambda igual a cero, lo que ocurre es que cuando era cero lambda igual a cero era un sistema compatible indeterminado, no sé si te acuerdas de eso. 00:16:56
Un sistema compatible determinado que es que tiene infinitas soluciones. ¿Y eso qué significa? Esa recta está contenida en el plano. Si yo quiero hallar la simétrica, lo más fácil que nos puede decir, porque la simétrica es precisamente esa recta R, ¿vale? 00:17:16
Pero como aquí ocurre que 3 lambda es igual a 9, lambda es igual a 3, ¿vale? 00:17:29
Yo ya tengo un único valor, ¿vale? 00:17:36
Y entonces que es un sistema compatible determinado, solución única, 00:17:39
y precisamente la solución única es 0 menos 1, 5, ¿vale? 00:17:43
Entonces, esto de aquí yo lo evitaría. 00:17:48
Bueno, no lo evitaría, me refiero que si se cortan muy bien, 00:17:53
Es que voy a hacer otra vez el mismo proceso 00:17:56
Pues a los del tirón, ¿vale? 00:17:58
¿La habéis entendido, chavales, eso? 00:18:00
Venga, entonces aquí pues ya tengo 00:18:02
Fijaros, yo tengo 00:18:05
Mi punto Q, que lo he hallado con la intersección 00:18:06
Con lambda igual a 3, lo sustituyo 00:18:08
Y ahora ¿qué tengo que hacer? Tengo que hallar este punto 00:18:10
PR' ¿Cómo lo hago? 00:18:12
Hallo una recta 00:18:15
Que es perpendicular al plano 00:18:16
Que pase por PR 00:18:18
Fijaros que esa recta perpendicular 00:18:19
Que hace que comparte 00:18:22
El vector directo de la recta 00:18:23
es igual que el vector normal del plano 00:18:26
¿lo ves? y ahora ¿qué hago? que esfuerzo 00:18:28
que pase por PR, pues yo ya tengo 00:18:30
mis paramétricas del tirón, es que no tardo 00:18:32
ni un minuto, es que tengo que tardar 00:18:34
medio minuto, ¿vale? cuando son perpendiculares 00:18:36
¿qué ocurre? 00:18:38
ahora tengo que hallar el punto de intersección 00:18:40
B de Betty, que es 00:18:42
esa recta perpendicular con mi plano 00:18:44
pues hago igual, lo que hago es 00:18:46
sustituyo mis ecuaciones paramétricas 00:18:48
de la recta en mi plano 00:18:50
lo sustituyo y me da ahora 00:18:51
que lambda es igual a 3 medios, ¿vale? 00:18:54
Bueno, entonces con lambda tres y medio, ¿qué hago? Me voy aquí, me voy aquí y que hallo el punto B, que es tres, un medio y un medio, ¿de acuerdo? 00:18:56
Entonces, si yo ya tengo el punto PR, tengo el punto B, ¿qué es lo que ocurre? Pues que B es el punto medio entre PR, PR', ¿sí o no? 00:19:08
Entonces, se me ha ido la olla, ¿no? Lo tengo aquí 00:19:19
Es el punto medio 00:19:23
Aplico las ecuaciones del punto medio, que son estas de aquí, ¿vale? 00:19:25
Y hallo el punto PR' que es 6 menos 1, 2 00:19:32
Cuando yo ya tengo el punto PR' y tengo Q, yo ya tengo la resta, ¿verdad? 00:19:36
Yo mi resta que es, yo tengo Q, PR', hallo el vector que va de un punto a otro 00:19:42
y ese es el vector director y luego 00:19:48
pues elijo o el punto PR 00:19:50
el punto Q 00:19:52
o uno que pertenezca a la recta, lo suyo 00:19:53
escoge uno de los dos, ya tengo estas ecuaciones 00:19:56
en paramétrica y luego que pues las puedo 00:19:58
pasar a continua o a 00:20:00
implícita o a vectorial 00:20:02
¿vale? 00:20:03
¿sí? 00:20:04
¿eso es secura o dónde va? 00:20:05
son 00:20:08
son secantes, perdona 00:20:09
¿vale? son secantes ¿vale? 00:20:12
¿sí? 00:20:15
Entonces, chavales, este tipo de ejercicio a mí también me ponen bastante, ¿vale? 00:20:16
Los que están a partir de la página 41, ¿vale? 00:20:20
Entonces, no son complicados, ¿no? 00:20:23
No son complicados. 00:20:25
Lo que quiero que veáis es una cosilla. 00:20:26
A mí lo que me piden es una recta perpendicular a dos rectas dadas, ¿vale? 00:20:28
A mí me piden una recta perpendicular común a dos rectas. 00:20:35
Entonces, a ver, aquí pone que solo se puede hacer con paralelas o secantes. 00:20:39
Os explico por qué y además he hecho un ejercicio anteriormente cuando se cruzan. Entonces, fijaros en una cosilla. Yo para que dos rectas sean paralelas, ¿cómo los puedo dibujar? Yo dos rectas paralelas. Normalmente si yo lo dibujo en la pizarra, ¿verdad? Si yo lo dibujo en la pizarra, esas dos rectas son paralelas, ¿verdad? 00:20:44
y yo puedo hallar una recta perpendicular a ambas. 00:21:06
Yo lo trazo, una recta perpendicular a una 00:21:10
va a ser también perpendicular a la otra, ¿verdad? 00:21:13
Y yo en un mismo plano, 00:21:16
cuando las dos rectas están en un mismo plano, 00:21:17
¿qué puede pasar? 00:21:20
Que sean o coincidentes o que se corten 00:21:21
o que sean paralelas, ¿vale? 00:21:24
Coincidentes, secantes o paralelas. 00:21:26
Si están en planos diferentes es que se cruzan, ¿de acuerdo? 00:21:28
Que eso cuando estábamos en 2D no pasaba, 00:21:31
Pero cuando estamos ya en el espacio, en 3D, se pueden cruzar. 00:21:34
Pero si yo estoy en el plano, si yo nada más que tengo la pizarra, 00:21:37
yo dibujo ahí dos rectas, son o coincidentes o paralelas o secantes. 00:21:40
Entonces, ¿qué es lo que ocurre, chavales? 00:21:46
Que como yo quiero hallar la recta T que es perpendicular a las dos, 00:21:47
yo primero tengo que saber realmente la posición relativa de las rectas. 00:21:51
¿Lo veis? ¿Por qué? 00:21:56
Porque si las rectas son paralelas, tengo que hallar otra recta T, 00:21:57
que además que cumple tanto la recta R, la recta S y la recta T, 00:22:04
que las tres están en el mismo plano. 00:22:09
Es decir, yo eso lo puedo dibujar en la pizarra. 00:22:11
Yo dibujo dos rectas paralelas en la pizarra, 00:22:14
ellas dos al ser paralelas están en el mismo plano, 00:22:17
y si yo hago una perpendicular a uno, tengo otra perpendicular a uno, 00:22:19
estas tres, las dos coloradas, y esta morada, están en el mismo plano. 00:22:22
Entonces, igual, ¿qué nos puede pasar en las posiciones relativas? 00:22:27
Que se crucen, que ahí ese ejercicio es más complicado, que está hecho más adelante, 00:22:31
y echarle un vistazo, pero yo intentaré que no se pregunte ese, 00:22:36
pero lo tenéis que saber para la pago, ¿vale? 00:22:39
Es un poquito más coñazo. 00:22:41
Y yo me centraría en estos dos casos, que sean o paralelas o que sean secantes. 00:22:42
Si son paralelas es un poquito más tedioso que si son secantes, ¿de acuerdo? 00:22:48
¿Por qué? Porque si son paralelas, fijaros que los tres, tanto la T como la R y la S, están en el mismo plano. Entonces, tenemos que tener en cuenta varias cosas, ¿vale? Para hallar esa recta T. Mi objetivo es hallar esa recta T. 00:22:52
Pero si fueran secantes, chavales, si fueran secantes, yo puedo dibujar en la recta dos secantes, ¿verdad? Entonces, ¿cuál es una recta que sea perpendicular a ambas? Si yo dibujo dos secantes en la pizarra, la que sea perpendicular a ambas no puede pertenecer al plano. ¿Lo veis o no? 00:23:09
No sé si veis aquí, no tengo pisa. 00:23:29
Si yo hago aquí una recta y hago otra recta. 00:23:33
Si yo hago esta recta y hago esta recta, ¿vale? 00:23:38
¿Sí o no? 00:23:41
Son secantes, ¿verdad? 00:23:42
Si yo hago esto de aquí, esto no es perpendicular a esta y esto es perpendicular a otra, 00:23:43
que sin embargo, si las dos son paralelas, esta sí que es perpendicular a ambas. 00:23:48
¿Lo veis? 00:23:54
¿Lo veis o no? 00:23:55
No, no me salmamos. 00:23:57
no se ve, pero lo imagináis, ¿no? La imaginación es poder, ¿sí o no? Entonces, ¿qué ocurre? 00:23:59
Cuando son secantes, la única recta perpendicular a ambas rectas blancas se sale del plan. Y 00:24:08
además, ¿qué ocurre? Que es, precisamente, para que sea perpendicular a ambas, es en 00:24:18
el punto de corte. ¿Lo veis? Es en el punto de corte. Entonces, allá de una recta perpendicular 00:24:23
a dos rectas secantes, es mucho más fácil que hallar una recta perpendicular a dos rectas 00:24:29
paralelas, ¿vale? Entonces, primero, ¿qué tengo que ver? La posición relativa de las 00:24:35
rectas, ¿vale? Y si tengo que hallar una recta perpendicular común a las dos, pues 00:24:41
yo primero veo que son secantes, dices tú, termino antes, que son paralelas, digo voy 00:24:47
a empezar a rezar, ¿vale? Entonces, esta parte de aquí es bastante, bastante importante 00:24:52
Y sobre todo tenemos que tener en cuenta una cosa, chavales, mis dibujos son un mojón, ¿vale? 00:24:57
Entonces, lo único, veis, y ahí he hecho un amago de representación, que si son paralelas, tanto la T como la R como la S están en el mismo plano, ¿sí? 00:25:02
Y si son secantes, la única posibilidad para que sea perpendicular es que la T sea perpendicular al plano. 00:25:13
Bueno, si es perpendicular al plano, chavales, fijaros, estoy aquí. 00:25:21
El vector director de mi T, ¿con qué coincide? 00:25:26
Con el normal del plano. 00:25:29
¿Vale? 00:25:32
Si yo tengo dos rectas secantes, ¿me definen dos rectas secantes un plano? 00:25:32
Sí. 00:25:39
Sí, ¿verdad? 00:25:39
Porque no están alineadas, ¿lo veis? 00:25:40
Sin embargo, estas dos no me definen un plano, ¿lo veis? 00:25:42
¿Sí o no? 00:25:46
entonces lo bueno de la recta T 00:25:46
perpendicular a 2 secantes 00:25:48
es yo hallo el producto 00:25:50
vectorial de estos dos 00:25:52
y que tengo el vector normal 00:25:54
del plano, pero es que coincide con mi vector directo 00:25:56
¿si? hallo el 00:25:59
punto de corte de las dos 00:26:00
hallo el 00:26:01
producto, hallo el punto 00:26:03
de corte de las dos rectas, hallo el producto 00:26:06
vectorial de los dos vectores directores 00:26:08
de la recta, ya tengo mi recta T 00:26:10
sin embargo aquí es un x8, que es lo que quiero 00:26:12
ver con ustedes, ¿vale? 00:26:14
¿Sí? Venga. 00:26:16
Chavales. 00:26:19
Bueno, aquí os cuento mi vida, ¿vale? 00:26:21
Yo creo que está bien explicado. 00:26:24
Si no entendéis algo me decís, 00:26:25
hostia, aquí me he vuelto yo a... 00:26:26
Hostia, gracias, decía yo. 00:26:29
Digo, hostia, ¿cuándo es que no he escrito yo aquí nada? 00:26:30
Gracias, madre. 00:26:33
Entonces, tengo yo aquí dos restas, ¿vale? 00:26:34
Dos restas. 00:26:39
Entonces, chavales, lo primero que tengo que hacer yo, 00:26:39
que no lo he hecho porque he puesto que son... 00:26:42
Pero lo primero que tengo que ver es si son dos rectas paralelas, secantes o se cruzan. 00:26:45
¿Cómo son dos rectas paralelas? Pues que tienen el mismo o proporcionar el vector director. 00:26:49
¿Y cómo sé si son coincidentes o paralelas? Coge un punto de una y si cumple las ecuaciones de la otra, son coincidentes. 00:26:55
Si no lo cumple, coño que sé, si no lo cumple, son dos rectas paralelas, ¿vale? 00:27:03
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:27:11
Que yo nada más que parto de las ecuaciones de la recta R y de la recta S, ¿vale? 00:27:13
Entonces, bueno, veo que son proporcionales. 00:27:18
Veo aquí, fijaros, que un punto PR no cumple, ¿lo ves? 00:27:21
No pertenece a S porque las T me salen, no me salen las T iguales. 00:27:25
Entonces, yo puedo decir que son paralelas. 00:27:30
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:27:34
Que yo aquí no puedo definir el plano, ¿verdad? 00:27:36
Porque nada más que tengo un vector directo. Pero como yo sé que son paralelas, si yo hago precisamente la unión de un punto PR con un punto PS, ¿verdad? ¿Lo veis? Yo ya tengo dos vectores que no son linealmente dependientes, que son linealmente independientes. 00:27:39
Entonces yo ya puedo hallar la ecuación del plano. ¿Por qué? Porque si yo uno PR con PS y hago el producto vectorial de PR con PS con el vector director de una de ellas, que además son proporcionales, con lo cual me quedó uno, yo ya voy a obtener el vector normal a ese plano. ¿Lo veis? Yo no. Venga. 00:28:00
Entonces, fijaros, yo tengo aquí mi PR, mi PS, que lo hallo, ¿vale? Tengo el vector director, hago el producto vectorial y ya tengo el vector normal al plano. ¿Me hace falta ya el plano como tal? La verdad que no me haría falta, ¿vale? La verdad que no me haría falta. 00:28:20
Ah, yo no, perdona, el vector normal al plano, lo he dicho mal, ¿vale? 00:28:46
Ah, yo si yo hago, fíjate, yo tengo dos rectas paralelas, ¿verdad? Están en el mismo plano. 00:28:53
¿Qué ocurre? Que al ser paralela, los vectores directores son proporcionales, ¿vale? 00:28:56
Entonces no me aporta nada. 00:29:03
Al ser paralela, los vectores directores de ambas rectas son paralelos, uno de ellos no me aporta nada porque son proporcionales. 00:29:05
Entonces, yo lo que hago es cojo un punto de PR, cojo un punto de PS y hallo el vector de unión entre ellos. Y entonces, ¿ya qué ocurre? Yo cojo, por ejemplo, de R y cojo este vector PR, PS. Yo ya tengo ahí dos vectores que son linealmente independientes y que me definen un plano. 00:29:11
Sí, sí, sí 00:29:27
Yo cogería el más chico 00:29:30
Sí, sí, sí, perdón 00:29:32
Yo cogería el más chico 00:29:34
Pero porque son proporcionales 00:29:36
Yo siempre cogería el más chico 00:29:38
Entonces, ¿qué ocurre, chavales? 00:29:40
Yo aquí ya con estos dos tengo definido el plano 00:29:42
Entonces hago el producto 00:29:45
Vectorial de DS 00:29:46
Si quiero con PRPS 00:29:48
O DR con PRPS 00:29:50
Y tengo el vector normal del plano 00:29:52
Realmente a mí no me interesa 00:29:55
saber el plano, pero sí me interesa saber 00:29:57
el vector normal del plano. 00:29:59
¿Vale? Entonces, ¿qué ocurre? 00:30:01
Mi recta T, fijaros, 00:30:03
mi recta T, 00:30:05
como está contenida en el plano, 00:30:07
te cagas por la braga, 00:30:09
mi recta T, como está contenida en el plano, 00:30:11
es perpendicular 00:30:13
a DR de S, 00:30:15
porque lo estoy buscando yo. ¿Vale? 00:30:17
Es una recta perpendicular a DR de S, 00:30:19
que DR y DS son proporcionales 00:30:21
como si tuviera DR o si te hace ilusión a ti 00:30:23
de S. ¿Vale? 00:30:25
me cojo el más chico 00:30:26
además 00:30:28
como la T está contenida 00:30:30
en el plano, también es 00:30:32
perpendicular al vector normal del plano 00:30:34
¿lo entendéis? entonces ¿qué ocurre? 00:30:36
pues ahora voy a hacer 00:30:38
para hallar el vector director 00:30:39
de la T, voy a hacer 00:30:41
el producto vectorial 00:30:44
de ese vector 00:30:46
normal del plano con el vector 00:30:48
de R, ¿lo entendéis o no? 00:30:50
¿por qué hago eso o no? 00:30:53
¿lo entendéis? 00:30:55
¿No? ¿Quién no lo entiende? 00:30:56
No, voy a intentar hacerlo a mí. 00:30:58
Yo tengo aquí estas dos rectas paralelas. 00:31:01
Entonces, yo sé que mi plano es la pizarra. 00:31:04
Entonces, como esta y esta son realmente la misma, 00:31:07
yo no puedo definir el plano con un solo vector directo, ¿verdad? 00:31:11
Entonces, me cojo un punto de aquí y un punto de aquí. 00:31:15
Y ahora ya, o incluso aunque sean aquí, 00:31:18
yo ya tengo esto y esto. 00:31:20
Tengo dos vectores lineales independientes. 00:31:21
yo ya puedo saber por lo menos 00:31:23
el plano 00:31:25
que no me interesa conocer el plano, a mi como me interesa 00:31:26
saber precisamente 00:31:30
el vector normal al plano 00:31:31
lo tengo ya, ¿vale? 00:31:33
yo tengo el vector normal 00:31:36
al plano que contiene las dos rectas paralelas 00:31:38
lo tengo, ¿vale? 00:31:40
entonces ahora que ocurre, que mi recta T 00:31:41
mi recta T es perpendicular 00:31:43
y está en el plano, ¿verdad? 00:31:47
está en el plano 00:31:49
está en el plano, eso lo ves que está en el plano 00:31:50
¿no me resta perpendicular? Bueno, pues entonces 00:31:53
esta recta es perpendicular a esta. 00:31:55
Si está contenida, sí. Toda recta 00:31:59
que esté contenida en el plano, 00:32:01
toda recta que está contenida en el plano 00:32:03
es perpendicular al vector normal 00:32:05
del plano. ¿Vale? ¿Sí o no? 00:32:07
¿Eso lo sabéis todos? 00:32:10
Toda recta que está contenida 00:32:12
en un plano es perpendicular 00:32:13
al vector normal del plano. 00:32:15
¿Sí? Y entonces 00:32:17
¿qué ocurre? Que yo esfuerzo que además sea 00:32:19
perpendicular a dr y ds 00:32:21
entonces si yo hago el producto 00:32:23
vectorial del vector normal del plan 00:32:25
y de dr 00:32:27
que voy a obtener el vector 00:32:29
normal de dr 00:32:31
claro, si yo dibujo aquí 00:32:32
que coraje que no tengo aquí 00:32:41
yo tengo aquí cualquier 00:32:43
si miramos la pizarra 00:32:45
y tu dibujas una recta en la pizarra 00:32:47
tu ves 00:32:49
que el vector director de esta 00:32:51
recta con el vector 00:32:53
normal, vector normal 00:32:55
de la S perpendicular, 00:32:57
eso sí lo veis, ¿sí? 00:32:59
Y como yo esfuerzo, porque me pregunta 00:33:01
realmente, hállame la recta 00:33:03
perpendicular a R y a S, 00:33:05
que es la recta T. 00:33:08
La pregunta 00:33:10
es esa del problema. Haya la recta 00:33:11
perpendicular a DR y DS, 00:33:13
¿vale? Entonces, 00:33:15
como DR y DS son 00:33:17
paralelas, su perpendicular 00:33:19
también está en el plano, que eso es súper 00:33:20
importante, está en el plano, entonces 00:33:23
¿esta recta T es 00:33:25
perpendicular a la recta normal del plano? ¿Eso lo ves? 00:33:26
Sí, ¿no? 00:33:29
¿Sí o no? 00:33:30
Y si mi pregunta es 00:33:33
¿que hay en la recta 00:33:35
perpendicular a DR y DS? 00:33:36
¿DT es perpendicular a DR 00:33:39
y es perpendicular a DS? 00:33:41
Sí, ¿sí o no? 00:33:42
Entonces, ¿cómo hay SDT? 00:33:44
Haciendo, como es perpendicular 00:33:47
al plano y es perpendicular 00:33:48
a DR o DS 00:33:50
pues hago el producto vectorial 00:33:52
del normal 00:33:54
con DR 00:33:57
¿lo veis? y contengo el DT 00:33:58
porque es perpendicular a los dos 00:34:01
pero es que ese no es un normal 00:34:03
no es un vector normal de dicto 00:34:04
no, ese es un vector director 00:34:06
¿vale? no sé si lo he dicho mal 00:34:08
no sé si lo he dicho mal 00:34:11
no, no, no, si yo hago 00:34:12
el producto vectorial del vector 00:34:14
normal del plano 00:34:16
y el vector director DR 00:34:18
obtengo el vector director de R. 00:34:20
Sí, esto no se va a escuchar 00:34:23
bien en la grabación porque estoy lejos. 00:34:24
El profesor mío tenía, lo conté, 00:34:27
tenía su micrófono 00:34:28
que iba por la clase monísimo. 00:34:29
Entonces, chavales, fijaros el proceso. 00:34:32
El proceso tampoco está complicado, ¿no? 00:34:34
Lo que yo hago, chavales, es 00:34:36
cojo un vector director de R, 00:34:38
cojo el vector que une 00:34:40
dos puntos, uno de R y otro de S, 00:34:42
hago su producto vectorial, 00:34:44
obtengo el vector normal del plano. 00:34:46
Y ahora, ¿qué ocurre? Hago 00:34:48
el vector 00:34:49
¡Olé! ¡Vámonos! 00:34:50
Hago el vector 00:34:54
¡Ja, ja, ja! 00:34:55
Hago el vector 00:34:57
¡Oh, vamos! ¡Madre mía! 00:34:58
¡Vámonos! ¡Qué viernes! 00:35:02
Entonces, yo ahora vuelvo a hacer otra vez 00:35:03
el producto vectorial, ¿vale? 00:35:05
Del vector 00:35:08
normal del plano y 00:35:09
de R y que voy a obtener 00:35:11
el DT, ¿de acuerdo? ¿Lo veis 00:35:13
aquí? ¿Lo veis? 00:35:15
Hago el producto vectorial. ¿Por qué? Porque yo 00:35:17
sé que es perpendicular 00:35:19
yo sé que es perpendicular 00:35:21
tanto a 00:35:23
hostia 00:35:26
madre mía 00:35:27
ay, la vida, bueno 00:35:29
se me ha ido la olla 00:35:31
la T 00:35:35
es perpendicular tanto a R 00:35:37
como al vector normal del plano 00:35:39
¿vale? entonces yo ya tengo 00:35:42
mi DT, ¿lo veis? 00:35:43
tengo mi DT, ¿cuántas rectas 00:35:45
perpendiculares 00:35:47
me lo preguntaste ayer 00:35:49
claro, pero escúchame 00:36:02
pero porque estamos en el espacio 00:36:05
estamos en el espacio 00:36:07
si yo tuviera mis restas 00:36:08
2D con X y con Y 00:36:10
¿vale? si yo tuviera 00:36:13
mis restas X con Y 00:36:14
lo tuyo tú que vas a lo fácil 00:36:16
¿verdad? tú lo que vas es, yo tengo 00:36:19
mi vector director de R 00:36:20
cojo una componente 0 00:36:22
a las otras dos, le invierto el orden 00:36:24
y a una de ellas le cambio el signo ¿verdad? 00:36:26
y ya tengo un vector 00:36:28
que es perpendicular ¿verdad? 00:36:30
a de R y de S 00:36:33
¿sí o no? ¿sí? pero mi problema 00:36:33
¿os acordáis el ejercicio que yo hice? 00:36:36
que digo, esto no puede ser, esto no puede ser 00:36:38
¿qué me daba? una recta que se 00:36:40
cruza 00:36:42
esa recta es perpendicular al otro 00:36:43
pero se cruza, se cruza 00:36:46
por eso no se puede hacer así 00:36:48
¿vale? entonces 00:36:50
¿cómo tenemos que hacer estos ejercicios? 00:36:52
estos ejercicios 00:36:54
yo lo que tengo que hallar siempre es 00:36:56
el plano, que aquí me da igual 00:36:58
el plano, lo que sí me interesa mucho 00:37:00
es el vector normal del plano 00:37:02
¿vale? igual eso te pasa cuando tú quieres 00:37:03
hallar el punto simétrico de un punto respecto a una 00:37:06
recta, tú tienes que 00:37:08
hallar, te tienes que hallar 00:37:10
te guste o no, un plano 00:37:12
perpendicular, no te vale hacer 00:37:14
lo que tú dices, ¿por qué? porque te puede ocurrir 00:37:16
lo que me pasó a mí, de obtener 00:37:18
una recta, que sí que es verdad que 00:37:20
su vector director y el otro, su producto escalar 00:37:22
es cero y son perpendiculares, pero 00:37:24
una está por el suelo y la otra 00:37:26
está por el techo 00:37:28
¿vale? y entonces no se cruzan 00:37:29
entonces ¿qué es lo que hago? 00:37:32
cuando yo hallo el punto simétrico de un punto 00:37:34
respecto a una recta 00:37:36
lo que hago es hallo el plano 00:37:37
que sea perpendicular a esa 00:37:39
recta y además que hago 00:37:41
la intersección de la recta 00:37:43
con el plano, pues aquí 00:37:45
pasa igual, yo necesito 00:37:47
yo necesito un plano 00:37:49
que contenga las dos rectas pero que además 00:37:51
ese plano contiene a T 00:37:53
¿de acuerdo? entonces 00:37:55
para guiar el vector normal del plano 00:37:57
lo que hago es 00:37:59
PRPS 00:38:00
aquí y DR aquí 00:38:02
¿vale? 00:38:05
lo he dicho antes 00:38:07
y entonces hago el producto vectorial 00:38:08
y tengo el vector normal del plano 00:38:13
¿pero qué ocurre? como R, S y T 00:38:14
están en el plano 00:38:17
y T es perpendicular a D, R o D, S 00:38:18
¿ayúdame? 00:38:21
yo para hallar D, T hago otra vez 00:38:23
el producto vectorial entre 00:38:25
el vector normal del plano y el vector 00:38:26
director de la recta 00:38:29
y ahí ya tengo D, T 00:38:30
¿qué ocurre? que aquí fijaros chavales 00:38:32
¿cuántas rectas perpendiculares tengo a R y S? 00:38:34
tengo infinita 00:38:37
tengo infinita, yo pongo que de una 00:38:38
¿no? entonces ¿qué es lo que hago? 00:38:41
cojo el punto PR 00:38:43
o el punto PS 00:38:44
y lo pongo ahí como en la ecuación paramétrica 00:38:46
de esa recta 00:38:49
el punto que tú quieras, lo único es de todas 00:38:50
voy a forzar una que pase 00:38:53
PR o PS 00:38:55
¿esto de aquí? 00:38:56
porque 00:38:59
yo tengo 00:39:00
yo tengo dos rectas paralelas 00:39:03
dos rectas paralelas ¿vale? 00:39:05
Y entonces, yo lo que hago es el plano que la contenga, el plano que la contenga, que es precisamente el vector normal, esto de aquí. 00:39:07
Son dos rectas paralelas y yo no yo esto. 00:39:15
¿Pero el normal no es el vector normal del plano? 00:39:18
¿Vale? ¿Y qué ocurre? 00:39:25
Y la resta T, es que fíjate, el vector normal del plano es esta, ¿vale? 00:39:27
Y mi resta T, entonces, sería, según tú, esta. 00:39:32
Y esta no, esta o es perpendicular a esta o es perpendicular a esta, o incluso a ninguna. 00:39:38
¿Vale? Tú no sabes que tienes esto, tienes esto y le das, el vector normal es esto de aquí. 00:39:44
O corta, y si le hago que corta a una, a la otra no la corta, ¿lo ves? 00:39:48
¿Sí? 00:39:53
¿Eh? Te está en el mismo plano. 00:39:53
¿Qué es esto? Esto es T, ¿vale? 00:39:57
Entonces, ¿qué es lo que ocurre, chavales? 00:40:00
Que precisamente, como T es perpendicular a esta, 00:40:02
y además T está contenido en el plano, 00:40:06
y es perpendicular a la ecuación, al vector normal del plano, 00:40:08
pues yo tengo que hacer el producto vectorial 00:40:13
del vector normal del plano con el vector T, 00:40:15
con el vector S, ¿me acuerdo? 00:40:20
Con S o con R, me da igual, es que son proporcionales 00:40:23
porque son paralelos. 00:40:26
todo este proceso 00:40:28
pero lo que quiero que entendáis 00:40:32
por qué se hace, esto os voy a aprender de memoria 00:40:34
voy a hacer PRPS, hago producto vectorial 00:40:36
y hago esto y tal, hago el producto vectorial 00:40:38
y funciona, funciona 00:40:40
pero lo suyo es que lo entendáis, por qué hago esto 00:40:42
porque lo que quiero hallar es 00:40:44
aquí, que no haya el plano 00:40:46
el plano me la suza, pero si me interesa mucho 00:40:48
el vector normal al plano 00:40:50
entonces cojo una DR 00:40:52
o cojo DS y cojo 00:40:54
la unión de PRPS, yo ya tengo 00:40:56
dos vectores linealmente independientes que 00:40:58
pertenecen al plano. ¿Vale? Entonces 00:40:59
si hago, yo tengo dos vectores directores 00:41:02
del plano, su producto 00:41:03
vectorial me da el vector 00:41:06
normal del plano. Entonces, si yo 00:41:07
ya tengo, el problema aquí es que 00:41:10
T pertenece al plano también. 00:41:11
T pertenece al plano. 00:41:14
Entonces, como T pertenece al plano, 00:41:16
T es perpendicular al vector 00:41:18
normal del plano, como lo es 00:41:20
de R como lo es de S. 00:41:22
¿Vale? Y entonces ahora, como 00:41:24
además es perpendicular a DR o DS, pues vuelvo a hacer el producto vectorial 00:41:26
entre el plano y DR o DS. ¿Lo veis? No lo veis, hala, no lo veis. 00:41:31
Es que eso es lo que ocurre, que las tres están en el mismo plano. 00:41:41
No, no. Ponte tu mesa, ponte tu mesa. Pon tres bolos en tu mesa, pon tres bolos. 00:41:53
ahora con el tercer bolígrafo en los cruces que lo conoce que lo conoce no no es como 00:42:01
está pero así es s&p s&p y entonces cuál es el vector normal o lara empinado para 00:42:07
arriba por lo empinado un bol vale con él me falta el té el té por lo ya dejaré que 00:42:15
había el fútbol por lo como te ha dicho para ti ese boli ese boli como te ha dicho 00:42:23
Katia, ¿vale? Esa es T, esa es T 00:42:27
Y ahora pongo el otro empinado para arriba 00:42:30
El que tienes en la mano 00:42:31
Socio, ese, ponlo empinado 00:42:34
Apoyado, ese es el vector 00:42:36
Normal del plato 00:42:38
Eso es, R y S son paralelas 00:42:39
T es 00:42:42
Perpendicular a los dos 00:42:44
T es perpendicular, si yo te estoy 00:42:45
Pidiendo a llamar la recta perpendicular 00:42:48
A dos dadas 00:42:50
¿Vale? Y tienes, tú tienes en la mano 00:42:51
El vector normal 00:42:54
Entonces, yo primero, ¿qué hago? 00:42:55
¿Cómo defino ese que tú tienes en la mano? 00:42:57
¿Cómo defino ese que tengo en la mano? 00:43:00
Cojo DR o DS 00:43:02
Y cojo la unión 00:43:03
El vector unión de un punto de P 00:43:05
Con un punto de R 00:43:07
Y entonces hago su producto vectorial 00:43:08
Y tengo el que tú tienes en la mano 00:43:11
¿Vale? Y ahora que ocurre 00:43:13
El T que es el que te ha dejado Katia 00:43:15
El T es perpendicular 00:43:16
También al que tú tienes en la mano 00:43:19
Y es perpendicular 00:43:21
A DR o DS 00:43:23
Entonces hago su producto vectorial 00:43:24
y ya está. Entonces, ya tengo DT, 00:43:27
chavales. ¿Y ahora qué ocurre? 00:43:29
Yo ya cojo 00:43:31
un punto PR o PS, yo ya 00:43:33
tengo mi ecuación paramétrica. ¿Vale, 00:43:35
chavales? Venga, voy rápido, 00:43:37
chavales, en este de aquí que me interesa mucho, 00:43:39
en el que son secantes, ¿vale? 00:43:41
Ahora lo que voy a tener, fíjate ahora 00:43:43
la diferencia, desde mi punto de vista, yo creo que 00:43:45
es un poquito más fácil. Como se cortan, 00:43:46
como se cortan, 00:43:49
como se cortan, ¿vale? 00:43:50
Ahora, ponte todos tus goles cruzados. 00:43:53
Ponte todos los goles cruzados. 00:43:56
Vale, pues ahora ¿qué ocurre? El que te presta catia, que es la P, tiene que ser perpendicular a los dos. Y la única forma de que sea perpendicular a los dos es, vete al punto de unión de los dos, al punto de unión, y pon el boli para arriba. Es la única forma, ¿vale?, de que una recta perpendicular a ambas corte a los dos. Es la única forma. 00:43:57
Porque si tú haces perpendicular 00:44:18
¿Dónde está un punto al extremo del boli? 00:44:20
Al extremo de un boli 00:44:23
Al extremo de un boli de los que tienes apoyado 00:44:24
Al extremo, chocho 00:44:25
Al extremo, donde termina el boli 00:44:27
Ahí, ¿vale? Ahí 00:44:29
Si tú pones esa recta de ahí 00:44:31
Es perpendicular al boli 00:44:33
¿Esa es tu última? 00:44:35
No, no, la que tienes en el boli 00:44:37
Esa es perpendicular al boli 00:44:39
Que tienes en el extremo 00:44:41
¿Al extremo? 00:44:43
¿Y al otro? 00:44:45
¿Al otro no? 00:44:46
Al otro no, al otro no es perpendicular, es que ni siquiera lo toca, ¿vale? 00:44:48
Vale, entonces, chavales, lo primero que tengo que hacer, yo me dan dos restas, yo no sé si son paralelas o son secantes, ¿vale? 00:44:57
No sé si son paralelas o son secantes, entonces, yo aquí lo que hago es que no son proporcionales, 00:45:03
dejarme que termine este, ¿vale? 00:45:09
dr y ds no son proporcionales 00:45:11
entonces tengo que hacer el determinante 00:45:14
dr, ds y el punto 00:45:15
de unión de pr, el vector de unión 00:45:18
de pr, ps, veo que me sale 00:45:19
cero, o me sale 00:45:21
cero, entonces si me sale 00:45:23
cero, ¿qué ocurre? que son coplanarios 00:45:26
están en el mismo plano y se cortan, ¿vale? 00:45:27
entonces tengo que hallar el punto 00:45:30
de corte, porque además ese punto de corte 00:45:32
va a ser 00:45:34
ese punto de corte es por donde va 00:45:35
a cruzar la recta perpendicular, ¿vale? 00:45:38
Entonces, hallo el punto de corte, que es unir las paramétricas con uno o con otro. 00:45:40
Tened mucho cuidado para hallar el punto de corte de dos restas en paramétrica. 00:45:45
Si tengo las dos veces lambda, una de ellas la cambio por mu. 00:45:49
Hallo el punto de corte. 00:45:53
Yo lo he hecho con los dos, con uno es suficiente, 00:45:55
pero yo os recomendaría que lo hicierais con los dos más que nada 00:45:57
para ver que es el mismo punto. 00:46:00
Yo tengo ya el punto de corte de R y de S, 00:46:03
que además es el punto por donde va a pasar la recta T que es perpendicular, ¿vale? 00:46:07
Y entonces, ¿qué ocurre? 00:46:12
¿Cómo hallo yo ahora el vector director de T? 00:46:13
Pues precisamente coincide con el vector normal del plano, 00:46:17
con lo cual lo que hago es el producto vectorial de DR y DS, 00:46:21
y fijaros, pues coño, ¡qué coño! 00:46:26
Yo tengo ya el DT, el DT que es el producto vectorial de DR y DS, 00:46:30
yo antes, fijaros antes, cuando era paralela 00:46:34
si yo hago el producto vectorial de DR y DS 00:46:37
¿qué me sale? 00:46:39
cero, ¿qué me lo ha dicho? 00:46:40
¿nadie? 00:46:43
¡hostia! 00:46:45
bueno, si yo tengo dos 00:46:46
yo tengo dos coños de esto 00:46:47
yo tengo dos vectores directores proporcionales 00:46:50
fijaros que tengo un determinante 00:46:52
de dos líneas que son proporcionales 00:46:54
¿y qué me decían las propiedades de los determinantes 00:46:57
cuando uno era combinación del otro? 00:46:59
que el producto vectorial 00:47:01
que el determinante es cero, gracias 00:47:02
Entonces, hago el producto vectorial de DR con DS 00:47:04
Y este ya es mi DT 00:47:08
Fijaros que antes, para DT tenía que hacer dos productos vectoriales 00:47:10
Ahora con uno, que es DR y DS, ya lo tengo 00:47:15
Y el punto de intersección de la R y de la S 00:47:18
También es el punto por donde pasa 00:47:21
Sí 00:47:23
Oh, como una perra, vamos 00:47:26
Vamos, armarse 00:47:29
¿Cómo se lleva el producto vectorial? 00:47:30
¿Eh? 00:47:32
Allí es el determinante con IJK 00:47:34
Y pones un vector y otro 00:47:36
Y haces el determinante, ¿vale? 00:47:38
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Idioma/s:
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
14 de noviembre de 2025 - 12:52
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
47′ 42″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
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